专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有问题详解)

专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；

规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒

子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所

有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点

的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题

目练习】

1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁

场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量

的带正电，电荷量为q ，质量为m，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相

互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）

A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上

B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心

C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长

D ．只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上m

2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m ，宽ab=0.3m ，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）

-7

磁感应强度B= 0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg 、电荷量

-3 2

q=+2 ×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）

A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边

B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边

C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边

D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点

3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a 的上方和直线x=2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+ q（q>0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O1 点正上方的 A 点射出磁场，不计粒子重力，求：

（1）磁感应强度 B 的大小；

（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；

（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总

时间t。

4．如图所示的直角坐标系中，从直线x=-2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有

界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

在电场左边界从A（- 2l0，- l0）点到C（- 2l0，0）

点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m 的

粒子。从某时刻起， A 点到 C 点间的粒子依次连

续以相同速度v0 沿x 轴正方向射入电场。从A

点射入的粒子恰好从y 轴上的A （0，- l0）点沿

沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不

计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求从AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间t 和匀强电场的电场强度 E 的大小。

2）求在A、 C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动？

（3）为便于收集沿x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l 0上的某点为圆心的圆

形磁场区域内，设计分布垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿x 轴正方向射出电场的

粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0 与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是

多大？相应的磁感应强度 B 是多大？

5．如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x 轴、y 轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y 轴、抛物线FG（y 10x2 x 0.025，单位：m）和直线DH（y x 0.425 ，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C 的匀强电场；以及直线DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=1×10-6 kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4 C，速率均为20m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y 轴夹角在0 至1800之间。

（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；

（2）试证明这些粒子经过x 轴时速度方向均与x 轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会经过y 轴上的同一点，并求出该点坐标。

6．如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场区

域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为 L 的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。电场的场强大小均为 E ，区域Ⅰ的场强方 向沿 x 轴正方向，其下边界在 x 轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向 沿 y 轴正方向， 其上边界在 x 轴上， 左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。磁场的磁感应 0， L ）、磁场方向垂直于 xOy 平面向外；

2

区域Ⅳ的圆心坐标为（ 0， L 2 ）、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。两个质量均为 m 、电荷量 均为 q 的带正电粒子 M 、N ，在外力约束下静止在坐标为 （ 3L ，

L ）、（ 3L

，

2 3

L ） 2 2 2 4 的两

点。在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于 xOy 平 面。将粒子 M 、N 由静止释放， 它们最终打在感光板上并立即被吸收。 不计粒子的重力。 求：

1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。 2）粒子 M 击中感光板的位置坐标。 3）粒子 N 在磁场中运动的时间。

7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O 1在 x 轴上， OO 1距离等于半圆磁场的半径，磁感

应强度大小为 B 1。虚线 MN 平行 x 轴且与半圆相切于 P 点。在 MN 上方是正交的匀强电场 和匀强磁场，电场场强大小为

E ，方向沿 x 轴负向，磁场磁感应强度大小为 B 2。B 1，B 2 方

向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O 射入第

I 象限，其中沿 x 轴正方向进入磁场的粒子经过

P 点射入 MN 后，恰好在正交的电磁

场中做直线运动，粒子质量为 m ，电荷量为 q （粒子重力不计） 。求： （1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。

（2）若撤去磁场 B 2，则经过 P 点射入电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。

（3）试证明：题中所有从原点 O 进入第 I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。

强度大小均为

8．如图甲所示，真空中有一个半径 r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强

-3

度大小 B=2.0 ×10- 3T ，方向垂直于纸面向里，在 x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽 度

L=0.5m 的匀强电场区域 ,电场强度 E=1.5×103N/C ，在 x=2m 处有一垂直 x 方向的足够长的

荧光屏，从 O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷 q 1.0 109C / kg 带负电的粒子，粒 m 子的运动轨迹在纸面内。 一个速度方向沿 y 轴正方向射入磁场的粒子 M ，恰能从磁场与电场 的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求： （1）粒子 M 进入电场时的速度。

（2）速度方向与 y 轴正方向成 30°（如图中所示）射入磁 场的粒子 N ，最后打到荧光屏上 ,画出粒子 N 的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。

9．如图甲所示 ,质量 m=8.0 ×10- 25kg ，电荷量 q=1.6 ×10- 15C 的带正电粒子从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，且在与 x 方向夹角大于等于 30 °的范围内，粒子射入时的速度方 向

不同，但大小均为 v 0=2.0 ×107m/s 。现在某一区域内加一垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场 磁感应强度大小 B=0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与 当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。 （1）粒子从 y 轴穿过的范围。 （2）荧光屏上光斑的长度。

（3）打到荧光屏 MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。 （4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示） 。

y 轴平行的荧光屏 MN 上 ,并且 （ π =3.14求） ：

参考答案

1．当 v ⊥B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为

匀速圆周运动； 只要速度满足 v qBR 时， 在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径 m

mv 2 m R 、 T

的

qB qB

相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在

MN 上，选项 D 正确。

mv

2．由 R m qB v 0.3m 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，

从 Oa 入射

的粒子，出射点一定在 b 点；从 Od 入射的粒子， 经过四分之一圆周后到达 be ， 由于边界无 磁场，将沿 be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。

3．解析：（1）当粒子速度沿 x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时， 几何关系知： r=a ；

2

v mv mv

由

qvB m 知： B

r qr qa

2）从 A 点进入电场后作类平抛运动；

沿水平方向做匀加速直线运动：

v x 2E m q a

沿竖直方向做匀速直线运动： v y =v 0；

∴粒子离开第一象限时速度与

3）粒子从磁场中的 P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等， OO 1PO 2 构成菱形，

故粒子从 P 点的出射方向与 OO 1平行，即与 y 轴平行；轨迹如图所示； ∴粒子从 O 到 P 所对应的圆心角为 θ1=60 0

，粒子从 O 到 P 用时： t 1

T

6 3v

由几何知识可知，粒子由 P 点到 x 轴的距离 S asin 1

3

a ；

1

2

粒子在电场中做匀变速运动的时间： t 2 2E m q v ；

粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间： 2(a S) (2 3)a

t 3

；

v

粒子由 P 点第 2 次进入磁场，从 Q 点射出， ＰO 1QO 3 构成菱形；由几何知识可知 Q 点 在 x 轴上，即为（ 2a ，0）点；粒子由 P 到 Q 所对应的圆心角 θ2=1200，粒子从 P 到 Q 用

T 2 a t 4 T

3 23v a

；

∴粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：

t t 1 t 2 t 3 t 4

a (2 3)a 2mv

。

v v Eq

y 轴的夹角： tan

vx

v

y

2Eqa mv 02

2 解得 E 8q m t 2l 0 2q m l v 002

2）考察从 A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从 场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域

半径相同，因此 离开磁场时速度垂直于 O 2K ，即垂直于 x 轴，得证。

（ 3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（ x ， y 1） ,离开电 场时的坐标为（ x ， y 2） ,离开电场时速度为 v 2；

11 在电场中运动过

程，动能定理： Eq （y 2 y 1） 1mv 22 1mv 2

2 1 2 2

2

其中

y 1

10x 2 x 0.0025 ， y 2 x 0.425 解得 v 2=100 x

2

在 B 2 磁场区域做圆周运动的半径为 R 2，有 qv 2B 2 m v2 解得 R 2=x R 2

因为粒子在 B 2 磁场区域圆周运动的半径刚好为 x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在 y

4．解析：（ 1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有

t 2l 0

v

从 A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知

l0

2 m 1 Eq ( t )2 2

（2）设距 C 点为 y 处入射的粒子通过电场后也沿 x 轴正方向，第一次达

水平方向 x v 0 t

竖直方向

y

1 qE

（ t ）2

2m 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿 解得： y 12

qE

（l0 ）2 l02

n 2 2m v 0

n 2

x 轴正方向，有 2l 0 n 2 x

x 轴用时 t ，有

n =1，2，3，? ）

即在 A 、 C 间入射的粒子通过电场后沿 1

x 轴正方向的 y 坐标为 y

2 l 0 （ n =1，2，3，? ） n 2

3）当 n=1 时， 粒子射出的坐标为

n=2 时， y 1 l

1 y

2 l

4

沿 x 轴正方向射出的粒子分布在 粒子射出的坐标为

n ≥3时， 5

L y 1 y 2 l 0 ；

4

则磁场的最小半径为 R L 5l0

28 若使粒子经

磁场偏转后汇聚于一点，粒子 的运动半径与磁场圆的半径相等（如图） ， 轨迹圆与磁场圆相交， 四边形 PO 1QO 2 为棱 2 mv 0 8mv 0

形，由 qv 0B

得： B

R

5ql 0

v 2

mv 5．解析：( 1)由 qvB 1 m 知： R 1

0.1m

R

1

B

1

O 1

AO 2K 为菱形，

K 点离开磁场， O 1 和 O 2 分别是磁

y 1到 y 2 之间（如

图） y 1到 y 2 之间的距离

为

轴上；又因 v 2 的方向与 DH 成 45o ，且直线 HD 与 y 轴的夹角为 450，则所有粒子在此磁场 中恰好经过四分之一圆周后刚好到达 H 处，H 点坐标为（ 0，– 0.425 ）。

6．解析：（1）粒子在区域Ⅰ中运动，由动能定理得 EqL 1mv 02 解得 v 0 2E m qL

v

1

速度的偏向角 tan y

v 0 2

2）粒子在磁场中做匀速圆周运动， 有 qv 0 B m 0

，又有 B

r

因 M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故 周期后经过原点进入磁场Ⅳ， 再运动四分之一个周期后平行于 场Ⅱ后做类平抛运动。

假设 M 射出电场后再打在 x 轴的感光板上，则

M 在电场Ⅱ中运动的的时间

t L v

1 分）

沿电场方向的位移

y 21at 2 12 E m q (v L )2 2 2 m v 0

LL 42

2 分）

假设成立，运动轨迹如图所示。 沿电场方向的速度 v y at

q 2E m L

0L ，解得 r 0

qB 2

M 在磁场Ⅲ中运动四分之一个 x 轴正方向离开磁场， 进入电

mv 0 设射出电场Ⅱ后沿 x 轴方向的位移

x 1，有

x 1

L 24 tan

M 击中感光板的横坐标 x L 2 L x 1 2L ，

3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可

得

位置坐标为（ 2L ， 0） 1 分）

N 将从 b 点进入磁场Ⅲ，从原点 O 离开磁场Ⅲ进入磁场Ⅳ，然后从 d 点离开磁场Ⅳ，沿水平方向进入电场Ⅱ。轨迹如图。

3 L

3 在磁场Ⅲ中，由几何关系 cos

4 3

L 2

2 则 θ=30 0

，圆弧对应的圆心角 φ=1800- 300=1500

由对称关系得粒子在磁场Ⅲ、Ⅳ中运动时间相等； 粒子在磁场中运动的周期

粒子在磁场Ⅲ中运动的时间

故粒子在磁场中运动的时间