1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案

谷城一中杨超

教学目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间.

教学难点：利用导数判断函数的单调性

教学过程

一．回顾与思考

1、函数单调性的定义是什么？

2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）

3、函数x

=怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？

22+

x

y ln

二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系

【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反

映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数

是否有着某种内在的联系呢?

【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随

时间t变化的函数2

=-++的图像，图

h t t t

() 4.9 6.510

（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函

数'

==-+的图像．运动员从起跳到最

v t h t t

()()9.8 6.5

高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？

【探究】通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()

h t是增函数．相应地，'

=>．

v t h t

()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的

高h随时间t的增加而减少，即()

h t是减函

数．相应地'

v t h t

()()0

=<，

【思考】导数的几何意义是函数在该点

处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切

线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与

导数有什么关系呢？

【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

（1）函数y x =的定义域为 R ，并且在定义域上是 增函数 ，其导数 大于零 ；

（2）函数2y x =的定义域为 R ，在(,0)-∞上单调 递减 ，在(0,)+∞上单调 递增 ；

而2()2y x x ''==，当0x <时，其导数小于零；当0x >时，其导数大于零；当0x =时，其导数 为零。

（3）函数3y x =的定义域为 R ，在定义域上为 增函数 ；

而32()3y x x ''==，若0x ≠，则其导数大于零，当0x =时，其导数为零；

（4）函数1y x

=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，在(,0)-∞上单调递减 ，在(0,)+∞上单调 递减 而211()y x x

''==-，因为0x ≠，显然0y '<. 【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内，如果函数()y f x =在这个区间内单调递增，那么 ()0'≥x f ；如果函数()y f x =在这个区间内单调递减，那么 ()0'≤x f .

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？ 知识归纳

函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，

如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 单调递增；

如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内 单调递减

特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．

三．典例分析

例1．已知导函数'()f x 的下列信息

：

当14x <<时，'()0f x >；

当4x >，或1x <时，'()0f x <；

当4x =，或1x =时，'()0f x =

试画出函数()y f x =图像的大致形状．

解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；

当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；

当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如上图所示．

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--

（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+

解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，

'22()333(1)0f x x x =+=+>

因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．

（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-

当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；

当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；

函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．

（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<

因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，

如图1.3-5（3）所示．

（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．

当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ；

当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；

函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图所示．

练习：()()的单调区间x

x y x x x f 1)2(1

14712+=++= ()ln 3()()f x a x ax a R f x =--∈已知函数，

求的单调区间。

求解函数()y f x =单调区间的步骤：

（1）确定函数()y f x =的定义域；

（2）求导数''()y f x =；

（3）解不等式'()0f x >，得到函数的单调递增区间；

（4）解不等式'()0f x <，得到函数的单调递减区间；．

例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图 像．

解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→ 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如图1.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，

在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．

四、小结

（1）函数的单调性与导数的关系

（2）求解函数()y f x =单调区间

（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性

五、习题

六、作业设计

P26，T1，2

P31，习题1.3，T1

七、课后教学反思