八年级全等三角形检测题(WORD版含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；

（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．

【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．

【解析】

【分析】

（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN

=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到

MN=BM+NC．

（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．

【详解】

解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD与△ECD中，

∵BD CD

MBD ECD BM CE

，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△DMN与△DEN中，

∵MD DE

MDN EDN DN DN

，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．

（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵BM CE

MBD ECD BD CD

，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DM= DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△MDN和△EDN中

∵ND ND

EDN MDN ND ND

，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42∠ACB=45?，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45?，连结BE.

(1) 求证：△ACD≌△BCE；

(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求

PQ的长.

(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422

-

【解析】

试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE

≌；

()2首先过点C作CH BQ

⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45

DAC

∠=?，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．

()3OE BQ

⊥时，OE取得最小值.

试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，

∴AC=BC,DC=EC,45

ACB DCE

∠=∠=，

45

ACD DCB ECB DCB

∴∠+∠=∠+∠=，

∴∠ACD=∠BCE；

在△ACD和△BCE中，

,

AC BC

ACD BCE

DC EC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

(SAS)

ACD BCE

∴≌；

()2首先过点C作CH BQ

⊥于H，

(2)过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45?，AO是BC边上的高，45

DAC

∴∠=，

ACD BCE

≌，

45

PBC DAC

∴∠=∠=，

∴在Rt BHC中,

22

424

22

CH BC

=?=?=，

54

PC CQ CH

===

，，

3

PH QH

∴==，

6.

PQ

∴=

()3OE BQ

⊥时，OE取得最小值.

最小值为：42 2.

OE=-

3．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；

（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明

△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；

（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.

试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ， 则△ADF 为等边三角形 ∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ， ∠DEC+∠EDB=60°， ∠DCB+∠DCF=60° ， ∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ， 在△DEB 和△CDF 中，

120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，

∠=∠=???

∠=∠??=?

∴△DEB

≌△CDF ， ∴BD=DF ， ∴BE=AD .

(2). EB=AD 成立；

理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示： 同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ， 又∵∠DBE=∠DFC=60°， ∴△DBE ≌△CFD

（AAS ）， ∴EB=DF ， ∴EB=AD.

点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.

4．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC

=，D、E是斜边BC 上两动点，且

∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.

（1）试说明：△AED≌△AFD；

（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE的长；

（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.

【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130

【解析】

试题分析：()1由ABE AFC

≌，得到AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=45,

BAE CAD

∴∠+∠=45,

CAF CAD

∴∠+∠=即

45.

DAF

∠=EAD DAF

∠=∠，从而得到.

AED AFD

≌

()2由△AED AFD

≌得到ED FD

=，再证明90

DCF

∠=?，利用勾股定理即可得出结论.

()3过点A作AH BC

⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.

2

AH BH BC

===

1

DH BH BD

=-=或7,

DH BH BD

=+=求出AD的长，即可求得2

DE.

试题解析：()1ABE AFC

≌，

AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=90,

BAC

∠=

45,

BAE CAD

∴∠+∠=

45,

CAF CAD

∴∠+∠=

即45.

DAF

∠=

在AED和AFD中，{

AF AE

EAF DAE

AD AD，

=

∠=∠

=

.

AED AFD

∴≌

()2AED AFD

≌，

ED FD

∴=，

,90.

AB AC BAC

=∠=?

45

B ACB

∴∠=∠=?，

45ACF ，

∠=? 90.BCF ∴∠=?

设.DE x =

,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==

222,FC DC DF +=

()2

2239.x x ∴+-=

解得： 5.x = 故 5.DE =

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.2

AH BH BC ==

= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.

点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.

5．已知：平面直角坐标系中，点A （a ，b ）的坐标满足|a ﹣b|+b 2

﹣8b+16＝0．

（1）如图1，求证：OA 是第一象限的角平分线；

（2）如图2，过A 作OA 的垂线，交x 轴正半轴于点B ，点M 、N 分别从O 、A 两点同时出发，在线段OA 上以相同的速度相向运动（不包括点O 和点A ），过A 作AE⊥BM 交x 轴于点E ，连BM 、NE ，猜想∠ONE 与∠NEA 之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，F 是y 轴正半轴上一个动点，连接FA ，过点A 作AE⊥AF 交x 轴正半轴于点E ，连接EF ，过点F 点作∠OFE 的角平分线交OA 于点H ，过点H 作HK⊥x 轴于点K ，求2HK+EF 的值．

【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）8 【解析】 【分析】

（1）过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM, 根据非负数的性质求出a 、b 的值即可得结论；

（2）如图2，过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H ，则△AOE ≌△BAH ，可得AH ＝OE ，由已知条件可知ON=AM ，∠MOE ＝∠MAH ，可得△ONE ≌△AMH ，∠ABH ＝∠OAE ，设BM 与NE 交于K ，则∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA ，即2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°； （3）如图3，过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N ，可证△FMH ≌△FNH ，则FM ＝FN ，同理：NE ＝EK ，先得出OE+OF ﹣EF ＝2HK ，再由△APF ≌△AQE 得PF ＝EQ ，即可得OE+OF ＝2OP ＝8，等量代换即可得2HK+EF 的值． 【详解】

解：（1）∵|a ﹣b|+b 2﹣8b+16＝0 ∴|a ﹣b|+（b ﹣4）2＝0 ∵|a ﹣b|≥0，（b ﹣4）2≥0 ∴|a ﹣b|＝0，（b ﹣4）2＝0 ∴a ＝b ＝4

过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则AN ＝AM ∴OA 平分∠MON

即OA 是第一象限的角平分线

（2）过A 作AH 平分∠OAB ，交BM 于点H ∴∠OAH ＝∠HAB ＝45° ∵BM ⊥AE ∴∠ABH ＝∠OAE

在△AOE 与△BAH 中

OAE ABH

OA AB AOE BAH ＝＝∠∠??=??∠∠?

， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ） ∴AH ＝OE

在△ONE 和△AMH 中

OE AH NOE MAH ON AM =??

∠∠??=?

＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）

∴∠AMH ＝∠ONE 设BM 与NE 交于K

∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA ∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90° （3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于

M 、N

可证：△FMH ≌△FNH （SAS ） ∴FM ＝FN 同理：NE ＝EK ∴OE+OF ﹣EF ＝2HK

过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q 可证：△APF ≌△AQE （SAS ） ∴PF ＝EQ ∴OE+OF ＝2OP ＝8 ∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8 【点睛】

本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.

6．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．

（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持

AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．

（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、

OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；

（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题； 【详解】

（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下： 如图1中，连接OP ．

∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6）， ∴OB=OA=6，∠AOB=90°， ∵P 为AB 的中点，

∴OP=

1

2

AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，

在△PON 和△PAM 中，

ON AM PON PAM OP AP =??

∠=∠??=?

， ∴△PON ≌△PAM （SAS ）， ∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ， ∴∠NPM=∠OPA=90°， ∴PM ⊥PN ，PM=PN ．

（2）结论：OD=AE ．理由如下：

如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ． ∵BD ⊥OP ，

∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，

∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°， ∴∠AOG=∠DBO ， ∵OB=OA ， ∴△DBO ≌△GOA ， ∴OD=AG ，∠BDO=∠G ， ∵∠BDO=∠PEA ， ∴∠G=∠AEP ， 在△PAE 和△PAG 中，

AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△PAE ≌△PAG （AAS ）， ∴AE=AG ， ∴OD=AE ．

【点睛】

考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

7．在

ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=?是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF

．

()1当点E 在线段AD 上时，

①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =； ②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；

()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数

量关系(直接写出结果，不需要证明)．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD 【解析】 【分析】

（1）①根据等边对等角，求到B C

∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF

?是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到

120

AFB ADC

∠=∠=?，推出ABF ACD

??

≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；

②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；

（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．

【详解】

（1）①证明：AB AC

=

B C

∴∠=∠

,60

DF DE ADB

=∠=?，且E与A重合，

ADF

∴?是等边三角形

60

ADF AFD

∴∠=∠=?

120

AFB ADC

∴∠=∠=?

在ABF

?和ACD

?中

AFB ADC

B C

AB AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

ABF ACD

∴??

≌

BF DC

∴=

②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，

∵∠ADB＝60°DE＝DF

∴△DEF为等边三角形

∵AG∥EF

∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°

∴∠DAG＝∠AGD

∴DA＝DG

∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF

由①易证△AGB≌△ADC

∴BG＝CD

∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE

（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，

由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，

BF CD BF BG GF AE ∴+=+==

故BF AE CD =-． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

8．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．

（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）

（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、

BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．

②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①

相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．

【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．

（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．

（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理

'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；

②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则

'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ． 【详解】

（1）AF BD = 证明如下：

ABC 是等边三角形，

BC AC ∴=，60BCA ?∠=．

同理可得：DC CF =，60DCF ?∠=．

BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠． 即BCD ACF ∠=∠． BCD ACF ∴△≌△． AF BD ∴=．

（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，

AF BD =依然成立． （3）①AF BF AB '+=

证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．

BD AF ∴=．

同理BCF ACD '△≌△．

BF AD '∴=．

AF BF BD AD AB '∴+=+=．

②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+； BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，

BCF ACD '∴△≌△． BF AD '∴=．

又由（2）知，AF BD =．

AF BD AB AD AB BF '∴==+=+． 即AF AB BF '=+． 【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．

9．如图，在ABC ?中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 2

3

BD CD = ，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;

(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点B出发沿射线BC以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q两点同时出发，当点P到达A点时，,P Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，POQ

?的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围;

(3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点且CF BO

=.是否存在t值，使以点

,,

B O P为顶点的三角形与以点,,

F C Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值; 若不存在，请说明理由.

【答案】（1）5；（2）①当点Q在线段BD上时，24

QD t

=-，t的取值范围是

1

2

t <<；②当点Q在射线DC上时，42

QD t

=-，，t的取值范围是

1

5

2

t<≤；（3）存在，1

t=或

5

3

.

【解析】

【分析】

（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；

（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC

上时，DQ=4t-2时；

（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当

OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；

【详解】

解：（1）∵AD是高，∴90

ADC

∠=

∵BE是高，∴90

AEB BEC

∠=∠=

∴90

EAO ACD

∠+∠=，90

EBC ECB

∠+∠=，

∴EAO EBC

∠=∠

在AOE

?和BCE

?中，

EAO EBC

AE BE

AEO BEC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴AOE

?≌BCE

?

∴5

AO BC

==；

（2）∵2

3

BD CD =

，=5BC ∴=2BD ，=3CD ，

根据题意，OP t =，4BQ t =， ①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，

∴21(24)22S t t t t =

-=-+，t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-，

∴21(42)22S t t t t =

-=-，t 的取值范围是1

52t <≤ （3）存在．

①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．

∴CQ=OP ， ∴5-4t ═t ， 解得t=1，

②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．

∴CQ=OP ， ∴4t-5=t ， 解得t=

53

． 综上所述，t=1或5

3

s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10．综合与实践：

我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等. （1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.

如图，已知ABC ?、111A B C ?均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ??≌.

（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等. 【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】

（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出

∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．

（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证. 【详解】

（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，

则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=?. 在BDC ?和111B D C ?中，

1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，

∴111BDC B D C ??≌， ∴11BD B D =.

在Rt BDA ?和111Rt B D A ?中，

11AB A B =，11BD B D =，

∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ??≌， ∴1A A ∠=∠.

在ABC ?和111A B C ?中，

1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，

∴111(AAS)ABC A B C ??≌.

（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，

∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠?. ∴Rt ABC ?≌111Rt A B C ?（HL ）；

∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；

如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，

与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ??≌，得到11BD B D =， 再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ??≌，得到1A A ∠=∠， 再利用AAS 证明111ABC A B C ??≌；

∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等； 故答案为：钝角三角形或直角三角形. 【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.