知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.

2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.

3．会应用三角函数的定义解决相关问题．

【要点梳理】

要点一：三角函数定义

设α是一个任意角,它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ,

则r =: (1)

y r

做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=； (2) x r 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x r

α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释：

（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.

我们只需计算点到原点的距离r =

那么sin α=

,cos α=,tan y x

α=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．

要点二：三角函数在各象限的符号

三角函数在各象限的符号：

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 要点诠释：

口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．

要点三：单位圆中的三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边

(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.

要点诠释：

三条有向线段的位置：

正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；

余弦线在x 轴上；

正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上；

三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.

【典型例题】

类型一：三角函数的定义

例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值．

【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35，45-，34-或35-，45，34

-

【解析】 5||r a =

=． 若a ＞0，则r =5a ，α是第二象限角，则

33sin 55

y a r a α=

==， 44cos 55

x a r a α-===-， 33tan 44

y a x a α===--， 若a ＜0，则r =－5a ，α是第四象限角，则

3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-． 【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想．三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题．

举一反三：

【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值．

1212

-

【解析】因为角α的终边在直线y 上，

所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点．

则2||r a ==（a ≠0）．

若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以

sin 22a α=

=， 1cos 22

a a α==，

tan a

α==．

若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所以sin 22a α=

=--，1cos 22a a α=-=-，

tan α==． 类型二：三角函数的符号

例2．判断下列各三角函数值的符号

（1）17tan 6π??- ???

；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°． 【答案】（1）正（2）正（3）正 【解析】（1）因为177466πππ-

=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角．所以17tan 06π??-> ???

． （2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0．

∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0．

∴tan120°·sin269°＞0．

（3）∵191°是第三象限的角，

∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0．

举一反三：

【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】

【变式1】确定下列各三角函数值的符号.

（1）sin 532?；（2）23cos 12π

；（3）11tan 3π-?? ???

；（4）sin 3.1； （5）tan 7； （6）sin(cos )cos(sin )θθ，其中θ是第二象限角.

【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负

【变式2】（1）若sin α=―2cos α，确定tan α的符号；

（2）已知α为第二象限角，判断3sin αcos α+2tan α的符号；

（3）若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？

【答案】（1）负（2）负（3）四

【解析】（1）由sin α=―2cos α，知sin α与cos α异号，故α是第二或第四象限角．当α是第二象

限角时，tan α＜0；当α是第四象限角时，tan α＜0．综上知，tan α＜0．

（2）因为α为第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，所以3sin αcos α+2tan α＜0．

（3）因为sin α＜0，所以α为第三或第四象限角，

又cos α＞0，所以α为第一或第四象限角，

所以α为第四象限角．

类型三：三角函数线的应用

例3．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． ①2sin 3α=；②3cos 5

α=-；③tan α=2； （2）比较sin1155°与sin （―1654°）的大小．

【答案】（1）略（2）>

【解析】（1）①作直线23

y =交单位圆于P 、Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如下图①． ②作直线35

x =-交单位圆于M 、N 两点，则OM 与ON 为角α的终边．如下图②．

③在直线x=1上截取AT=2，其中点A 的坐标为（1，0），设直线OT 与单位圆交于C 、D 两点，则OC 与OD 为角α的终边．如下图③．

（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数．

sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,

sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°．

在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M 2P 2，M 1P 1（如图）．

因为M 1P 1＜M 2P 2，所以sin1155°>sin （－1654°）．

【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如()f m α=的三角函数的角α的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的．

（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小．

举一反三：

【变式1】求证：当0,2πα??∈ ???

时，sin α＜α＜tan α． 【证明】如图，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于点T ，过点P 作PM ⊥OA 于点M ，连接AP ，则：

在Rt △POM 中，sin α=MP ；

在Rt △AOT 中，tan α=AT ．

又根据弧度制的定义，有AP l OP αα=?=．

易知S △POA ＜S 扇形POA ＜S △AOT ， 即111222

AP OA MP l OA OA AT ?

即sin α＜α＜tan α．

例4．在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合：

（1

）sin α≥；（2）1cos 2α≤-． 【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解．

【解析】（1

）作直线y =交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为222,33k k k Z ππαπαπ?

?+≤≤+∈????

．

（2）作直线12

x =-交单位圆于C 、D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域如上图②中阴影部分，即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ?

?+≤≤+∈????

． 【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如()f m α≥或()f m α≤的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．

类型四：三角函数定义域的求法

例5

．求函数y =

【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式．

【答案】

【解析】 由题意得sin 0tan 1()2

x x x n n Z ππ??≥?≤???≠+∈?．

由图可知：

sin x ≥0时，角x 的终边落在图中横线阴影部分；

tan x ≤1时，角x 的终边落中图中竖线阴影部分． 从终边落在双重阴影部分的角中排除使2()2x n n Z ππ=

+∈的角即为所求．

∴该函数的定义域为：

22,22,42x n x n n Z x n x n n Z πππππππ????≤≤+∈+<≤+∈????????

． 【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义．（2）不可忽略正切函数自身的定义域|,2x x k k Z ππ?

?≠+∈????

． 举一反三： 【变式1】求函数sin cos tan x x y x +=

的定义域： 【答案】|,2k x x k Z π?

?≠∈????

【解析】 要使函数有意义，需tan x ≠0，

∴2x k ππ≠+

（k ∈Z ）且x ≠k π（k ∈Z ） ∴2

k x π≠（k ∈Z ）． ∴函数的定义域为|,2k x x k Z π??≠

∈????．