高中数学第二章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程学案新人教B版选修4_4
2.4一些常见曲线的参数方程
[对应学生用书P37]
[读教材·填要点]
1．摆线的概念
一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线． 2．渐开线的概念
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)摆线的参数方程：???
??
x ＝a t －sin t ，
y ＝a －cos t
.
(2)圆的渐开线方程：
?
??
??
x ＝a
t ＋t sin t ，y ＝a t －t cos t
.
[小问题·大思维]
1．摆线的参数方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆滚动时转过的角度． 2．渐开线方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？
提示：字母a 是指基圆的半径，参数t 是指OA ―→和x 轴正向所成的角(A 是绳拉直时和圆的切点)．
[对应学生用书P38]
[例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．
[思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．
[精解详析] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0， 由于a >0，
即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．
代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝
1
k π
(k ∈Z )． 又a >0，所以a ＝
1
k π
(k ∈N ＋)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1
π.
代入即可得圆的摆线的参数方程为 ?????
x ＝1πt －sin t ，
y ＝1π
－cos t
(t 为参数)．
由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．
1．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．
解：x M ＝r ·θ－r ·cos(φ＋θ)－π
2＝r [θ－sin(φ＋θ)]，
y M ＝r ＋r ·sin ? ??
??φ＋θ－π2＝r [1－cos(φ＋θ)]．
∴点M 的参数方程为?
??
??
x ＝r [θ－
φ＋θ，
y ＝r [1－φ＋θ
(θ为参数).
[例2] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
[思路点拨] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．
[精解详析] 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按
渐开线定义，AM 0的长和线段AM x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.
作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线．由三角和向量知识，得
(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB ＝θ，
(4θsin θ，－4θcos θ)，
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
(x ，y )，
所以有?
??
??
x ＝
θ＋θsin θ，
y ＝θ－θcos θ
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定运动中产生的某一角度为参数．
(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
2．渐开线???
??
x ＝t ＋t sin t ，y ＝
t －t cos t
(0≤t ≤2π)的基圆的圆心在原点，把基圆的
横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________________．
解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a ＝6，其方程为x 2
＋y 2
＝36，把基圆的横坐
标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为? ??
??12x 2＋y 2
＝36，整理可得x 2144＋y 2
36＝
1.这是一个焦点在x 轴上的椭圆，其中c ＝a 2
－b 2
＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．
答案：(63，0)，(－63，0)
[例3] 设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置．写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．
[思路点拨] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清
M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
[精解详析] 轨迹曲线的参数方程为
?????
x ＝
t －sin t ，
y ＝
－cos t ，
0≤t ≤2π.
当t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 曲线的对称轴为x ＝8π.
摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．
3．已知圆C 的参数方程是?
??
??
x ＝1＋6cos α，
y ＝－2＋6sin α和直线l 对应的普通方程是x －y －62
＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程． (3)求摆线和x 轴的交点．
解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝62
2＝6，恰
好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是
?????
x ＝6t －6sin t ，y ＝6－6cos t .
(3)令y ＝0，得6－6cos t ＝0?cos t ＝1. 所以t ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ，得x ＝12k π(k ∈Z )，
即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．
[对应学生用书P39]
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线
B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C ．正方形也可以有渐开线
D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
2.?
????
r ＝
t －sin t ，
y ＝－cos t
(t 为参数)表示的是( )
A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B ．半径为5的圆的摆线的参数方程
C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D ．直径为5的圆的摆线的参数方程
解析：选B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确．
3．已知一个圆的参数方程为?
??
??
x ＝3cos φ，y ＝3sin φ，0≤φ≤2π，那么圆的摆线方程中参数
取π2对应的点A 与点B (3π
2
，2)之间的距离为( ) A.
π
2
－1 B. 2 C.10D.
3π
2
－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为
?
????
x ＝φ－sin φ，
y ＝－cos φ
把φ＝π
2
代入参数方程中可得???
??
x ＝3? ????π2－1，y ＝3，
即A
? ??
??3? ????π2－1，3，
∴|AB |＝
3? ????π2－1－3π2
2＋
－
2
＝10.
4．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( ) A.?????
x ＝1
2k πt －sin t ，
y ＝1
2k π
－cos t
B.?????
x ＝1
k πt －sin t ，
y ＝1
k π
－cos t
C.?????
x ＝12k πt －sin t ，
y ＝1
2k π
＋cos t
D.?????
x ＝1
k πt －sin t ，
y ＝1
k π
－cos t
解析：选A 圆的摆线的参数方程为???
??
x ＝a
t －sin t ，
y ＝a
－cos t
令a (1－cos t )＝0，得t
＝2k π.
代入x ＝a (t －sin t )得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又过(1,0)，
∴a (2k π－sin 2k π)＝1.∴a ＝1
2k π.
又a ＞0，∴k ∈N *
. 二、填空题
5．给出圆的渐开线的参数方程???
??
x ＝3cos φ＋3φsin φ，
y ＝3sin φ－3φcos φ，
根据参数方程可以看出该
渐开线的基圆半径是________；当参数φ取π
2
时，对应的曲线上的点的坐标是________．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
?????
x ＝φ＋φsin φ，y ＝
φ－φcos φ
，
所以基圆半径r ＝3.
然后把φ＝π
2代入方程，
可得???
??
x ＝3? ??
??cos π2＋π2sin π2，y ＝3? ??
??sin π2－π2 cos π2，即?????
x ＝3π2，
y ＝3.
所以当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是? ????3π2，3.
答案：3 ?
??
?
?3π2，3 6．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线
?
??
??
x ＝r
φ－sin φ，
y ＝r －cos φ
关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．
答案：
?
??
??
x ＝r －cos φ，
y ＝r φ－sin φ
7．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π
4
对应的点的坐标为________．
解析：首先根据摆线的参数方程
???
??
x ＝r
φ－sin φ，
y ＝r －cos φ
(φ为参数)，把点(π，0)
代入可得
???
?
?
π＝r φ－sin φ，
0＝r
－cos φ?cos φ＝1，则sin φ＝0，φ＝2k π(k ∈Z )，所以，
r ＝
π2k π＝12k (k ∈Z )，又r >0，所以k ∈N ＋，当k ＝1时r 最大为12，再把φ＝π
4代入即可． 答案：?
????
π－228
，2－24
8．圆的渐开线???
x ＝2t ＋t sin t ，y ＝2
t －t cos t
上与t ＝
π
4
对应的点的直角坐标为________．
解析：对应点的直角坐标为
x ＝2? ??
??cos π4＋π
4sin π4
＝2? ??
??22
＋π4
·22
＝1＋π
4
，
y ＝2? ??
??sin π4－π
4·cos π4
＝2? ??
??22
－π4
·22
＝1－π
4
.
∴t ＝π4对应的点的直角坐标为? ????1＋π
4，1－π4.
答案：? ????1＋π
4，1－π4
三、解答题
9．当φ＝π4，π
2时，求出圆的渐开线?
??
??
x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，
并求出A ，B 的距离．
解：把φ＝π4，π
2分别代入参数方程得
?????
x ＝22? ????
1＋π4，y ＝22? ??
??1－π
4和?????
x ＝π2，
y ＝1.
即A ，B 两点的坐标分别为
? ????22? ????1＋π4，22? ????1－π4，? ????π2，1， ∴|AB |＝??????22?
????1＋π4－π22＋??????22? ????1－π4－12
＝1
4
－22π2
－
42π＋32－16 2.
10．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中
AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，将它们依次相连接，求曲线AEFGH 的长．
解：根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π
2，继续旋转可得EF
是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π
2；GH 是半径为4
的1
4
圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 11．如图，若点Q 在半径AP 上(或半径AP 的延长线上)，当车轮滚动
时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r
2
，求点Q 的轨迹
的参数方程．
解：设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)．若A (r θ，r )，
则?
??
??
x 0＝r θ－sin θ，
y 0＝r －cos θ
当|AQ |＝r
2时，有
???
??
x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r .
代入???
??
x 0＝r θ－sin θ，
y 0＝r
－cos θ
∴点Q 的轨迹的参数方程为?????
x ＝r ? ??
??θ－12sin θ，y ＝1
2r －cos θ
当|AQ |＝3r
2时，有?????
x 0＝2x ＋r θ
3，y 0
＝2y ＋r
3
.
代入???
??
x 0＝r
θ－sin θ，
y 0＝r
－cos θ
∴点Q 的轨迹方程为?????
x ＝r ? ????θ－32sin θ，y ＝1
2r －3cos θ
对应学生用书P41]
[对应学生用书P41]
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；
(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； (4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．
[例1] 过点P (－2,0)作直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1交于A ，B 两点，设A ，B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．
[解] 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2.
由?
????
x ＝ty －2，x 2＋y 2
＝1消去x 得(1＋t 2)y 2
－4ty ＋3＝0.
∴y 1＋y 2＝
4t 1＋t 2，即y ＝2t
1＋t
2， x ＝ty －2＝2t 2
1＋t 2－2＝－2
1＋t 2.
由Δ＝(4t )2
－12(1＋t 2
)>0得t 2
>3. ∴M 的轨迹的参数方程为?????
x ＝－2
1＋t 2，
y ＝2t
1＋t 2
，
t 2
>3.
在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的．也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
[例2] 参数方程????
?
x ＝1－t 2
1＋t
2，y ＝2t
1＋t
2
化为普通方程为( )
A ．x 2
＋y 2
＝1
B ．x 2
＋y 2
＝1去掉(0,1)点
C ．x 2＋y 2
＝1去掉(1,0)点 D ．x 2
＋y 2
＝1去掉(－1,0)点
[解析] x 2
＋y 2
＝? ????1－t 2
1＋t 22＋? ??
??2t 1＋t 22＝1， 又∵x ＝1－t 2
1＋t 2＝－1＋2
1＋t 2≠－1，故选D.
[答案] D
[例3] 已知参数方程???
??
x ＝
t ＋
1
t
θ， ①y ＝
t －
1t
θ， ②
t ≠0.
(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？ (2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？ [解] (1)当t ≠±1时，由①得sin θ＝
x t ＋
1t
，
由②得cos θ＝
y
t －
1t
. ∴
x 2? ????t ＋1t 2＋y 2
? ??
?
?t －1t 2
＝1. 它表示中心在原点，长轴长为2|t ＋1
t
|，短轴长为
2|t －1
t
|，焦点在x 轴上的椭圆．
当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ，x ∈[－2,2]． 它表示在x 轴上[－2,2]的一段线段． (2)当θ≠k π
2(k ∈Z )时，由①得x sin θ＝t ＋1
t
. 由②得
y
cos θ
＝t －1t
.
平方相减得x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝4，即x 24sin 2θ－y 2
4cos 2
θ＝1. 它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为
4|cos θ|，焦点在x 轴上的双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，它表示y 轴； 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，x ＝±? ????t ＋1t .
∵t ＋1t ≥2(t ＞0时)或t ＋1
t
≤－2(t ＜0时)，
∴|x |≥2.∴方程为y ＝0(|x |≥2)．它表示x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线.
求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
[例4] 设曲线C 的参数方程为?
??
??
x ＝2＋3cos θ，
y ＝－1＋3sin θ
(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为710
10的点的
个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 曲线C 的标准方程为(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝9. 它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆．
因为圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2＋3＋2|10
＝710
10，
且3－71010<710
10，故过圆心且与l 平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．
[答案] B
[例5] 直线y ＝3
3x ＋2与圆心为D 的圆??
?
x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，
0≤θ≤2π交于
A ，
B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )
A.7π6
B.5π4
C.
4π3D.5π3
[解析] 由已知得圆D ：(x －3)2
＋(y －1)2
＝3， 则圆心D 到直线y ＝
3
3
x ＋2的距离等于 ????
??33×3－1＋21
3
＋1＝
62
， 故cos 12∠ADB ＝d 3＝22，
12∠ADB ＝π4，∠ADB ＝π2. 又AD ＝BD ，所以有∠DBA ＝π
4
. 而直线y ＝
33x ＋2的倾斜角是π
6
，因此结合图形可知，在直线AD ，BD 中必有一条直线的倾斜角等于π6＋π4，另一条直线的倾斜角等于π6＋π4＋π
2
.
因此AD ，BD 的倾斜角之和为2? ????π6＋π4＋π2
＝4π
3.
[答案] C
[例6] 设直线l 的参数方程为???
?
?
x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α
(t 为参数，α为倾斜角)，圆C
的参数方程为???
??
x ＝1＋2cos θ，
y ＝－1＋2sin θ
(0≤θ≤2π)．
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；
(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． [解] (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝5
2
.
(2)法一：由圆C 的参数方程?
??
??
x ＝1＋2cos θ，
y ＝－1＋2sin θ
得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2. 由直线l
的参数方程为?
??
??
x ＝3＋t cos α，
y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普
通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，
即kx －y ＋4－3k ＝0.
当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即
|5－2k |k 2
＋1
<2，由此解得k >21
20. 即直线l 的斜率的取值范围为?
??
?
?2120，＋∞.
法二：将圆C 的参数方程为?
??
??
x ＝1＋2cos θ，
y ＝－1＋2sin θ，
化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2
＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得
t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②
当直线l 与圆C 交于两个不同的点时， 方程②有两个不相等的实数解， 即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2
－100>0，
即20sin αcos α>21cos 2
α，两边同除以cos 2
α， 由此解得tan α>21
20，
即直线l 的斜率的取值范围为?
??
?
?2120，＋∞.
[例7] 直线???
?
?
x ＝－1＋t
2，y ＝32t
与圆x 2＋y 2
＝a (a >0)相交于A ，B 两点，设P (－1,0)，
且|PA |∶|PB |＝1∶2，求实数a 的值．
[解] 法一：直线参数方程可化为y ＝3(x ＋1)．
联立方程??
?
y ＝3x ＋，
x 2＋y 2＝a .
消去y ，得4x 2
＋6x ＋3－a ＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨设x 1
x 1＋x 2＝－32
，② x 1·x 2＝
3－a
4
，③ |PA ||PB |＝－1－x 1x 2＋1＝1
2.④ 由①②③④解得a ＝
3.
法二：将直线参数方程代入圆方程得
t 2－t ＋1－a ＝0.
设方程两根为t 1，t 2，则 Δ＝1－4(1－a )>0?a >3
4
.
t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝1－a .
由参数t 的几何意义知
|PA ||PB |＝－t 1t 2＝12或|PA ||PB |＝－t 2t 1＝1
2.解得a ＝
3.
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．
[例8] 已知点P (3,2)平分抛物线y 2
＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为
?
??
??
x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
代入方程y 2
＝4x 整理得
t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①
点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关
系
t 1＋t 2＝0.sin α－cos α＝0
∴0≤α＜π.∴α＝π
4.
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 2
2
－4t 1t 2
＝
4·8sin
2π4
＝8.
[例9] 已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过顶点的两弦OA ⊥OB ，求以OA ，OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程．
[解] 设A (2pt 2
1，2pt 1)，B (2pt 2
2，2pt 2)， 则以OA 为直径的圆的方程为
x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，
以OB 为直径的圆的方程为
x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0.
所以t 1，t 2为方程2pxt 2
＋2pyt －x 2
－y 2
＝0的两个根． 由根与系数的关系，得t 1·t 2＝
－x 2＋y 2
2
px
.
又OA ⊥OB
4p 2t 21t 2
2＋4p 2
t 1t 2＝0，
即t 1t 2＝0(舍)或t 1t 2＝－1.
所以x 2
＋y 2
－2px ＝0，即(x －p )2
＋y 2
＝p 2
.
所以点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，以p 为半径的圆．
对应学生用书P43]
一、选择题
1．已知椭圆的参数方程???
?
?
x ＝2cos t y ＝4sin t
(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π
3
，
点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )
A ．23
B ．－2 3 C.
3
3
D. 3
解析：选A ∵t ＝π
3，∴x ＝1，y ＝23，
∴k OM ＝y
x
＝2 3.
2．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ是常数)与圆?
??
??
x ＝r cos φ，
y ＝r sin φ，0≤φ≤2π
的位置关系是()
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．视r 的大小而定 解析：选B 心到直线的距离d ＝
|0＋0－r |cos 2
θ＋sin 2
θ
＝|r |＝r ，故相切．
3．已知双曲线??
?
x ＝3tan θ，y ＝sec θ，
那么它的两条渐近线所成的锐角是()
A ．30° B．45° C ．60° D．75°
解析：选C 由??
?
x ＝3tan θ，
y ＝sec θ
?y 2
－x 2
3＝1，两条渐近线的方程是y ＝±3
3
x ，所
以两条渐近线所夹的锐角是60°.
4．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2
＋2y 的最大值为( )
A.?????
b 2
4＋b ，
2b b B.?????
b 2
4＋
b <，
2b b
C.b 2
4
＋4 D ．2b
解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)，代入x 2
＋2y 得x 2
＋2y ＝4cos 2
θ＋
2b sin θ＝－?
????2sin θ－b 22＋4＋b 24.当0
4＋4；当b ≥4时，(x 2
＋2y )max
＝－(2－b
2)2
＋4＋b 2
4
＝2b .
二、填空题
5．直线???
??
x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°
(t 为参数)的倾斜角的大小为________．
解析：原参数方程变为?
??
??
x ＝1＋t cos 20°，
y ＝1＋t sin 20°(t 为参数)，故直线的倾斜角为20°.
答案：20°. 6．直线?????
x ＝2－1
2
t ，y ＝－1＋1
2
t (t 为参数)被圆x 2
＋y 2
＝4截得的弦长为________．
解析：直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12
＝
2
2
，弦长d ＝2 22
－?
??
??222
＝14.
答案：14
7．圆的渐开线参数方程为?????
x ＝π4cos φ＋π
4
φsin φ，y ＝π4sin φ－π
4φcos φ(φ为参数)，
则基圆的面积为________． 解析：易知，基圆半径为π
4
.
∴面积为π·? ????π42＝116
π3
.
答案：116
π3
8．已知曲线???
?
?
x ＝2pt 2
，y ＝2pt
(t 为参数，p 为正常数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1，
t 2，且t 1＋t 2＝0，那么|MN |＝________.
解析：显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴x 轴， 故|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|＝4p |t 1|. 答案：4p |t 1| 三、解答题
9．经过P (－2,3)作直线交抛物线y 2
＝－8x 于A ，B 两点． (1)若线段AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π
4
时，求|AB |.
解：设AB 的参数方程是?
??
??
x ＝－2＋t cos α，
y ＝3＋t sin α(t 为参数)．
代入抛物线方程，整理得
t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0.
于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7
sin 2
α. (1)若P 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0?tan α＝－4
3.
故AB 所在的直线方程为y －3＝－4
3(x ＋2)．
即4x ＋3y －1＝0. (2)|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 2
2
－4t 1t 2
＝ ? ????6sin α＋8cos αsin 2α2－4? ????－7sin 2α ＝
2
sin 2α
16＋12sin 2α.
又α＝π
4，
∴|AB |＝
2
sin
2π416＋12sin ?
????2×π4
＝87.
10．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为?????
x ＝1－2
2t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的
长．
解：将直线l 的参数方程???
??
x ＝1－2
2
t ，y ＝2＋2
2
t (t 为参数)代入抛物线方程y 2
＝4x ，
人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案
人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
最新高中数学参数方程大题(带答案)精选
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴
y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为
高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
【高中数学选择性必修】求曲线的方程
求曲线的方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.动点P到点(-1,2)的距离是3,则动点P的轨迹方程为( ) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=9 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=3 2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 3.等腰三角形ABC底边两端点是A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0),顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A.9π B.8π C.4π D.π 5.在平面直角坐标系中,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!未找到引用源。=α错误!未找到引用源。+β错误!未找到引用源。,其中α,β∈R,且α+β=1,O 为坐标原点,则点C的轨迹为( ) A.射线 B.直线 C.圆 D.线段 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足错误!未找到引用
源。·错误!未找到引用源。=4,则点P的轨迹方程是. 7.(2013·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0)连线的斜率的积为定值-错误!未找到引用源。,则动点P的轨迹方程为. 8.(2013·揭阳高二检测)已知直线l:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P 是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么? 10.已知A,B分别是直线y=错误!未找到引用源。x和y=-错误!未找到引用源。x 上的两个动点,线段AB的长为2错误!未找到引用源。,P是AB的中点.求动点P 的轨迹C的方程. 11.(能力挑战题)在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程. 答案解析 1.【解析】选A.由条件可知,点P的轨迹是以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆,
高中数学直线参数方程测试题
三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1
最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
求曲线的方程教案
2.1.2求曲线的方程 一、教学目标： 1.知识技能目标： （1）理解坐标法的作用和意义. （2）掌握求曲线方程的常用方法和步骤,能根据条件，选择适当的坐标系和方法求 （1 （2 （3. （1 （2 难点：（1）如何根据条件建立恰当坐标系； （2）如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系. （3）如何选择恰当的方法将几何等量关系转化为曲线的方程. 三、教学方法：探究发现教学法和多媒体辅助教学 四、课型：新授课.
五、教学过程： Ⅰ.复习回顾： 师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方 例1设
x+2y－7=0① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即x+2y1－7=0x1=7－2y1 点M1到A、B的距离分别是 （1 方程. 练习：已知点M与x轴的距离和点M与点F(0，4)的距离相等，求点M的轨迹方程. 师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤. 例2已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.
解：如图所示，设点M （x,y ）是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点 M 属于集合}.2|||| {=-=MB MA M P 由距离公式，点M 适合的条件可表示为： 2)2(22=--+y y x ① 将①式移项后再两边平方，得 22221AM 与 4例 3.略. 练习： 思考题：课本第37页：练习第3题. 本题有多种思路，可让学生先分组讨论，然后每组派代表发言，可以学生点评，教 师补充. Y (). ,0,3122的轨迹方程求连线的中点为和定点上移动，在曲线动点M M A M y x B =+
高中数学全参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
高中数学极坐标与参数方程试题精选(8套)选修4-4
极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
2.1.2求曲线的方程(2)(教学设计)
2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计） 教学目标： 知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点. 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标: 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标： 1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点 1. 寻找“几何关系”. 2. 转化为“动点坐标”关系. 教学方法 启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程 一、复习回顾： 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{} ()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂). 说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法： 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程； (2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．
高考数学参数方程大题
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
高中数学选修4-4坐标系与参数方程-高考真题演练
高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=?? =? ， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 1（2）(2018全国卷II )在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参 数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 1（3）(2018全国卷I )在直角坐标系 中,曲线的方程为,以坐标原点为 极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 （1）求的直角坐标方程 （2）若 与有且仅有三个公共点,求 的方程 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． xOy C 2cos 4sin x θy θ=?? =? ， θl 1cos 2sin x t αy t α=+??=+? ， t C l C l (1,2) l
解：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?，∴O e 的普通方程为22 1x y +=，当90α=?时， 直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠?时，设直线l 的方程为tan y x α=-直线l 与O e 1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴ 4590α?<
高考数学参数方程所有经典类型
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
极坐标与参数方程经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
高中数学选修坐标系与参数方程知识点总结
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
高中数学参数方程应用大题(带答案)
参数方程极坐标系解答题 一、圆上的点到直线的距离最大值 1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=， ∴， ∴x﹣y+1=0． （2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）． 得 （x﹣2）2+y2=4， 它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆， 圆心到直线的距离为： d=， ∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=． 点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析： （Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出． （II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式
可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2． ∴圆心坐标为（1，﹣1）， ∴圆心极坐标为； （Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程： ， ∴圆心到直线l的距离， ∴|AB|=2==， 点P直线AB距离的最大值为， ． 点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0） （Ⅰ）求圆心C的极坐标； （Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3． 考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系． 专题：计算题． 分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系， 消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可． （2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值． 解答： 解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0． 由得C：圆心（﹣，﹣）．