平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义
教学目标1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量；
2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法；
3、平面向量的线性运算。
重点、难点教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法
教学难点：平面向量的线性运算
考点及考试要求考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算
教学内容
第一课时平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理
1、下列说法正确的是（）
A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C、向量的大小与方向有关.
D、向量的模可以比较大小.
2、下列各量中不是向量的是（）
A、浮力
B、风速
C、位移
D、密度
3、设O是正方形ABCD的中心，则向量,,,
AO BO OC OD是（）
A、相等的向量
B、平行的向量
C、有相同起点的向量
D、模相等的向量
4、判断下列各命题的真假：
（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等；
（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
课前检测
5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b
③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ）
A 、|a |＝|b |?a ＝b
B 、|a |＞|b |?a ＞b
C 、a ＝b ?a ∥b
D 、｜a ｜＝0?a ＝0
7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
8、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形， （1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量.
1、向量的物理背景及概念
1）、向量的物理背景：
位移是既有大小，又有方向的量； 力是既有大小，又有方向；
2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
知识梳理
A
B
E
C
D A(起点)
B
（终点）
a
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
4.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
5、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
6、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
7、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的
．．．．．．
起．点无关
．．．.
8、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无
．．．．．．．．．
关）
．．.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
9.实数与向量相乘的意义 10. 实数与向量相乘的运算律
①
②
③
11.平面向量定理：如果向量a
与向量b 平行，那么存在唯一实数m ，使a m b =。 单位向量：长度为1的向量，叫单位向量。（设e 为单位向量，则1||=e ）
※单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同
12.向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 如
b a 23+，b a 2-、)5(3b a +等，都是向量的线性运算.
向量的线性组合：如果.,b a 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，则b y a x +叫做.,b a 线性组合.
如.,b a 两个不平行的向量，向量,23b a OE +=，这时就说OE 可由.,b a 的线性组合表示.
13.向量的合成与分解：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分 解，用画图的方法可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量
第二课时 平面向量的基本概念及线性运算典型例题
一、对向量概念的理解
例1、给出下列命题：
①向量AB 和向量BA 的长度相等；○2方向不相同的两个向量一定不平行；○3向量就是有 向线段；○4向量0=0；○5向量AB 大于向量CD 。其中正确的个数是（ B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
变1、下列命题：○1向量可以比较大小；○2向量的模可以比较大小；○3若a b =，
则一定有|a |=|b |，且a 与b 方向相同；○4对于一个向量，只要不改变它的大小和方向， 是可以任意平行移动的。其中正确的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
典型例题
例2、判断下列命题是否正确：
⑴若a //b ，则a 与b 的方向相同或相反；(错误)
⑵四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB =DC ，反之也成立；（正确） ⑶|a |=|b |，a ，b 不一定平行，//a b ，|a |不一定等于|b |；（正确） ⑷共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。（错误）
变2、把平面内所有的单位向量的起点移到同一个点，则各向量的终点组成的图形是把平行于直线L 的所有的向量的起点平移到直线L 上的点P ，则各向量的终点组成的图形是___________。
例3、给出下列六个命题：○1两个向量相等，则它们的起点相同，
终点相同；○2若|a |=|b |，则a =b ；○3若AB =DC ，则四边形ABCD 是平行四边形； ○
4平行四边形ABCD 中，一定有AB =DC ；○5若m n =，n k =，则m k =；○6若//a b ， //b c ,则//a c 。其中不正确的是命题个数是（ A ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
变3、下列说法中错误的是（ ） （A ） 零向量是没有方向的； （B ） 零向量的长度为0；
（C ） 零向量与任一向量平行； （D ） 零向量的方向是任意的。
二、相等向量与平行向量的作法与求法
例4、设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA 、OB 、OC 相等的向量。
解：与OA 相等的向量：EF CB DO ,, 与OB 相等的向量:FA DC EO ,, 与OC 相等的向量：ED AB FO ,,
变4、如下图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O
且平行于AB 的线段，
（1） 写出图中的各组共线向量；
A
B C D E F O
（2）写出图中的各组同向向量；
（3）写出图中的各对反向向量；
（4）写出图中的相等向量；
三、实数与向量的意义以及运算律题目
1.
2.计算：
(4)
四、用一个向量表示另一个向量
3.
4.已知点D、E在ABC
的边AB 与AC上，DE∥BC，5AD=3DB，试用向量BC表示向量DE
5.平行向量吗？
E
D
C B
A
6. 用单位向量e 表示下列向量：
五、向量的合成与分解
1. 如图，点M 是三角形ABC 的边AB 的中点，设b CB a CA ==,，试用b a ,的线性组合表示向量CM .
2. 如图，已知O 为△ABC 内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且1
3AD AB =，
DE ∥BC,设,OB b OC c ==，试用b 、c 的线性组合表示向量DE 。
3. 如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，
射线AM 与BC 相交于点E.设a AB =，b AD =，分别求向量AM 、
AN 、AE 关于.,b a 的分解式.
O
E
D
C
B
A M
B
E
D
C A N
第三课时 平面向量的基本概念及线性运算课堂检测
1.下列命题中正确的是 （ ） A 若a =b ， 则a ＝b B 若a ＞b ，则a ＞b C 若a =b ，则a b D 若a =1 ，则a =1
2.下列说法正确的有 （ ）
Ⅰ 零向量比任何向量都小 Ⅱ零向量的方向是任意的 Ⅲ零向量与任一向量共线 Ⅳ 零向量只能与零向量共线
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
3.平行四边形ABCD 中，AB = DC ，则相等的向量是（ ） A AD 与CB B OB 与OD C AC 与BD D AO 与OC
4.已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量中含有相等向量的是（ ）
A O
B CD FE CB ，
，， B AB CD FA DE ，，， C FE AB CB OF ，，， D AF AB OC OD ，
，， 5.设O 是正方形的中心，则向量 AO BO OC ，
，是 （ ） A 有相同起点的向量 B 有相同终点的向量 C 相等的向量 D 模相等的向量 6.若向量 a 与向量b 不相等，则 a 与b 一定（ ）
A 不共线
B 长度不相等
C 不都是单位向量
D 不都是零向量
7.若a =2 ，b =a ，则b =_____b 的方向与a ____。若b = -a ，则b =_______，b 的方向与a _________ 8.下列命题中，正确的是( )
A ．|a | = |b | ? a = b
B ．|a | = | b |且 a // b ? a =b
课堂检测
C ． a =b ? a //b
D ．|a | = 0 ? a
= 0
9.已知一个单位向量e
，设a 、b 是非零向量，则下列等式中正确的是：（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 10.若 且 ，则四边形ABCD 的形状为（ ）
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 等腰梯形
11.若向量 =4、 =6，则 的最小值是 ，
的最大值是 。 12.如图，点M 是△CAB 的边AB 的中点，设 b B C ,a A C == ， 试用a 、b 的线性组合表示向量M C 。
M
C
B
A
13.如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设b B O ,a A O
==，分别求出向量
C B B A
D O C O 、、、关于b ,a
的分解式。
A
B
C
D
14.如图，已知向量a ，b ，求作向量：（a ＋b ）－2（
1
4
a －
b ）
a b
15.如图，已知向量a 、b 、c ，作出c 分别在a 、b 方向上的分向量
a b c
a e a =e
b b =1a e a =1a b b =a b b a +b a -||||→=→AD AB →=→CD BA
16.已知a －b ＝－c ，a ＋b ＝3c ，那么a 与b 平行吗？
17.如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，AD ＝1
2
DC ，E 、F 、G 分别AD 、BD 、BC 的中点。设AB ＝a ，AC
＝b ，试用向量a 、b 的线性组合表示向量EG
A
G
C
E
F
B
D
高中数学 空间向量的线性运算教案
用心 爱心 专心 - 1 - 课题：3.1.1空间向量的线性运算 设计人： 审核人： 班级： 组名： 姓名： 日期： 典型例题 例１.已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），以图中一对顶点构造向量，使 它们分别等于： ； ⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '2 1CC AD AB + +⑶ ．⑷ )'(3 1AA AD AB ++ (5)D D AB BC → → → '-+ 1(6)()2 A B A D D D B C → → → → '++ - (7)AB BC C C C D D A → → → → → '''''++++ 例3.已知平行六面ABCD-A1B1C1D1 ，求满足下列各式的x 的值。 11111 )3(2 )2(AC x AD AB AC AC x BD AD =++=-x C D A AB =++1111 )1( 1 C C ' D ' A ' B ' D A )(21,,.2→ →→+=BC AD MN CD AB ABCD N M 求证：的中点， 的棱分别是四面体例D C B A N M
用心 爱心 专心 - 2 - 四．当堂检测 １．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,BB AC 的中点，则MN 等于（ ） A ．11()2A C A B B B ++ B ．111111()2 B A B C C C ++ C ．11()2A C C B B B ++ D ．11()2 B B B A B C -- ２．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 （ ）①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++ ④AB CB CD AD -+- A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 3.在空间四边形ABCD 中,点M 、G 分别是BC 、CD 边的中点,化简 4. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1 BA CB +; （2）1 21AA CB AC + +; （3）CB AC AA --1 五．课后练习 1．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，,,AB a AD b AP c === ，E 为PC 中点， 则向量C E = _______________________； 2.已知长方体 1111 ABC D A B C D -，化简向量表达式 1CB AC AD AA +++= _____________； 3. 1(1) ()2 1(2) ()2 AB BC BD AG AB AC ++-+ a b AD c a ,b,c C D ,. ABC D AB BC AC BD == 空间四边形中，，＝，，试用来表示，
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
等腰三角形一对一辅导讲义
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明． 重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。 考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明 教 学 内 容 第一课时 等腰三角形知识梳理 1、 已知线段a ，h （如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ，5cm ，这个三角形的周长是 cm 。 3、 请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D 。求证：∠DBC=21∠A 。 课前检测 A B C D
图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC ），相等的两边叫做腰（AB 和AC ），另一边叫底边（BC ），两腰的夹角叫做顶角（A ∠），腰和底边的夹角叫做底角（C ∠∠和B ） （2）等腰三角形的性质 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。 注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理 （3）等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。 第二课时 等腰三角形典型例题 题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度 例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为 【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是 底角：顶角=1:2还是 顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。 变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 度。 知识梳理 典型例题
初中一对一精品辅导讲义：圆与圆的位置关系.docx
教学目标 重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系 教学内容 第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理 课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的 延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线．
知识梳理 （一）两圆位置关系的定义 注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部 （2）两圆相切是指两圆外切与内切 （3）两圆同心是内含的一种特殊情况 （二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么 两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ） 两圆内切 d =R－r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ） （三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系
苏教版高中数学选修2-1《空间向量及其线性运算》教案
空间向量及其线性运算 学习目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件。 学习重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 学习难点：空间向量的线性运算及其性质。 学习过程： 一、创设情景 1、平面向量的概念及其运算法则； 2、物体的受力情况分析（如右图）。 二、建构数学 1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）空间的一个平移就是一个向量。 （2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体
O 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一 直线，也可能是平行直线。 5．共线向量定理及其推论 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ，其中向量a 叫做直线l 的 方向向量。 三、数学运用 1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）12 1 AA + +； （3）CB AC AA --1。 解：（1）11CA BA =+； （2）AM AA CB AC =+ +12 1 ； （3）11BA CB AC AA =--。
(完整版)平面向量的线性运算测试题
平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题
空间向量及其线性运算(教案)
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
实数一对一辅导讲义
第一课时 实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小： （1）32.13 1.2， （2）3 32-34 3-， （3）337。 课前检测
1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数； （2）特定意义的数如π等； （3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根 （1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。 要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根 （又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算： 一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-?
平面向量的线性运算随堂练习(答案)
§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
二年级语文一对一辅导讲义
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象授课教师 授课时间授课题目第四单元预习、看图说话课型综合使用教具讲义 教学目标 1.预习第14课、15课 2.提高学生的观察能力、想象能力。 教学重点和难点看图作文的思维训练 参考教材小学语文课本 教学流程及授课详案 一、听老师讲故事 守株待兔的故事 宋国有一个农民，每天在田地里劳动。 有一天，这个农夫正在地里干活，突然一只野兔从草丛中窜出来。野兔因见到有人而受了惊吓。它拼命地奔跑，不料一下子撞到农夫地头的一截树根上，折断脖子死了。农夫便放下手中的农活，走过去捡起死兔子，他非常庆幸自己的好运气。 晚上回到家，农夫把死兔交给妻子。妻子做了香喷喷的野兔肉，两口子有说有笑美美地吃了一顿。 第二天，农夫照旧到地里干活，可是他再不像以往那么专心了。他干一会儿就朝草丛里瞄一瞄、听一听，希望再有一只兔子窜出来撞在树桩上。就这样，他心不在焉地干了一天活，该锄的地也没锄完。直到天黑也没见到有兔子出来，他很不甘心地回家了。 第三天，农夫来到地边，已完全无心锄地。他把农具放在一边，自己则坐在树桩旁边的田埂上，专门等待野兔子窜出来。可是又白白地等了一天。 后来，农夫每天就这样守在树桩边，希望再捡到兔子，然而他始终没有再得到。但农田里的苗因他而枯萎了。农夫因此成了宋国人议论的笑柄 启示：这个成语故事比喻不主动努力，而存万一的侥幸心理，希望得到意外的收获。主要告诉我们的道理是：只有通过自己的劳动，才能有所收获，否则终将一无所获，留下终身遗憾。 二、第四单元预习 一、会读词语。（熟读） 相得益彰管中窥豹一叶障目泰山水到渠成葫芦藤盯着邻居 枣树深浅光秃秃忍受好呗虽然抽水继续行驶无影无踪 责怪酸甜葡萄迫不及待生硬泡茶吃饱长袍鞭炮 二、生字扫描 第14课：《我要的是葫芦》 言（发言）（言语）（言论）每（每天）（每组）（每人） 治（治病）（治好）（治疗）棵（一棵树）（一棵树苗） 挂（挂念）（牵挂）（挂号）哇（好哇）（行哇）（哇哇叫） 怪（奇怪）（怪事）（怪物）慢（慢走）（慢慢）（慢行）时间分配及备注 听老师讲故事，第四单元预习：30分钟。
一次函数一对一辅导讲义
教学目标1．通过复习进一步掌握如下概念：函数的概念；一次函数的概念；一次函数与正比例函数的关系；确定一次函数表达式。 2、经历函数、一次函数（正比例函数）概念的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。 重点、难点使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。 考点及考试要求考点1：确定自变量的取值范围 考点2：函数图象 考点3：图象与坐标轴围成的面积问题 考点4：求一次函数的表达式，确定函数值 考点5：利用一次函数解决实际问题 教学内容 第一课时一次函数知识盘点 一、主要知识点： 一次函数的性质 1的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当0时，b为函数在y轴上的截距。 3为一次函数的斜率角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角) 一次函数的图像及性质 1．作法与图形：通过如下３个步骤 （1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点， 并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0） 正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限： 时 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当0时，直线必通过原点,经过一、三象限 当b＜0时，直线必通过三、四象限。
平面向量概念教学设计
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计
平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义
教学目标1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量； 2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法； 3、平面向量的线性运算。 重点、难点教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法 教学难点：平面向量的线性运算 考点及考试要求考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算 教学内容 第一课时平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理 1、下列说法正确的是（） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、下列各量中不是向量的是（） A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度 3、设O是正方形ABCD的中心，则向量,,, AO BO OC OD是（） A、相等的向量 B、平行的向量 C、有相同起点的向量 D、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假： （1）向量AB的长度与向量BA的长度相等； （2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 课前检测
5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形， （1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量. 1、向量的物理背景及概念 1）、向量的物理背景： 位移是既有大小，又有方向的量； 力是既有大小，又有方向； 2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示； 知识梳理 A B E C D A(起点) B （终点） a
向量的线性运算经典测试题及答案解析
向量的线性运算经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ） A ．a r 与r b 是相等向量 B ．a r 与r b 是平行向量 C ．a r 与r b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r b 方向相反，长度相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2 c =-r r ，由此确定a r 与b r 位置和数量关系． 【详解】 解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2 c =-r r ， 所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r |． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r B ．如果a b =r r ，那么a b =r r C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】 A. -r r a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误； B. 如果a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误； C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误； D. 对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
平面向量的基本概念练习题
平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F
2020_2021学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 学习目标核心素养 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推 论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的 数学抽象核心素养. 2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量 的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核 心素养. 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1 图2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB → ，其模记为|a|或|AB → |. 2．几类常见的空间向量 名称方向模记法 零向量任意00 单位向量任意1 相反向量相反相等 a的相反向量：－a AB → 的相反向量：BA →
相等向量相同相等a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的 运算 加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b 减法CA→＝OA→－OC→＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示]没有关系． 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP → ＝λa. 5．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存
平面向量线性运算教案
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义
期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义
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教学目标 1、复习相似三角形的性质； 2、复习解直角三角形的性质。 重点、难点 相似三角形及解直角三角形的几何证明 考点及考试要求 1、相似三角形 2、解直角三角形 3、相似三角形及解直角三角形的几何证明 教 学 内 容 第一课时 相似三角形及解直角三角形知识梳理 1.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM= 2.1cm ，则MC= cm 。 (2) 如果 9 5 =AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。 2.若 b a b +＝53，那么b a ＝ 3．在的长为，则，，中，BC AB B C ABC Rt 73590=?=∠?=∠? 。 4.计算：.60cos 43)258(sin )21()1(032010o o -+-+?--π 5.如图，的长求线段的角平分线，若是，，中，AD AC ABC AD B C ABC .33090=??=∠?=∠?。 D C A B 课前检测
一、相似三角形相关知识点 1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换 相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。 （2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作相似于。 （3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 （4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。 注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序. 全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2.相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）相似三角形的判定 ① 两角对应相等的两个三角形相似； ② 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似； ④ 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 二、解直角三角形相关知识点 1. 定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。 2. 理论依据 （1） 三边关系：222c b a =+ （勾股定理） （2） 锐角关系：A+B= 90 （3） 边角关系：c b B = sin c a B =cos a b B =tan b a B =cot B A sin sin = sinB cosA = B A cot tan = B A tan cot = 知识梳理