平面向量数量积的坐标运算含答案
平面向量数量积的坐标运算答案
一、单选题
1．已知(2,1),(1,1)a b =-=-，则(2)(3)a b a b +⋅-等于（） A ．10 B ．－10 C ．3 D ．－3
【答案】B
【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出2,3a b a b +-，再根据向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】因为(2,1),(1,1)a b =-=-， 所以2(4,3),3(1,2)a b a b +=--=-，
所以(2)(3)4(1)(3)210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-. 故选：B.
2．已知()()()1,1,2,5,3,a b c x ===，若()
830a b c -⋅=，则x 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得x 的值. 【详解】由于()()
86,3,830a b a b c -=-⋅=， 所以63330,4x x ⨯+==. 故选：C
3．已知向量()2,1a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b 等于（） A 5B 10C ．5 D ．25
【答案】C
【分析】对52a b +=两边同时平方，化简可得22250a a b b +⋅+=，再将2
5a =，10
a b ⋅=代入化简即可得出答案. 【详解】∵()2,1a =，∵2
5a =，
又52a b +=， 所以()(
)
2
2
52
50a b
+==，
即22250a a b b +⋅+=， ∵5＋2×10＋2
b ＝50， 所以2
b ＝25，即b ＝5. 故选：C.
4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =-，()1,1b =，则AB 与a b -的夹角的余弦值为（） A
．B
． C
D
【分析】由平面向量的坐标运算求得AB ，a b -，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =-，()3,0a b -=-，
则AB 与a b -的夹角的余弦值为(
)()()2
21312AB a b
AB a b
⋅-⨯-+=
-+-故选：A ．
．边长为2的正ABC 中，G 为重心，P 为线段上一动点，则AG AP ⋅=（）A ．1
B ．2
C ．()()BG BA BA BP -⋅-
D ．2
()3
AB AC AP +⋅
为ABC
的重心，所以为线段BC 所以23
(0,3
AG =-
，(,AP x =-，则0AG AP x ⋅=⋅
故选：B ．
a 与
b 相互垂直，()6,8a =-，5b =，且b 与向量(1则b =（） A ．()3,4--
B ．()4,3
C ．()4,3-
D ．()4,3--
【答案】D
【分析】设(),b x y =，则由题意得22680
25x y x y -=⎧⎨+=⎩
，解出方程，检验即可.
【详解】设(),b x y =，则由题意得220
5a b x y ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩，即2268025x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得43x y =⎧⎨=⎩
或43x y =-⎧⎨=-⎩，
设()1,0c =，当()4,3b =时，此时4
cos ,05
b c b c b c
⋅=
=>， 又因为向量夹角范围为[]0,π，故此时夹角为锐角，舍去； 当()4,3b =--时，此时4
cos ,05b c
b c b c
⋅==-<，故此时夹角为钝角，
故选：D.
，则AO AP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．3【答案】C
【分析】由条件可知点P 的方程，三角换元写出P 点坐标，用坐标表示AP ，AO ，坐标运算向量的数量积，根据角的范围即可求出最大值.
【详解】解：点P 在以()0,1为圆心的单位圆上，所以点P 的方程为()2
211x y +-=，设P
[)cos ,0,2π1sin x y θ
θθ=⎧∈⎨
=+⎩
，则()cos 2,1sin AP θθ=++，()2,0AO =，所以[]2cos 42,6AO AP θ⋅=+∈，即AO AP ⋅的最大值为6.
故选：C
8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点
为5,02M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥，则A =（）
A B C ．D ．10
由0NM NP ⋅=解得，所以2π6ω=π
2，所以π6ϕ=，则NM NP ⋅=5,2⎛ ⎝二、多选题
9．已知向量(2,1),(,1)a m b m =-=，则下列结论正确的是（） A ．若a b ∥，则2m = B ．若2m =，则a b ∥ C ．若a b ⊥，则13
m = D ．若13
m =，则a b ⊥
【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案【详解】由a b ∥，得2m -正确；由a b ⊥，得2m +BCD.
10．已知向量()()()
1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为
3π4
C ．1
72
a b +=
D ．a 在b 方向上的投影向量是1,2
【答案】BD
【分析】根据向量的加法求出a b +，由两个向量垂直，数量积为零，求出y ，然后逐一判
断各选项，a 在b 方向上的投影向量为
()2
a b b
b
⋅⋅.
【详解】已知()()1,3,2,,a b y ==则()3,3a b y +=+，
()a b a +⊥，()31330y ∴⨯+⨯+=，4y =-，()2,4b =-，故A 错误；
12342cos ,21020a b a b a b
⋅⨯-⨯=
=
=-⋅⋅，所以向量,a b 的夹角为3π4
，故B 正确；
()()()1
1,31,22,12a b +=+-=，152a b ∴+=，故C 错误；
a 在
b 方向上的投影向量为
()()
2
1,2a b b b
⋅⋅=-，故D 正确.
故选：BD. 11．已知向量(
)
()()()3,1,cos ,sin 0π,1,0a b c θθθ=
=≤≤=，则下列命题正确的是（）
A ．a b ⋅的最大值为2
B ．存在θ，使得a b a b +=-
C ．向量31,33e ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭是与a 共线的单位向量 D ．a 在c 3c 【答案】ABD
【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断； B.利用数量积公式，可得0a b ⋅=，即可求解θ； C.根据模的公式，计算e ，即可判断； D.根据投影向量公式，即可计算求值.
【详解】对于A 选项，π3cos sin 2sin 3a b θθθ⎛
⎫⋅=+=+ ⎪⎝
⎭，
当ππ32
θ+
=，即π
6θ=时取最大值2，故A 正确；
对于B 选项，要使a b a b +=-，则0a b ⋅=， 则tan 3θ=-，因为0πθ≤≤，所以2π
3
θ=
，故存在θ，使得a b a b +=-，故B 正确；
选项，因为33e ⎛=- ⎝所以向量e 不是单位向量，故选项，因为()1,0c =为单位向量，则a 在c 上的投影向量为3||
a c
c c c ⋅⋅=，故D 正确ABD .
12．已知向量(cos ,sin m αα=，()cos ,sin n ββ=，且()1,1m n +=，则下列说法正确的是（） A ．22
1m n += B ．()cos 0αβ-=
C ．()sin 1αβ+=-
D ．m n -的值为即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断【详解】2
1m =，2
1n =，即有22
2m n +=，故选项β<，如图，设点A 、B 、C 的坐标为在单位圆221x y +=.
根据向量加法的平行四边形法则，四边形OACB 可得：()cos 0αβ-=，()sin 1β+=由()1,1m n +=可得：()
2
222m n
m n +=+⋅=，可得：20m n ⋅=，222
22m n m n m n -=+-⋅=，
则可得：2m n -=，故选项D 成立. 故选：BD
三、填空题
13．已知向量()()3,1,1,a b λ=-=，若2
2
2
a b a b -=+，则λ=__________.
【答案】3
【分析】求出a b -，利用模长公式列出方程，求出3λ=.
【详解】因为()2,1a b λ-=--，所以224(1)911λλ++=+++，解得:3λ=. 故答案为：3
14．已知向量()3,1a =-，(),1b t =，,45a b =，则t =______． 【答案】2
【分析】利用向量坐标夹角运用求参数. 【详解】因为,45a b =︒， 所以2312
cos ,2101
a b t a b a b
t ⋅-=
=
=⋅+，
且1
3103
t t ->⇒>，
整理得2
123203t t t ⎛⎫--=> ⎪⎝
⎭，
解得：2t =或1
2
t =-（舍去），
故答案为：2.
15．已知(1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则||a b +=______． 【答案】32
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求出x ，再利用模的坐标表示计算作答. 【详解】因为()1,2a x =-，(),1b x =且//a b ，则21x x =-，解得=1x -，有(21,3)(3,3)a x b =-=-+，
所以22|(3)332|a b -+=+=. 故答案为：32
16．已知()1,0a =，()1,1b =，则a 在b 上的投影向量为________． 【答案】11
(,)22
【分析】由投影向量的定义求结果即可. 【详解】由题意，a 在b 上的投影向量为(1,1)111(,)22||||22
b a b b b ⋅⋅=⋅=.
故答案为：11
(,)22
平面向量在坐标中的运算(习题带答案)
一．复习巩固 1、下列说法正确的是（D ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（D ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 3、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（B ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4、下列命中，正确的是（ C ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r C 、a r ＝b r ?a r ∥b r D 、｜a r ｜＝0?a r ＝0 6．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN → ＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ A ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =- b D ．a 与b 方向相反 8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC → ， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA → 共线的向量有 个 个 个 个 （ C ）
平面向量数量积的坐标运算含答案
平面向量数量积的坐标运算答案 一、单选题 1．已知(2,1),(1,1)a b =-=-，则(2)(3)a b a b +⋅-等于（） A ．10 B ．－10 C ．3 D ．－3 【答案】B 【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出2,3a b a b +-，再根据向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为(2,1),(1,1)a b =-=-， 所以2(4,3),3(1,2)a b a b +=--=-， 所以(2)(3)4(1)(3)210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-. 故选：B. 2．已知()()()1,1,2,5,3,a b c x ===，若() 830a b c -⋅=，则x 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得x 的值. 【详解】由于()() 86,3,830a b a b c -=-⋅=， 所以63330,4x x ⨯+==. 故选：C 3．已知向量()2,1a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b 等于（） A 5B 10C ．5 D ．25 【答案】C 【分析】对52a b +=两边同时平方，化简可得22250a a b b +⋅+=，再将2 5a =，10 a b ⋅=代入化简即可得出答案. 【详解】∵()2,1a =，∵2 5a =， 又52a b +=， 所以()( ) 2 2 52 50a b +==， 即22250a a b b +⋅+=， ∵5＋2×10＋2 b ＝50， 所以2 b ＝25，即b ＝5. 故选：C.
4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =-，()1,1b =，则AB 与a b -的夹角的余弦值为（） A ．B ． C D 【分析】由平面向量的坐标运算求得AB ，a b -，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =-，()3,0a b -=-， 则AB 与a b -的夹角的余弦值为( )()()2 21312AB a b AB a b ⋅-⨯-+= -+-故选：A ． ．边长为2的正ABC 中，G 为重心，P 为线段上一动点，则AG AP ⋅=（）A ．1 B ．2 C ．()()BG BA BA BP -⋅- D ．2 ()3 AB AC AP +⋅ 为ABC 的重心，所以为线段BC 所以23 (0,3 AG =- ，(,AP x =-，则0AG AP x ⋅=⋅ 故选：B ． a 与 b 相互垂直，()6,8a =-，5b =，且b 与向量(1则b =（） A ．()3,4-- B ．()4,3 C ．()4,3- D ．()4,3--
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷(有详细答案)
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷 一、选择题 1、（2007?辽宁）若向量a与b不共线，a?b≠0，且，则向量a与c的夹角为（D） A、0 B、 C、D、 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求 一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律． 解答：解：∵ = =0 ∴向量a与c垂直， 故选D． 点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的． 2、（2007?上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 分析：根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是． 解答：解：∵ （1）若A为直角，则； （2）若B为直角，则； （3）若C为直角，则． ∴k的可能值个数是2，
故选B 点评：能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题． 3、已知△ABC中，，则 △ABC的面积为（C） A、2 B、 C、D、 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角。 专题：计算题。 分析：由=（cos23°，sin23°）， =（2cos68°，2sin68°），知和x轴成23°角，和x轴68°角，由此能求出和，再由正弦定理能求出ABC的面积．解答：解：∵=（cos23°，sin23°）， =（2cos68°，2sin68°）， ∴和x轴成23°角，和x轴68°角， ， =2， ∴△ABC的面积S==． 故选C． 点评：本题考查平面向量的坐标表示，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式、正弦定理的灵活运用． 4、已知点A（3，0），B（﹣，1），C（cosa，sina），O（0，0），若||=，a∈（0，π），则与的夹角为（D） A、B、 C、D、 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的模；三角函数的恒等变换及化简求值。专题：计算题。
高中数学：第二章 平行向量242 Word版含答案
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直． 知识点一平面向量数量积的坐标表示 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量． 思考1i·i，j·j，i·j分别是多少？ ★答案★i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0. 思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b. ★答案★∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2. 思考3若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？ ★答案★a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考1若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示． ★答案★∵a＝x i＋y j，x，y∈R， ∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2 ＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2， ∴|a|＝x2＋y2.
平面向量的数量积(讲义及答案)
平面向量的数量积（讲义） ?知识点睛 一、向量的数量积 1.向量的夹角 ??→??→ （1）定义：已知两个非零向量a 和b，作OA =a ，OB =b ，则就是向量a 与b 的夹角． （2）图示： （3）范围：． （4）共线与垂直： 若θ=0°，则a 与b ； 若θ=180°，则a 与b ； 若θ=90°，则a 与b ，记作． 2.数量积 （1）定义：设两个非零向量a，b 的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积，记作a ?b ． 几何意义：a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影 的乘积． （2）性质：设a，b 都是非零向量，则a⊥b ? ?．当a 与b 同向时，a ?b =a ?b ； 当 a 与 b 反向时， a ?b =-a ?b ． a ?a= ?或a = ．cos θ= ． a ?b≤． （3）运算律 交换律：a ?b =b ?a ； 数乘结合律：(λa) ?b = = ； 分配律：a ?(b +c) = ． 1
二、向量的坐标表示及运算 1.坐标运算 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a ?b = ?，a = ?， cos θ= ． 2.向量位置关系与坐标 a⊥b ? ?? ?．
10 ? 精讲精练 1. 已知 a ，b ，c 是三个非零向量，则下列命题： ① a ? b = ± a ? b ? a ∥ b ； ②a ，b 反向? a ? b = - a ? b ； ③a ⊥b ? a + b = a - b ； ④ a = b ? a ? c = b ? c ⑤ a ? b = a ? c ? b = c 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 已知 a =3 ， b =4 ，a 与 b 的夹角为 120°，则a ? b = ?， a 2- b 2= ，(2a -b ) ? (a +3b )= ， a + b = ?． 3 . 已知两个单位向量 a ，b 的夹角为 60°，c =t a +(1-t )b ，若b ? c = 0 ，则 t 的值为 ． 4 . 已知 e 1，e 2 是夹角为 120°的两个单位向量，a =e 1-2e 2，b =k e 1+e 2，若a ? b = 0 ，则实数 k 的值为 ． 5 . 已知平面向量 a ，b ， a =1 ， b =2 ，若 a ⊥(a -2b )， 则 2a + b = ?． 6 . 已知向量 a ，b 的夹角为 90°，且 a =1 ， 2a - b = ，则 b = ?．
2021年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精选练习(含答案)
2021年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》 精选练习 一、选择题 1.已知向量a=(0，－23)，b=(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B.3 C.－ 3 D.－3 2.设x ∈R ，向量a=(x,1)，b=(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b|=( ) A. 5 B.10 C.2 5 D.10 3.已知向量a=(2,1)，b=(－1，k)，a ·(2a －b)=0，则k=( ) A.－12 B.－6 C.6 D.12 4.a ，b 为平面向量，已知a=(4,3)，2a ＋b=(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B.－865 C.1665 D.－1665 5.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 6.设向量a=(1,0)，b=⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A.|a|=|b| B.a ·b=22 C.a －b 与b 垂直 D.a ∥b 7.已知向量错误!未找到引用源。=(2,2)，错误!未找到引用源。=(4,1)，在x 轴上有一点P ，使错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。有最小值，则点P 的坐标是( ) A.(－3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 8.若a=(x,2)，b=(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫103，＋∞ 9.已知错误!未找到引用源。=(－3,1)，错误!未找到引用源。=(0,5)，且错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。 (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，294 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－294 二、填空题 10.设向量a=(1,2m)，b=(m ＋1,1)，c=(2，m).若(a ＋c)⊥b ，则|a|=________. 11.已知向量a=(1，3)，2a ＋b=(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ=________. 12.已知向量a=(3，1)，b 是不平行于x 轴单位向量，且a ·b=3，则向量b 坐标为______. 13.平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，
平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
平面向量的数量积及向量的应用习题及详解 （理）（2010 •四川广元市质检）已知向量a= （2,1）,b= ( —1, 2)，且m= ta+ b, n= a —kb(t、k€ R)，则 、选择题 1.（文）（2010 •东北师大附中）已知|a| = 6,b|= 3,a・b=—12,则向量a在向量b方向上的投影是（ A. —4 B. 4 ［答案］A a - b —12 ［解析］a在b方向上的投影为仃厂=—厂=—4. 1 b| 3 （理）（2010 •浙江绍兴调研）设a • b= 4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1, 与b的夹角等于（ ）2n 或"a ［答案］B ［解析］由条件知, …=2心=1 a・b= 4 | b| , |a| , , |b| = 2, ••• cos 〈a,b>= a• b=丄=1 |a| •I b| 4x2 2' 2 .（文）（2010 •云南省统考）设e1, e2是相互垂直的单位向量，并且向量a= 3&+ 2e2, b = xe1 + 3e2, 如果 a L b,那么实数x等于（ ）9 A.— 2 D. 2 ［答案］C ［解析］由条件知| = | e2| = 1, e1 • e2= 0, •- a • b= 3x + 6= 0,二x=— 2. m L n的充要条件是（ ）A. t + k = 1.t • k= 1 ［答案］D ［解析］ m= ta+ b= (2 t —1, t + 2) , n= a—kb= (2 + k, 1 —2k), •/ rnL n,「. m- n= (2t —1)(2 + k) + (t + 2)(1 —2k) = 5t —5k= 0,「. t —k= 0. 3.(文)(2010 •湖南理)在Rt△ ABC中，/ C= 90,AC= 4,^UAC等于( ) A. —16D . 16 ［答案］D ［解析］因为/ C= 90°,所以A C- CB= 0，所以AB- A C=(心C B • AC= | AC|2+ A C- CB= AC= 16.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(同步练习)(附答案)—高一下学期数学必修第二册
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（同步练习） 一、选择题 1.已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,0)，且(a ＋c )⊥(a －b )，则m ＝( ) A ．3＋10 B ．3－10 C ．3±10 D ．－3±10 2.a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a·b 等于( ) A .23 B.57 C.63 D.83 3.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B.－17 C.16 D.－16 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD → ＝(2,1)，则AD →·AC → ＝( ) A .5 B.4 C.3 D.2 5.设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y)，若a ∥b ，则|2a －b|等于( ) A .4 B.5 C.3 5 D.45 6.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A .(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，＋∞ C .(－∞，－2) D.(－2,2) 7.已知向量a ＝(2,0)，a －b ＝(3,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b ) D ．|a |＝|b | 8.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 9.(多选)已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，a ，b 的夹角为θ，b 方向上的单位向量为e ，则( ) A.b ＝(5,12) B.a ·b ＝16 C.cos θ＝1665 D.a 在b 上的投影向量为1613e
平面向量的数量积及应用(含答案)
平面向量的数量积及应用 ［基础知识］ 1向量数量积的定义： (1) 两个向量的夹角：已知两个非零向量a、b,作OA = a、OB = b,则—称作向量a和向量b的夹角，记 作〈a，b>，并规定其范围是当〈a，b>= _________ 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作________ . ⑵数量积的几何意义：数量积 a b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos B的乘积. (3)向量数量积的定义：__________________ . 2 ⑷向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则 a e= e a= __________ :②a丄b? ______ :③a a = |a| 或|a|= ____ :④ cos
向量的数量积经典例题(含详细答案)
向量的数量积经典例题（含详细答案） 1．已知 a 3,b 4，a r ,b r的夹角为120o. r r r r r r 求( 1) r agb r， a 2b 2a b ；(2) 2a 3b r r 2 r r 2．已知向量a、b的夹角为3 ,|a r | 1,|b| 2. 3 （1）求a r·r b的值 （2）若2a r b r和ta r b r垂直，求实数t的值. 3．已知平面向量a 1,2 ,b 2,m （1）若r a b r，求 a 2b ； （2）若m 0，求r a b r与a r b r夹角的余弦值. 4．已知向量r a (2, 1),b r (3, 2),c r (3,4) ，( 1)求a r (b r r c) ； (2)若(r a b r )∥r c ，求实数的值.
5．已知| a r | 2，|b r| 3，且（2r a 3b r）（a r b r） 2. （1）求 a b 的值；（2）求a r与r b所成角的大小. 6．已知 a 1,2 ，b 3,4 （1）若 ka b与a 2b 共线，求k； （2）若 b r与 a 2b垂直，求k. ka r r r r r r r r r r r 7．已知 a 2,b 3,a与b r的夹角为60 ,c 5a 3b r ,d r3a kb r, (1)当c v Pd v时，求实数k的值； (2)当c r d ur时，求实数k的值.
参考答案 1．（1）6，32；（2）6 3． 【解析】 【分析】 （1）根据向量数量积的定义进行求解； r r r r 2 （2）根据2a 3b 2a 3b 2先求数量积，再求模长． 【详解】 r r r r 解：（1）∵ a 3,b 4，a r,b r的夹角为120o， r r r r 1 ∴ agb a b cos120 3 4 （） 6 ， 2 r r r r r 2r2r r a 2 b 2a b 2a r 22b r23a r g r b 2 9 2 16 3 （6）32； r r r r 2r2r2r r （2）2a 3b2a 3b = 4a r 29b r212a r gb r49 9 16 12 （ 6）6 3．【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的定义及平面向量的模长，考查计算能力，属于基础题． 2．（1）1；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可． r r r r （2）利用2a b gta b 0可求实数t 的值． 【详解】 rr 1) a b r r2 1 a b cos 12 1 3 2 2）因为2a r r 2 r r r2 整理得到：2ta 2 t agb b 0即2t 2 t 1 2 1 4 0 ，2 解得t 2 ． 【点睛】 本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量a v,b v垂直的等价条件是a v b v0， ra t g
高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析 1.若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝______. 【答案】 【解析】由向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，得，从而，，故；故应填入：． 【考点】向量平行． 2.已知, , 且, 则等于 ( ) A．－1B．－9C．9D．1 【答案】C 【解析】由得，得。 【考点】平面向量的坐标运算、平面向量平行的充要条件 3.设向量，则向量与向量共线的充要条件是_________; 【答案】 【解析】由题意可知，向量与向量共线，则，故. 【考点】1.向量的加法坐标运算；2.向量共线的充要条件. 4.已知向量，.若，则的值是( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为向量，，则，所以解得.故选A.本小题解题的关键是向量的坐标形式的数量积的计算，通过运算解出相应的未知数的值. 【考点】向量的坐标形式的数量积. 5.两个向量，的夹角大小为 . 【答案】 【解析】由向量坐标形式的夹角公式为.所以 .由于.所以.故填.本小题的关键是向量所成 的角的取值范围以出错. 【考点】1.向量的坐标形式.2.向量的夹角的计算公式.3.向量的夹角的取值范围. 6.已知，，若，且,则实数分别为( ) A．B．C．D． 【答案】B 【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.
【考点】空间向量的坐标运算. 7.已知，，若，且,则实数分 别为( ) A．B．C．D． 【答案】B 【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得. 【考点】空间向量的坐标运算. 8.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2． 【解析】由三点共线得向量与共线，即，， ，解得，，∴． 【考点】空间三点共线． 9.在，角所对的边分别为，向量，且。（1）求的值；（2）若，求的值。 【答案】（1）（2） 【解析】（1），或 又， （2），，又 当时，由余弦定理得；当时，由余弦定理得 【考点】本题考查了向量的运算及二倍角公式、余弦定理等 点评：此类问题比较综合，不仅考查了学生对向量的坐标运算、二倍角公式的变形及运用，还考 查了正余弦定理的运用，考查了学生的综合分析能力及解题能力 10.已知向量.若与的夹角为，则实数 . 【答案】-3 【解析】根据. 【考点】空间向量的数量积. 点评：空间向量的数量积的定义. 11.设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 . 【答案】 【解析】由于与在方向上的投影相同,所以 ． 【考点】向量投影的定义以及向量的数量积定义． 点评：解本小题的关键是确定在向量上的投影为：，从而可得,问 题得解.
向量数量积精选含答案
向量数量积精选 1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ） 【答案】B 2．ABC ∆中，3π =A ，3=AB ，8=AC ，则=BC . 【答案】7 3．在三角形ABC 中，若A=60°，AB=4，AC=1，D 是BC 的中点，则AD 的长为 ． ． 4．在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-，2=AB ，1=AC ，E ，F 为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=（ ） A ．89 B ．910 C ．925 D ．926 5．已知向量)sin ,2(),1,(cos αα-==，若b a ⊥，则=- )42tan(πα A ．3 1- B ．3- C ．31 D ．7 【答案】D 6．设3 11(2sin ,),(, cos )264 a x b x ==,且//a b ,则锐角x 为（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．512π 【答案】C. 7．设,x y R ∈，向量(,1)a x =r ，(1,)b y →=，(2,4)c →=-，且a c →→⊥，//b c →→，则 ||a b →→ +=_____________. 8．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的 取值范围是 ． 【答案】9λ<且1x ≠- 9．O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形 D ．斜三角形 【答案】C 10．在ABC ∆中，若2=++AB AB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 【答案】D 11．（本题满分14分）已知向量1(2=- a ，(2cos ,2sin )θθ= b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小； （2）若+=a b b ，求sin θ的值． 【答案】（1）2π3θ=；（2； 【解析】 试题分析：（1）由向量共线的坐标表示得到关于θ的方程进而求解；（2）将向量模的关系式转化为数量积的关系式，用坐标表示数量积则可得到关于θ的方程，接下来可以用方程组求解sin θ，也可通过配角求解； 试题解析：（1） 因为//a b ，所以12sin 2cos 2θθ-⋅=，即sin θθ-=， 所以tan θ= 又0πθ<<，所以2π3θ= ． （2）因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得220+⋅=a a b ， 又1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a ，cos θθ⋅=-a b ， 1cos 2θθ=- -，则π1sin()064θ-=-<， 又0πθ<<，π cos()6θ-= 所以ππππππsin[()]sin()cos cos()sin 66i 66n 6s 6θθθθ-+ =-+-==． 12．已知)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos θθC ，O 为坐标原点. （1）13 AC BC ⋅=-，求θ2sin 的值； （2）若7||=+OC OA ，且)0,(πθ-∈，求与的夹角.
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析 1.已知是同一平面内的三个向量，其中. （Ⅰ）若，且，求向量； （Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）因为是在坐标前提下解决问题，所以求向量，即求它的坐标，这样就必须建立 关于坐标的方程；（Ⅱ）求与的夹角的正弦值，首先应想到求它们的余弦值，如何求， 还是要建立关于它的方程，可由与垂直关系，确立方程来解决问题. 试题解析：（Ⅰ），可设， 1分 ∴，， 2分 ∴ 4分 ∴或. 6分 （Ⅱ）∵与垂直，∴，即 8分 ∴，∴， 10分 ，所以与的夹角的正弦值 12分 【考点】平面向量的坐标运算和向量之间的关系. 2.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界） 上 （1）若，求； （2）设，用表示，并求的最大值. 【答案】（1），（2）1. 【解析】（1）本小题中因为思路一即化为坐标运算： 从而求得x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算： 即可求得模长；（2）本小题因为所以 则，两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,以下把问题转化为目标函数为 t的线性规划问题加以解决. 试题解析：（1）解法一：又 解得x=2,y=2,即所以 解法二：则,所以所 以 （2），两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.
【考点】平面向量的线性运算与坐标运算；线性规划问题. 3.已知 (1)若，求x的范围； (2)求的最大值以及此时x的值. 【答案】(1);(2),或 【解析】(1)先利用向量的数量积的坐标表示把的解析式表示出来，得 ，然后解关于的一个一元二次不等式得到的范 围，然后再解三角不等式即可。（2）用换元法求的最大最小值，然后求的取值即可。 试题解析：解：（1）由题意，即， ； （2）∵ 令，则， 当，即或时，. 【考点】1、向量的坐标运算；2、三角不等式；3、换元法求函数的最值； 4.已知点，，向量，若，则实数的值为． 【答案】4 【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4 考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件 5.已知向量，，函数. (1)若，求的最大值并求出相应的值； (2)若将图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的倍，横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位得到图象，求的最小正周期和对称中心； （3）若，求的值. 【答案】（1），；（2），（3）。 【解析】根据向量数量积的坐标运算，可得，（1）由求出的 范围，再利用正弦函数的单调性去求的最大值并求出相应的值；（2）由伸缩变换、平移变换可得 ；（3），由，再利用 求出，再利用两角差的正弦公式得。
平面向量的数量积练习题含答案
平面向量的数量积练习题 一、选择题 2 1已知|b| = 3, a在b方向上的投影是3,则a • b为() C. 3 D. 2 解析：由数量积的几何意义知所以a • b= 3X3= 2. 3 答案：D 2. 设向量a, b 满足| a+ b| = ,10, | a- b| =/6，则a • b=( ) A 1 B. 2 C. 3 D. 5 解析：因为| a + b| 2= (a+ b) —a + b2+ 2a •b = 10, | a—b| 2= (a—b)2= a + b2— 2a・b = 6,两式相减得：4a・b = 4,所以a 7 = 1. 答案：A 3. 已知向量a, b满足| a| = 2, | b| = 1, a • b= 1，则向量a与a —b的夹角为() 解析：| a- b| = (a—b) 2= a2+ b2—2a •b = 3,设向量a 与a—b 的夹角
又B € [0 ,n ]，所以 答案：A 4. （2015 •陕西卷）对任意向量a , b ,下列关系式中不恒成立的是（ ） A. | a • b | <| a || b | B . |a -b | < || a | - |b || 2 2 C. (a + b ) = | a + b | 2 2 D . (a + b ) •(a -b ) = a - b 解析：根据 a ，b = |a || b |cos B ,又 cos 9 < 1,知 | a •b l <| a || b | , A 恒成立.当 2 2 向量a 和b 方向不相同时，| a - b |>|| a | — | b || ,B 不恒成立.根据| a + b | = a + 2a •b + b 2= (a + b )2, C 恒成立.根据向量的运算性质得(a + b ) •(a -b ) = a 2-b 2, D 恒成立. 答案：B 5. 若 向量a 与b 的夹角为60°,| b | = 4,且(a + 2b ) •(a -3b ) = — 72,则a 的模为( ) A. 2 B . 4 C. 6 D. 12 2 2 解析：因为(a + 2b ) •( a - 3b ) = a - a •b = 6b = |a |2-1 a | •I b |cos 60 ° - 6|・b |2 = | a |2 - 2|a | - 96 = — 72, cos a •( a — b ) I a || a -b | 22- 1 = 3 2X 3 2 ，
平面向量数量积运算专题(附答案)精编版
平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014天津)已知菱形ABCD 的边长为2，/ BAD = 120°点E , F 分别在边BC , DC 上，BC = 3BE , DC =入DF 若A E A F = 1,贝U 入的值为 _______ . ⑵已知圆O 的半径为1 ,PA,PB 为该圆的两条切线，A, B 为切点，那么PA PB 的最小值为( ) A. — 4+ . 2 B. — 3+ 2 C. — 4 + 2 2 D. — 3+ 2 ,2 变式训练1 (2015湖北)已知向量OA 丄AB , |OA|= 3，则OA OB = ____________ 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 (1)(2015重庆)若非零向量a , b 满足|a |=弩2》，且(a — b )丄(3a + 2b )，则a 与b 的夹角 i )已知A , B , C 为圆O 上的三点，若AO =；AB + AC),则A B 与 AC 的夹角为 n A.; n B.2 3 n C G D. n (2)若平面向量 a 与平面向量 n b 的夹角等于3, |a |= 2, |b |= 3,则2a — b 与a + 2b 的夹角的余弦 3 值等于( ) 1 A — A.26 一 1 B. — 26 C.12 变式训练2 (2014课标全国
题型三利用数量积求向量的模 例3 （1）已知平面向量a和b, |a|= 1, |b|= 2,且a与b的夹角为120°，则|2a + b|等于（ ） A.2 B.4 C.2 . 5 D.6 （2）已知直角梯 形 ABCD 中，AD // BC, / ADC = 90 ° AD = 2, BC= 1 , P 是腰DC 上的动点, 则|PA+ 3PB|的最小值为________ . 1 变式训练3 （2015浙江）已知& ,2是平面单位向量，且e1 •> =若平面向量b满足b e1 = b e2 =1，则|b|= _________ . 高考题型精练 1.（2015山东）已知菱形ABCD 的边长为a,/ ABC = 60 °,则BD CD等于（） A 3 2 A. —?a o 3 2 B. —a 4 3 2 Cja2 4 3 2 D.2a 2.（2014 浙江）记max{x,y}= y,min{x,y} = A * 设a,b为平面向量，则（） y, x
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析 1.已知，向量与垂直，则实数的值为（） A．B．3C．D． 【答案】A 【解析】因为所以 又向量与垂直，所以，，即，解得： 故选A． 【考点】向量的数量积的应用． 2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( ) A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1) 【答案】D 【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D 【考点】平面向量坐标运算. 3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 . 【答案】 【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得． 【考点】向量的坐标运算． 4.已知，,如果∥，则实数的值等于（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由题意，即. 【考点】向量平行的充要条件. 5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____ 【答案】或 【解析】设，所以，因为垂直于轴； 所以，解得，或. 故答案为或 【考点】向量的坐标表示；向量垂直. 6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________． 【答案】 【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝
＝＝． 7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（） A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2） 【答案】C 【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0）， ∴||=5， +=（7，3）， ∴||•（）=5（7，3）=（35，15） 故选C． 8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（） A．B．C．5D．25 【答案】C 【解析】∵|+|=，||= ∴（+）2=2+2+2=50， 得||=5 故选C． 9.若向量，则( ) A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7） 【答案】B 【解析】解： 所以选B． 【考点】向量的运算． 10.已知平面向量，，那么等于（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】，所以，故选B. 【考点】平面向量的坐标运算 11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于 （） A．B．C．D．3 【答案】D. 【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D. 【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.
高中数学必修二 专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)(含答案)
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积 一、考情分析 二、题型分析 (一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ） A ． B ． C ． D ． 12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2 e e ==
【答案】B 【解析】对于，与共线，不能作为基底； 对于，与不共线，能作为基底； 对于，与共线，不能作为基底； 对于， 与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ） A ．与 B ．与 C ．与 D ．与 【答案】C 【解析】 由是平面内的一组基底，所以和不共线， 对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项C ：与不共线，能作为基底. 故选：C ． A 114220,e ⨯-⨯=∴2e B ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2e C ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2e D 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214 e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128 e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -