倒易点阵复习材料

例题

2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵

是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]

选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，

()1???2a

a x y z =

+- ()2???2a

a x y z =-++ ()3???2a

a x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，???,,x

y z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积()31231

2c V a a a a =??=

根据式(2．1)计算倒易点阵矢量

123231312222,,c c c

b a a b a a b a a V V V πππ=

?=?=? ()2

123?????22

2222

22c x

y z

V a a a a b a a x

y a a a π=?=-=+- ()2

231?????22

2222

22c x

y z

V a

a a a

b a a y

z a a a π=?=-=+- ()2

312?????22

2222

2

2

c x

y z

V a

a a a

b a a z

x a a a π=?=-=+-

于是有：

()()()123222??????,,b x y b y z b z x a a a

πππ

=

+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．

同理，对面心立方点阵写出初基矢量

()1??2a

a x y =

+ ()2??2a

a y z =+ ()3??2a

a z x =+ 如图1.10所示。

初基晶胞体积()31231

4c V a a a a =??=。

根据式(2．1)计算倒易点阵矢量

()()()123222?????????,,b x y z b x y z b x y z a a a

πππ

=

+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．

2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()3

2/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．

[证明]

(a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b b b ??．由式(2．1)知，

123231312222,,c c c

b a a b a a b a a V V V πππ=

?=?=? 此处

()123c V a a a =?? 而

()()()(){}

22

2331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ????

?=???=??-?????? ? ?????????

这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ???=??-??????????。 由于()3110a a a ??=，故有

()2

2331212c b b a a a a V π???=???? ?????

而

()312c V a a a =?? 故有

2

2312c b b a V π???= ???

()

()()()

()2

3

3

12311

1232

222c

c

c

b b b a b a a a V V V πππ??=

?=

??=

或写成

()()()

3

1231232b b b a a a π??=

??

倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的()3

2π倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量123,,a a a 满足关系

()()()

233112

1231231231232,2,2b b b b b b a a a b b b b b b b b b π

ππ???===??????

有前面知：

()2

23

12c

b b a V π?=

令()()()

2231112312321

22c b b c a b b b V b b b πππ???==??????????

又知 ()()3

12312c

b b b V π??=

，代入上式得：

()()3

1

11322c c

V c a a V ππ??

=

=??????

同理 ()

31

221232b b c a b b b π

?==??

()

12

331232b b c a b b b π

?==??

可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．

2．3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量()123G hkl hb kb lb =++垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d (hkl)为：

()()

2d hkl G hkl π

=

(c) 证明对初基矢量123,,a a a 互相正交的晶体点阵，有

(

)d hkl =

(d) 证明对简单立方点阵有

(

)d hkl =

证明

(a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC 在三个晶轴上的截距分别是123,,a h a k a ． 现要证明G(hkl)垂直于ABC ，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC 上的两个矢量CA 和CB 即可．

31a a CA h l =

-，32a a CB k l

=- 用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得

()()3311123130a a a a G hkl CA hb kb lb hb lb h l h l ??

?=++?-=?-?= ???

同理，()0G hkl CB ?=

故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)． (b) 点阵平面(hkl)的面间距d (hkl)为

()()()()()

123112?G hkl hb kb lb a a d hkl OA n

h h G hkl G hkl G hkl π

++=?=?=?=

(c) 如果晶体点阵的初基矢量123,,a a a 彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．

设 112233???,,b b x

b b y b b z === 由倒易点阵基矢的定义

()()()123231312222,,c c c

b a a b a a b a a V V V πππ

=

?=?=? 及 123c V a a a =得

1122332,2,2b a b a b a πππ===

()()()()

()

2

22222222

2

12322212312322h k l h k l G hkl hb kb lb a a a a a a π????

????=++=

++=++ ?

? ? ???????

??

于是面间距为

()(

)2221232d hkl G hkl h k l a a a π=

=

??

????++ ? ? ???????

(d) 对立方晶系中的简单立方点阵，123a a a a ===，用(c)的结果可得

()2

2

2

d hkl h k l

=

++

2．4 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB ＝4，AC =3，夹角BAC ＝3π的平行四边形ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．

[解] 解法之一

参看图2．4，晶体点阵初基矢量为

1?4a x

= 2333??2a x y =

+

用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量12,b b 。设

111222????,x y x y b b x

b y b b x b y =+=+ 由111221222,0,0,2b a b a b a b a ππ?=?=?=?= 得到下面四个方程式

()11???42x y x

b x b y π?+= (1)

()113????022x y x y b x b y ??

+?+= ? ???

(2) ()22???40x y x

b x b y ?+= (3)

()223????222x y x y b x b y π??

+?+= ? ??

?

(4) 由式(1)得： 1142,2

x x b b π

π==

由式(2)得：

113022x y b b +=，即130222

y b π?+= 解得：

1y b =由式(3)得： 2240,0x x b b ==

代入式(4)得：

222,2y y b π==

于是得出倒易点阵基矢

12???,2

b x

y

b y π

=

= 解法之二

选取3a 为?z

方向的单位矢量，即令 3?a z

= 于是初基晶胞体积c V 为

1233????422c V a a a x x y z ??

=??=?+?= ? ??

?

倒易点阵基矢为

()

12323?????22c b a a x y z x y V ππ??=?=?=-???

()

2312?c b a a y V π=

?=

()3122?2c

b a a z

V π

π=

?= 对二维点阵，仅取??,x

y 两个方向，于是得 12???,2

23

33

b x

y

b y π

=

-= 2．5 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为

12333?????,,22a a a a x y a a x y a cz ????????

=+=-+= ? ? ? ? ? ?????????

(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c 和43a π

，并且相对于正点阵转动了30?角；

(b)当比率c ／a 取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c ／a 比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?

(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积． [解]

(a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．

12333?????,,22

a a a ax y a ax y a cz =

+=-+= 初基晶胞体积为

(

)23122

c V a a a a c =??=

倒易点阵初基矢量为

123???222??2

220

c c x

y z

a a

b a a x y

V V a c

πππ

=

?=-=+

231??22??00

2

c y z

b a a

c x y

V a a ππ

=

?==+

312???222?020

2

c c

x

y z a b a a z V V c

a ππ

π

=

?== 或写为

123??2???,,22x x b y b y b z c π

????=+=-+=??????

同正点阵初基矢量

123?????,,222

2y y a a x a a x a cz ????=+=-+= ? ? ? ????? 比较看出，123,,b b b 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c π

和

4，并相对于正点阵绕c 转动了30?角(见图2．6)。

(b)设倒易点阵的点阵常数比为c a **，出(a)可知

3242

3a c a c c a ππ

**=

=

若c a c a **=，则有223

3

0.9312

2

c a c a =

== 故当正点阵的c a 3

2

倒易点阵的c a **和正点阵的c a 有相同值。 若正点阵c ／a 8

3

c a **为 3

0.532

c a a c **=

= 故当正点阵的c ／a 为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53．

(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的W —S 晶胞．显然为一六角正棱柱(如图2．7)，其体积为

()3

3

2

23c

V a c

πΩ=

=即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为

()3

1232

3b b b a c

Ω=??=

2．6 底心正交点阵的倒易点阵 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵．

[证明]

底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为

12311

????,,22

a ax

a ax by a cz ==+= 初基晶胞体积为

2

c abc V =

倒易点阵基矢为

12323131221

12422????2,,c c c b a a x

y b a a y b a a z

V a

b V b V

c ππππππ??

=

?=-=?==?= ???

由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为

4,4,2a b c πππ。

2．7 三角点阵的倒易点阵 三角点阵初基矢量具有相等长度a ，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为

a *。

()12

212cos cos a a

πθθ-*

*=+

其中θ*是倒易点阵初基矢量间的夹角，θ*满足

-cos

θ*＝cos θ／(1+cos θ) [证明]

三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为

123???cos sin ???cos cos cos a ax

a a x a y a a x a y a z θθαβγ=?

?

=+??=++?

(1) 参见图2.10，cos ,cos ,cos αβγ是3a 在x 、y 、z 三个方向的方向余弦。 由

31

2cos a a a θ?= 得

cos cos αθ= (2) 由

32

2cos a a a θ?= 得

()cos 1cos cos sin θθβθ

-= (3)

于是有

()12

222212

2

cos 1cos cos [1cos cos ]1sin θθγαβθ??-=--=-??????

(4)

由倒易点阵基矢的定义可知123,,b b b 分别垂直于正点阵初基晶胞的

233112,,a a a a a a ---平面，且有相同长度，

123b b b b a *====

2

2sin c

a a V πθ*=

(5) 将 ()()3123312sin cos c V a a a a a a a θγ=??=??= (6) 代入上式得

232sin 21sin cos cos a a a a πθπθγγ

*

== (7)

123,,b b b 彼此间应有相间夹角．设12,b b 间的夹角为θ*，

12

2

cos b b a

θ**?=

()()2

2331212cos c a a a a a V πθ**??

=??? ???

利用公式

()()()A B C B C A C A B ??=??=?? ()()()A B C C A B A B C ??=?-? 上式化为

()()()()()2

233123312134242

cos cos sin sin 1cos a a a a a a a a a a a a a θ

θθθ

θ

*

?????-?===-

+

(8)

同理可以证明123,,b b b 任意二矢量间的夹角均为此值。

为了计算a *，利用式(4)得到

()12

122212

2

2

cos 1cos 2cos cos 1cos 112cos cos sin 1cos θθθγθθθθθ*??-??

??=--=-=+??????

+????

??

代入式(7)得

12

212cos cos a a

πθθ-**??=

+?? (9)

2.8 点阵平面上的阵点密度

(a) 证明点阵平面上的阵点密度（单位面积上的阵点数）c d V σ=，这里c V 是初基晶胞的体积，d 是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离；

(b) 证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是{111}面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是{110}面．

[证明]

(a) 考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2．11所示．设该平行六面体中包含n 个阵点，它的体积为

c V nV =

或写为

V Ad =

其中A 是所考虑的平行六面体底面的面积，d 是它的高．由以上二式得

c A

d nV =

于是点阵平面上的密度为

c

n d

A V σ=

= (b) 由(a)可知，面间距d 较大的点阵平面也有较大的阵点密度．由倒易点阵矢量与面间距d 的关系

()()

2G hkl d hkl π

=

可知，倒易点阵矢量G(hkl )越短，与之垂直的点阵平面(hkl )两点密度也就越大．

面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量

()12???b x y z a π

=

+- ()22???b x y z a π

=-++ ()32???b x y z a

π

=-+ 都是最短的倒易点阵矢量，123b b b ==，并都在立方晶胞的<111>方向，故{111}

平面有最大的阵点密度．

体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量

()12?

?b x y a π

=

+ ()22??b y z a π

=+ ()32??b x z a π

=+ 也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故{110}平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面．

2．9 单斜点阵的面间距 已知平面族(hkl)的面间距与倒易点阵矢量G(hkl)间的关系为

()()

2d hkl G hkl π

=

其中()123G hkl hb kb lb =++，试证明单斜点阵的面间距d (hkl)由下式决定

()222

2

222213132

112cos sin h l hl k d hkl a a a a a ββ??=+-+ ??? 其中123,,a a a 是单斜点阵惯用晶胞的三个边长，β为13,a a 间的夹角，90β≠?（参看图2.12） 证明：

单斜点阵惯用晶脑的几何特征是

12390,90,a a a αγβ==?≠?≠≠ 初基晶胞的体积为

()231123sin c V a a a a a a β=??= (hkl)平面族的面间距为

()()

2d hkl G hkl π

=

要计算d (hkl)，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义

23

1122sin c

a a

b V a ππ

β

?=

=

312222c a a b V a ππ

?==

12

3322sin c

a a

b V a ππ

β

?==

此外，有

()()()2

22122312233122213444cos sin c c a a a a a a a a b b V V a a πππββ

???????????===-

12230b b b b ?=?=

代入d (hkl)的表达式中得

()

2222222222131324142cos sin d hkl h l hl k a a a a a ππ

ββ??

?

???=????+-

+?? ???????

()222

2222213132

112cos sin h l hl k d hkl a a a a a ββ??=+-+ ???

2．10 外斯晶带定律 属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，

(a) 晶带轴[uvw ]与该晶带中的平面(hkl )满足关系

0uh vk wl ++=

(b) 证明晶面(111h k l )，(222h k l )，(333h k l )属于同一晶带的条件是

1112223

3

3

0h k l h k l h k l = 证明

(a) 以晶面指数(hkl)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是

()123G hkl hb kb lb =++

必定在晶面(hkl)法线方向．而晶带轴[uvw]的方向矢量为123R ua va wa =++. 既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行

()0R G hkl ?=

用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系

0,22,i j ij i j

a b i j πδπ≠??==?

=? 直接可得

0uh vk wl ++=

(b) 既然()()()111222333,,h k l h k l h k l 属于同一晶带，由(a)有

1112223

330

00

uh vk wl uh vk wl uh vk wl ++=??

++=??++=? 由于,,u v w 不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即

1112223

3

3

0h k l h k l h k l = 2．11 一个单胞的尺寸为1234,6,8,90,120a a a a βγ=====?=?，试求： (a)倒易点阵单胞基矢； (b)倒易点阵单胞体积； (c)(210)平面的面间距；

(d)此类平面反射的布喇格角(己知λ＝1．54?)． [解]

(a)画出此单胞如图2．13所示． 写出晶体点阵单胞基矢如下：

123????4,333,8a x

a x y a z ==-+= 晶体点阵的单胞体积为

()312123sin120963c V a a a a a a =??=?=( ?)3

倒易点阵单胞的基矢为

123231312222????,,24333

c c c b a a x y b a a y b a a z

V V V πππππ

??=

?==?==?= ??? (b) 倒易点阵单细体积为

()

()3

3

1232123

c

b b b V πΩ=??=

=

(?)-3

(c) 与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量()G hkl 为

()123???242323G hkl hb kb lb h x k y l z ππ?????

=++=+++ ? ? ????? ()????21033333G x y x y ππ=+=

()210G =-1

()()2210210d G π=

=

? (d)(210)面反射的布喇格角θ为

()

sin 0.53422210d λ

θ=

=

≈

()arcsin 0.534232.3θ==?

2．12 (a)从体心立方结构铁的(110)平面来的X-射线反射的布喇格角为22?，X-射线波长λ＝1．54?，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是55．8，试计算铁的密度． [解]

(a)求出(110)平面的面间距d (110)

() 1.54

110 2.0562sin 2sin 22d λ

θ

=

=

=?

?

于是求得点阵常数为

()

110 2.91a ==? (b) (111)平面的面间距为

()111 1.68

d =

=? 于是(111)平面反射的不喇格角为

()

sin 0.4582111d λ

θ=

=

()arcsin 0.45827.28θ==?

(c) 固体密度的公式为

3

ZM

a ρ=

其中a 是立方惯用晶胞边长，Z 是立方惯用晶胞中的原子数，M 为原于的质 对M 个阵点求和后，上式化为