江苏省新马高级中学高二数学上学期第一次周测试题

江苏省新马高级中学高二数学上学期第一次周测试题

使用时间2016.9.8

一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．) 1．直线013=+-y x 的倾斜角是 ▲ ．

2．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是 ▲ ． 3．如图程序运行后输出的结果为 ▲ ．

（第2题图） （第3题图） （第5题图）

4．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n= ▲ ．

5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示．在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为 ▲ ． 6．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ． 7．在区间[]2,0上随机地取一个数x ，则事件“1)2

1

(log 12

1≤+

≤-x ”发生的概率为 ▲ ． 8．过点（﹣1，2）且倾斜角为45°的直线方程是 ▲ ． 9．在平面直角坐标系xOy 中，将点A （2，1）绕原点O 逆时针旋转到点B ，若直线OB 的

倾斜角为α，则cosα的值为 ▲ ．

10．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点P （﹣2，t ），且sinθ+cosθ=

，则实

数t 的值为 ▲ ．

11．已知点A （1，4），B （4，1），直线L ：y=ax+2与线段AB 相交于P ，则a 的范围 ▲ ．

12．已知)0(1)(≥+=

x x

x

x f ，

数列{}n a 满足)1(1f a =，且)(1n n a f a =+（n ∈N +），则=2016a ▲ ．

13．在等腰直角△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M 、N 为AC 边上两个动点，且满足|MN|=

，

则

?

的取值范围是 ▲ ．

14．已知)1,0(,,41∈=

b a ab ，则b

a -+

-12

11的最小值为 ▲ ． 二、解答题（共90分）

15．(本小题满分14分) 求倾斜角是直线13+-=x y 的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： （1）经过点

(

)

1,3-；

（2）在y 轴上的截距是-5．

16.（本小题满分14分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83． （1）求x 和y 的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差s 2

；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

17．（本小题满分14分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2bsinA （Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）求cosA+sinC 的取值范围．

18．（本小题满分16分）已知向量)cos ,sin 3(x x m =，)sin ,(cos x x n =，)1,32(=p ，且0cos ≠x ．

（Ⅰ）若p m //，求n m ?的值；

（Ⅱ）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且，求

函数f （A ）的值域．

19.(本小题满分16分) 如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．

（1）求y关于x的函数解析式，并指出定义域；

（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

20．(本小题满分16分) 数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3n（n∈N*）

（1）若数列{a n+c}成等比数列，求常数c值；

（2）求数列{a n}的通项公式a n

（3）数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

高二年级第一次周测 数学参考答案2016.9.8

一、填空题： 1.

6

π

; 2.5; 3. 2; 4. 90; 5. 70; 6.54; 7.43; 8.03=+-y x ;

9.

10

10

; 10.4; 11.??????-2,41; 12.20171; 13.??

?

???2,23; 14.3244+;

二.解答题

15. 解：∵直线的方程为y=﹣x+1，

∴k=﹣

，倾斜角α=120°，

由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为．

（1）∵直线经过点（，﹣1）， ∴所求直线方程为y+1=（x ﹣

），

即

x ﹣3y ﹣6=0．

（2）∵直线在y 轴上的截距为﹣5， ∴由斜截式知所求直线方程为y=x ﹣5，

即x ﹣3y ﹣15=0．

16. 解：（1）∵甲班学生的平均分是85， ∴，

∴x=5，

∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3； （2）甲班7位学生成绩的方差为s 2

=

=40；

（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E ， 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），

（B，C），（B，D），（B，E），

（C，D），（C，E），

（D，E）

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，

甲班至少有一名学生”为事件M，则．

答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．

17. 解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，

所以，

由△ABC为锐角三角形得．

（Ⅱ）

===．

由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，

∴＜A＜，

，

所以．

由此有≤，

所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．

18. 解：(1)

52

3 2

(2)??

?

??+213,0

19. 解：（1）∵AB=y ，AB=AC+1，∴AC=y ﹣1． ∵在Rt △BCF 中，CF=x ，∠ABC=60°， ∴∠CBF=30°，可得BC=2x ． 由于2x+y ﹣1＞y ，得x

．

在△ABC 中，根据余弦定理AC 2

=AB 2

+BC 2

﹣2?AB?BC?cosB， 可得（y ﹣1）2

=y 2

+（2x ）2

﹣2y?2x?cos60°， 即（y ﹣1）2

=y 2

+4x 2

﹣2xy ，解得y=

．

∵y ＞0且x ，∴x ＞1．

可得y 关于x 的函数解析式为y=，（x ＞1）．函数的定义域为（1，+∞）．

（2）由题意，可得总造价M=3[y+（y ﹣1）]+4x=﹣3+4x ．

令x ﹣1=t ，则M=﹣3+4（t+1）=16t++25≥=49，

当且仅当16t=，即t=时，M 的最小值为49．

此时x=t+1=，y==．

答：当x 的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低．

20.解: （1）由S n =2a n ﹣3n 及S n+1=2a n+1﹣3（n+1）得a n+1=2a n +3 ∴

，∴c=3

（2）∵a 1=S 1=2a 1﹣3，∴a 1=3，a n +3=（a 1+3）?2n ﹣1

∴a n =3.2n ﹣3（n ∈N *

）

（3）设存在S，P，r∈N*，且s＜p＜r使a s，a p，a r成等差数列∴2a p=a s+a r 即2（3?2p﹣3）=（3?2s﹣3）+（3?2r﹣3）∴2p+1=2s+2r

∴2p﹣s+1=1+2r﹣s∵s，p，r∈N*且s＜p＜r

∴2p﹣s+1、2r﹣s为偶数

1+2r﹣s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项