2015江苏高考数学试卷及答案(完整版)

2015年江苏高考数学试卷

一、填空题

1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为___5____.

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____6____.

3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）

，则z 的模为____5___.

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____7____.

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____6

5

____.

6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r

1，，若()()98ma nb mn R +=-∈r

r ，，则m-n

的值为_-3_____.

7.不等式2

24x x -<的解集为___()21，-_____.

8.已知tan 2α=-，()1tan 7

αβ+=，则tan β的值为____3___.

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

7。

10.在平面直角坐标系xOy

中，以点)0,1(为圆心且与直线

)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程

为()2122=+-y x 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n

a 的前

10项和为

11

20

。 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为

2

2。

13.已知函数

|ln |)(x x f =，?

??>--≤<=1,2|4|1

0,0)(2

x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k π

ππ，则∑=+?12

1)(k k k a a 的值

为.39。

15.在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o

(1)求BC 的长； （2）求sin2C 的值。

16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，11.B C BC E ?= 求证：（1）11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥

17.（本小题满分14分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公

路，记两条相互垂直的公路为12l l ，

，山区边界曲线为C ，计划修

建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，

的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，

所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a

y x b

=+（其中a ，b 为常数）

模型.

（I ）求a ，b 的值；

（II ）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 1)

a=1000,b=0 2)

1,

3

,500

x y -=

,公路1所在的直线为：x t

t y 32500

1500-=

2

4

291500)(t

t t f +=∴（5=

2,

当65

2

4225,2

91500?==t t t 时最小，

202556

5

ππΘ?，所以可取。

最小值为：

6

1234

53??千米

18.（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy

中，已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的

，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.

1,3,222=+=c a c a c ,1,1,2===c b a ,12

22

=+y x 2,

当直线AB 平行与Y 轴时，不符合题意要求。 所以，设直线AB 方程为：k kx y -= 直线与椭圆的交点方程：

2

12

1

,21222

+

-=+=∴k k

y k k x C C ，

(

)2

11

21222

+

+=

-+=k k x x k AB B A

解得：1±=k 所以直线AB 方程为：1-=x y 或1+-=x y 19.

已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=。 （1）试讨论)(x f 的单调性；

（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2

3()2

3,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c

的值。

解：1,ax x x f 23)('2+= a<0时，()↓??? ?

?

-↑??? ??+∞-

?∞-a a ，32,0,,320

a=0时，整个实数域上增

a>0时,()↓??

?

??-↑+∞???? ??-

∞-032,,032a ，a ， 2,

若a c b -=，有三个不同的零点转换成代数式为：

0)(274,03πa c c a a a -??? ??+-≠，即：0)(2743φc 、a c a a -??

?

??+-

依题意，上不等式关于a 的解为：()??

?

??∞+???? ???-∞-，，

，232313 分类讨论分析： A)关于方程

027

43

c ＝a a +-只有一个根，不论是否为重根， 不等式解集形式都不符，舍去。 B)关于方程

027

43

c ＝a a +-有两个不同根，必有一根属于重根。

原不等式可写成：

如果3,2

3

,1-===c h t ，展开后形式不符，排除。

如果1,2

3,3==-=c h t ，展开后形式对应相符，所以c=1是一个可能值。

C)关于方程

027

43

c ＝a a +-有三个不同根，那么方程可写成： 0)2

3

(31274φ-+-a ））（a （a ，且c=3/2,展开后不符合。 综上所述，C=1

20.设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：3

1

2

4

2,2,2,2a a a a 依次成等比数列

（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由

（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等

比数列，并说明理由

解：1，易

2,假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：

所以：

)4,3,2,1(1

==n qb a n

n ，关于

n 的函数是一致凹或凸的，所以：

)1(1，a 与)4(4，a 的连线必不与)2(2，a )3(3，a 的连线重合。

这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在d a ,1满足要求。

3，依据题意构造等式关系如下： 所以：

假设存在，那么坐标上点：

()()()432,5,,3,,a k n a k n a k n +++三点一线，依据函数图像凹凸，不

可能。

所以不存在。

注：此题也可根据等比数列对数化成等差数列，但等差数列直线点进行不同倍数的纵向伸缩不可能依然在同一直线上，故不存在。 附加题

21、（选择题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A 、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，在ABC ?中，AC A

B =，AB

C ?的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D

求证：ABD ?≈AEB ?

B 、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知R y x ∈,，向量??????-=11α是矩阵??????

=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值。 X=-1,y=2,另一特征值为：-1

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知圆C

的极坐标方程为2sin()404

π

ρθ+--=，求圆C 的半径.

D ．[选修4-5：不等式选讲] 解不等式|23|3x x ++≥

22.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形

ABCD 为直角梯形，2

ABC BAD π

∠=∠=

,2,1PA AD AB BC ====

(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；

（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长

1,3,1==??PCD PAB s s ,3

3=

∴θCOS

2,AB 为X 轴，AD 为Y 轴，AP 为Z 轴. 夹角满足：[])1,0(12

201023cos 2

1∈+--=

t t t t θ

23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈g

g g ，设{(,)|,,}n n S a b a a a X b Y =∈∈整除b 或除，令()f n 表示集合n S 所含元素个数.

（1）写出(6)f 的值；

（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明。 （1）(6)f ＝11 （2）

如果16mod =n 如果26mod =n 如果36mod =n 如果46mod =n 如果56mod =n 如果06mod =n