完全平方公式(2)
15.2.2 完全平方公式
教学任务分析
教学过程设计
一、 激发学生兴趣，引出本节内容
活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p ＋1）2 =（p ＋1）（p ＋1）＝_________；
（2）（m ＋2）2=（m ＋2）（m ＋2）＝_________；
（3）（p －1）2 =（p －1）（p －1）＝_________；
（4）（m －2）2=（m －2）（m －2）＝_________．
答案：（1）p 2+2p +1； （2）m 2+4m +4； （3）p 2－2p +1； （4）m 2－4m +4．
活动2 在上述活动中我们发现（a ＋b ）2＝222b ab a ++，是否对任意的a 、
b，上述式子都成立呢？
学生活动设计
学生利用多项式与多项式相乘的法则实行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并实行归纳，用多项式乘法法则可得
（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2．
（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2
=a2－2ab+b2．
所以
（a+b）2 = a2+2ab+b2，
（a－b）2 = a2－2ab+b2．
教师活动设计
引导学生利用多项式的乘法法则实行推理，证明活动1中发现的结论的准确性．
二、问题引申，总结归纳完全平方公式
活动3
学生活动设计
分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特点．
归纳
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a－b）2=a2－2ab+b2．
教师活动设计
在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：
（1）左边为两个数的和或差的平方；
（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．
活动4 你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?
活动5 利用完全平方公式计算：
（1）（－x+2y）2；（2）（－x－y）2；
（3）（x+y－z）2；（4）（x+y）2－（x－y）2．学生活动设计
部分学生板演，然后学生交流分析过程：此题需灵活使用完全平方公式：（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再使用完全平方公式；
（2）题能够转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；
（3）题利用加法结合律变形为［（x+y）－z］2，或［x+（y－z）］2、［（x－z）+y］2，再用完全平方公式计算；
（4）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式实行计算．
〔解答〕
（1）方法一：（－x+2y）2=（2y－x）2 = 4y2－4xy + x2；
方法二：（－x+2y）2=［－（x－2y）］2=（x－2y）2 = x2－4xy+4y2；
（2）（－x－y）2 =［－（x+y）］2=（x+y）2 = x2+2xy+y2；
（3）（x+y－z）2=［（x+y）－z］2 =（x+y）2－2（x+y）·z + z2
= x2+y2+z2+2xy－2 zx－2yz；
（4）方法一：（x+y）2－（x－y）2=（x2+2xy + y2）－（x2－2xy + y2）= 4xy；
方法二：（x+y）2－（x－y）2 =［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］= 4xy．教师活动设计
让学生分析自己的计算过程中可能出现的问题．
例使用完全平方公式计算（1）1022；（2）992．活动六思考
（a+b）2与（－a－b）2相等吗？为什么?
（a－b）2与（b－a）2相等吗？为什么?
（a－b）2与a2－b2相等吗？为什么?
练习：
1．使用完全平方公式计算
（1）（x+6）2；（2）（y－5）2；（3）（－2x+5）2．
2．下面各式的计算错在哪里?理应怎样改正?
（1）（a+ b）2 = a2 +b2；（2）（a–b）2 =a2–b2．
三、应用提升、拓展创新
活动7 添括号法则
去括号a+（b+c）= a+b+c；a－（b+c）= a－b－c．
a+b+c = a+（b+c）；a–b–c = a–（b + c）．
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例使用乘法公式计算
（1）（x +2y－3）（x－2y +3）；（2）（a + b+c）2．〔解答〕略练习拓展：
已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值．
学生活动设计
学生实行讨论，观察等式的特点，适当变形，发现已知x+y=8，形式是1次的，而所求的x2+y2形式是二次的，所以想到把1次升到2次，于是能够考虑把x+y = 8两边同时平方，得到x2+2xy＋y2＝64，再把xy＝12代入即可（或者直接把x2+y2变形，x2+y2＝（x＋y）2－2xy．
教师活动设计
教师引导学生寻找不同解决问题的方法，鼓励学生大胆交流．
〔解答〕略
四、归纳小结、布置作业
小结：完全平方公式．
作业：习题15．2 第2、3、4、5、6、7、8、9题．
8.5.2乘法公式(完全平方公式)
乘法公式（完全平方公式） 问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2222(1)(p 1)(1)(p 1)________________; (2)(m 2)___________________; (3)(1)(1)(1)_______________; (4)(2)____________________.p p p p m +=++=+=-=--=-= 上面几个运算都是形如2()a b ±的多项式相乘，则可得： 2()()()____________________________;a b a b a b +=++== 2()()()____________________________;a b a b a b -=--== 问题2 你能用式子表示发现的规律吗？ 完全平方公式：________________________ ________________________ 问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 两个数的和（或差）的________，等于它们的________，加上（或减去） 它们的__________。这两个公式叫做完全平方公式。 【归纳总结】 完全平方公式特点： 左边：两个数的_____（或_____）的______; 右边：①是____次______项式； ②有两项为两数的________; ③中间项是两数积的_____倍，且与左边乘式中间的符号____； ④公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式. 【巩固练习】 练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）222();x y x y +=+ （2）222();x y x y -=- （3）222()2;x y x xy y -=++ （4）222();x y x xy y +=++
6 完全平方公式 教案 表格版 (2)
1.6 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 一、探索公式 问题１.利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？ （1）()()()=++=+1112p p p __________________________. （2）()____________22=+m ＝_______________________. (3) ()()()=--=-1112p p p _____ _______________. (4) ()____________22=-m =_________________________. (5) ()____________2=+b a =_________________________ . (6) ()____________2=-b a =________________________. 问题２.上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？ 问题3．尝试用你在问题３中发现的规律，直接写出()2b a +和()2b a -的结果. 即：2()a b +＝ 2()a b -＝ 问题4：问题3中得的等式中，等号左边是 ，等号的右边： ，把这个公式叫做（乘法的）完全平方公式 问题5. 得到结论: (1)用文字叙述： （3）完全平方公式的结构特征： 问题6：请思考如何用图１５.２－２和图１５.２－３中的面积说明完全平方公式吗？ 问题8. 找出完全平方公式与平方差公式结构上的差异 二、例题分析 例１：判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a +b )2=a 2+b 2； （ ） (2)(a -b )2=a 2-b 2； （ ）
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方 和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀 前平方，后平方，二倍乘积在中央。 同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来） 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号） 公式变形（习题） 变形的方法 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。 解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：
新鲁教版六年级数学下册《完全平方公式(2)》教案
第六章 整式的乘除 第7节 完全平方公式 教学过程 一 引导回顾 搭建桥梁 ［师］同学们,我们已经学完了完全平方公式,那么什么是完全平方公式？学生默写，找几个学生回答. 学生活动：(提问学生积极回答问题，下边学生默写.) ［生1］首平方,尾平方,2倍乘积加减放中央. ［生2］2222)(b ab a b a ++=+ ； 2222)(b ab a b a +-=-. ［师］很好，利用公式完成下面的题目： (1) 2)2(y x + ; (2)2)32(y x +-; (3) 2)32(y x --; (4) 2)31(a - .
学生活动：(同学们积极回答问题，学生板演，运用完全平方公式完成4道题.) ［生1］答案为(1)224y x +;(2) 2294y x +; ［生2］答案为 (3) 229124y xy x ++;(4) 2961a a +-. ［师］大家看做的好不好？ ［生1］第一个学生做错了，他忘了完全平方公式展开的是三项的，他漏掉了中间的二倍的乘积这一项. ［师］很好.同学们平时做题的时候一定要注意展开的项数.今天我们来进一步学习完全平方公式的应用. (导入新课，师板书课题．) (设计意图：本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础.) 二 新课讲解 1自主探究: ［师］如果没有计算器，我们该怎样计算2102, 2197更简单呢？给同学们两分钟时间独立思考. ［生1］可以直接用102102?，197197?这样算出来。 ［生2］可以把2102看做()2 2100+，运用完全平方公式展开.同样可以把2197看做()2 3200-,再运用完全平方公式展开. ［师］很好.同学们的思维很敏捷.那同学们观察一下哪个同学的做法简便呀？ ［生1］第二个学生的做法简便. ［师］那同学们尝试把第二种做法写下来，找两个学生黑板板演. ［生1］2102=()22100+=21002221002+??+10404440010000=++=. ［生2］2197=()2 3200-38809912004000033200220022=+-=+??-=. ［师］写的非常好，和你对比一下，看谁写的更好？ (教师对每位答案正确的学生都给予积极的评价和鼓励，如：好！很棒！这位同学思维敏捷！很扎实等，进一步调动学生的积极性.) (设计意图:能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算, 进一步体会完全
完全平方公式(一)
1.6完全平方公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法 自主探索法 学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用. ●教具准备 投影片四张 第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.6.1 B) 第三张：例题，记作(§1.6.1 C) 第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种. 同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？ (同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径) ［生］我能帮这位爷爷. ［师］你能把你的结果展示给大家吗？ ［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.
完全平方公式的拓展
完全平方公式的变形 一、完全平方公式 ()b a +2=a 2+b 2+ab 2 () b a -2=a 2+b 2—ab 2 二、拓展一 1、()b a +2—（b a 2 2+）= 。 例已知a+b=5,ab= —6，求 b a 22+的值 2、（b a 22+）—()b a -2= 。 例若x —y=3,xy=10,则y x 22+ 的值是多少？ 延伸题：已知x —y=4，y x 22+ =20，求xy 的值, 拓展二 3、()b a +2—()b a -2 == 。 例：已知 ()y x +2=12，xy= —1求：()y x -2 的值 延伸题：例已知 ()n m +2=11，()n m -2=7，求mn 的值 4、()b a +2+ ()b a -2= 。 例： ()b a +2=15，()b a -2=7求：a 2+b 2的值
5、??? ??+x x 12=x 2+2x x 1 .+x 21=x 2+2+x 21 =x 2+x 21 +2（1） 由（1）式变形可以得到x 2+x 21=??? ??+x x 12—2 ??? ??-x x 12 =x 2+x 21—2 则??? ??+x x 12—?? ? ??-x x 12= 。 例：如果 ??? ??+x x 1=3,则x 2+x 21的值是多少： 延伸题：??? ??+x x 1=3 且x>x 1 则??? ??-x x 12的值为多少 6、拆项法（一般是拆常数项,来拼凑完全平方公式，进行完全平方公式的逆运用） 例： a 2+ b 2+4a —2b+5=0 求a 、b 的值 解：a 2+4a+b 2—2b+5=0 a 2+2?a ?2+4+b 2—2?b ?1+1.=0。。。。。。。。。。。。在这里将常数项5拆成4和1的和 ()22 +a +()12-b =0.。。。。。。。。。。。。。。。。。。完全平方公式的逆运用
知识点057 完全平方公式几何背景(选择)
1、（2010?乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（） A、2张 B、4张 C、6张 D、8张 考点：完全平方公式的几何背景。 分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab， ∴它的边长为a，b，b． ∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为： （a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2， ∴还需面积为b2的正方形纸片4张． 故选B． 点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖． 2、（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图② 的形状，由图①和图②能验证的式子是（） A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn C、（m﹣n）2+2mn=m2+n2 D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2 考点：完全平方公式的几何背景。 专题：计算题。 分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答． 解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn． 故选B． 点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式． 3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（） A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
完全平方公式第2课时 备课教案学案素材
6 完全平方公式 第2课时利用完全平方公式进行计算 情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣 情景导入活动内容:很久很久以前,有一个国王的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主.国王要赏赐他们,这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地,第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了.” 国王想不通了,他说:“你们的要求不是一样的吗?”你认为他们的要求一样吗? 大臣们开始讨论这个问题,最后一个聪明的大臣解决了国王的疑惑! 国王和大臣们…… 图1-6-7 [说明与建议] 说明:利用学生感兴趣的故事引入新课,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让聪明的学生进一步体会了a2+b2与(a+b)2的关系,这也为新课的学习做好铺垫.建议:1.引导学生用上节课所学的数学知识帮助国王解开这个迷;2.提示学生可以画图进行分析.学生画完图形后,教师找画得比较好的图形进行投影展示.3.画图表示第一个农夫的土地扩大后的面积为(a2+b2)平方米.4.画图表示第二个农夫的土地扩大后的面积为(a+b)2平方米.5.请同学们观察两图,能够发现什么?学生交流讨论后,找学生代表发言. 复习导入活动内容1:完全平方公式的结构特征. 问题1:完全平方公式用字母如何表示? 问题2:完全平方公式用语言如何叙述? 问题3:完全平方公式中的字母可以表示什么?
活动内容2:利用完全平方公式计算: (1)(-2x+3y)2;(2)(-2x-3y)2. [说明与建议] 说明:通过学生的回顾交流和计算,进一步巩固完全平方公式,熟练完全平方公式的结构特征,也为下面探究利用完全平方公式进行数或代数式的简便运算做铺垫.建议:学生口答前面的问题后到黑板上板书活动2的解答过程. 类比导入利用平方差公式可以简便计算998×1002的值,若没有计算器的情况下,你能很快算出9982的结果吗?还能运用平方差公式计算吗? [说明与建议] 说明:通过类比运用平方差公式进行简便计算,提出问题,激起学生的探究欲望,为导入新课做准备.建议:可先让学生计算998×1002,然后再提出后面的问题,让学生比较两个算式的异同,并引导学生分析得出9982不符合平方差公式的结构特点,不能套平方差公式,为提出利用完全平方公式进行简便计算做铺垫. 悬念激趣[师]请同学们探究下列问题: 图1-6-8 一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来1个孩子,老人就给这个孩子1块糖,来2个孩子,老人就给每个孩子2块塘,来3个孩子,老人就给每个孩子3块塘…… (1)第一天有a个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2)第二天有b个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (3)第三天有(a+b)个孩子一起去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? [生](1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖. (2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖. (3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖. [师]第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样吗?请你用所学的公式解释自己的结论. [说明与建议] 说明:采用“情境——探究”教学方法,让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵.建议:教师可进一步设计如下问题:能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢?用同底数幂相乘的性质(a+b)2=(a+b)(a+b),再结合多项式乘多项式的法则,引导学生探究出规律.
整式的乘法完全平方公式
完全平方公式 一、填空题： () 22)(9 1291=+ -a a （2）1-6a+9a 2 =( )2 22)(4 1 ) 5(=++x x （6）x 2 y 2 -4xy+4=( ) 2 (7)x 2+( )+9y 2=(x+ )2 (8)(a+b)2-( )=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题： （1）已知4x 2+kx+9是一个完全平方式，那么k 值为 （ ） （A ）12 （B ）±18 （C ）±12 （D ）±6 (2)下列多项式中，是完全平方式的为（ ） （A ）1-4m+2m 2 （B ）a 2+2a+4 () ab b a C 34 192 2-+ （D ）x 2+2xy+1 二、 1、计算 （1）(3a+2b)2 （2）(5x-y)2 （3）(-4x+3a)2 （4）(-y-6)2 2、计算 （1）99.82 (2）20052 （3）1042 （4）982
3、计算 (1)(2x-3)(3-2x) (2) (5a-4b) (-5a+4b) (3) (2m2+3n) (2m2-3n) (4) (2m2+3n) (-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________ (2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________ (4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·( )=a2-1 (6) (a-1)·( )=a2-2a+1 (7)(a+b)2-( a-b)2=________ (8)(a+b)2+( a-b)2=________ 五、计算 （1）（a-2b-3c）2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c) (a-2b+3c) (4) (a+2b-3c) (a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c）(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c）
14.2.2 完全平方公式 教案
14.2.2完全平方公式 教学目标:完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力． 教学重点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释、灵活运用。 教学过程： 第一课时：完全平方公式 （一）提出问题，学生自学 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？ （a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生探究 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍．（1）（2）之间只差一个符号． 推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ （二）得到公式，分析公式 1．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． 2.几何分析： 图（1），可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个矩形组成，?所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
《完全平方公式》 (第2课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】
第一章整式的乘除 1.6完全平方公式（2）教学设计 一、教学目标 1．通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系． 2．运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，提高最基本的运算技能． 3．进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式． 二、教学重点及难点 重点：1．巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系． 2．熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义． 难点：熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义． 三、教学准备 多媒体课件 四、相关资源 相关图片 五、教学过程 【复习回顾】 一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少平方厘米？ 提示：原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a－2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4，所以面积减少了(4a－4)平方厘米． 设计意图：解决问题的过程中我们用到了完全平方公式，这节课我们继续探究巩固完全平方公式的应用． 【问题情境】 老师给学生出了两道抢答题，看哪个学生做的快： 1．1022＝？2．1972＝？ 老师题目刚在黑板上写完，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于10404，第二题等于38809．”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？
这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能这位同学一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因． 设计意图：通过速算问题情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课． 【探究新知】 活动1.怎样计算1022，1972更简便呢？你是怎样做的？与同伴进行交流． 提示：由前面学习平方差公式的应用，就联想能不能用完全平方公式计算呢? 把1022改写成(a+b)2还是(a?b)2?于是 1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =1000+400+4 =10404 1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =4000-1200+9 =38809 由此联想到：靠近10的整数次幂的数的平方，可以借助完全平方式进行快速运算．用字母表示为：设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有： (a-1)2 =a2－2a+1，(a+1)2 =a2+2a+1． 设计意图：能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习．活动2．老人分糖 有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，…… (1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
完全平方公式(2)
15.2.2 完全平方公式 教学任务分析 教学过程设计 一、 激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p ＋1）2 =（p ＋1）（p ＋1）＝_________； （2）（m ＋2）2=（m ＋2）（m ＋2）＝_________； （3）（p －1）2 =（p －1）（p －1）＝_________； （4）（m －2）2=（m －2）（m －2）＝_________． 答案：（1）p 2+2p +1； （2）m 2+4m +4； （3）p 2－2p +1； （4）m 2－4m +4． 活动2 在上述活动中我们发现（a ＋b ）2＝222b ab a ++，是否对任意的a 、
b，上述式子都成立呢？ 学生活动设计 学生利用多项式与多项式相乘的法则实行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并实行归纳，用多项式乘法法则可得 （a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2 =a2－2ab+b2． 所以 （a+b）2 = a2+2ab+b2， （a－b）2 = a2－2ab+b2． 教师活动设计 引导学生利用多项式的乘法法则实行推理，证明活动1中发现的结论的准确性． 二、问题引申，总结归纳完全平方公式 活动3 学生活动设计 分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特点． 归纳 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即 （a+b）2=a2+2ab+b2， （a－b）2=a2－2ab+b2． 教师活动设计 在交流中让学生归纳完全平方公式的特征： （1）左边为两个数的和或差的平方； （2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍． 活动4 你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?
乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
《完全平方公式(第2课时)》教学设计
《完全平方公式（第2课时）》教学设计 教学目标：1、较熟练地运用完全平方公式进行计算；2、了解三个数的和的平方公式的推导过程，培养学生推理的能力。3、能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。 教学重点：1、完全平方公式的运用。 教学难点：正确选择完全平方公式进行运算。
教学方法：探索讨论、归纳总结。 教学过程： 一、乘法公式复习 1、平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ 2、完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-
3、多项式与多项式相乘的运算方法。 4、说一说：(1) 2)(b a - 与 2 )(a b -有什么关系？ (2) 2)(b a + 与 2 )(b a --有什么关系 二、乘法公式的运用 例1 运用完全平方公式计算：
(1) 2104 (2) 2 198 分析：关键正确选择乘法公式 解：(1) 2104=2 )4100(+ =2 2441002100+??+ = 10000＋800＋16
＝10816 (2) 2198＝2 )2200(- ＝2 2222002200+??- ＝40000－800＋4 ＝39204
例2、运用完全平方公式计算： （1）2)(c b a ++ （2）直接利用第（1）题的结论计算：2)32(z y x +- 解：（1）2)(c b a ++＝2 ])[(c b a ++ ＝2 2)(2)(c c b a b a ++++ ＝2 22222c bc ac b ab a +++++
最新乘法公式(平方差公式,完全平方公式)题
一、选择题 1、计算的结果是（） A．B．1000 C．5000 D．500 2、计算(x4＋y4)(x2＋y2)(x＋y)(y－x)的结果是（） A．x8－y8B．x6－y6 C．y8－x8D．y6－x6 3、下列计算，结果错误的是（） A．x(4x＋1)＋(2x＋y)(y－2x)＝x＋y2 B．(3a＋1)(3a－1)＋9＝0 C．x2－(5x＋3y)(5x－3y)＋6(2x－y)(y＋2x)＝3y2 D．＝－54x3y 4、下列算式中不正确的有（） ①(3x3－5)(3x3＋5)＝9x9－25 ②(a＋b＋c＋d)(a＋b－c－d)＝(a＋b)2－(c＋d)2
③ ④2(2a－b)2·(4a＋2b)2＝(4a－2b)2(4a＋2b)2＝(16a2－4b2)2 A．0个B．1个 C．2个D．3个 5、下列说法中，正确的有（） ①如果(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，则x2－y2的值是－15； ②解方程(x＋1)(x－1)＝x2＋x的结果是x＝－1； ③代数式的值与n无关. A．0个B．1个 C．2个D．3个 B 卷 二、填空题 6、已知，则＝___________． 7、如果x2＋kx＋81是一个完全平方式，则k＝___________． 8、如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b＝___________． 9、代数式与代数式的差是___________．
10、已知m2＋n2－6m＋10n＋34＝0，则m＋n＝___________． 隐藏答案 答案： 6、7 7、±18 8、－4 9、xy 10、－2 提示： 6、∵，∴， ∴，∴． 7、∵x2＋kx＋(±9)2是完全平方式． ∴k＝2×(±9)＝±18． 8、∵a2－b2＝20，∴(a＋b)(a－b)＝20. 又∵a＋b＝－5，∴a－b＝－4． 10、[m2＋2·m·(－3)＋(－3)2]＋(n2＋2·n·5＋52)＝0， (m－3)2＋(n＋5)2＝0． ∴ ∴ ∴m＋n＝－2．
201x版七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.6 完全平方公式(2)教案 北师大版
2019版七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.6 完全平 方公式（2）教案 （新版）北师大版 课题 1.6.2 完全平方公式 教学目标 1.会运用完全平方公式进行一些数的简便运算； 2.综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 重点 运用完全平方公式进行一些数的简便运算，综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算，巩固完全平方公式，区分2)(b a +与22b a +的关系。 难点 灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算 教学 用 具 多媒体 教学 环节 说 明 二次备课 复习 多项式乘以多项式的运算 新课 导入 课 程 讲 授 自主学习 1.我们已经学完了完全平方公式,那么什么是完全平方公式？学生 默写，找几个学生回答。利用公式完成下面的题目： (1) 2)2(y x +；(2)2)32(y x +-；(3) 2 )32(y x --；(4) 2)31(a - 。 2.如果没有计算器，我们该怎样计算2102, 2197更简单呢？ 合作探究 1.可以直接用102102?，197197?这样算出来。 2.可以把2102看做()22100+，运用完全平方公式展开。同样可以把
2197看做()2 3200-,再运用完全平方公式展开。 3.观察一下哪种做法简便？第二种做法简便。那同学们尝试把第二种做法写下来，找两个学生黑板板演。 2102=()22100+=21002221002+??+10404440010000=++= 2197=()23200-38809912004000033200220022=+-=+??-= 4.你们能不能利用已经学完的平方差公式和完全平方公式来解决下面的几道题？ 例 计算： （1）22)3(x x -+；（2）)3(++b a )3(-+b a ; (3) ()()32)5(2---+x x x . 选择第二题去解决 解：)3(++b a )3(-+b a =()[]3++b a ()[]3-+b a =223)(-+b a =9222-++b ab a . 第一道题还有一种解法：解：22)3(x x -+ =)3(x x -+)3(x x ++ =()323+x =96+x . 5.计算： （1）296；（2）)3(+-b a )3(--b a ；(3) ()2 21)1(--+ab ab ； (4) ()()()312)2(-+-+-x x x x . 展示交流 1.有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们, 来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个, 就给每人三块糖,…… 第一天有a 个孩子一起去了老人家, 第二天有b 个孩子一起去了
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附复习资料
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选 一．选择题（共6小题） 1．（2010?丹东）图①是一个边长为（）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼 成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（） A．（）2﹣（m﹣n）2=4 B．（）2﹣（m22）=2 C．（m﹣n）2+222D （）（m﹣n）2﹣n2 ． 2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们 可以得到两数和的平方公式：（）22+22．你根据图乙能得到的数学公式是（） B．（a﹣b）22﹣22C．a（）2D．a（a﹣b）2﹣A．（）（a﹣b）2﹣ b2 3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（） A．a2﹣b2=（）（a﹣b）B．（）22+22C．（a﹣b）22﹣22D．a（）2
4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（） A．B．（）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2 5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（） B．（a﹣b）22﹣22C．（）22+22D．a2﹣b2=（）（a﹣b）A．a2﹣b2（a﹣b）（a ﹣b） 6．如果关于x的二次三项式x2﹣16是一个完全平方式，那么m的值是（）A．8或﹣8 B．8C．﹣8 D．无法确定 二．填空题（共7小题） 7．（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为（用含a、b的代数式表示）
8．如图，边长为（2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是．（用含m的代数式表示） 9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为． 10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（）2成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式． 11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为
乘法公式-----完全平方公式
《乘法公式--完全平方公式》教学设计 教学目标： 探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力；在变式中，拓 展提高；通过积极参与数学学习活动，培养学生自主探究能力，勇于 创新的精神和合作学习的习惯； 教学重点与难点： 重点是正确理解完全平方公式2)(b a ±=222b ab a +±，并初步运用。 难点是完全平方公式的运用。 教学过程： 一、创设情境，探求新知 前面学习了平方差公式，同学们对平方差公式的结构特点、运用 以及学习公式的意义有了初步的认识。今天，我们继续学习、研究另 一种“乘法公式”——完全平方公式。 问题1（投影显示图形）一块边长为a 米的正方形实验田，因需 要将其边长增加10米。形成四块实验田。问 ：你能用不同的形式表 示实验田的总面积,并进行比较吗？ （活动：教师巡视，检查学生的解题情况） 探索：直接求：2)10(+a 间接求：22101010+++a a a (选取一中等学生和一后进生学生把答案写在黑板上) 得出结论： (a +10)2=a 2+2 10a+102 猜一猜： (a +b )2 =？ 从而引出课题：完全平方公式。 ?
二. 探索新知 1.推导验证两数和的完全平方公式 （1）乘法公式 (a +b )2 =(a +b ) (a +b ) = a 2+ab +ab +b 2 =a 2+2ab +b 2 （2）图形法 结论：(a +b )2=a 2+2ab +b 2 2.两数差的完全平方公式 （1）乘法公式 ( a －b )2 =(a －b ) (a －b ) = a 2－ab －ab +b 2 =a 2－2ab +b 2 （2）两数和的完全平方公式 (a －b )2 =a 2－2ab +b 2 （3）图形法(学生自己探索) 结论：(a －b )2=a 2－2ab +b 2 （3）归纳总结 完全平方公式： (a +b )2=a 2+2a b +b 2 []2 )(b a -+=2 2)(2b b a a +-??+=
七年级下册数学完全平方公式的认识教案
6完全平方公式 第1课时完全平方公式的认识 【知识与技能】 理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识. 【情感态度】 在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点； 2.会用完全平方公式进行运算. 【教学难点】 会用完全平方公式进行运算. 一、情景导入，初步认知 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗? (x+3)2=_________________， (x-3)2=_________________， 这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试: (2m+3n)2=_________________， (2m-3n)2=_________________.
【教学说明】 让学生运用多项式乘以多项式的法则进行计算，为本节课学习完全平方公式做准备. 二、思考探究，获取新知 1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ （m+3）2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x2 2.观察上面的计算结果，回答下列问题： （1）原式的特点？两数和的平方. （2）结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍. （3）三项系数的特点？（特别是符号的特点）. （4）三项与原多项式中两个单项式的关系.3.再举两例验证你的发现.4.你能用自己的语言叙述这一公式吗？ 【归纳结论】 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍.即： (a+b)2=a2+2ab+b2 5.用不同的形式表示图形的总面积，并进行比较，你发现了什么？ 6.议一议：(a-b)2=？你是怎样做的？ 7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式. 【归纳结论】 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍.即：(a-b)2=a2-2ab+b2上面的两个公式称为完全平方公式. 8.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式. 结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
2021八年级下册数学 公式法第2课时 完全平方公式 同步练习(含答案)
公式法 第2课时 完全平方公式 一. 精心选一选 1、下列各式是完全平方公式的是（ ） A. 16x 2-4xy+y 2 B. m 2+mn+n 2 C. 9a 2-24ab+16b 2 D. c 2+2cd+14 c 2 2、把多项式3x3-6x 2y+3xy 2分解因式结果正确的是（ ） A. x(3x+y)(x-3y) B. 3x(x 2-2xy+y 2) C. x(3x-y)2 D. 3x(x-y )2 3、下列因式分解正确的是（ ） A. 4-x 2+3x=(2-x)(2+x)+3x B. -x 2-3x+4=(x+4)(x-1) C. 1-4x+4x 2=(1-2x) 2 D. x 2y-xy+x3y=x(xy-y+x 2y) 4、下列多项式① x 2+xy-y 2② -x 2+2xy-y 2③ xy+x 2+y 2④1-x+x24 其中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 5、a4b-6a3b+9a2b 分解因式的正确结果是（ ） A. a 2b(a 2-6a+9) B. a 2b(a+3)(a-3) C. b(a 2-3) D. a 2b(a-3) 2
6、下列多项式中，不能用公式法分解因式是（ ） A. -a 2+b 2 B. m 2+2mn+2n 2 C. x 2+4xy+4y 2 D. x 2--12xy+116 y 2 7. 若x2－px+4是完全平方式，则p 的值为（ ） A. 4 B. 2 C.±4 D. ±2 8. 不论x,y 取何实数，代数式x2－4x+y2－6y+13总是（ ） A. 非实数 B. 正数 C. 负数 D. 非正数 二．细心填一填 9. 填空 4x2－6x+=（ ）2 9x2－+4y2=( ) 2 10.分解因式 ab2－4ab+4a= 11. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个无空隙的正方形，则这个正方形的边长是。 12. 若a+b=3，则2a2+4ab+2b2－6的值为。