数学二次根式的专项培优练习题(附解析
数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A =
B =
C =
D =2．下列各式计算正确的是（ ）
A
B ．
C =3
D ．
3．下列运算正确的是（ ）
A =
B ． 3
C ＝﹣2
D =4．下列各式中，正确的是（ ）
A 2=±
B =
C 3=-
D 2=
5．下列计算正确的是（ ）
A =
B 3=
C =
D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( )
A B C
D ．x
7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数
B ．1≤x ≤4
C ．x ≥1
D ． x ≤4
8．已知a ( )
A ．0
B ．3
C ．
D ．9
9．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=
B ．a 1=
C ．a 1≤
D ．a=0a=1或
10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是
0.01
)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那
么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．若|x 2
﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
12．230x -=成立的x 的值为（ ）
A ．-2
B ．3
C ．-2或3
D ．以上都不对
二、填空题
13．使函数2
1
2y x x
=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________
14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则
2232332007x y x y -+--的值为______.
15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．
16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．
17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________．
18．()()2
2
2
2
3310x y x y ++-+=，则22
2516
x y +=______.
19．已知4a
2(3)|2|a a +--=_____．
20．化简：3222＝_____．
三、解答题
21．阅读下面问题： 阅读理解：
2221(21)(21)
==++-1； 32
3232(32)(32)==++-
(55252
(52)(52)
=
=-++-．
应用计算：（176
+
（21
1n n
++（n 为正整数）的值．
归纳拓展：（3122334
989999100
+
+++++
【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】
由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】
（1
（2
（3+
98+，
(
+
98+，
++99-
， =10-1， =9． 【点睛】
本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
22．计算： 21)3)(3--
【答案】. 【解析】 【分析】
先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】
解：原式22]-3
22]-4
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.
23．（112=3
=
=；……写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．
【答案】（12=5==；（2n
=
；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】
解：（1）由例子可得，
④5=25，
（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，
n ．
n
．
故答案为5=25 n
；(3)证明见解析. 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
24．小明在解决问题：已知
2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵
=2 ∴a ﹣2=
∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1
（2）若
，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）9；（2）5．
【解析】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得
1
===.
(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2
(1)
a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.
解：（1）原式=1)++
+?
（2）∵1
a===，
解法一：∵22
(1)11)2
a-=-=，
∴2212
a a
-+=，即221
a a
-=
∴原式=2
4(2)14115
a a
-+=?+=
解法二∴原式=2
4(211)1
a a
-+-+
2
4(1)3
a
=--
2
11)3
=--
4235
=?-=
点睛：（1
得22
=-=-
a b，去掉根号，实现分母有理化.
（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.
25．先化简，再求值：a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】
试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()
2
3a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
26．先观察下列等式，再回答下列问题： 2211111
111
121112+
+=+-=+； 2211111111232216+
+=+-=+ 22111111113433112
+
+=+-=+ (1)2
211
145
+
+ (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1
120
(2)()111n n ++（n 为正整数）
【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子． 试题解析：(1)22
11
145
+
+=1+14?141+=1120，
1120
(2)1 n ?1 n 1
+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).
a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.
27．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
1)1=，
1=，
1=，
1=??
（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2
（3
【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】
(1)根据规律直接写出,
(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.
(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】
解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；
故答案为1=；
（2）原式111019==-=；
（3
-=
=
，
<
∴
>．
【点睛】
本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.
28．先化简，再求值：
24224x x
x x x x ??÷- ?---??
，其中2x =．
【答案】2
2
x x +-，1 【分析】
先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2
x x x x x x x x +-+=
?=---，
当2x =时，原式1
=
=.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．
29．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知
b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】
（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．
（2）1
2a =
==，
1
2b =
==，
2
222
()22312a b a b ab +=+-=-=-=??
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
30．（1）计算：21)-
（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =
【答案】（1）5-2
（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；
（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】
解：（1）原式21)=-
(31)(23)=---
5=-；
（2）原式=
=
= a ，b 为正数， ∴原式
=
把4a b +=，8ab =代入，则
原式
=
= 【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】
=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B.
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的化简进行选择即可．
【详解】
A
B、
C，故本选项正确；
D、=18，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】
解：A
B、＝，故此选项错误；
C2，故此选项错误；
D，正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．
4．B
解析：B
【分析】
本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．
【详解】
A，故该选项错误；
B==
=，故该选项错误；
C3
D
112
2
333
4=(2)2
==，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．
5．A
解析：A
【分析】
分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．
【详解】
解：==
==
==，原式计算错误；
D. 2220
=-=，原式计算错误；
故应选：A
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．
【详解】
解：A是二次根式，符合题意；
B是三次根式，不合题意；
C、当x＜0
D、x属于整式，不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．
7．B
解析：B
【分析】
根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【详解】
原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，
故选B．
【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
8．B
解析：B
【解析】
=，可知当（a﹣3）
2=0，即a=3
故选B．
9．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵a1，
a
∴1-a≥0，
a≤1，
故选C．
10．D
解析：D
【分析】
利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；
②0.01的算术平方根是0.1，故错误；
)＝
17
3
22
+=，故错误；
④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，
故选D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．
解析：A
【解析】
根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．
12．B
解析：B
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.
【详解】
x30
-=，
=0
=，
∴x=-2或x=3，
又∵
20
30 x
x
+≥
?
?
-≥
?
，
∴x=3，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.
二、填空题
13．【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，
解得：
①当时，
解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x的取值范围为
【点睛】
解析：
11
,0 22
x x
-≤≤≠
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成. 【详解】
根据题意，220x x +≠ 解得：0,2x x ≠≠-
12||0x -≥
①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤
即：102
x <≤
①当0x <时，120x +≥ 解得：2
1x ≥- 即：1
02
x -
≤< 故自变量x 的取值范围为11
,022
x x -≤≤≠ 【点睛】
本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键.
14．1 【分析】
设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值． 【详解】
解：设a=，b=，则x2?a2=y2?b2=2008， ∴(x+a)(x?a)=(y+b)(y?b)=2008……
解析：1 【分析】
设x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．
【详解】
解：设x 2?a 2=y 2?b 2=2008，
∴(x+a)(x?a)=(y+b)(y?b)=2008……①
∵(x?a)(y?b)=2008……② ∴由①②得：x+a=y?b ，x?a=y+b ∴x=y ，a+b=0，
∴
，
∴x 2=y 2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007
=3×2008?2×2008+3(x?y)?2007
=2008+3×0?2007
=1.
故答案为1.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.
15．10
【解析】
根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．
故答案为10．
解析：10
【解析】
根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．
故答案为10．
16．﹣2b
【解析】
由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．
故答案为﹣2b．
点睛：本题主要考查了二次根式和绝对
解析：﹣2b
【解析】
由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．
故答案为﹣2b．
点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．
17．【分析】
先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】
解：
为整数 为
故答案为：5． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用 解析：5
【分析】
)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=
32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围． 【详解】
解：
()230m m --≤
23m ∴≤≤
m a +=
a m ∴=
32a ∴≤≤ 7528<<
46a ∴<< a 为整数
a ∴为5
故答案为：5． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．
18．【解析】 【分析】
把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解. 【详解】 移项得， 两边平方得， 整理得，
两边平方得， 所以，
两边除以400得，1. 故答案为1. 【点睛】
解析：【解析】 【分析】
把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解. 【详解】
10=-
两边平方得，()()2
2
223=1003x y x y ++--+
整理得，253x =-
两边平方得，222
25150225256251509x x y x x -++=-+
所以，2
2
1625400x y +=
两边除以400得，22
2516
x y +=1.
故答案为1. 【点睛】
本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.
19．-5 【分析】
根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案. 【详解】 ∵,
∴a+3<0,2-a>0, ∴-a-3-2+a=-5， 故答案为：-5. 【点睛】 此
解析：-5 【分析】
根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案. 【详解】
∴a+3<0,2-a>0,
-=-a-3-2+a=-5，
|2|a
故答案为：-5.
【点睛】
此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.
20．【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：．
故答案为
【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
解析：
【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：=．
故答案为
【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
27．无28．无29．无30．无
《二次根式》培优试题及答案
1 《二次根式》提高测试 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】 2 )2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2． （ ）【提示】 231-＝432 3-+＝－（3＋2）．【答案】×． 3． 2 )1(-x ＝2)1( -x ．…（ ）【提示】 2 )1(-x ＝|x －1|，2)1( -x ＝x －1（x ≥1） ．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4． ab 、 3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ）【提示】 3 1 b a 3、b a x 2- 化成最 简二次根式后再判断．【答案】√． 5． x 8， 3 1，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 2 9x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225a ＝_．【答案】－2a a ． 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 【提示】（a －12 -a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12 -a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程 2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】2 2d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2 )(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12．比较大小：－721_________－3 41 ．【提示】27＝28，43＝48． 【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－ 28 1 与－48 1的大小． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 【答案】40． 【点评】 1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15．x ，y 分别为8－ 11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2
二次根式培优提高训练
《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解
基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0=
二次根式提高培优
二次根式小结与提高 一、基本概念 （一）二次根式 下列式子，哪些是二次根式，、 1x x>0） -1x y +x ≥0，y?≥0）． （二）最简二次根式 1（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 2．（x ≥0） 3．_________． （三）同类二次根式 1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2．在、、是同类二次根式的有______ 3．若最简根式3a a 、b 的值． （四） “分母有理化” 1.把下列各式的分母有理化 （1 （2； （3； （4． 二、二次根式有意义的条件：
1．（1）当x 在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 11x +在实数范围内有意义？ （3）当x 是多少时， x +x 2在实数范围内有意义？ （4）当__________ （5）当__________时， 有意义。 2. x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 3．已知，求x y 的值． 4. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。 5 ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 6.已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()()111++b a 的值 三、二次根式的非负数性 1，求x y 的 2.2440y y -+=，求xy 的值。
四、?????-==a a a a 02 a=0 的应用 1． a ≥0 ）． A C ．2．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式（1-a ）=1； 乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．化简 ）． A ．．4．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）． A ．．5. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│ 五、求值问题: 1.当y 求x 2-xy+y 2的值 2．已知a 2b-ab 2 =_________． 3. 已知2310x x -+= a>0 a ＜0
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算