一题多解与一题多变
一题多解与一题多变
-----培养学生能力的捷径
江苏省东台中学 张曙东 （《物理教学》1996.11）
高考把对学生能力的考核放在首要位置，体现了对学生能力的重视。目前正处在
世纪之交、知识爆炸的时期，知识日新月异，今天书本上学和知识，明天可能已被更新，面对未来人类的生存和发展，靠的下是现知识，而对未来人的能力，这样才能去下断发现、不断创造。而对学生的能力培养途径很多，“一题多解”可谓培养学生能力的捷径。通过“一题多解”和“一题多变”可帮助学生对所学知识全面系统地回顾、再现、应用，多角度去分析问题、解决问题，通过“一题多变”可由浅入深，下同层次地挖掘、全方位地去分析问题、解决问题。这对学生的理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学工具处理物理问题的能力得到全面提高，这样可起到举一反三、纲举目张、事倍功半的效果。以下略举两例敬请同行斧正。 [例1].A 、B 两木块靠在一起放在水平面上，它们与水平面的滑动摩擦系数为0.25，B 的质量为0.2千克，一颗水平飞来的子弹依次穿过A 、B ，在子弹穿 过A 的过程中A 和B 一直没有分离，子弹在B 内的时间t 为0.01秒，穿出B 后，A 和B 都继续向前运动，当A 刚停止时，B
和A 之间的距离S 为1米，B 的速v 为5米/秒，子弹在两木块中阻力恒为f ，重力加速度g 取10米/秒2，求;（1）f 的大小，（2）在子弹进入B 的过程中，木块B 前进的距离S X
[剖析] 本题由于地面有摩擦力，故相互作用力的系统动量不守恒，不能由动量守恒定律、能量守恒定律列方程求解，必须另辟蹊径。 [分析和解]
（1）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式
设子弹刚穿进B 时，A 、B 物体具有共同速度vA 刚穿出B 时B 物的速度为VB ，B 的质量为子弹在B 中穿行时（如图2所示），B 的加速度
g m
f
m mg f a μμ-=-=；则
t g m
f
v at v v A A A )(μ-+=+= （1）
g v t A A
A μ=
物体滑行时间
方法二：运用动量定理
对B 全过程由动量定理得：
)(A A A v v m gt m t f -=-?μ （1） 对A 由动能定理有：
)(:)1()2(,计算过程略式得式代入将则有即t
mv
f mv t m
g v t g v m t g m A
A A
A A A A A =
=?=?=?μμμ （2）
（2）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式 B 的总位移)(22t g
v v v t v v s A
B B A B -+++=
μ A 滑行的总位
g
v s A
μ22
= 由位移关系s Ｂ－s Ａ=s 得：s g
v t g v v v t v v A
A B B A =--+++μμ2)(222
将t m
mg
f v v A B μ-+
=代入上式，可解得：v m
ft g vt
s v A +?+
=μ2)2( 由（１）问的结论t
mv
f =
得：ft=mv 代入上式，化简得： .
10001
.05
2.0:)2)(1()2()(
N N t m v f t g v
g v gt v v t g
v t t t B B B B A
A A =?==----------=-=∴-=-=解得联立物体滑行时间则μμμμ
)2
1
(21
gt v gs
gt ft mgs v μμμμ+=+=
)21(21)(21222
f
mv
f mgs t m f f mgs t
g m f t v s A X +=+=
+=∴μμμ
代入已知量有：)(03.001.02
.0100
211001102.025.02m s X =?+???=
此法思考简单，但运算量较大．
方法二：由动能定理求解
由动能定理，对Ｂ的全过程有：)(2
1)(22A A A v v m s s mg s f -=+-?μ 对Ａ：221A A A A v m s g m =
?μ变形有221A A v m s g m =?μ代入上式，化简有： f mv mgs s X 2
2
1+=
μ (计算略)
方法三：图象法
图3 中阴影区域的面积表示A 停止时，A 、B 之间的距离s,由图3可知：v v =? t v t v s ?=??=
21
211 、)(2t g
v v s A -?=μ， 由s 1 +s 2 =s 得：
s t g
v v vt A =-+)(21
μ 解得：gt v gs
v A μμ2
1
+=
2)(21t g m
f
v s A X μ-+
=∴（同方法一，略） 方法四：运用相对运动
子弹在B 中穿行时，B 相对于A 做初速度为的匀加速直线运动，加速度
m f g g m f a =+-=
μμ，则子弹刚穿出B 时，A 、B 之间的距离2212121t m
f at s ==； 子弹穿出B 后，A 、B 的加速度相同故B 相对A 做匀速运动，速度为v=5m/s ，则从子弹穿出B 后A 静止的过程中，A 、B 间增大的距离)(
2t g
v v s A
-?=μ，由s 1+s 2=s 得：
s t g
v v t m f
A =-+)(21μ 由（1）问的结论t
mv
f =，代入上式有： gt v
gs
v A μμ2
1
+
=
（与方法三相同，以下略） 方法五：由能量守恒求解
B 相对A 而言，多发生的位移克服阻力做的功和最终的动能，应等于子弹对木块B 的作用力在位移s X 上所做的功，有： 22
1
mv mgs s f X +
=?μ f
mv mgs s X 2
2
1+=
∴μ（与方法二相同，以下略）
例1中的多种解法，几乎涉及了力学的全部基础知识和常见的多种解题方法，多角度
思考发散式思维是培养学生能力的重要途径。
[例2] 在两平行金属板（假定板足够长）之间，用一长为l 的轻绳拴着一质量为m 的带电量为q 的小球，小球可看作质点，如果小球在两极板间平衡时，轻绳与铅直线间的夹角为θ，如图4所示，求两极板间的电场强度。
[分析和解]小球受重力mg ，电场为Eq ，绳的拉力，由于小球处于平衡状态，故重力与电场力的合力必沿绳的方向有：m g Eq tg =
θ ∴场强θtg q
m g
E =
[变1] 如将小球拉至水平，且绳被拉直，如图5所
示，由静止放手后，小球将作什么运动？经多长时间，轻绳子刚好被拉直？
[分析和解] 小球由静止放手时，球仅受重力、电场力，不受绳的拉力，此二力为恒力其合力亦为恒力，故小球将沿与竖直方向成θ（合力方向）做匀加速直线运动。
设小球从A 点释放到B 点绳被拉直，如图5所示，由数学知识可知∠AOB=2θ，则小球在竖直方向下落的高度h=Lsin2θ, 由于小球在竖直方向做自由落体，故由分运动和合运动的等时性可知：所求时间
g
L t θ
2sin 2=
[变2]如果要让小球从静止释放时，刚好能立刻做圆周运动，那么应将小球从何处释放？ [分析和解] 当小球刚静止释放时，若小球所受合力垂直，此时绳处于竖直状态，小球运动后绳对球立刻施加力的作用，故小球立刻做圆周运动。
如图6所示，有α=θ，即将小球拉到与水平方向成θ角静止释放。
[变3]若把小球拉至水平位置，部小球的初速至少是多大时，小球放手后也能立刻做圆周运动？
[分析和解]当小球处在水平位置时，若电场力刚好提供向心力，就能保证小球从开
始就立刻做圆周运动。则有：Eq=L
v m 2
，结合例2的结论：Eq=mgtg θ可解得：v=θgLtg ,
故小球的初速度至少为θgLtg 。
[变4] 在例2中，若线拉紧后随即摆动，求：（1）拉紧瞬间悬点O 受到的冲量I ， （2）小球摆动过程中的最大速度v m ,(3)小球摆到最低点时，轻绳受到的拉力T 。
[分析和解] （在例2的基础上求解）
（1）设线刚被拉紧的瞬间速度大小为v ，小球所受的合外力F 合=
θ
cos mg
…..（1）小球运动的位移S=AB=2Lsin θ。…..(2) 由动量定理得：F 合.S=
2
2
1mv …..(3) 联立（1）、（2）、（3）解得：θgLtg v 2=
绳刚绷紧随即做圆周运动，即小球沿绳方向的分速度v n =减为0，绳对球的冲量I 由动量定理得：I=m v n =mvsin θ=2m θgLtg sin θ.
由牛顿第三定律可知：O 点受到的冲量大小I '=I=2m θgLtg sin θ.方向沿绳向下
（2）球在平衡位置速度最大 球在B 点绳绷紧的过程中损失的动能△
Ek=
2
2
1n mv =2mgLtg θsin…..(4) 球从A 到平衡位置的过程中,由动能定理得: EqL(1+sin)+mgLcos θ-△Ek=2
2
1m mv …(5) 联立）4）、（5）两式，结合Eq=mgtg θ解得：
)sin .2cos 1
(
22θθθθ
tg tg gL v m -+= )2c o s .1(2θθtg gL v +=' （3） 球从A 到最低点的过程中，由动能定理得：
)2cos 1(2θθtg gL v +='…….(7) 球在最低点由牛顿第二定律得：
T-mg=L
v m 2
'…..(8) 联立（7）、（8）两式，解得：球在最低点绳受到的拉力
T=mg(3+2tg. θcos2θ)
[变5] 若将小球拉至水平，至少以多大的速度下抛，小球才能在竖直平面内做圆周运动？
[分析和解]
小球能否做圆周运动，取决于球在“最高点”是否符合做圆周运动的条件，由于同时存在电场和重力场，故“最高点”已不是竖直方向的最高点，而是平衡位置的对称点D ，如图8所示。
在D 点，球刚好做圆周运动条件：
L
v m mg 2
cos =θ….(1) 由A 到D 运用动能定理有：
2
22
121)sin 1(cos D m mv L mg -=-θθ…..(2) 联立（1）、（2）两式，解得：v=
θ
θcos )
sin 23(-gL
∴小球至少以v=
θ
θcos )
sin 23(-gL 的速度下抛。
在例2中，通过适当变换条件，，由浅入深引出了
一系列的讨论，拓宽了学生的视野，同时也为学生出题提供了范例，这个全方位地去探索问题是培养学生的有效途径。
如教者通过精心选例题、并布置相应习题，激发学生的求异、求变的热情，将“一题多解” 和“一题多变” 在讲和练上有机地结合起来，将“珠连璧合、相得益彰”
。笔者在
教学中加以应用，对培养学生的能力，确实起到了事半功倍的效果，不失为一条捷径。
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4
小学数学一题多解与一题多变
小学数学一题多解与一题多变B 摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。 关键词：数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维 思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。 一、一题多解，有利于加强学生的思维训练 一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。 心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模
高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案
高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<
初中数学一题多解与一题多变
____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A
求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=43 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=43 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = αα cos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+= 2516 cosα=54 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于 tana=43 ,在直角△ ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sinα= 53 ，cosα=54
初中数学一题多变、一题多解
C B A S 2 S 3 S 1 C B A S 3 S 2 S 1 S 3 S 2S 1 C B A 一题多解、一题多变 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ …… 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化 如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则 321S S S 、、之间的关系是 图1 图2 图3
E S 3 S 2 S 1 D C B A S 3S 2 S 1 A B C D A B C D S 3S 2 S 1 变式1：如图2，如果以Rt ?ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式2：如图3，如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式3：如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。 ,2,90,//,44321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为边向梯形外作正方形、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 图4 图5 图6 ,2,90,//,55321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、形，其面积分别为为边向梯形外作正三角、、分别以 且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 ,2,90,//,66321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为直径向梯形外作半圆、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知：如图7，点C 为线段AB 上一点，?ACM 、?CBN 是等边三角形。
初中数学一题多解与一题多变
初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， 求证：BD=CE. E D C B A
（本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂 字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； 3.AB=AC； 4.BD=CD.
2014高中数学 一题多变一题多解特训(一)
高中数学一题多解和一题多变 根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 一题多解和一题多变（一） 类型一：一题多解 例题： 已知tan α=43 ,求sin α,cos α的值 分析：因为题中有sin α、cos α、tan α，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tan α= 43= αα cos sin ，且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cos α= 54 或者cos α= -54 ；而s in α=53或者sin α=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tan α=43 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=25 16 cos α=54 sin α=αcos 2 1-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 54 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：
法三 tan α= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α = ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sin α=53，cos α= 54 或sin α=-53，cos α=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin α、cos α、tan α，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=43 ,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得， c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sin α= 53 ，cos α=54 或sin α= -53 ，cos α= -54 分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广： 法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT ， 因为tan α= 43 ，则T 点坐 标是T(1, 43 ),由勾股定理得：OT= ?? ? ??+432 1= 45
一题多解与一题多变
一题多解与一题多变 -----培养学生能力的捷径 江苏省东台中学 张曙东 （《物理教学》1996.11） 高考把对学生能力的考核放在首要位置，体现了对学生能力的重视。目前正处在 世纪之交、知识爆炸的时期，知识日新月异，今天书本上学和知识，明天可能已被更新，面对未来人类的生存和发展，靠的下是现知识，而对未来人的能力，这样才能去下断发现、不断创造。而对学生的能力培养途径很多，“一题多解”可谓培养学生能力的捷径。通过“一题多解”和“一题多变”可帮助学生对所学知识全面系统地回顾、再现、应用，多角度去分析问题、解决问题，通过“一题多变”可由浅入深，下同层次地挖掘、全方位地去分析问题、解决问题。这对学生的理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学工具处理物理问题的能力得到全面提高，这样可起到举一反三、纲举目张、事倍功半的效果。以下略举两例敬请同行斧正。 [例1].A 、B 两木块靠在一起放在水平面上，它们与水平面的滑动摩擦系数为0.25，B 的质量为0.2千克，一颗水平飞来的子弹依次穿过A 、B ，在子弹穿 过A 的过程中A 和B 一直没有分离，子弹在B 内的时间t 为0.01秒，穿出B 后，A 和B 都继续向前运动，当A 刚停止时，B 和A 之间的距离S 为1米，B 的速v 为5米/秒，子弹在两木块中阻力恒为f ，重力加速度g 取10米/秒2，求;（1）f 的大小，（2）在子弹进入B 的过程中，木块B 前进的距离S X [剖析] 本题由于地面有摩擦力，故相互作用力的系统动量不守恒，不能由动量守恒定律、能量守恒定律列方程求解，必须另辟蹊径。 [分析和解] （1）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式 设子弹刚穿进B 时，A 、B 物体具有共同速度vA 刚穿出B 时B 物的速度为VB ，B 的质量为子弹在B 中穿行时（如图2所示），B 的加速度 g m f m mg f a μμ-=-=；则 t g m f v at v v A A A )(μ-+=+= （1） g v t A A A μ= 物体滑行时间 方法二：运用动量定理 对B 全过程由动量定理得： )(A A A v v m gt m t f -=-?μ （1） 对A 由动能定理有： )(:)1()2(,计算过程略式得式代入将则有即t mv f mv t m g v t g v m t g m A A A A A A A A = =?=?=?μμμ （2） （2）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式 B 的总位移)(22t g v v v t v v s A B B A B -+++= μ A 滑行的总位 g v s A μ22 = 由位移关系s Ｂ－s Ａ=s 得：s g v t g v v v t v v A A B B A =--+++μμ2)(222 将t m mg f v v A B μ-+ =代入上式，可解得：v m ft g vt s v A +?+ =μ2)2( 由（１）问的结论t mv f = 得：ft=mv 代入上式，化简得： . 10001 .05 2.0:)2)(1()2()( N N t m v f t g v g v gt v v t g v t t t B B B B A A A =?==----------=-=∴-=-=解得联立物体滑行时间则μμμμ
一题多变与一题多解
一题多变与一题多解 在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。 对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。 一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。在例题讲解中运用一题多解和一题多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。 下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明： 例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。 解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。 解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则 由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知 当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。 评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。 解法二：（三角换元思想） 由于x+y=1，x、y≥0，则可设其中θ∈[0，] 于是，当sin2θ=1或－1时，x2+y2取最小值； 当sin2θ=0时，x2+y2取最大值1。
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初中几何的习题一题多解与一题多变 数学课程标准中，要求使学生经历站在不同角度，探索分析和解决问题的方法这一重要过程。使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法 。数学中“一题多解”和“一题多变”，被普遍看作是培养学生能力，以及开发学生智力，最佳途径之一，能够培养出学生的发散性思维，以及创造性思维，提高学生对几何的学习兴趣。 一、初中几何“一题多解”和“一题多变”的相关问题 初中生在学习几何的过程中，鉴于其概念和定理繁多，又要求学生需要具有较强的综合性能力，且巧妙多变的解题方法，导致学生学习的时候，有一种困难的感觉，提高了教师实施教学的难度。在教学过程中，不仅要帮助学生理清概念和定理的条件、结论，而且有效将其系统化、条理化，进而建立较为完整的、独立的知识结构体系。其中，为之重要的是要牢固掌握课本习题灵活多变的解题方法，比较各种方法，更深刻的领悟相关的概念与定理，归纳各种习题的解决方法，灵动的掌握各种
题型，以至于可以轻巧熟练地运用相关的概念和定理来推理论证，提升学生的解题能力。通过课本习题，多角度思考问题，寻求解题的一般规律，从而引领学生入门。 二、“一题多解”和“一题多变”需注重学生“猜测”能力 “一题多解”和“一题多变”在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中，将学生从已知的彼岸，渡到未知的彼岸。教师在教学生平面几何的过程中，不仅要教会学生怎么证明，而且重点是教会学生猜测和思考。因为猜测可以导致发现，所有证题者在解决数学问题时，都要猜测，都是先猜测后证明的。这就要求教师教学时要创立一个激发学生积极性思维、主动猜测的意境，提高学生自主探索的能力。为了调动学生思维的主动性，形成有益的思维方式，教师要鼓励和引导学生去猜，千万不要制止，哪怕是不合理的猜测，更不要把全部的秘密立即说出来，由学生自己猜测出来不仅可以开阔他们的证题的思路，而且对培养学生探究以及深究问题能力有很大的帮助。 三、几何“一题多解”和“一题多变” 我们都知道，知识都是静态的，但是我们的思维是活动的。几何的习题是固定的，但是它能够为我们呈现出的变化，却是无
一题多解一题多变
一题多解一题多变
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初中数学解题教学设计——复习《三角形》 具体操作：限定时间15分钟 1、学生先在学习卡上独立完成； 2、4人小组互相补充； 3、教师多媒体对答案。 二、典型例题 学习卡： 例：如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，BD 交OC 于点P,AC 交OB 于点Q,连结BC ．求证：BD=AC. 你还能得出哪些正确的结论呢？请选择其中的一个进行证明。 具体操作： 1、 对于第一个问题要求学生独立思考并寻求解题方法； 2、 学生在学习卡上单独完成至少一种解答，鼓励多种解答；（给 予充分的时间） P Q C B O D A E
3、 4人小组互相讨论补充不同的解题方法并将不同的方法汇总 到小组长处； （学生答题讨论时教师多巡视、指导、发现不同的解题方法） 4、 教师将各小组不同的解题方法汇总，并用多媒体进行展示，同 时提供解题方法者上台讲解，教师给予适当点评和表扬； 5、 根据不同的解答过程学生进一步思考，还能得出哪些正确的结 论，要求结论尽可能多； 6、 教师将各小组不同结论汇总、筛选并要求学生证明。 7、 各组挑选代表讲演，教师适时作出鼓励与点评。 8、请4人小组讨论交流，选出比较简单、合理又具有普遍意义的解法。 学生解题方法摘录： 方法一：（用得最多） 用SAS 证明⊿BOD ≌⊿AOC,再用全等三角形对应边相等证明AC=BD. 方法二：（用得较多） 用ASA 或SAS 或AAS 证明⊿ABD 与⊿DCA 是全等三角形，再用全等三角形对应边相等得到AC=BD 方法三： 先证明BO=DO CO=AO AB=BC=CD ∠BOD=∠AOC=∠BCD=∠ABC=120° 再利用等腰三角形的性质等边对等角，计算出∠EDA=∠EAD=∠EBC= P Q C B O D A E
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。 众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。 对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。 一、在公式的推导中运用一题多解 数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。例如：在学习等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d 时， 方法一： 21a a d =+ 3212a a d a d =+=+ 4313a a d a d =+=+………………… 由此得到 方法二： 有等差数列定义知： 1n n a a d --= 所以有 12n n a a d ---= 23n n a a d ---= …………… 32a a d -=
[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。关键词:一题多变一题多解创新思维数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生 数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙: ,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有 sinα、cosα、tanα，考虑他们法三tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题: 43,3sin?=
sin,,cos4cos,法一根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α + cos2α =1。 ?= = ? 16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，43334 34555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。 55分析:上面解方程组较难且繁 琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程 组，直接34求解就简洁些: 55或sinα=-，cosα=-3 分析: 上面从代数法角度解此题，如果单独考4法 二tanα=:α在第一、三象限虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初 中时，在第一象限时: 三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以 cos2α = 尝试几何法来解之: 2,13cos1622245，,1，,法四当α为锐角时，由于tana=,在直角?sincos25tan== ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得， c=5x ACBC344x,,5ABAB5sinA= = ,cosA= = 5 ,334y,555,?sinα= ，cosα= ，或 两式联立，得出:344x,,55,或sinα= -，cosα= - 5 分析 :用初中三角函数定义 解此题，更应该尝,3试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更y,,5,广: . 法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，443335555T点坐标是P(-, -) P(, ) 4设α=?AOT，因为tanα= ，则T点坐标是T(1, 342 553,,?sinα= ，cosα= 1，35,,344,,44 ),由勾股定理得:OT== 55 或sinα= -，cosα= - OMOPMP 分析: 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容ATOAOT??OMP??0AT?== ，易 想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题: 4433,3sin 5555OM=, MP =, p(, ),4cos, 解法七tanα= = 4sina-3cosa=0
(完整)初中数学一题多解题
初中数学一题多解题 例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数 方法一、 设较小的奇数为x,另外一个就是x+2 x(x+2)=323 解方程得：x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x 则有：x-323/x=2 解方程得：x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法三、 设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为： 2x-1,2x+1 (2x-1)(2x+1)=323 即4x^2-1=323 x^2=81 x1=9,x2=-9 2x1-1=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为x-1,x+1 则有x^2-1=323 x^2=324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？
解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得 1359925 1243320 2x y z x y z ++=<> ++=<> ?? ?.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 解1： <>+<> 123 ，得5344153x y z ++=<>. <>+<>23，得7735().x y z ++= ∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为 1342925 22320 ()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=?? ? 解之得：x y z ++=105. 2. 主元法 解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2> 得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105... 解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2> 得y x z x =+=-00512.， ∴++=+-+=x y z x x x 1052105.. 解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2> 得x y z y =-=-00511 2..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105... 3. “消元”法 解6：令x =0，则原方程组可化为 5992543320051y z y z y z +=+=????==?? ? ... ∴++=x y z 105. 解7：令y =0，则原方程组可化为 1399252332000511x z x z x z +=+=????=-=?? ? .... ∴++=x y z 105. 解8：令z =0，则原方程组可化为
小学数学一题多解与一题多变B摘要
小学数学一题多解与一题多变B摘要:在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想;而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。关键词:数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。一题多解，有利于加强学生的思维训练一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条:一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧;二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧;三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。一题多解则是诸多解题策略的综合运用。教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧;有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长;有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。它可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。在小学数学教学中，我们要在多方面时刻注意培养学生的发散思维能力。但是值得注意的是，如果片面地培养学生的发散思维能力，就会失之偏颇。在思维向某一方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要严谨的分析、合乎逻辑的推理，在发散的多种途径、多种方法中，也需要通过比较判断，获得一种最简捷、最科学的方案与结果。所以，思维的发散与集中犹如鸟之双翼，需要和谐配合，才能使学生的思维发展到新的水平。 二、启发学生用多种思路解答问题从不同的角度观察和思考问题，就会有不同的解题思路。在比较中选择最佳思路。例如:计划修一条长120 米的水渠，前5 天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天? 这道题可以启发学生先求工作效率，即从“工作量工作时间”来思考。解法(1): 120(12020%5)-5 解法(2):(120-12020%)(12020%5) 这道题也可以从分数的意义直接进行解答: 解法(3):1(20%5)-5 解法(4):(1-20%)(20%5) 解法(5) 520%-5 在学生进行解答后，我再让学生找出最佳的解答方法，学生经过比较，可以发现以解法(5)为最优。在教学实践中,这样经常进行多向思维的训练，可以让学生广开思路，萌发思维的创造性。三、鼓励学生打破常规，标新立异常规是我们认识问题和解决问题的一般方法。教学中，我们教师要在掌握常规的基础上鼓励学生突破常规，敢于设想创新，敢于标新立异。例如:李老师带了若干元去买书。一部书分为上、下两集，用全部钱能买上集10 册或买下集15 册。已知上集比下集每本贵2 张老师一共带了多少元?这题学生一般用“归一”和“倍比”的思路解答。解法(1) 210(15-10)15=60(元) 解法(2) 210[15(15-10)]=60(元) 在运用“归一”和“倍比”解法的基础上，我进一步启发学生进行分析，如果把李老师所带的钱看做单位“1”，那么，上集每本的钱则占总钱数的1/10，下集每本的钱则占总钱数的1/15，这样就可以找出一组相对应的数量，即上集比下集每本贵2 相当于总钱数的(1/10-1/15)，因此，可求得张老师带的总钱数是: 解法(3) 2(1/10-1/15)=60(元) 在教学中，我们要多给学生发表独立见解的机会，对有独到见解的学生要给予鼓励和表扬，以促进学生创造性思维的发展。四、通过一题的灵活多变，不断培养学生的创新素质在教学中，如果能做到引导学生对命题条