空间向量巧解平行、垂直关系
二、重难点提示
重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。
难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。
考点一：直线的方向向量与平面的法向量
1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。
2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。
【核心归纳】
①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。
②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。
【随堂练习】
已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（）
A. （1，1，1）
B. (,
333
C.
111
(,,)
333
D. (
333
-
思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。
答案：设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－1，
1，0），AC＝（－1，0，1），则
·0
·0
·0
AB y z
BC x y
AC x z
⎧=-+=
⎪⎪
=-+=
⎨
⎪
=-+=
⎪⎩
n
n
n
，∴x＝y＝z，
又∵单位向量的模为1，故只有B正确。
技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：
（1）设出平面的法向量为n＝（x，y，z）。
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。
（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
·0·0.
=⎧
⎨
=⎩
n a
n b
（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
【核心突破】
①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。
②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
例题1 （浙江改编）如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，
AD ＝2，BD ＝，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3
QC 。证明：PQ ∥平面BCD 。
思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。
答案：证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、
OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz 。
由题意知，A （0，2），B （0，0），D （
0，0）。
设点C 的坐标为（x 0，y 0，0）。因为3AQ QC =，所以Q
00331,442x y ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
。 因为M 为AD 的中点，故M （
0，1），又P 为BM 的中点，故P 10,0,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
所以PQ ＝0033
,,0444x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
。 又平面BCD 的一个法向量为a ＝（0，0，1），故PQ ·a ＝0。
又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD 。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。
例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。求证：AB1⊥平面A1BD。
思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。
答案：证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO ，因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC。
∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，
1
OO，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，23，A（0，03，B1（1，2，0）。
1
BA＝（－1，23，BD＝（－2，1，0）。
1
AB=（1，2，3
-）设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），
因为n⊥
1
BA，n⊥BD，故1
0230
20
BA x y z
x y
BD
⎧⎧
⋅=-+=
⎪⎪
⇒
⎨⎨
-+=
⎪
⋅=
⎪⎩
⎩
n
n
，
令x＝1，则y＝2，z3n＝（1，2，－3）为平面A1BD的一个法向量，
而
1
AB＝（1，23，所以
1
AB＝n，所以
1
AB∥n，故AB1⊥平面
A1BD。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面的法向量平行。
例题3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝
2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C。
思路分析：建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。
答案：证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A （2，0，0），A 1（2，0，1），C （0，2，0），C 1（0，2，1），E （0，0，
1
2
）， 则1AA ＝（0，0，1），AC ＝（－2，2，0），1AC ＝（－2，2，1），AE ＝（－2，0，
12
）。 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝（x ，y ，z ），则11·
0·
0AA AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩1n n ⇒0220z x y =⎧⎨
-+=⎩ 令x ＝1，得y ＝1，∴n 1＝（1，1，0）。
设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝（x 0，y 0，z 0），则21·
0·0AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩2n n ⇒000002201
202
x y z x z -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令z 0＝4，得x 0＝1，y 0＝－1。
∴n 2＝（1，－1，4）。∵n 1·n 2＝1×1＋1×（－1）＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C 。
技巧点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直。向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系。恰当建系或用基向量表示后，只须经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度。
利用向量解决立体几何中的探索性问题
【满分训练】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，棱BB 1上是否存在一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1。
思路分析：设出点M 的坐标，利用线面垂直列方程组求解。
答案：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，则E （2，1，0），
F （1，2，0），D 1（0，0，2），B 1（2，2，2）。
设M （2，2，m ），则EF ＝（－1，1，0），1B E ＝（0，－1，－2），1D M ＝（2，2，m －2）。
∵D 1M ⊥平面EFB 1， ∴D 1M ⊥EF ，D 1M ⊥B 1E ，
∴1D M ·EF ＝0且1D M ·1B E ＝0， 于是220
22(2)0
m -+=⎧⎨
---=⎩，∴m ＝1。
故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1。
技巧点拨：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件做出判断，再进一步论证。另一种是利用空间向量，先设出假设存在的点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”。
（答题时间：40分钟）
1. （东营高二检测）已知平面α的法向量为a ＝（1，2，－2），平面β的法向量为b ＝（－2，－4，k ），若α⊥β，则k ＝（ ）
A. 4
B. －4
C. 5
D. －5
2. （青岛高二检测）若AB ＝λCD ＋μCE ，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 在平面内
D. 平行或在平面内
3. 已知AB ＝（1，5，－2），BC ＝（3，1，z ），若AB ⊥BC ，BP ＝（x －1，y ，－3），且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为（ ）
A.
337，－157，4 B. 407，－15
7
，4 C. 407，－2，4 D. 4，407，－15
4. （汕头模拟）如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1。
（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； （2）若点G 在BC 上，BG ＝
23
，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1。
5. 下列命题中，正确的是________。（填序号）
① 若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ② 若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③ 若n 是平面α的一个法向量，a 与平面α共面，则n ·a ＝0； ④ 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。
6. 平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知（DB ＋DC －2DA ）·（AB －AC ）＝0，则△ABC 的形状是 三角形。
7. 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是
BC 的中点。在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由。
8. （衡水调研卷）如图所示，在四棱柱ABCD －1111A B C D 中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱1A A ＝2。
（1）证明：AC ⊥1A B ；
（2）是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP ＝λ1PA ，且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1。
1. D 解析：∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0，∴k ＝－5。
2. D 解析：∵AB ＝λCD ＋μCE ，∴AB 、CD 、CE 共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内。
3. B 解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，即3＋5－2z ＝0，解得z ＝4，
又∵BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，则156031120x y x y (-)++=⎧⎨(-)+-=⎩ ，解得407
15
7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
。
4. 证明：（1）以B 为原点，以BA ，BC ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz ，则B （0，0，0），E （3，0，1），F （0，3，2），D 1（3，3，3），则BE ＝（3，0，1），BF ＝（0，3，2），1BD ＝（3，3，3），所以1BD ＝BE ＋BF 。由向量共面的充要条件知E ，B ，F ，D 1四点共面。
（2）设M （0，0，z 0），G 20,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，则GM ＝020,,3z ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，而BF ＝（0，3，2），
由题设得GM ·BF ＝－2
3
×3＋z 0·2＝0，得z 0＝1。故M （0，0，1），有ME ＝（3，
0，0）。
又1BB ＝（0，0，3），BC ＝（0，3，0），所以ME ·1BB ＝0，ME ·BC ＝0， 从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC 。又BB 1∩BC ＝B ，故EM ⊥平面BCC 1B 1。 5. ②③④ 解析：②③④一定正确，①中两平面有可能重合。
6. 等腰 解析：（DB ＋DC －2DA ）·（AB －AC ）＝（DB －DA ＋DC －DA ）·
CB ＝（AB ＋AC ）·CB ＝0，故△ABC 为等腰三角形。
7. 解：如图所示，建立以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴的坐标系，则C 1（0，2，3），M （
1
2
，2，0），D （0，0，0）。设N （0，0，h ），
则MN ＝（－
1
2
，－2，h ），1DC ＝（0，2，3），
由MN ·1DC ＝（－1
2
，－2，h ）·（0，2，3）＝－4＋3h . ∴当h ＝
4
3
时，MN ·1DC ＝0，此时MN ⊥1DC 。∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1。 8. 证明：以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），A 1（0，0
，B （1，1，0），D 1（－1，0
），
B 1（0，1
，3），C 1（－1，1。
（1
）AC ＝（－1，1，0），1A B ＝（1，1，∴AC ·1A B ＝0，∴AC ⊥A 1B . （2
）假设存在一点P ，∵AP ＝λ1PA ，∴P （
1
1
λ+，0，1λ+）。
设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝（
x 1，y 1，z 1），
∵1AB ＝（－1
，1
，1
AC ＝（－2，1），∴11111111·
0·
20.AB x y AC x y ⎧=-+=
⎪⎨=-++=⎪⎩11n n
令z 1
y 1＝－3，x 1＝0。∴n 1＝（0，－3
）。
同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝（0
，1
λ+，－1）， ∴
n 1·n 2＝0，∴－
1
λ+＝0，即λ＝－4。 ∵P 在棱A 1A 上，与λ>0矛盾。∴这样的一点P 不存在。
用空间向量解决立体几何中的平行问题
§3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题 学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 (1)用向量表示直线的位置 (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定： ②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定： (3)直线的方向向量和平面的法向量
知识点二 平面的法向量及其求法 在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)； (3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧ n · a ＝0，n · b ＝0； (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 知识点三 用空间向量处理平行关系 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则 . (1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) (3)若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√) (5)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则l 1⊥l 2.(√) 类型一 求平面的法向量 例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC → ＝(1，－1,0)．
利用空间向量证明面面平行垂直
利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD
4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C
7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ
答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．
空间向量的平行与垂直关系解析
空间向量的平行与垂直关系解析在三维空间中，向量是常用来表示大小和方向的物理量。当我们研 究向量时，经常会遇到它们之间的平行与垂直关系。本文将对空间向 量的平行与垂直关系进行解析，并介绍相关的概念和性质。 一、向量的定义与表示 在三维空间中，一个向量可以由它的起点和终点表示。一个向量通 常用字母加箭头来表示，如向量AB记作→AB。向量的起点和终点可 以是任意两个点，向量的长度可以用有向线段的长度来表示。在直角 坐标系中，一个三维向量可以表示为一个有序三元组(a, b, c)，其中a、 b、c是向量在x轴、y轴和z轴上的投影。 二、向量的平行关系 1. 定义 当两个非零向量的方向相同或相反时，这两个向量被称为平行向量。简而言之，如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。使用 数学符号表示，则有向量→AB ∥向量→CD，或者写作向量→AB || 向 量→CD。 2. 判断方法 有几种方法可以判断两个向量是否平行，以下是两种常用方法：
- 方法一：比较向量的方向比率。如果两个向量的两个分量的比例相同，则这两个向量是平行的。例如，向量A(1, 2, 3)与向量B(2, 4, 6)的三个分量的比例都是1：2：3，因此向量A与向量B是平行的。 - 方法二：比较向量的法向量。如果两个向量的法向量是平行的，那么这两个向量是平行的。法向量是指将向量的分量进行交换，并改变其中一个分量的符号得到的新向量。例如，向量A(1, 2, 3)的法向量是向量(-3, 1, -2)。如果向量A和向量B的法向量平行，那么向量A和向量B是平行的。 三、向量的垂直关系 1. 定义 当两个非零向量的夹角为直角（90度）时，这两个向量被称为垂直向量。使用数学符号表示，则有向量→AB ⊥向量→CD，或者写作向量→AB⊥向量→CD。 2. 判断方法 有几种方法可以判断两个向量是否垂直，以下是两种常用方法：- 方法一：通过向量的点乘运算。如果两个向量的点乘结果为0，则这两个向量是垂直的。设向量A(a₁, a₂, a₃)和向量B(b₁, b₂, b₃)，则向量A和向量B垂直的充要条件是：a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0。 - 方法二：通过向量的法向量确定。类似于判断平行关系时的法向量方法，如果两个向量的法向量平行，则这两个向量是垂直的。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题 1．用向量方法证明空间中的平行关系 (1)证明线线平行 设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?□01a∥b?□02 a＝λb?□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)证明线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α?□04a⊥u?□05a·u＝0?□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)证明面面平行 ①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?□07u∥v?u＝λv?□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． ②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2．用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)证明线线垂直 设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2?□09u1⊥u2?□10u1·u2＝0?□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)证明线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?□12 u∥v?□13u＝λv(λ∈R)?□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (3)证明面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?□15u ⊥v?□16u·v＝0?□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( ) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法
空间几何中的平行与垂直关系及证明方法 在空间几何中，平行与垂直是两个重要的关系概念。平行指的是两条直线或两 个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相互垂直相交。这两个概念在几何学中有广泛的应用，并且可以通过一些证明方法来确定两条直线或两个平面是否平行或垂直。 首先，我们来讨论平行关系。在空间几何中，两条直线平行的条件是它们的方 向向量平行。方向向量是指直线上的两个不同点连线所得到的矢量。如果两条直线的方向向量平行，那么它们就是平行的。例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。如果a与b平行，即a与b的夹角为0度或180度，那么L1 和L2就是平行的。 除了方向向量平行外，两条直线还可以通过斜率来确定是否平行。斜率是指直 线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。如果两条直线的斜率相等，那么它们也是平行的。例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。 如果m1等于m2，那么L1和L2就是平行的。 在空间几何中，垂直关系的确定方法与平行关系类似。两条直线垂直的条件是 它们的方向向量垂直。如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。如果a与b垂直，即a与 b的内积为0，那么L1和L2就是垂直的。 除了方向向量垂直外，两条直线还可以通过斜率的乘积来确定是否垂直。如果 两条直线的斜率之积为-1，那么它们也是垂直的。例如，考虑两条直线L1和L2， 它们的斜率分别为m1和m2。如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2就是垂直的。 对于平面的平行与垂直关系，我们可以将其扩展到三维空间中。两个平面平行 的条件是它们的法向量平行。法向量是指垂直于平面的矢量。如果两个平面的法向
空间向量巧解平行、垂直关系
高中数学空间向量巧解平行、垂直关系 编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬知识点课标要求题型说明 空间向量巧解 平行、垂直关系 1. 能够运用向量的坐标判断两个向 量的平行或垂直。 2. 理解直线的方向向量与平面的法 向量。 3. 能用向量方法解决线面、面面的 垂直与平行问题，体会向量方法在 立体几何中的作用。 选择题 填空题 解答题 注意用向量方 法解决平行和垂直 问题中坐标系的建 立以及法向量的求 法。 二、重难点提示 重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。 难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。 考点一：直线的方向向量与平面的法向量 1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。 2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。 【核心归纳】 ①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 ②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。 【随堂练习】
已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（） A. （1，1，1） B. ( 333 C. 111 (,,) 333 D. () 333 - 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。 答案：设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－ 1，1，0），AC＝（－1，0，1），则 ·0 ·0 ·0 AB y z BC x y AC x z ⎧=-+= ⎪⎪ =-+= ⎨ ⎪ =-+= ⎪⎩ n n n ，∴x＝y＝z， 又∵单位向量的模为1，故只有B正确。 技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n＝（x，y，z）。 （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。 （3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ·0·0. =⎧ ⎨ =⎩ n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。 【核心突破】 ①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。 ②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。它们在解 决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。通过 研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应 用于实际问题的求解。 1. 平行关系 平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。在平行线之 间不存在任何交点，它们的方向相同或者互为反向。为了表示平行关系，我们可以使用"//"符号，如AB // CD。 在三维空间中，平行关系的判断可以通过以下方法确定： - 斜率法：对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率相等，则L1与 L2平行。具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，如果斜 率相等，则可以判断它们是平行的。 - 向量法：如果两条直线的方向向量是平行的，则它们是平行的。 我们可以通过求取两条直线的方向向量，然后比较它们是否平行来判 断平行关系。 平行关系的性质： - 平行线具有相同的斜率。 - 平行线之间的距离是恒定的，任意两点到另一条直线的距离相等。 - 平行线与平面的交线是平行的。
2. 垂直关系 垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。在垂直关系中，直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。 在三维空间中，判断垂直关系的方法有： - 向量法：如果两条直线的方向向量相互垂直，则它们是垂直的。通过计算两条直线的方向向量，然后判断它们是否相互垂直。 - 斜率法：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，然后计算斜率的乘积，如果结果为-1，则可以判断它们是垂直的。 垂直关系的性质： - 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。在直角坐标系中，垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。 - 垂直交线之间的夹角为90度。 - 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题，例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。 总结： 在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。平行关系指的是两条直线永远不会相交，而垂直关系指的是两条直线或直线与平面的交线之间夹角为90度。通过研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应用于实际问题的求解。
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系 编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅 目标认知 学习目标： 1．理解直线的方向向量与平面的法向量. 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 重点： 空间向量共线与垂直的充要条件；空间向量的运算及其坐标表示；用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 难点： 空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题. 学习策略： 直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置，因此用向量讨论立体几何中的平行和垂直问题，关键就是利用直线的方向向量和平面的法向量，讨论这些向量之间的平行垂直关系，从而得出空间直线、平面间的平行垂直关系。 对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 知识要点梳理 知识点一：基本定理 线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行。 线面垂直判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。 面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 知识点二：空间向量平行和垂直的充要条件
若，，则 ①，， ② 知识点三：直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 2．平面的法向量： 如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的法向量；设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则。 知识点四：用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则： ①线线平行： 或与重合 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 ②线线垂直： 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)
利用空间向量证明平行垂直关系（讲案） 【教学目标】 一、方向向量与法向量概念 【知识点】 1.直线的方向向量： 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。 注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。 （3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。 ⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。 2.平面的法向量：直线l a （注意：平面的法向量是非零向量且不唯一） 3.确定平面的法向量的方法 （1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面
的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。 （2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z = （ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c = （iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0 n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ； （iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示 12,n n 2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥ 12120n n n n ⊥⇔⋅= n ， 的法向量为m l α 0n m n m ⊥⇔⋅= α⊥ //()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n m β //()n m n km k R ⇔=∈β⊥ 0n m n m ⊥⇔⋅= 【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1) ★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1 (1,,2)2 n =，且21l l ⊥，则(m = ) A ．8 B ．8- C ．1 D ．1-
空间向量xyz平行垂直公式
空间向量xyz平行垂直公式 空间向量xyz平行垂直公式是物理学和数学研究中经常使用的一个重要公式。空间向量xyz平行垂直公式定义了两个空间向量之间的关系，能够描述两个向量的关系状态，如平行，垂直或交互。 空间向量xyz平行垂直公式的表达式如下： AB =|A | |B |cosθ 其中，AB别表示两个空间向量，|A |表示向量A的模，|B |表示向量B的模，θ表示两个向量之间的夹角。公式中=号左右两边表示两个向量运算后的结果，由公式总结可得： 1.果AB =0，则表明向量A和B是垂直的； 2.果AB >0，则表明向量A和B是共线的，夹角的角度小于90度； 3.果AB <0，则表明向量A和B是共线的，夹角的角度大于90度。 空间向量xyz平行垂直公式有多种应用，在数学中常用于检验向量是否平行或垂直，而在物理学中则可以用来计算向量的投影，计算向量之间的夹角，以及计算函数的导数等等。 空间向量xyz平行垂直公式在各种领域都有着广泛的应用，如在空间概念理论中，可以用来分析宇宙中的物体的距离、力的大小以及物体的运动；在机械设计学中，可以用来表示物体的运动轨迹，以实现物体的自动对准和自动运动；在建筑学中，可以用来分析桥梁的结构，以及古代建筑的精密构建；在地理学中，可以用来计算河流之间
的距离，以及地图上矩形和正方形等图形之间的位置关系；在四元数学中，也可以用来计算四元数之间的关系。 空间向量xyz平行垂直公式的应用广泛，为我们了解宇宙中物质之间的关系，提供了一种科学和有效的方法。它可以帮助我们更好地分析向量之间的关系，从而得出精确的结论，研究出物质之间的新的联系。 空间向量xyz平行垂直公式的重要性不言而喻，是物理和数学研究的重要基础。它为我们理解宇宙中物体之间的关系，提供了重要的参考，可以帮助我们更好地认识宇宙中的机理。只有掌握了空间向量xyz平行垂直公式，我们才能更好地掌握宇宙的秩序，为科学技术发展做出贡献。
空间向量的垂直与平行
空间向量的垂直与平行 空间向量是三维空间中的矢量，具有方向和大小。在进行向量运算时，了解向量之间的垂直与平行关系至关重要。本文将探讨空间向量的垂直与平行性质，以及它们在几何和物理等领域的应用。 1. 垂直向量 两个向量的垂直关系可以通过它们的点积（内积）来判断。设有向量A和向量B，若它们的点积等于零，则A与B垂直。点积的计算公式为： A·B = |A| × |B| × cosθ 其中，A·B表示向量A与向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。 如果A·B = 0，则cosθ = 0，即θ = 90°，这说明向量A与向量B相互垂直。 利用向量的垂直关系，我们可以解决诸如平面交线、直线垂直性等几何问题。在物理学中，垂直向量的概念也被广泛应用于力的分解和求和等问题。 2. 平行向量 两个向量的平行关系可以通过它们的叉积（外积）来判断。设有向量A和向量B，若它们的叉积等于零，则A与B平行。叉积的计算公式为：
|A × B| = |A| × |B| × sinθ 其中，A × B表示向量A与向量B的叉积，|A × B|表示向量A与向量B叉积结果的模长，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。 如果A × B = 0，则sinθ = 0，即θ = 0°或θ = 180°，这说明向量A与向量B相互平行。 平行向量常常涉及到直线的平行性和共面性的问题。在物理学上，平行向量用于计算力的合成以及判断物体的平衡状态等应用。 3. 垂直向量和平行向量的应用 垂直向量和平行向量在几何和物理学中有广泛的应用。以下是它们的一些具体应用： 3.1 几何应用 - 判断直线的垂直性或平行性，用于解决平面几何中的交线问题。 - 通过垂直向量和平行向量的性质，求解平面的法线向量和方向向量。 3.2 物理应用 - 力的分解：将一个力分解为垂直和平行于某一方向的分量，便于分析和计算。 - 力的合成：根据向量的平行关系，将多个力合成为一个合力。
高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳
... 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1， b 1， c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3， b 3， c 3)， v ＝(a4，b4，c4 ) (1)线面平行： l∥α? a ⊥ u ? a · u ＝0? a 1 a 3＋ b 1b 3＋ c 1 c 3＝0 (2) 线面垂直： l ⊥ ?∥ u ? a ＝ ku ? a 1 ＝ ka 3， b 1 ＝ kb 3 ， c 1 ＝ kc 3α a (3) 面面平行：∥ ?∥ v ? u ＝ kv ? a 3 ＝ ka 4， b 3 ＝ kb 4 ， c 3 ＝ kc 4 α β u (4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0 例 1 、以下图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD ， E ， F 分别是 PC ， PD 的中点， PA＝ AB ＝1， BC＝2. (1)求证： EF ∥平面 PAB ； (2) 求证：平面PAD ⊥平面PDC . [ 证明 ]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标 11系以下图，则 A (0,0,0)， B (1,0,0)， C (1,2,0)， D(0,2,0)， P (0,0,1)，所以 E 2，1，2，11 F0，1，2，EF＝－2，0，0 ，PB＝(1,0 ，－ 1) ，PD＝(0,2 ，－ 1) ，AP＝ (0,0,1) ，AD＝ (0,2,0) ，DC＝ (1,0,0) ，AB＝ (1,0,0) ． 1 (1)因为 EF ＝－2 AB ，所以 EF ∥ AB ，即EF∥AB. 又 AB ?平面 PAB ， EF ?平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB . (2)因为 AP · DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD · DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即AP⊥DC，AD⊥DC. 又 AP∩ AD＝ A， AP?平面 PAD ， AD ?平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD .因为 DC ?
向量法证明线面平行及垂直问题教案
龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析：向量法证明线面平行及垂直 掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离． 二、授课内容及过程： 考点1.利用空间向量证明空间垂直问题 例1:已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12 AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ； 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空 间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0, 12），N （12,0,0），S （1,12,0）111(1,1,),(,,0)222 CM SN =-=--, 因为110022 CM SN •=-++=， 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通 过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直. 例2:在长方体1111ABCD A BC D -中， E 、 F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得 (0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛ ⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法 向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量 法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可. 例3：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ， //PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. 求证：平面EFG ⊥平面PDC . 解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如 图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C (－2,2,0),D(－
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系 知识点一：求平面的法向量 例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向 量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， AB ＝(1，－2，－4)，AC → ＝(1，－2，－4)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC → = 0. 即⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． [反思]用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中 练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。 知识点二：利用向量方法证平行关系 “用向量法〞求法向量的解题步骤： 〔1〕设平面的一个法向量为),,(z y x n =； 〔2〕找出〔或求出〕平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；〔3〕根据法向量的定义列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0 0b n a n ； 〔4〕解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
〔1〕线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为a 、b ，则b a b a l l λ=⇔⇔////21 〔2〕线面平行： ①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可； ②设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαa a l ； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. 〔3〕面面平行： ①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//； ②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行. 例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面. 证方法一：∵1B C =1A D ， ∴D A C B 11//，又11ODC D A 面⊂,11ODC C B 面⊄ ∴11//ODC C B 面 证法二：∵1B C =11B C +1B B =1B O +1OC +1D O +OD =1OC +OD . ∴ 1B C ，1OC ，OD 共面. 又B 1C ⊄ 面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1. 证法三:如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， 1B C ＝(－1,0，－1)， OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1， 1OC ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，
2021届高考数学专题突破利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练 08利用空间向量证明平行、垂直 一、考点传真： 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 二、知识点梳理： 证明平行、垂直问题的思路 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 三、例题： 例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A 1B 1∥ED . 又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1. （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE . 因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1. 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E . 例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，， ，，，， （1）求证： 平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)∵面PAD 面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ， ∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ， P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AM AP
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题素材北师大版选修2-1 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题素材北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题素材北师大版选修2-1的全部内容。
不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题 关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理，而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了。而实际上，利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点. 一。 利用空间向量处理垂直关系问题 例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点. 求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 . [分析]：线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。 ［解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM,MN ，CN MN ∥21BB 1∥CD 且MN =2 1 BB 1=CD D M A1 B1 B N A C C 1 ∴ DM ∥CN 且 DM=CN 由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1， DM ⊥面AB B 1A 1，且 DM ⊂面AB 1D ， ∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1 [回顾］面面垂直的判定定理“l ⊥α ， l ⊂α ⇒ α ⊥β "中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。 将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。于是有下
备战高考数学一轮复习(热点难点)专题48 合理建系巧证平行、垂直问题 理
专题48 合理建系--巧证平行、垂直问题 考纲要求: 1．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．2．理解直线的方向向量及平面的法向量;能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 基础知识回顾: 一、直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，则称此向量为直线的方向向量． 2．平面的法向量：直线⊥，取直线的方向向量，则向量叫作平面的法向量．二、空间位置关系的向量表示，如图1. 应用举例: 类型一、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 例1、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． 解析：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝，－a a 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥，有2a －az 0＝0， 解得z 0＝21 .又DP ⊄平面B 1AE ， ∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝21 . 小结：求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n ＝(0,0,0)不能作为法向量． 类型二、利用正棱锥的中心与高所在的直线建立空间直角坐标系