基于博弈论的恋爱模型

《数学建模》

课程考核论文

姓名：王湘衡齐久坤张程勇

学号：08100225 08100217 08100232 班级：08信息2班

2011年5 月10日

基于博弈论的恋爱数学模型

摘要

本文用数学建模的方法研究博弈论中的问题，从不完全信息静态博弈建立模型建立模型，并利用纳什均衡原理程序来确定纳什均衡点，对不同均衡点进行分析，从而来确定最佳策略。然后通过海萨尼转换将不完全信息静态博弈转换成不完全信息动态博弈，来模拟现实社会中的恋爱，再利用恋爱者不同类型的分布概率，求出恋爱者的期望，最终来决策恋爱者自己下一步的策略。

关键词：恋爱模型博弈论贝叶斯纳什均衡

1、问题重述

随着社会的进步和发展，现在恋爱问题越来越成为生们关注的热门话题，那么如何利用数学知识来确定恋爱中双方能找到适合自己的恋人，成为现在数学建模中研究的一个重要领域。恋爱模型可以用博弈论来确定双方的合适恋人，这其中将恋爱双方都理想化，这样将给我们研究恋爱问题和建立数学模型带来方便，使我们能将恋爱模型数学化，从而确定恋爱者的进一步决定。

2.模型假设及符号说明

模型假设：

1、恋爱双方都有自己明确的恋爱目标

2、恋爱双方从始至终都保持着自己的理性

3、恋爱双方都有自己喜欢类型的人，并且不会随时间变化

4、恋爱的男女通过对方的行为能够明确的判断出对方为哪种类型的人

5、恋爱的参与生都选择的是均衡战略

符号说明：

3. 问题分析与模型建立

3.1 问题分析

谈恋爱作为一个日常生活中最常见的现象要模型化却也并不简单。我们不妨

这样来看，谈恋爱的男女双方，各有不同类型，我们简单将其分为为了寻找真正爱情的人和为了骗财骗色的人。虽然这样不免有所武断,但我们分析的是一般现象，寻求的是一般解释。有了这样的分类便有了不同的组合，有了我们这个世界的爱恨情仇。我们的分析中有现代版的陈世美，却不会让他得逞，原因是理性经济人的假设。有人说这一点说不通，我不这样认为，经济学说所有人都是理性的并不影响不理性家伙们的存在，能解释一切的理论只能是没有内容的套套逻辑。一个理论的解释力只不过是它一般化的程度罢了。

简单的博弈理论己深入人心，显然上面的问题是不完全信息博弈，无论是男追女还是女追男，信息的不完全或是不对称是显而易见的，用博弈论的话说是对对方的了解不够精确。因此，我们依据博弈论理论可以将其分为静态博弈和动态博弈。静态分析是找出其静态均衡，动态分析是揭示现实中生的行为。

3.2 模型的建立

3.2.1不完全信息静态博弈模型

所谓静态是指所有参与生都同时行动，不会以别人行动的信息来更改自己的行动。我们以最常见的男追女为例，一个男生追求一个女生，在此情况下女生最苦恼的是不知男生是A类型的人还是B类型的人，虽然自己可以从各种渠道了解男生，但知生知面不知心，风险还是存在的。在这种情况下女生所遇到的就是不确定性条件下的选择问题，因为女生不仅不知道男生的类型(A还是B)，而且还不知道不同类型的分布概率，但她对自己所属的类型是清楚的，这是她的私人信息。同理男生也是这样。

下面来设定支付函数的权值，以便求出纳什均衡点，设男A类追求者，只要他追求A类女生就得到10，他不追求A类女生就得到-10，A类女生接受得到10，拒绝得到-10；男B类追求者，他追求A类女生得到10，不追求得到-10，A类女生接受得到-10，拒绝得到10；男A类追求者，他追求B类女生得到-10，不追求得到10，B类女生接受得到10，拒绝得到-10；男B类追求者，他追求B类女生得到10，不追求得到0，B类女生接受得到10，拒绝得到0；他们的支付函数的权值依赖追求者的类型。这里用下面四张表说明：

男生属于A类且女生自己也是A类情况：

表一：

调用nash.eq((10,10),(10,-10),(-10,10),(-10,-10))函数。

得输出结果为：

纳什均衡点：（10,10）

通过输出结果，可以判断，在这种情况下男A类追求者和女A类接受者组合是恋爱中的最佳策略。

男生是A类且女生是B类情况：

表二：

调用nash.eq((-10,10),(-10,-10),(5,10),(5,-10));函数

得输出结果为：

纳什均衡点：（0,10）

通过输出结果，可以判断，在这种情况下男A类追求者和女A类接受者组合是恋爱中的最佳策略。

上表中前面的数字是男生的效用，后面是女生的效用，很显然上面的纳什均

衡是(10,10)，(5，10)。即好男生和好女生成眷属,这也是我们社会发展之大势。下面看男生是B种类型的情况：

在这种情况下，女生所面对的风险更大，当然我们应该考虑的是不知男生为何物时的选择。但要在这样一个模型之下，我们先来看下面的表：

男生是B类且女生是A类：

表三：

调用 nash.eq((10,-10),(-10,10),(-10,-10),(0,0));输出结果：

纳什均衡点：（0,0）

男生是B类且女生是B类：

表四：

调用 nash.eq((10,10),(10,0),(0,10),(0，0));输出结果：

纳什均衡点：（10,10）

显然这儿的纳什均衡是(10,10)，(10,10)，坏男生在好女生这儿讨不到好，找到坏女生也爽不到哪儿去。我们这个世界全是有了这种生才搞的乱七八糟。

有了上面的分析，我们可以来分析恋爱中生的静态均衡，将不确定性条件下

问题转化为在风险条件下的，我不清楚你的类型，你也不清楚我的类型是。但可以知道不同类型的分布概率。这种转换称之为海萨尼转换.

通过海萨尼转换，不完全信息博弈变成了完全但不完美博弈。即只知分布概率，不知具体类型。并且海萨尼提出了贝叶斯纳什均衡，在此均衡下参与生的目标是：在给定自己的类型，以及其他参与生的类型与战略关系选择的条件下，使自己的期望效用最大化。

回到上文，对一个好女生(A)来说(给定自己的类型)，她知道男生有两种：A和B，而且知道不同男生的不同选择，以及不同男生的分布概率。假定好男生出现的概率是X，则坏家伙则是1-X，女生如果选择接受，则她的期望效用是10X-10(1-X)，如果选择不追求，则期望效用为-10X+10(1-X)，简单计算表明，当好男生出现的概率大于50%时，接受是好女生的最优选择。反之，如果X<1/2,贝叶斯（纳什）均衡：男生不追求，女生拒绝。为什么当X<1/2时，男生选择不追求呢？因为他知道他追求会被拒绝，这种损脸面的事不值得干。同理我们可以算出不同的生的不同的最佳选择和相应的概率。虽然这个世界上的坏男生不少，但毕竟还是好的多，50%我想还是有的，好女生们不要犹豫了.当然我的数据全是捏造的，旨在说明这种分析方法。效用这种主观的东西我无从衡量。当然了，现实中可以供我们参考的信息多的是。充分的利用必能助于判断,恋爱现象也绝非这么简单。现在就让我们来看看动态的情况。

3.2.2不完全信息动态博弈模型

在动态博弈中，行动有先有后，后行动者通过观察先行动者的行为来获得有关先行动者的信息。从而修正有关自己对先动者的判断。此时的博弈变的很简单，某一参与生既不知道其他参与生的真实类型，也不知道其他参与生所属类型的分布概率。他只是对这一概率分布有自己的主观判断，即有自己的信念。博弈开始后，该参与生将根据他所观察到的其他生的行为来修正自己的信念。并根据这种不断变化的信念，作出自己的战略选择。对应于不完全信息动态博弈的是精炼贝叶斯均衡。这个概念是完全信息动态博弈的子博弈精炼纳什均衡与不完全信息动态博弈的贝叶斯均衡的结合。

这一分析方法中所用的贝叶斯法则是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断进行修正的标准方法。可以用中国著名的成语――黔驴技穷的例子形象描述一下：老虎没有见过驴子，因而不知道自己比驴子强还是弱。老虎的战略是：如果自己弱，那就只能躲，如果自己强，那就吃驴子。对于自己并不了解驴子，老虎的做法是不断试探，通过试探，修改自己对驴子的看法。如果驴子表现温顺无能，老虎就认为驴子是美食的概率比较大，起初驴子没有反应，老虎认为驴子不像强敌，胆子越来越大。后来驴子大叫.老虎以为驴子要吃它，吓的逃走，但后来想想，又觉得不一定，于是继续试探，直到驴子踢老虎，老虎才觉得驴子“仅此技耳”，于是采取自己强时的最优行动――吃驴子。

我们将恋爱问题用贝叶斯的分析思路量化如下。

男生向女生追求，女生不知男生是何种类型，但女生知道如果男生是A类型，当女生采取行动集C＝（c）时，男生反应为集合E＝（e）的概率为20%，如果男生是B类型，则女生采取行动集C时，他反应为集合E＝（e）的概率为100%。

现在博弈开始，女生根据现有的一切信息认为这个男是A类的概率是70%，因此女生估计自己采取行动集C时，男生采取E的概率为：

(P(A)*P(E/A)+P(A)*P(E/A)=0.7*0.2＋0.3*1＝0.44

0.44是女生给定男生所属类型的先验概率下，男生可能采取E的概率。

当男生确实进行E时，使用贝叶斯法则，根据男生采取E的这一行为，女生认为男生是A的概率变为：

P(A/E)=P(A)*P(E/A)/(P(A)*P(E/A)+P(A)*P(E/A))=0.7（男生是A型的先验概率）*0.2（A型男生采取E的概率）/0.44＝0.32

根据这一新的概率，女生估计自己采取C时男生采取E的概率为

0.32*0.2+0.68*1＝0.744

如果女生再一次采取C，男生又采取了E，则女生认为男生是A型的概率变为：

0.32*0.2/0.744＝0.086

这样男生一次一次的采取E，女生对男生的判断逐步发生变化，越来越倾向于男生为B型，一个男生就这样通过自己的行为把自己卖了，一个女生就这样看清了一个男生。

从上面的分析中我们可以看出，在不完全信息动态博弈中，参与生的行为具有传递信息的作用。应该看到的是，传递信息的行为是需要成本的，假如这种行为没有成本，谁都可以效仿，这种行为就达不到传递信息的作用。

恋爱中的男男女女正是这样一步一步找到自己的真爱的，当然生们找伴侣绝不是选A选B这么简单，作为一种一般的分析，我不可能也没有必要把它写成恋爱宝典。复杂的世界只能以简单的理论下笔，才有解释的可能。

参考文献

[1] 阮晓青，周义仓. 数学建模引论. 第一版. 北京：高等教育出版社，2005

[2] 唐焕文，贺明峰. 数学模型. 第二版. 北京：高等教育出版社，2002

[3] 谢识予. 经济博弈论. 上海：复旦大学出版社，2002

附录一相关程序源代码

package jobs;

import java.awt.*;

public class nash {

/**

* @param args

*/

public static void main(String[] args) {

// TODO Auto-generated method stub

nash ns=new nash();

Point p1=new Point(10,10);

Point p2=new Point(10,-10);

Point p3=new Point(-10,10);

Point p4=new Point(-10,-10);

Point eq=ns.findeq(p1,p2,p3,p4);

System.out.println("纳什均衡点是：("+eq.x+","+eq.y+")");

}

public Point findeq(Point cp1,Point cp2,Point cp3,Point cp4) {

Point a[][]={{cp1,cp2},{cp3,cp4}};

int i,j;

if(a[0][0].x>=a[0][0].y&&a[0][1].x>=a[0][1].y)

{

i=0;

}

else

{

i=1;

}

if(a[0][0].y>=a[0][0].x&&a[1][0].y>=a[1][0].x)

{

j=0;

}

else

{

j=1;

}

return a[i][j];

} }