专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明
5 -
1
专题十三推理与证明
2019 年第三十八讲推理与证明
2019 年
8.（2019 全国I 理 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底
的长度之比是（
2
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如2
此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 -1
．若某人满2
足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
8 解析头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-1
≈ 0.618 ，2
26
可得咽喉至肚脐的长度小于
0.618
≈ 42 ，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1
，可得肚脐至足底的长度小2
42+26
=110 ，
0.618
即有该人的身高小于110 + 68 = 178cm ，
又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm 之间．故选B．
9. （2019 全国II 理4）2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面
5 -1
3
M 2 = 3α + 3α + α ≈ α 3
1 软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日 L
2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球
质量为 M １，月球质量为 M ２，地月距离为 R ，
L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
M 1
+
M 2
= (R + r ) M
1 .
(R + r )2
r
2
R 3
α =
r
α
3α 3 + 3α 4 + α 5
≈ α 3
设
，由于 R
的值很小，因此在近似计算中
(1+ α )2
B ，则 r 的近似值为
9 解析 解 法 一 （ 直 接 代 换 运 算 ） ： 由
M 1
+
M 2
= (R + r ) M
1 及 α = r 可得
M 1
+
M 2
= (1+ α ) M
1 ，
(R + r )
2
r
2
R 3 R
(1+ α )2
R
2
r
2
R 2
M
M M
[(1+ α )3 -1]M (3α + 3α 2 + α 3 )M
2 = (1+ α ) 1 - ?1 = ?1 = ?1 . r 2 R 2 (1+ α )2 R 2 (1+ α )2 R 2 (1+ α )2 R 2
3α 3 + 3α 4 + α 5
M M 3r 3M r 3
M R 3
因为
≈ 3α 3 ，所以 2 ≈ 1 ? = ?1 ，则r ≈ ?2 ， r ≈ .
(1+ α )2
r 2 R 2 R R 3
3M 1
故选 D.
解法二（由选项结构特征入手）：因为α = r R
，所以r = R α ，
M 1
r 满足方程：
+
M 2
= (R + r )
M 1
．
(R + r )2
r 2 R 3
3 4
5 3 所以 M (1+ α
)2
，
D C A
，
所以r = α R 故选 D .
2010-2018 年
一、选择题
1．(2018 浙江)已知a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 成等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ．若
a 1 > 1，则
A ． a 1 < a 3 ， a 2 < a 4
C ． a 1 < a 3 ， a 2 > a 4
B ． a 1 > a 3 ， a 2 < a 4
D ． a 1 > a 3 ， a 2 > a 4
2．(2018 北京)设集合 A = {(x , y ) | x - y ≥1, ax + y > 4, x - ay ≤ 2}, 则
A ．对任意实数a ， (2,1) ∈ A
C ．当且仅当a < 0 时， (2,1) ? A
B ．对任意实数a ， (2,1) ? A D ．当且仅当a ≤ 3
时， (2,1) ? A
2
3．（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你
们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
4．（2017 浙江）如图，已知正四面体 D - ABC （所有棱长均相等的三棱锥）， P ， Q ，
R 分别为 AB ，BC ，CA 上的点，AP = PB BQ = CR
= 2 ，分别记二面角 D - PR - Q ，
QC
RA
D - PQ - R ， D - QR - P 的平面角为α ， β ， γ ，则
D
A C
R Q
P
B
A．γ<α< βB．α< γ< βC．α< β< γD．β< γ<α 5．(2016 北京)某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
在这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，则
A．2 号学生进入30 秒跳绳决赛B．5 号学生进入30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入30 秒跳绳决赛D．9 号学生进入30 秒跳绳决赛6．(2015 广东)若集合Ε= {(p, q, r, s)0 ≤p
用card (Χ)表示集合Χ中的元素个数，则card (Ε)+card (F )=
A．200 B．150 C．100 D．50
7．（2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有A．2 人B．3 人C．4 人D．5 人
8．（2014 ft东）用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”
时，要做的假设是
A．方程x3 +ax +b = 0 没有实根B．方程x3 +ax +b = 0 至多有一个实根C．方程x3 +ax +b = 0 至多有两个实根D．方程x3 +ax +b = 0 恰好有两个实根9．（2011 江西）观察下列各式: 55 = 3125 ，56 =15 625 ，57 = 78 125 ，???，则52011 的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
10．（2010 ft东）观察(x2)'=2x，(x4)'=4x3，(cos x)'=-sin x，由归纳推理可得：若
定义在R 上的函数f (x) 满足f (-x) =f (x) ，记g(x) 为f (x) 的导函数，则g (-x) = A．f (x) B．-f (x) C．g(x) D．-g(x)
二、填空题
11．(2018 江苏)已知集合A = {x | x = 2n - 1, n ∈N*} ，B = {x | x = 2n, n ∈N*} ．将A U B 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列{a
n
} ．记S n 为数列{a n } 的前n 项和，则使得
S n > 12a
n+1
成立的n 的最小值为．
12．（2017 北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i
的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B
i
的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3．
①记Q
i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q
1
，Q
2
，Q
3
中最大的是_ ．
②记p
i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p
1
，p
2
，p
3
中最大的
是．
13．(2016 新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．
14．（2016 ft东）观察下列等式：
(sin π
)-2 + (sin
2π
)-2 =
4
?1? 2 ；
3 3 3
(sin π
)-2 + (sin
2π
)-2 + (sin
3π
)-2 + (sin
4π
)-2 =
4
? 2 ?3 ；
5 5 5 5 3
(sin π
)-2 + (sin
2π
)-2 + (sin
3π
)-2 +???+ (sin
6π
)-2 =
4
? 3? 4 ；
7 7 7 7 3
(sin π
)-2 + (sin
2π
)-2 + (sin
3π
)-2 +???+ (sin
8π
)-2 =
4
? 4? 5 ；
9 9 9 9 3
……
照此规律，
(sin
π
)-2 + (sin
2π
)-2 + (sin
3π
)-2 +???+ (sin
2nπ
)-2 =．2n +1 2n +1 2n +1 2n +1
15．（2015 陕西）观察下列等式：
1－1
=
1 2 2
1－1
+
1
-
1
=
1
+
1 2 3 4 3 4
1－1
+
1
-
1
+
1
-
1
=
1
+
1
+
1 2 3 4 5 6 4 5 6
……
据此规律，第n 个等式可为．
A 2
A 4 1
3 3
5 5 5 7 7 7 7 16．（2015 ft 东）观察下列各式：
C 0
= 40 ；
C 0 + C 1 = 41 ；
C 0 + C 1 + C 2 = 42 C 0 + C 1 + C 2 + C 3 = 43
……
照此规律，当n ∈ N *
时，
C 0
+ C 1
+ C 2 + ??? + C n -1 = ?．
2n -1
2n -1
2n -1
2n -1
17．（2014 安徽）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC = 2 2 ，过点 A 作 BC 的垂
线，垂足为 A 1 ；过点 A 1 作 AC 的垂线，垂足为 A 2 ；过点 A 2 作 A 1C 的垂线，垂足为
A 3 ；…，依此类推，设 BA = a 1 ， AA 1 = a 2 ， A 1 A 2 = a 3 ，…， A 5 A 6 = a 7 ，则a 7 = ．
A
B
1
3
18．(2014 福建)若集合{a , b , c , d } = {1,2,3,4}, 且下列四个关系：① a = 1 ；② b ≠ 1；③ c = 2 ；
④ d ≠ 4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a , b , c , d ) 的个数是 ．
19．(2014 北京)顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一
位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作， 两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料 A 9
15 原料 B
6
21
则最短交货期为
个工作日．
20．(2014 陕西)已知 f (x ) = x
1+ x
, x ≥ 0 ，若 f 1 (x ) = f (x ), f
n +1 (x ) = f ( f n (x )), n ∈ N + ，则
f 2014 (x ) 的表达式为
．
21．(2014 陕西)观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中， F ，V ，E 所满足的等式是
．
22．(2013 陕西)观察下列等式:
12 = 1
12 - 22 = -3
12 - 22 + 32 = 6
12 - 22 + 32 - 42 = -10
…
照此规律, 第n 个等式可为
．
23．(2013 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1，3，6，
10，…，第n 个三角形数为 n
(n + 1) = 1 n 2
+ 1
n ．记第n 个k 边形数为 2 2 2
N (n , k ) (k ≥ 3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数正方形数五边形数六边形数 N (n , 3) = 1 n 2 + 1
n
2 2 N (n ,4) = n 2
N (n ,5) = 3 n 2 - 1
n
2 2 N (n , 6) = 2n 2 - n
……
可以推测 N (n , k )的表达式，由此计算 N (10, 24) = ?．
24．(2012 陕西)观察下列不等式
1 2
1+ 1 < 3 22 2 1+ 1 + 1 < 5 ，
22 33 3
1 1 1 7 1 + + + < ，
22 32 42 4
……
照此规律，第．五．个．
不等式为 ．
25．(2012 湖南)设 N = 2n (n ∈ N *
, n …2) ，将 N 个数 x , x ,???, x 依次放入编号为 1,2，…，
N 的 N 个位置，得到排列 P 0 = x 1 x 2 ??? x N ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数
N N 取 出 ， 并 按 原 顺 序 依 次 放 入 对 应 的 前
和后
2
2
个 位 置 ， 得 到 排 列
P = x x ??? x x x ??? x ，将此操作称为 C 变换，将 P 分成两段，每段 N
个数，并 1 1 3 N -1 2 4 N 1 2
对每段作 C 变换，得到 P ；当2 剟i n - 2 时，将 P 分成2i 段，每段 N
个数，并对
2 i 2i
每段 C 变换，得到 P i +1 ，例如，当 N =8 时， P 2 = x 1 x 5 x 3 x 7 x 2 x 6 x 4 x 8 ，此时 x 7 位于 P 2 中的第 4 个位置.
（1）当 N =16 时， x 7 位于 P 2 中的第
个位置；
（2）当 N = 2n
（ n …8 ）时， x 位于 P 中的第
个位置.
173
4
26．(2011 陕西)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n 个等式为
．
27．(2010 浙江)设n ≥ 2, n ∈ N , (2x + 1
)n
- (3x + 1
)n = a + a x + a x 2 + ??? + a x n
，将
2
3
0 1 2 n
a (0 ≤ k ≤ n ) 的最小值记为T ，则T = 0,T = 1 - 1 ,T = 0,T = 1 - 1
,???, k n 2 3 23 3
3 4 5 25 35
T n ,??? 其中T n =
．
28．(2010 福建)观察下列等式：
N
① cos2α =2 cos 2
α - 1；
② cos4α =8 cos 4 α - 8 cos 2
α + 1；
③ cos6α =32 cos 6 α - 48 cos 4 α + 18 cos 2
α - 1；
④ cos8α =128 cos 8 α - 256 cos 6 α + 160 cos 4 α - 32 cos 2
α + 1； ⑤ cos10α = m cos 10 α - 1280 cos 8 α + 1120 cos 6 α + n cos 4 α + p cos 2
α -
1． 可以推测， m - n + p = ．
三、解答题
29．（2018北京）设n 为正整数，集合
A ={α | α = (t 1, t 2 ,L
, t n ), t k ∈{0,1}, k = 1, 2,L
, n }．对
于集合 A 中的任意元素α = (x 1, x 2 ,L , x n ) 和 β = ( y 1, y 2 ,L 1
, y n ) ，记 M (α , β ) =
[(x + y - | x - y |) + (x + y - | x - y |) +L 2
1 1 1 1
2 2 2 2 + (x n + y n - | x n - y n
|)] ．
(1)当 n = 3 时，若α = (1,1, 0) ， β = (0,1,1) ，求 M (α ,α ) 和 M (α , β ) 的值；
(2)当 n = 4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素α , β ，当α , β 相同时，
M (α , β ) 是奇数；当α , β 不同时， M (α , β ) 是偶数．求集合 B 中元素个数的最大
值；
(3)给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素
α , β ， M (α , β ) = 0 ．写出一个集合 B ，使其元素个数最多，并说明理由．
30．(2018 江苏)设n ∈ N * ，对 1，2，··· ，n 的一个排列i i L i ，如果当 s < t 时，有i > i ，
1 2
n
s t
则称(i s , i t ) 是排列i 1i 2 L i n 的一个逆序，排列i 1i 2 L i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2．记 f n (k ) 为 1，2，·· ，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数． (1)求 f 3 (2), f 4 (2) 的值；
(2)求 f n (2)(n ≥ 5) 的表达式(用n 表示)．
31．（2017 江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n } 满足
*
a n -k + a n -k +1 + ??? + a n -1 + a n +1 + ??? + a n +k -1 + a n +k = 2ka n
对任意正整数n (n > k ) 总成立，则称数列{a n } 是“ P (k ) 数列”． （1）证明：等差数列{a n } 是“ P (3) 数列”；
（2）若数列{a n } 既是“ P (2) 数列”，又是“ P (3) 数列”，证明：{a n } 是等差数列．
32．（2017 北京）设{a n } 和{b n } 是两个等差数列，记
c n = max{b 1 - a 1n , b 2 - a 2n ,???, b n - a n n } (n = 1, 2, 3,???) ，
其中max{x 1 , x 2 ,???, x s } 表示 x 1 , x 2 ,???, x s 这 s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若a n = n ， b n = 2n -1，求c 1 , c 2 , c 3 的值，并证明{c n } 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数 M ，存在正整数m ，当n ≥ m 时， c n n
> M ；或者存在
正整数m ，使得c m , c m +1 , c m +2 ,??? 是等差数列．
33．(2016 江苏)记U = {1, 2,L ,100} ．对数列{a n }（ n ∈ N ）和U 的子集T ，若T =? ，定义
S T = 0 ； 若 T = {t 1, t 2 ,L , t k } ， 定义 S T = a t + a t + L + a t ．例如： T = {1, 3, 66} 时 ，
1
2
k
S = a + a + a ．现设{a }（ n ∈ N * ）是公比为3 的等比数列，且当T = {2, 4} 时，S = 30 ．
T
1
3
66
n
T
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意正整数k （1≤ k ≤100 ），若T ? {1, 2,L , k } ，求证： S T < a k +1 ；
(3)设C ? U ， D ? U ， S C ≥ S D ，求证： S C + S C I D ≥ 2S D ．
34．(2016 浙江)设函数 f (x ) = x 3
+
(1) f (x ) ≥1- x + x 2
； (2) 3 < f (x ) ≤ 3
．
4 2
1
1+ x
， x ∈[0,1] ．证明： 35．(2015 湖北)已知数列{a } 的各项均为正数， b = n (1 + 1 )n
a (n ∈ N ) ，e 为自然对数的
n
底数．
n n n
+
(1)求函数 f (x ) = 1 + x - e x 的单调区间，并比较(1 + 1
)n 与 e 的大小；
n
n
i (2)计算 b 1 ， b 1b 2 ， b 1b 2b 3 ，由此推测计算 b 1b 2 L b
n 的公式，并给出证明；
a 1 a 1a 2 a 1a 2 a 3 a 1a 2 L a n
1
(3)令c n = (a 1a 2 L a n )n ，数列{a n } ，{c n } 的前n 项和分别记为 S n , T n , 证明： T n < e S n ．
36．(2015 江苏)已知集合 X = {1, 2, 3},Y n = {1, 2, 3,....., n }(n ∈ N * ) ，设 S = {(a , b ) | a 整除
b 或b 除a , a ∈ X , b ∈Y n }，令 f (n ) 表示集合 S n 所含元素的个数．
(1)写出 f (6) 的值；
(2)当 n ≥ 6 时，写出 f (n ) 的表达式，并用数学归纳法证明．
37．(2014 天津)已知q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {0,1, 2,L , q - 1} ，
集合 A = {x x = x 1 + x 2q + L + x q n - 1
, x ? M , i 1, 2,L , n } .
(1)当 q = 2 ， n = 3 时，用列举法表示集合 A ；
(2)设 s ,t ? A ， s = a + a q + L + a q
n - 1
， t = b + b q + L + b q
n - 1 ，其中a ，
1
2
n
1
2
n
i
b i ∈ M ， i = 1, 2,???, n ．证明：若a n < b n ，则 s < t ．
38．(2013 江苏)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠ 0) ， S n 是其前n 项和. 记
b n = nS
n n 2 + c
， n ∈ N * ，其中c 为实数.
(1)若c = 0 ，且b ， b ， b 成等比数列，证明：
S = n 2 S (k ,n ∈ N *) ； 1
2
4
nk
k
(2)若{b n }是等差数列，证明： c = 0 ．
n
推理与证明(教案)
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
推理与证明
推理与证明 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为 （） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行
4、（2007广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a* （b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在 年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发 现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45， 54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调 整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3， 4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0， 1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18 8、（2006辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b ∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）
高考数学：专题三 第三讲 推理与证明配套限时规范训练
第三讲 推理与证明 （推荐时间：50分钟） 一、选择题 1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项 公式为 ( ) A ．a n ＝3 n －1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3 2．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2 －2－4 ＝2，依照以上各 式的规律，得到一般性的等式为 ( ) A.n n －4＋8－n 8－n －4 ＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4 ＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4 ＝2 3． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝ ??? ?13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝ ??? ?13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x ) 实用文档 选修2-2 第二章 推理与证明(B) 一、选择题 1、某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1) 种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( ) A ．f (n －1)＋1 B ．f (n －2)＋2 C ．f (n －2)＋1 D ．f (n －1)＋f (n －2) 2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2 ，可推知扇形面 积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr 2 D ．不可类比 3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．n π B．(n －2)π C．π D．2π 4、“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是 ( ) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 5、设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出 f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k) 实用文档 6、已知p ＝a ＋1 a －2 (a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p 第41讲逻辑推理与证明复数框图 高三新数学第一轮复习教案〔讲座41—逻辑、推理与证明、复数、 框图〕 一．课标要求： 1．常用逻辑用语 〔1〕命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②明白得必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系； 〔2〕简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 〔3〕全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例，明白得全称量词与存在量词的意义； ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2．推理与证明 〔1〕合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发觉中的作用； ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理； ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 〔2〕直截了当证明与间接证明 ①结合差不多学过的数学实例，了解直截了当证明的两种差不多方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的摸索过程、特点； ②结合差不多学过的数学实例，了解间接证明的一种差不多方法--反证法；了解反证法的摸索过程、特点； 〔3〕数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； 〔4〕数学文化 ①通过对实例的介绍〔如欧几里德?几何原本?、马克思?资本论?、杰弗逊?独立宣言?、牛顿三定律〕，体会公理化思想； ②介绍运算机在自动推理领域和数学证明中的作用； 3．数系的扩充与复数的引入 〔1〕在咨询题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规那么、方程理论〕在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系； 〔2〕明白得复数的差不多概念以及复数相等的充要条件； 〔3〕了解复数的代数表示法及其几何意义； 〔4〕能进行复数代数形式的四那么运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4．框图 〔1〕流程图 ①通过具体实例，进一步认识程序框图； 第3讲 合情推理与演绎推理 一、选择题 1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，a 3 ＋b 3 ＝4，a 4 ＋b 4 ＝7，a 5 ＋b 5 ＝11，…，则a 10 ＋b 10 ＝( ) A ．121 B ．123 C ．231 D ．211 解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋ a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123． 法二：由a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10 ＋b 10 ＝(a 5 ＋b 5)2 －2a 5b 5 ＝123． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( ) A ．21 B ．34 C ．52 D ．55 解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B ．(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2) 解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有 n （n ＋1） 2 个“整 数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每 个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)． 4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时 专题十二 推理与证明 第三十二讲 推理与证明 答案部分 2019年 1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下： 甲：甲乙． 乙：丙乙且丙甲． 丙：丙乙． 因为只有一个人预测正确， 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲， 因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确， 所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意． 所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲乙，乙丙． 故选A ． 2010-2018年 1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++ 1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++， 所以1234 12312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤， 又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)， 斜率为1 a 的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为3 2 - ，当32a -<-，即3 2 a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的 区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即3 2 a =时， 4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ． 解法二 若(2,1)A ∈，则21422 a a +>?? -?≤，解得32a >，所以当且仅当3 2a ≤时， (2,1)A ?．故选D ． 3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙 看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 4．A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即 11 2 n n n n S h B B += ，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么 简单已测：1994次正确率：87.2 % 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推 理；②归纳推理是由?般到?般的推理；③演绎推理是由?般到特殊的推理；④类?推理是由特殊到?般的推理；⑤类?推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤ 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：C 解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出?般性结论的推理． 故①对②错； ?所谓演绎推理是由?般到特殊的推理．故③对； 类?推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从?推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：． ?般已测：2488次正确率：82.5 % 2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加?“归纳”,则应该放在（ ） A.“合情推理”的下位 B.“演绎推理”的下位 C.“直接证明”的下位 D.“间接证明”的下位 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：A 解析：合情推理包括归纳推理与类?推理，因此答案为. C A 简单已测：1990次正确率：95.2 % 3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D. 个 考点：分析法的思考过程、特点及应?、综合法的思考过程、特点及应?知识点：综合法、分析法答案：C 解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确． ?般 已测：3748次 正确率：87.4 % 4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ） A.B.C.D. 考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常??法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：， 可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的， ， 的末四位数字与的后四位数相同，是， 故选D ?般已测：1886次正确率：81.9 % 5.观察下列各式：，， ，，， ，则=（ ） A.B.C. 23455=3125,5=15625,5=78125,?5 6 7520113125562506258125 ∵5=3125,5=15625,5=781255 675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125? 89101144∵2011÷4=502?3∴52011578125a +b =1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123选修2-2 第二章 推理与证明(B)
0，则1a ＋1b ＋1c 的值( ) A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是零 D ．正、负不能确定 8、如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( ) A.32 B ．23－2 C ．1＋ 3 D ．2－3 9、设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.1 2n ＋2
第41讲逻辑推理与证明复数框图
2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文
高二数学选择进修2-2第二章推理与证明
专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案
第53讲 推理与证明(解析版)
第二章 推理与证明(A)