高等代数(北大版第三版)习题答案III

高等代数（北大*第三版）答案

第一章多项式

第二章行列式

第三章线性方程组

第四章矩阵

第五章二次型

第六章线性空间

第七章线性变换

第八章 —矩阵

第九章欧氏空间

第十章双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！

第九章欧氏空间

1.设()

ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而

),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,

在n R 中定义积βαβα'A =),(,

1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量

)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，

的度量矩阵；

3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见

βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑=

'A =j

i j i ij

y x a

,),(αααα，

由于A 是正定矩阵，因此

∑j

i j i ij

y x a

,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有

0),(=αα。

2)设单位向量

)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，

的度量矩阵为

)(ij b B =，则

)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε???????

??nn n n n n a a a

a a a a a a Λ

M O M

M ΛΛ2

1222

22112

11)(010j ?

???

? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。

4) 由定义，知

∑=j

i j

i ij y x a ,),(βα

，

α==

β==

故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

2.在4R 中,求βα,之间><βα,(积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。解 1)由定义,得

012)1(32112),(=?+-+?+?=βα，

所以

2,π

βα>=

<。

2)因为

1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα，

2236

1818,cos =

<βα，

所以

4,π

βα>=<。

3)同理可得

3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773,cos >=

<βα，

所以

773cos ,1

->=<βα。

,,ij i j

i j

a x y

y y ≤

∑

3. β

αβα-=

),(d 通常为βα,的距离，证明；

),(),(),(γββαβαd d d +≤。证由距离的定义及三角不等式可得

)()(),(γββαγαβα-+-=-=d

γββα-+-≤

),(),(γββαd d +=。

4在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。解设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组

???

??=+++=+--=+-+0

32004321

43214321x x x x x x x x x x x x ，因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令 x 3,0,414213-===?=x x x ，即()3,1,0,4-=α。

再将其单位化，则 ()3,1,0,426

1-=

=αηa ，即为所求。 5．设n α

ααΛΛ,,21是欧氏空间

V 的一组基，证明：

1）如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ΛΛ==αγ，那么0=γ。

2）如果V ∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。证 1)因为n α

ααΛΛ,,21为欧氏空间

V 的一组基，且对V ∈γ，有

()()n i ,,2,10,ΛΛ=αγ ，

所以可设n n k k k αααγΛΛ++=2211，且有

()()

()()()

n n n n k k k k k k αγαγαγαααγγγ,,,,,22112211+++=+++=ΛΛΛΛ

即证0=γ。

2)由题设，对任一V ∈α总有()

()

αγαγ,211=，特别对基i α也有

()()i i αγαγ

,211

=，或者()()n i i ,,2,10,21ΛΛ==-αγγ，

再由1)可得021=-γγ，即证21γγ=。

6设3,2,1εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

()()()

321332123211223

2231

εεεαεεεαεεεα--=+-=-+=

也是一组标准正交基。证因为

()()3213212122,2291,εεεεεεαα+--+=

()()()[]3322112,,22,291

εεεεεε-+-+=

[]0)2()2(49

=-+-+=，

同理可得

()()0,,3231==αααα，另一方面 ()()3213211122,2291

,εεεεεεαα-+-+=

()()()[]332211,,4,491

εεεεεε--++= 1)144(9

=++=，同理可得

()()1,,3322==αααα，

即证321,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设54321,,,,εεεεε也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基, ()3221,,αααL V =，其中 511εεα+= , 4212εεεα+-= , 32132εεεα++=，求1V 的一组标准正交基。

解首先证明321,,ααα线性无关.事实上，由

???????

? ?

?-=00

1010100

110

211),,,,(),,(54321321εεεεεααα，其中 ?????

?-=00101010

011

0211A 的秩为3，所以321,,ααα线性无关。将正交化，可得

111εεαβ+==，

=),(),(112222βββααβ5

42121

21εεεε-+-，

单位化，有

)(2

511εεη+=

， )22(10

54212εεεεη-+-=

， )(2

153213εεεεη-++=，

则321,,ηηη为1V 的标准正交基。 8. 求齐次线性方程组

?=+-+=-+-+0

32532154321x x x x x x x x x 的解空间(作为5

R 的子空间)的一组标准正交基。解由

?+--=+--=-3215

215423x x x x x x x x x 可得基础解系为

)1,5,0,0,1(1--=α，)1,4,0,1,0(2--=α，)1,4,1,0,0(3=α，

它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得

)1,5,0,0,1(11--==αβ， )

2,1,0,9,7(9

),(),(1111222---=-

=ββββααβ，

)2,1,15,6,7(15

),(),(),(),(222231111333=--

=ββββαββββααβ，

再将321,,βββ单位化,可得 )1,5,0,0,1(3

311--=

η，)2,1,0,9,7(15

312---=

η，)2,1,15,6,7(35

313=

η，

则321,,ηηη就是所求解空间的一组标准正交基。 9.在R[X]

4中定义积为(f,g)=

-dx x g x f )()(1

求R[X]4的一组标准正交基(由基

1.3

,,χχχ出发作正交化)。

解取R[X]4的一组基为,,,,13

42321x x x ====αααα将其正交化,可得111==αβ，

x =-

=1111222)

,()

,(ββββααβ，其中(?=?=-01),1112dx x βα，又因为

==-3

2),(),(21

12213dx x βββα， ?=?=-211),(1

111dx ββ， ?=?=-0),(21

123xdx x βα，

所以3

),(),(),(),(2222231111333-=--

=x ββββαββββααβ，

同理可得x x 5

),(),(),(),(),(),(333334222241111444-=---

=ββββαββββαββββααβ，

再将4321,,,ββββ单位化，即得2

ββη， x

ββη，)13(41023-=x η，)35(41434x x -=η，则4321,,,ηηηη即为所求的一组标准正交基。 10.设V 是一n 维欧氏空间,0≠α是V 中一固定向量,

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。命题任意数域K 都包括有理数域Q 。证明设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10，。进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。定义（集合的映射）设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：