解直角三角形的几种模型
坡度、坡角在实际中的应用
1、如图,一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角α和坝底宽AD(结果果保留根号
).
2、学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB 长为12米。为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1:3(即为CD 与BC 的长度之比).A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度
AD.
3、如图,小山岗的斜坡AC 的坡度是34,在与山脚C 距离200米的D 处,测得山顶A 的仰角为26.6°,求小山岗的高AB(结果取整数)
参考数据：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°
=0.50).
4、如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固。经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比
i=1:2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF 的长； (2)求完成这项工程需要土石多少立方米?
专题：解直角三角形的几种模型
类型一：“背靠背”型
5、如图,A、B两座城市相距100千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即线段AB).经测量,森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向,B 城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内。请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区?为什么?
类型二：“叠合”型
6、如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60°,CD⊥AB与点E,E、B. A在一条直线上。请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留
整数,3≈1.7,2≈1.4 )
类型三：“母抱子”型
7、如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值。测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为37°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B. C. A. P在同一平面内,求山坡的坡度.(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin37°≈0.60,tan37°≈
0.75)
类型四：“斜截”型
8、某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长.(精确到1m,3√≈
1.732)
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
相似三角形基本模型及证明
相似三角形基本模型与证明一、基本图形回顾 经典模型
构造相似辅助线——双垂直模型 1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 2.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长． 3.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 4.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为 （） A. B. C. D.
5.已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一 象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。 构造相似辅助线——A、X字型 6.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证： 7.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。 求证： 8.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。求BN：NQ：QM．
9.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证： （2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B
（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型：
二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形
第二部分相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2． 例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠． 求证：（1）DA DE DB? = 2；（2）DAC DCE∠ = ∠． C D E B
例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB
(完整版)初三解直角三角形练习题基础
初三解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题
1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm 三、求下列各式的值 1、sin 2600+cos 2600 2、sin600－2sin300cos300 3. sin300－cos 2450 4. 2cos450+|32 |
相似三角形常用模型及应用
相似三角形模型及应用 相似证明中的基本模型 A 字形 图①A 字型，结论： AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DE AC AB BC == 图③双A 字型，结论： DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a a AH BC -=（a 为正方形边长） I H G F E D C B A G F E D C B A E D C B A E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 8字型 图①8字型，结论： AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111 AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ?=?△△△△ E F D C B A F E D C B A O D C B A O D C B A G F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 一线三等角型 结论：出现两个相似三角形
H E D C B A E D C B A E D C B A C 60°F E D C B A F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 角分线定理与射影定理 图①内角分线型，结论： AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BD AC CD = 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =?， 图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =?，2、2CD AD BD =?，3、2BC BD BA =? D C B D B A C A E D C B A D C B A 梅涅劳斯型常用辅助线 G F E D C B A G F E D C B A G F E D C B A D E F C B A 考点一 相似三角形 【例1】 如图，D 、E 是ABC ?的边AC 、AB 上的点，且AD AC ?=AE AB ?，求证：ADE B ∠=∠. E D C B A 中考满分必做题
解直角三角形-单元测试题(基础题)--含答案
解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里
初三数学的相似三角形的常见模型
相似三角形常见模型一【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）
（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=， 求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F
::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相 交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A
相似三角形的几种模型
相似三角形的几种模型 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
相似三角形的几种模型 一、A 字型 练习： 1.如图,在△ABC 中，∠C=90°,在AB 边上取一点D,使BD=BC ，过D 作DE ⊥AB 交AC 于E ，AC=8，BC=6，求DE 的长。 2.如图，∠C=∠1，则下列各式不成立的是（ ） A 、BC BD A B AD = B 、BC BD AC AB = C 、AC AD AD ?=2 D 、BC AD AB ?=2 3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB=∠ACB.求证：△ABE ∽△ACB ． 二、8字型 1.将一副三角板如图叠放在一起，若OB=2，则OD= 2.已知，如图∠ADE=∠ACB ，BD=8，CE=4,CF=2,求DF 的 长 3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,点F 在边AC 的延长 线上，且 FD ⊥AB,垂足为点D ，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=___． 4.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B ′,折痕为EF ，已知AB=AC=6，BC=8，若以点B ′，F ，C 为顶点的 三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 三、双垂图： 1.如图，AD 和BE 是锐角△ABC 的两条高，P 是两条高的交点，请你写出图中所有的相似三角形 2.在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD=∠A,已知BC=22,AB=3， 则BD=
3.如图，△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高，AD=9,BD=4， 那么CD= AC= 四、一线三等角 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF=3FD, ∠BEF=90°求证：△ABE∽△DEF．
初三解直角三角形基本模型复习学习资料
初三解直角三角形基本模型复习
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角 度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义：
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B=b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 例2（2017?海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1：1（即DB ：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC ． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
解直角三角形提高练习题1(含答案)
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则tanE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角 形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A. EG EF G = sin B. EF EH G = sin C. FG GH G = sin D. FG FH G = sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
专题：相似三角形的几种基本模型及练习
专题：相似三角形的几种基本模型 （1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形. “A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型 （2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （3） “母子” （双垂直）型 射影定理： 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。 “母子” （双垂直）型 “旋转型” （4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型 “K ” 字（三垂直）型 （6）“半角”型 图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN= 1 2∠BAC ，结论：△ABN ∽△MAN ∽△MCA ； 1 A E B C B E A C D 1 2B D 图2 图1 旋转 N M 60° 120° B A 45° D C B A
应用 1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在 图3 图4 图5 3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对 4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③ AD AE ＝AB AC .其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________． 图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( ) A ．∠BAD ＝∠CAE B ．∠B ＝∠D C.B C DE ＝AC AE D.AB A D ＝AC AE 9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1 4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°， ②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为 个。 图10 图11 A B C D E
相似三角形模型分析大全
. 第一部分相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
. （五）一线三直角型： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A 字型旋转得到。 8字 型 拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形 第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠．
例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于 E 、 F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习： 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．
求证：OE OA OC ?=2 ． 2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．
解直角三角形练习题(一)及答案
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)． 2 2 (D)．22 2、如果α是锐角，且5 4 cos = α，那么αsin 的值是（ ）． （A ） 259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ） 513 （B ） 1213 （C ）10 13 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5 3 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ） 316 （C ）320 （D ）5 16 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）13 5 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 A B C D E ?15020米30米
相似三角形典型模型及例题
1：相似三角形模型 一：相似三角形判定的基本模型 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E C B A D E （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
（五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性 一线三等角的变形 G A B C E F
一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延 A C D E B
解直角三角形的基本类型及其解法公式
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h
相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似
课题：相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似 教学目标： 1、通过习题引入，了解“A字型、旋转型”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质； 2、利用“A字型、旋转型”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题； 3、在“A字型、旋转型”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“A字型、旋转型”相似解题的特点与经验。 教学重点难点： 1、在已知图形中观察关键特征——“A字型、旋转型”； 2、在“A字型、旋转型”图的两个三角形中，探索其相似条件。 教学过程： 一、复习与回顾： 相似三角形的性质和判定定理； 二、引入 相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。而识别（或构造）A字型、8字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 三、新课讲解： （一）、模型分析有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC与∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B. （二）、基础巩固 1、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论（图1） 2、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。（图2） （三）、例题探究：
（四）课堂练习： 三、课堂小结： 我们今天这堂课收获了什么呢 （1）学习了A型相似； （2）学会从复杂图形中分解出基本图形。 （3）数学思想：方程思想，转化思想，分类讨论思想四、作业布置： 中考新航线251页
(完整word版)初三解直角三角形基本模型复习
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
相似三角形几种基本模型
相似三角形基本模型 经典模型 “平行旋转型” 图形梳理： AEF 旋转到AE‘F’ C B A AEF 旋转到AE‘F’ F'C B B C AEF 旋转到 AE‘F’ A B C AEF 旋转到AE‘F’ 特殊情况：B 、'E 、'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’C B A A B C E F E' F'AEF 旋转到AE‘F’ C ，'E ，'F 共线 AEF 旋转到AE‘F’ C B A AEF 旋转到AE‘F’ C B A 母子型 已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ． 相似三角形常见的图形 1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： （1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） (2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”） A E A D E 4 1 B (3) D B (2) D
（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”） (4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 （5）母子型 已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 2、几种基本图形的具体应用： （1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC （2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB ； （3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB． （4）当AD AE AC 或AD·AB=AC·AE时，△ ADE∽△ACB． B E A C D 1 2 B B C(D )
相似三角形模型分析大全(精)
第一部分相似三角形知识要点大全 知识点1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段 有顺序性． （2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ． 分析：求a b 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比． 例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度． 分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c． 知识点3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？ 分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1 3 ，再根据相似
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课题解直角三角形模型 教学目标 1.熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2.学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10 分钟） 1. （ 2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼 顶部 D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为 20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （ 1）求∠ BCD的度数． （ 2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20 °≈ 0.36 ， tan18 °≈ 0.32 ） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sin α01 cos α10 tan α0无穷大 cot α无穷大10
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，则：① 三边关系： a2＋ b2= c 2；②两锐角关 系：∠ A＋∠ B= 90 °； ③边与角关系： sin A=cos B=a ， cos A=sin B= b ， tan A=a ； c c b ④平方关系： sin 2 A cos2 A1 ⑥倒数关系： tan A? tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系： tan A=sin A cos A 3. 解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长；②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一背靠背 例 1. （ 2017?恩施州）如图，小明家在学校 O的北偏东 60°方向，距离学校 80 米的 A 处，小华家在学校 O的南偏东 45°方向的 B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距 离．（结果精确到 1 米，参考数据：≈ 1.41，≈ 1.73，≈ 2.45）