二次函数解析式求法与例题_题型归纳
二次函数解析式求法与例题_题型归纳
小编整理了关于二次函数解析式求法与例题,希望对于同学们的二次函数解析式的求法有所了解,包括相关例题以供同学们呢练习和实践!
二次函数一般形式:y=ax2+bx+c (已知任意三点)
顶点式:y=a(x+d)2+h (已知顶点和任意除顶点以外的点) 有的版本教材也注原理相同
例:已知某二次函数图像顶点(-2,1)且经过(1,0),求二次函数解析式
解:设y=a(x+2)2+1 注意:y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标,h是顶点纵坐标
由于二次函数图像过点(1,0)
因此a*3的平方+1=0 解得a=-1/9
所以所求作二次函数解析式为y=-1/9(x+2)2+1
(此题是样题,所以就不进一步化简成一般形式)
两根式:已知函数图像与x轴两交点与另外一点首先必须有交点(b2-4ac0)
y=a(x-x1)(x-x2) 其中x1,x2是图像与x轴两交点并且是ax2+bx+c=0的两根
如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点,则可以求出另一个交点利用根与系数的关系
例:y=x2+4x+3与x轴的一个交点是(-1,0),求其与x轴的另一交点坐标
解:由根与系数的关系得:
x1+x2=-b/a=-4 则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3
所以与x轴的另一交点坐标为(-3,0)
另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得
y=a(x-2)2+b(x-2)+c
再向下平移2个单位得:y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2
二次函数解析式求法与例题,仅供同学们参考,希望同学们的二次函数解析式学习有所帮助!
二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728
学生: 科目: 数 学 教师: 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:
已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴) (1)如图,直线1l 、2l ,点A 在2l 上,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得MN AM +之和最小。 (2)如图,直线1l 、2l 相交,两个固定点A 、B ,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得 AN MN BM ++之和最小。 (3)如图,B A 、是直线l 同旁的两个定点,线段a ,在直线l 上确定两点E 、F (E 在F 的左侧 ),使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法:如右图,S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题:二次函数(c bx ax y ++=2 )与一次函数(h kx y +=) (1)解方程组???h kx y c bx ax y +=++= 2可求出两个图象交点的坐标。 (2)解方程组???h kx y c bx ax y +=++= 2,即()02 =-+-+h c x k b ax ,通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0>?
二次函数典型例题解析与习题训练
又∵y=x 2-x+m=[x 2-x+(12)2]- 14+m=(x -12)2+414 m - ∴对称轴是直线x=12,顶点坐标为(12,41 4 m -). (2)∵顶点在x 轴上方, ∴顶点的纵坐标大于0,即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时,顶点在x 轴上方. (3)令x=0,则y=m . 即抛物线y=x 2-x+m 与y 轴交点的坐标是A (0,m ). ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m . 当x 2-x+m=m 时,解得x 1=0,x 2=1. ∴A (0,m ),B (1,m ) 在Rt △BAO 中,AB=1,OA=│m │. ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4. ∴ 1 2 │m │·1=4,∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2-x+8或y=x 2-x -8. 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ,b ,c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处. 例2 已知:m ,n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根,且m 为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积; (3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH 分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标. 【分析】(1)解方程求出m,n的值.用待定系数法求出b,c的值. (2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出△DMC,梯形BDBO,△BOC的面积,用割补法可求出△BCD的面积. (3)PH与BC的交点设为E点,则点E有两种可能:①EH=3 2EP,②EH=2 3 EP. 【解答】(1)解方程x2-6x+5=0, 得x1=5,x2=1. 由m 二次函数综合题常见题型 一、线段最值 1、如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5). (1)求直线BC与抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值; (3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标. 7),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截2、如图,二次函数的图象经过点D(0,3 9 得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 3、如图,已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。 ⑴求该抛物线的解析式; ⑵动点P在轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使|| AM MC -的值最大,求出点M的坐标。 4、如图,已知ABC =,点A、C在x轴上,点B坐标 ∠=?,AC BC ACB ?为直角三角形,90 为(3,m)(0 m>),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.(1)求点A的坐标(用m表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ Array并延长交AC于点F,试证明:() FC AC EC +为定值. 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y 轴交于点N,其顶点为D. (1)求抛物线及直线AC的函数关系式; (2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标; (3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=﹣x+1;(2)当x=﹣1 2 时,△APC的面积取最大值, 最大值为27 8 ,此时点P的坐标为(﹣ 1 2 , 15 4 );(3)在对称轴上存在一点M(﹣1, 2),使△ANM的周长最小,△ANM周长的最小值为10 2 【解析】 【分析】 (1)根据点A,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q,设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,﹣x+1),进而可得出PF的值,由点C的坐标可得出点Q的坐标,进而可得 出AQ的值,利用三角形的面积公式可得出S△APC=﹣3 2 x2﹣ 3 2 x+3,再利用二次函数的性 质,即可解决最值问题;(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标,利用配方法可找出抛物线的对称轴,由点C,N的坐标可得出点C,N关于抛物线的对称轴对称,令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M,则此时△ANM周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标,以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论. 【详解】 (1)将A(1,0),C(﹣2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得: 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示, 则a 、b 、c ,?,c b a ++,c b a +-的符号 为 , 例4 (镇江2001中考题)老师给出一个函数y=f (x ),甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙:函数的图像经过第一象限。丙:当x <2时,y 随x 的增大而减小。丁:当x <2时,y >0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 (荆州2001)已知二次函数y=x 2+bx +c 的图像过点A (c ,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式可能是 (只要写出一个可能的解析式) 例6 已知a -b +c=0 9a +3b +c=0,则二次函数y=ax 2+bx +c 的图像的顶点可能在( ) (A ) 第一或第二象限 (B )第三或第四象限 (C )第一或第四象限 (D )第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内,则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是( ) 例8 在同一坐标系中,直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知:函数c bx ax y ++=2的图象如图:那么函数解析式为((A )322++-=x x y (B )322--=x x y (C )322+--=x x y (D )322---=x x y 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函 数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 2015年初三数学《二次函数综合题》归类复习 1.图像与性质: 例1.(2014年四川资阳,第24题12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标; (3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S. 考点:二次函数综合题. 分析:(1)根据对称轴可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1,0),根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3. (2)分三种情况:①当MA=MB时;②当AB=AM时;③当AB=BM时;三种情况讨论可得点M的坐标. (3)平移后的三角形记为△PEF.根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3.易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.根据待定系数法可得直线AC的解析式.连结BE,直线BE交AC于G,则G(,3).在△AOB沿x 轴向右平移的过程中.分二种情况:①当0<m≤时;②当<m<3时;讨论可得用m的代数式表示S. 解:(1)由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1,0),则,解得. 故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3. (2)①当MA=MB时,M(0,0);②当AB=AM时,M(0,﹣3);③当AB=BM时,M(0,3+3)或M(0,3﹣3).所以点M的坐标为:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3)、(0,3﹣3). (3)平移后的三角形记为△PEF.设直线AB的解析式为y=kx+b,则 ,解得.则直线AB的解析式为y=﹣x+3. △AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到△PEF,易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m. 设直线AC的解析式为y=k′x+b′,则 商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习: 1、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元 解:设每千克应涨价x 元,读题完成下列填空 问题一:涨价后每千克盈利 元; 问题二:涨价后日销售量减少 千克; 问题三:涨价后每天的销售量是 千克; 问题四:涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得: 解方程得: 因为商家涨价的目的是 ;所以 符合题意。 答: 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析: 例1、某商品现在的售价为每件35元,每天可卖出50件。市场调查发现:如果调整价格,每降价1元,那么每天可多卖出两件。请你帮助分析,当每件商品降价多少元时,可使每天的销售额最大,最大销售额是多少 解:设当降价X 元时销售额为y 元,根据题意得: y=(35-x )(50+2x )=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答:当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点: 1、根据题意设未知量,一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元,列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可全部租出,若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出,如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解:设当张价X 元时租金为y 元,根据题意得:y=(100-10 ×2 x )(10+x )=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5 中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析 一、二次函数 1.如图,对称轴为直线x 1=-的抛物线()2 y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两 点,其中A 点的坐标为(-3,0). (1)求点B 的坐标; (2)已知a 1=,C 为抛物线与y 轴的交点. ①若点P 在抛物线上,且POC BOC S 4S ??=,求点P 的坐标; ②设点Q 是线段AC 上的动点,作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值. 【答案】(1)点B 的坐标为(1,0). (2)①点P 的坐标为(4,21)或(-4,5). ②线段QD 长度的最大值为94 . 【解析】 【分析】 (1)由抛物线的对称性直接得点B 的坐标. (2)①用待定系数法求出抛物线的解析式,从而可得点C 的坐标,得到BOC S ?,设出点P 的坐标,根据POC BOC S 4S ??=列式求解即可求得点P 的坐标. ②用待定系数法求出直线AC 的解析式,由点Q 在线段AC 上,可设点Q 的坐标为(q,-q-3),从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3),从而线段QD 等于两点纵坐标之差,列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】 解:(1)∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ,且A 点的坐标为(-3,0), ∴点B 的坐标为(1,0). (2)①∵抛物线a 1=,对称轴为x 1=-,经过点A (-3,0), ∴2a 1 b 12a 9a 3b c 0 =??? -=-??-+=??,解得a 1b 2c 3=??=??=-?. 二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, (3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 三、二次函数的性质二次函数综合题类型
中考数学二次函数综合经典题附答案解析
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