中考二次函数总复习经典例题、习题集
第八篇二次函数的图像及性质
【考纲传真】
1. 理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．
4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【复习建议】
二次函数是中考的重点容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查．
【考点梳理】
考点一二次函数的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值围是全体实数．
考点二二次函数的图象及性质
考点三二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
考点四二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：
考点五二次函数的应用
设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
考点六二次函数与方程不等式之间的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，
抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【典例探究】
考点一二次函数的概念
【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（）
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 二次函数 一、二次函数概念： １.二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数. 2． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1． 二次函数基本形式:2y ax =的性质: ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3． ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 ４. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下 : 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2． 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a >- 时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 二 次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 )2 h k +方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若 与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 二次函数经典中考试题（含答案） —、解答题（共30小题） 1. （2013?武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表） ： 温度 x/C … -4 - 2 0 2 4 4.5 … 植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. （1） 请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理 由； （2） 温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3） 如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ，那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果. 2. （2013?莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 （花坛为轴对称图形）.矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长AB=4米，/ ABC=60 °设AE=x 米 （0v x V 4），矩形EFGH 的面积为S 米2. （1） 求S 与x 的函数关系式； （2） 学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草?已知红色花草的价格为 20元咪2,黄色花草的价格为40元咪2?当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求 出最低总费用（结果保留根号）？ y 的二元一次方程组 （1） 若a=3.求方程组的解； （2） 若S=a （3x+y ），当a 为何值时，S 有最值. 4. （2013?南宁）如图，抛物线 y=ax 2+c （a 旳）经过C （2，0），D （0，- 1）两点，并与直 线y=kx 交于A 、B 两点，直线I 过点E （0，- 2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点M 、N . （1） 求此抛物线的解析式； （2） 求证：AO=AM ； （3） 探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时 的值； 3. （2013?资阳）在关于 x ， 二次函数典型例题——找规律 1、如图，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； …… 如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m =_________． 2、二次函数223 y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点1232015,,,,A A A A ???在y 轴的正半轴上，点1232015,,,,B B B B ???在二次函数223 y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1C 1，△A 1B 2C 2，△A 2B 3C 3，…△A 2014B 2015C 2015都为正三角形，则△011A B A 的边长= , △201420152015A B A 的边长= . 1,2015 3、如图，点A 1、A 2、A 3、……、A n 在抛物线2y x =图象上，点B 1、B 2、B 3、……、B n 在y 轴上，若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、……、△A n B n －1B n 都为等腰直角三角形（点B 0是坐 标原点），则△A 2014B 2013B 2014的腰长= ． （石景山区）已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负 整数. （1）求m 的值； （2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的 表达式； （3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转?180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线 12 1+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围． （石景山区）解：（1）∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根， ∴0≠m 且0≥?， ……………………1分 则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m ∴1≤m 且0≠m 又∵m 为非负整数， ∴1=m . ………………………………2分 （2）抛物线1C ：2x y =平移后，得到抛物线2C ：b a x y +-=2 )(，……3分 ∵抛物线2C 过),2(b A 点，b a b +-=2)2(，可得2=a ， 同理：b a b +-=+2)4(12，可得3=b ， …………………………4分 ∴2C ：()322+-=x y ）（或742+-=x x y . …………5分 （3）将抛物线2C ：3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶 点为（322-n n ，）， ………………6分 当n x 2=时，1122 1+=+?= n n y ， 由题意，132+>-n n ，中考二次函数压轴题经典题型
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