微分的概念与运算教学设计
《微分的概念与运算》教学设计
1． 教材分析
1．1课标要求分析
从教材上的要求来看，知识点的目标层面不高，只要求初步理解微分的概念。在引入的过程中认识到微分与导数的区别与联系，理解微分的几何意义。要求学生掌握正确微分的符号表示，以及运算公式和运算法则。我认为在通过直观的图象引入微分的意义这步很重要，是这堂课的灵魂所在，是学生对微分这一抽象概念理解与否的关键。所以要很详细的讲解。至于微分的运算公式和法则，可通过求导公式与法则进行联系记忆。
1． 2教学内容分析
1．2．1内容背景分析
本节内容是第七章第八节内容，是在学完导数的概念与运算后引入的，一方面可以让学生可以对比导数的概念和运算来学习微分的概念和运算，另一方面也为学习积分打好基础。本节内容可以说是在联系导数与积分两个模块中起到承上启下的重要作用。
1．2．2教学内容的分析
主要是在通过作图复习导数内容中的有关y x ??与等增量和关于曲线)(x f y =在某点0x 的切线方程等，并提示切线上的增量y dy ?与的区别与关系，接着就引入微分的概念，说明dy 就是函数)(x f y =的微分。并按照切线方程引入微分公式dx x f dy )('=。由微分的这个定义式知道，可以利用导数来求微分，通过例1和例2 说明如何利用导数公式来求微分，对应的导数运算法则也可以运用，从而引入微分的运算公式和法则。我认为用教材这种简洁，直观的设计思路把微分这个抽象的知识点呈现出来的方法很好，让学生容易接受。但在引入时，要适当的讲细一点，有必要补充点内容。
2．学情分析
民族预科理科生上课思维比较活跃，接受能力也不错，但也有几个后进生，基础较为薄弱，所以知识内容不宜挖得太深。从学习的阶段性来看，前边的有关导数的知识内容掌握得还可以，基本理解导数的概念，明白导数的几何意义，会运用导数的公式和法则进行运算。所以这节课可以从复习导数的几何意义入手引入微分的概念。综合学生的特点，我打算通过复习导数的几何意义借助图象形象直观地引入微分，简单的概括微分的概念，重点放在微分的运算公式与法则上，让学生多练习微分的计算。
3．教学目标
（1）知识与技能：初步理解微分的概念，掌握微分的计算公式和法则。
（2）过程与方法：通过复习导数的几何意义入手，探究切线的增量与曲线上的增量的关系理解微分的概念，并掌握微分计算公式与法则。
（3）情感态度、价值观目标：通过对导数几何意义的复习探究，培养学生自主探究自主学习的方法，激发学生对学习和探究问题的热情。
4．教学重点和难点
重点：明白微分的概念，掌握微分的计算公式与法则。
难点：对微分概念的理解，以及微分与导数的关系的理解。
5．教学过程
一．复习导入：
复习提问：导数的概念，几何意义，运算公式和法则。
学生活动：学生回忆，口答。
展示：通过课件展示导数几何意义——曲线关于某点的切线的斜率，写出切线方程。并把dy y x 与、??展示出来。
学生活动：观察，思考
y ?的区别与联系。 分的关系。
二．引入微分的概念
板书、投影：1．微分的定义把 △x 记作 dx f ′(x 0) △x 记作dy 我们把dx 叫自变量x 的微分，把dy 叫做函数y=f(x)在x 0点的微分
显然：△y ≈f ′(x 0) △x
学生活动：做笔记，体会，并思考微分的几何意义。
展示：2．微分的几何意义：微分就是切线上纵坐标的增量，是函数值增量的近似值。 设计意图：微分的概念不宜挖得太深，所以我主要用展示的形式，让学生认识和记忆。
三．微分的计算
提问：微分怎么计算？通过微分的定义式 思考。
学生活动：观察式子dx x f dy )('=进行思考
展示：例1 求x y sin =的微分
设计意图：让学生自主探究思考导数和微分的关系，并能体会利用导数来求微分。 师生活动：引导学生对比求导公式和法则，并根据导数与微分的关系把微分计算公式与法则推导出来。
投影总结：（2）基本初等函数的微分公式
.Δ)(′=),(,,)(=x x f dy x df dy x x f y 即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数.)(dx x f dy '=∴).(x f dx dy '=".
".微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dx dy .)(dx x f dy '=xdx x d xdx x d dx nx x d C d n n sin )(cos cos )(sin )(0)(1-====-dx x
x d dx a x x d dx e e d adx a a d a x x x x 1)(ln ln 1)(log )(ln )(====
（3）函数和、差、积、商的微分法则
展示：例2 求x x y a log ?=的微分
师生活动：老师详细讲解，学生体会练习
设计意图：让学生体会微分法则的运用，对比导数的法则进行记忆。
四．课堂练习
1．在下列图形中，标出相应的△y 和dy
2． 求下列函数的微分 （1）4323-+=x x y (2) )3)(13(--=x x y (3) x x y +-=
11 (4) x x y sin sin 32+= (5) 15324+-=x x y (6) )43)(32(2+-=x x y (7) 211x
y -= (8) x x y cos )1(2-= 师生活动：老师巡视并帮学生答疑，并了解学生的掌握情况，并根据反馈的情况进行补充和强调。
设计意图：我把整堂课的重点放这里，让学生通过练习掌握微分计算公式和法则，并通过巡视和一一答疑尽量让学生掌握计算微分的技能。
6．课堂小结
（1）微分的概念及几何意义
（2）导数与微分的关系
（3）微分的计算公式和法则
板书设计：
2
)()()()(v udv vdu v u d udv vdu uv d Cdu Cu d dv du v u d -=+==±=±
一．微分的概念：把 △x 记作 dx ， f ′(x 0) △x 记作dy
我们把dx 叫自变量x 的微分，把dy 叫做函数y=f(x)在x 0点的微分
二．微分的几何意义：微分就是切线上纵坐标的增量，是函数值增量的近似值。
三．微分的计算公式与法则：
7．教学反思
优点： 由复习导数的几何意义入手通过图象形象直观的引入微分的概念。简洁的概括了微分的概念。把重点放在让学生掌握微分的计算公式和法则上，符合学生的情况。对学生的练习进行巡视和一一答疑，尽量保证学生的掌握情况。
缺点：课堂比较沉闷，缺少师生互动，板书没有设计好，语言不够简炼，有重复罗嗦现象。对微分的概念讲解分析不够深入，学生理解程度也不够。
.)(),(,,)(x x f dy x df dy x x f y ?'==即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数
最新六年级定义新运算
六年级定义新运算 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定a ☉b = a b b a -,则2☉(5☉3)之值为 . 2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 3 2b a += ,若6※x 322=,则x = . 3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则 <><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, . 4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成 [4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= . 5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= . 6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= . 7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>= 初中数学教学案例 ——幂的运算（一） 一、案例实施背景 本节初一下学期数学第八章第一课时的内容，所用教材为沪科版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）。 二、教学目标 1、知识与技能：理解同底数幂的推导法则，会用同底数幂的法则进行运算。 2、过程与方法：探究同底数幂的乘法法则，让学生体会从一般到特殊，以及从特殊 到一般的数学方法。 3、情感态度与价值观：引导学生主动发现问题，解决问题，在这一过程中提高学生 学习数学的兴趣。 三、教学教学重、难点 1、重点：正确理解同底数幂的乘法法则。 2、难点：会用同底数幂的乘法法则进行运算。 四、教学用具 多媒体平台及多媒体课件 五、教学过程 （一）创设情境，设疑激思 1、播放幻灯片，引出问题： 我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可进行2.57×1015 次运算，问它工作一个小时（3.6 ×103s）可进行多少次运算？ 2、提问温故：①什么叫乘方? ②乘方的结果叫做什么? 3、针对问题，学生思考后回答 2.57× 3.6×103×1015=9.252×？ 4、教师肯定学生的回答并提出新问题：？到底是多少，通过今天的学习——同 底数幂的乘法，相信大家能找到这个问题的答案。（板书课题：8.1，幂的乘法——同底数幂的乘法) （二）探究新知 1、试一试（根据乘法的意义） 定义：底数相等的两个或两个以上的幂相乘成为同底数幂的乘法。 22 × 23=(2 ×2 ) ×(2 ×2 ×2) (乘方的意义) = 2 ×2 ×2 ×2 × 2 (乘法结合律) =25 (乘方的意义) 前面的例题：1015×103=(10 ×· · · · · ×10) ×(10×10 ×10) 15个10 = 10 ×· · · · · ×10 18个10 =1018 思考：观察上面的两个式子，底数和指数有什么关系？ 2、怎么求a m· a n(当m、n都是正整数)： a m·a n =（aa…a）（aa…a）（乘方的意义） m个a m个a = aa…a（乘法结合律） (m+n)个a =a m+n（乘方的意义） 3、通过上面的例子，你能发现同底数幂相乘有什么规律吗？ 底数不变，指数相加 4、总结：同底数幂的乘法法则（幂的运算性质1）： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 即：a m· a n = a m+n (当m、n都是正整数) （三）、逐层推进，巩固新知 本节课学习的幂的运算法则1只使用于同底数幂相乘，不能乱用，用该法则需要判断两点： 定义新运算 1 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。 2 定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如： 4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算，18△12等于几？ 3 两个整数a和b，a除以b的余数记为a7 b。例如，13 5=3。根据这样定义的运算，(2 6 9) 4等于几？ 4 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式： [(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。 5 对于数a，b，c，d，规定〈a，b，c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。 6 规定：6* 2=6＋66=72， 2*3=2＋22＋222=246， 1*4=1＋11＋111＋1111=1234。 求7*5。 7 如果用φ(a)表示a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？ 8 如果a△b表示(a-2)×b，例如 3△4=(3-2)×4=4， 那么当( a△2)△3=12时，a等于几？ 10 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”： a*b＝a(a＋1)(a＋2)…(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？ 11 有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A?B，输入1后，经过A?B，输出3。 (1)输入9，经过A?B?C?D，输出几？ (2)经过B?D?A?C，输出的是100，输入的是几？ (3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？ 第一章集合与常用逻辑用语 第3节集合的基本运算 本节是新人教A版高中数学必修1第1章第1节第3部分的内容。在此之前,学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系,这为学习本节内容打下了基础。本节内容主要介绍集合的基本运算一并集、交集、补集。是对集合基木知识的深入研究。在此,通过适当的问题情境,使学生感受、认识并掌握集合的三种基本运算。本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用。本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点。 1.教学重点：交集、并集、补集的运算； 2.教学难点：交集、并集、补集的运算性质及应用，符号之间的区别与联系。 多媒体 Venn 图表示： （2）“或”的理解：三层含义： 的并集。 与是的所有元素组成的集合，，由且。即：又属于元素既属于但。即：但不属于元素属于但。即：但不属于元素属于B A B A B x A x B A A x B x x A B B x A x x B A 321}{.3},{.2},{.1?=∈∈?∈?∈ （3）思考：下列关系式成立吗？ （1） A A A =Y （2）A A =φY 【答案】成立 （4）思考：若，B A ?,则A ∪B 与B 有什么关系？ 【答案】 。，则若B B A B A =?Y 3、典型例题 例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB ． }8,7,6,5,4,3{}8,7,5,3{}8,6,5,4{==Y Y B A 解： 例2．设集合A={x|-1 微分方程的基础知识及解析解 微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程 教师： 学生： 时间: 年 月 日__________段 小升初定义新运算复习 在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。 例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？ 例2：如果A#B 表示3 B A + 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 例3：规定Y X XY Y X +=? 求2Δ10Δ10的值。 例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N （1） 计算（14 *10）*6 （2） 计算 （58*43） *（1 *2 1） 例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-（A+B ） 求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4 （3）假设2¤X=1求X 例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞（X ∞ 1/4）的值是多少？ 依米教育个性化辅导授课教案 例7：规定X*Y= XY Y AX +，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？ 例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++= ?11 已知3 211212112=+++=?））（（A 那么20088▽2009=？ 巩固练习 1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推 （1） 3▽2 （2）5▽3 （3）1▽X=123，求X 的值 2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7 计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4） 3、如果A*B=3A+2B ，那么 （1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4） 4、如果A>B ，那么｛A ，B ｝=A ；如果A §1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 《定义新运算》教案 教学内容：五年级下 教学目标： 1、让学生认识新运算，掌握新运算。 2、开拓学生的思维，让学生学会用新的思维考虑问题 教学重点：在定义新运算的问题中，让学生认真审题，明确“新运算”的定义，严格遵照规定的法则来完成计算。 教学难点：让学生正确理解新运算的定义。 教学方法：自主探究、合作交流。 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、快速抢答：（课件出示） 1、我们以前学过哪些运算符号？加、减、乘、除、括号 2、那些符号有什么运算法则？ 在四则运算中，有括号先算括号里面的，再算乘除，最后算加减 二、导入新课： 1、导入新课，板书课题。 我们以前学过加减乘除，也学会了它们的运算法则，同学们很熟练的掌握了，可是今天老师跟你们带来了一种新的运算符号，相信大家很期待老师给大家展示一下，今天我们就来学习一下这个新的运算符号及规律。 教师板书课题：定义新运算。 2、什么是定义新运算？ “定义新运算”是针对已有的常规运算而言的，例如常见的加、减、乘、除运算，有一定的运算定义，一定的运算符号，一定的运算法则，这些都是约定俗成的；而定义新运算是指人为规定用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，新运算的定义是题目规定的，只能在对应的题目里有效，相同的符号在不同的题目里面可能会有不同的含义 解答这类问题时，要认真审题，根据题目的具体特点，仔细分析，深入思考，灵活、辨证地选择解法。 三、自主探究（一）： 1、出示例1：【例1】已知a&b=( a+b)-( a-b),求5&2 2、引导学生读题，分析题意： 3、学生自主探究。 4、交流汇报，教师点拨。 思路点拨：这是一道比较简单的定义新运算题，我们只要把5和2运算式，把定义中的a,b分别换成5和2可以了。 【解】a&b=( a+b)-( a-b)= ( 5+2)-（5-2）=7-3=4 四、巩固练习： a&b=(a+2b) ÷2，求18&10 答案：a&b=(a+2b) ÷2=（18+2×10）÷2=38÷2=19 五、自主探究（二）： 1、出示例2：【例2】定义新运算A!B=A×A-B×B,求8！5 2、引导学生读题，分析题意： 3、学生自主探究。 4、交流汇报，教师点拨。 思路点拨：8！5中的8和5分别相当于新运算中的A和B,我们只需要将新运算中的A、B分别换成8和5即可。 【解】A!B=A×A-B×B =8×8-5×5=39 六、巩固练习： 定义新运算A&B=A×A-2B,计算15&10 答案：A&B=A×A-2B=15×15-2×10=205 七、自主探究（三） 1、出示例3【例3】P,Q表示两个数，P!Q=(P+Q) ÷2,计算9！（10!12） 2、引导学生读题，分析题意： 求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y 我们知道式③表示一族曲线， 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式， 而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程. （二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解. 作者姓名 xxx 设计主题集合的运算(一) 1.整体设计思路、指导依据说明 本节内容首先创设情境，引入指数函数概念；本节课集合的基本元算采用讲议结合，通过实例探索集合之间的基本元算，同时应充分体现了新课改以学生为主体的思想，培养学生合作意识和数学数形结合的思想。 2.教学背景分析 教学内容分析：并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A ∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。 说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ? B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，一般写作 A ? B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。 3.教学目标分析 知识目标：理解并掌握集合的交、并、补运算，能够利用集合语言、集合思想解决有关问题．能力目标：能将集合知识和其它知识综合运用。 情感目标：加强基础训练，提高学习信心。 4.教学重点、难点分析 教学重点会求两个集合的交集，并集，补集；能运用Venn图表示集合的运算。 教学难点：正确理解全集的概念，补集是什么及运算。 5.教学过程设计 五、教学过程 第一课时 【复习导入】采用复习导入的方法，首先复习集合的关系，然后类比实数的加法元算得到集合 第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 微分方程中的几个基础概念 微分方程—基础 微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。 微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。 在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。 除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。 最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次 ?微分阶数 虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。 常微分与偏微分 首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？ 如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。 常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。 另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。 下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括： 定义新运算（二） 1.规定:a ※b =(b+a )×b ,那么(2※3)※5= . 2.如果a △b 表示（a-2）×b,例如3△4=(3-2)×4=4,那么,当a △5=30时, a= . 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1 4.根据上面定义的运算,18△12= . 4.已知a ,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b = a + b -1,2-=?ab b a ,那么[]=?⊕⊕?)53()86(4 . 5.x 为正数, 9.规定一种新运算“※”: a ※b = )1()1(-+?????+?b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么 x = . 10.对于任意有理数x , y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x (m ≠0),则m 的数值是 . 二、解答题 11.设a ,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22. (1)计算(4△3)+(8△5)的值; (2)计算(2△3)△4; (3)计算(2△5)△(3△4). 黄冈思维数学四年级B册 第一讲 定义新运算 教学内容：定义新运算 教学目标：1、认识定义新运算型试题的特点，掌握定义新运算型试题的解法，尝试自编定义新运算型试题。 2、能将新定义运算转化为熟悉的运算问题进行解答，使学生创新能力和应用意 识得到增强。 3、情感目标：培养学生的探究意识、提高应对新生问题的心理素质。 重点难点：1、定义新运算型试题的特征、本质及其解法，如何编拟定义新运算型试题及注意问题。 2、理解定义新运算型试题的本质，能根据已知条件将新运算转化为熟悉的运算。教学流程： 一、情景导入： 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等，例如，2+3=5，2×3=6。都是2和3，为什么运算结果不同的呢？主要是运算法则和方式不同，实际对应法则不同就是不同的运算，当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应，只要符合这个要求，不同法则就是不同的运算。在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”、“×”、“÷”运算不相同。 二、探究新知： 1、展示课题：定义新运算 2、出示例题1：设a※b表示a的3倍减去b的2倍，即a※b=3a-2b。 例如，当a=5时，b=4时，5※4=5×3－4×2=7 （1）计算：7※8 （2）计算：8※7 教师引导这类题关键是抓住定义的本质，找出这道题规定的运算法则是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍即为运算结果。这样就可以把 新定义运算转化成我们已学过的普通运算 。 解 (1)7※8 =3×7－2×8 =21－16 =5。 （2）8※7 =3×8－2×7 =24－14 =10 3、出示例题2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b+a+b。试计算6⊕3 教师引导同例1一样首先找出这道题规定的运算法则本质，不难发现运算符号“⊕”两边的两个数的积加上这两个数，即为运算结果。 解6⊕3 微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度 2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了 多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运 动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们 都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程 知识要点 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新 定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例题精析 例题1假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。 解析：这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。 13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=10 13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=2 例题2设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。 解析：根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算符号。 3△(4△6) ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65 例题3如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。 解析：经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此 7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420 集合的概念与运算 适用学科咼中数学适用年级高中一年级 适用区域通用课时（分钟）2课时 知识点 集合的概念，兀素与集合的关系及表示，集合的表示方法相等关系，包含关系，不 包含关系 教学目标 了解集合的含义，体会兀素与集合的属于关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体冋题；理解集合之间包含与相 等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义?教学重点兀素与集合的关系，集合兀素的特性；集合之间包含与相等的含义 教学难点集合之间包含与相等的含义，集合兀素的特性 主要以一元二次不等式，函数的定义域（特别是对数函数的定义域与带根号的函数的定义域） 与值域为背景进行考察，求解时，掌握一元二次不等式的解法及函数定义域值域的求法时正 确求解的关键 （2 ）本部分在高考中的题型以选择题为主，几乎历年一道必考送分，各位同学要抓住这个'相关知识 集合 q概念、一组对象的全体? x^A,x老A。兀素特点：互异性、无序性、确定性。 关系 子集x^A= B二A匸B。0匸A; A匸B, BG C= AG C n个兀 素集合子集数2n。 真子集x^ Aa x E B, Ex。E B,x o 更A二 A U B 相等A匸B,B匸A二A = B 运算 交集 A"B ={x|x^ A,且B}C U（A U B）=（C U A）D（C U B） C U（A D B）=（C U A）U（C U B） C u （C U A） = A 并集 AUB ={x|x^ A,或B} 补集 Cu A = {x|x^U 且x 更A 三、知识讲解 1?集合的含义 集合的交并补运算在高考中几乎是每年必考, 小数加减法的简便运算 教学目标： 知识与技能：1、通过有限个例证明使学生理解整数的运算定律在小数运算中同样适用。 2、能根据数据特点正确应用加法的运算定律和减法的性质进行简便运算。 过程与方法：通过观察对比能根据数据特点正确应用加减法的运算定律和运算性质，进行简便运算，掌握简算方法。 情感态度与价值观：培养学生认真观察、仔细思考的学习习惯。渗透事物之间相互联系的观点。 教学重难点： 重点：理解整数运算定律对于小数同样适用，并会运用这些定律进行一些小数的简便运算。 难点：解决问题的多样性和计算方法的准确的定义是本节课的难点。 教学过程 一、热身复习： 72+35+28 156-47-53 1.在刚才的计算中我们运用了那些运算定律和运算性质？ 2.师根据学生回答板书汇报：加法交换律加法结合律减法的性质 用字母表示就是：a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) 3.揭示课题：整数的加减法有简便运算，小数的加减法可以简便运算吗？这节课我们来探究这个问题。 二、自主探究，探索新知： 1.观察、比较，看看你发现了什么？ 0.4＋0.8○0.8＋0.4 （2.6＋5.3）＋1.7○2.6＋（5.3＋1.7） 14.6－5.7－4.3○14.6－（5.7＋4.3） （1）观察、比较、，你发现了什么？（给学生思考的时间）（2）把你的发现与你的同桌交流一下。 （3）组织学生进行验证。可以怎样验证呢？ 师生共同计算,分男女生比赛算（女生做右边的算式，男生做左边的算式），发现○的左右两边相等。 （4）从这三组算式中你了解到了什么？ 整数加减法的运算定律和性质，对于小数加减法同样适用。2.板书课题：小数加减法简便运算 从上面的题中我们发现：应用整数加减法的运算定律和性质可以使一些小数加减法计算简便。这节课我们一起来学习小数加减法简便运算。 课件出示课题：小数加减法简便运算 三、仔细观察，发现规律： 第十三章 常微分方程简介 本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。 由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。 本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念 像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 1.1 两个实例 例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。 解 平面上的曲线可由一元函数来表示 设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。 另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。 从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。 为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22， 我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。 再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即 《加、减法的定义及各部分间的关系》教学设计 【教学目标】 （一）知识与技能 结合具体情境通过对算式变换的比较，理解和掌握加、减法的意义和各部分之间的关系。 （二）过程与方法 在探索加、减法各部分之间的关系的过程中，发展抽象、概况的能力，进一步建立代数的思想。 （三）情感态度和价值观 在用抽象文字表示加、减法各部分间的关系的过程中，感受数学的内在逻辑性，体会数学的价值。 【教学重点】 教学重点：理解和掌握加减法各部分之间的关系。 【教学难点】 表示加、减法各部分间的关系 【教学准备】 课件、学习单。 【教学过程】 （一）创设情境，提出问题 1.师：同学们，你们知道中国新世纪四大工程之一，被誉为“天路”的工程是什么吗？ 预设： 生：青藏铁路 2.师：青藏铁路的建设创造了很多高海拔地区铁路建设的奇迹，今天这节课我们就从数学的角度一起走近青藏铁路。 （出示主题图） 3.师：你能根据图中的信息提出什么数学问题吗？ 预设： 生1：西宁到拉萨的铁路长多少千米？ 生2：格力木到拉萨的铁路长多少千米？ 生3：西宁到格里木的铁路长多少千米？ （随着学生提出问题，课件随机显示） 【设计意图】课程标准中指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”。在课的开始，引导学生自主提出数学问题，在激发学生研究兴趣的同时，引出研究问题。 （二）自主探究，加减定义 1.师：同学们提出的问题能够解决吗？我们先来看看第一个问题，请每个同学自己动手试一试。 2.学生独立解题 3.汇报交流，展示解题过程： 预设：814+1142=1956 4.师：为什么用加法计算？ 预设： 生：把两段合在一起计算。 5.师：你还能提出什么用加法计算的问题吗？ （学生提出数学问题） 6.师：用你自己的话说一说什么是加法？ 预设： 生：把两个数合并成一个数的运算叫加法。 （板书：加法定义） 7.师：你知道加法算式中这些数都叫什么名字吗？ 介绍加法算式各部分名称（加数+加数=和） 8.师：刚才同学们还提出了两个问题，他们能解决吗？请大家试一试，看看谁的速度快。 9.学生列式计算。 （2）1956-814=1142 （3）1956-1142=814幂的运算教学设计
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