东北大学离散数学复习总结
方法、知识点总结（知识重点和考题重点）
前三章重点内容（知识重点）：
1、蕴含（条件）“→”的真值
P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。
2、重言(永真)蕴涵式证明方法
<1>假设前件为真，推出后件也为真。
<2>假设后件为假，推出前件也为假。
易错
3、等价公式和证明中运用
4、重要公式
重言蕴涵式：P∧Q => P or Q
P or Q => p∨Q
A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C)
其他是在此基础上演变
等价公式：幂等律 P∧P=P P∨P=P
吸收律 P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P
同一律 P∨F=P P∧T=P
P∨T=T P∧F=F
P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)
5、范式的写法（最方便就是真值表法）
6、派遣人员、课表安排类算法：
第一步：列出所有条件，写成符号公式
第二步：用合取∧连接
第三步：求上一步中的析取范式即可
7、逻辑推理的写法
直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分
其中E公式是指等价公式部分
条件论证: 形如 ~ , ~, ~ => R->S
R P(附加条件)
... ...
S T
R->S CP
8、谓词基本内容
注意：任意用—> 连接
存在用∧连接
量词的否定公式
量词的辖域扩充公式
量词分配公式
其他公式
9、带量词的公式在论域内的展开
10、量词辖域的扩充公式
11、前束范式的写法
给定一个带有量词的谓词公式，
1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)；
2)如果量词前有“﹁?”，则用量词否定公式﹁?”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁?”后移到原子谓词公式之前；
3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；
4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。
简要概括： 1、去 -> ， <-> 2、移﹁
3、换元
4、量词辖域扩充
12、谓词演算的推理理论
推理规则：P、T、CP、US、ES、EG、UG 的使用
ES US 去量词
EG UG 添量词
★谨记：ES要在US之前,很重要
添加量词注意事项：
13、集合的幂集（用P表示，也常有花P表示）
A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。记作P(A)或2的A次方
给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2的n次方
14、求集合的划分数与等价关系数——相同
15、三种重要集合运算
一、差运算- (相对补集)
二、绝对补集~
三、对称差
前三章重点内容（考题重点）：最常考
内容和方法需要看自己课件，前三章考试内容不多且简单
1、命题符号化（包括第一章简单的命题和第二章谓词的命题）
2、逻辑推理（命题逻辑和谓词逻辑两种推理，每章书最后部分）
3、主析取范式与主合取范式（命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式写法）
4、真值的判断
后五章重点内容（知识重点）：
1、笛卡尔积
定义:设A、B是集合，由A的元素为第一元素， B的元素为第二元素组成序偶的集合，称为A和B 的笛卡尔积，记作A×B
如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则 |AXB |=mn.
2、域的表示：
定义域dom（关系的第一个元素的范围）
值域 Ran（关系的第二个元素的范围）
3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义
空关系只有点，没有一条边。
4、关系的个数
5、对称、反对称、自反、反自反、传递的判定
6、等价关系、等价类
定义：设R是A上关系,若R是自反的、对称的和传递的，则称R是A中的等价关系
等价关系的个数：划分数；
由等价关系图求等价类：
R图中每个独立子图上的结点，构成一个等价类。
不同的等价类个数=独立子图个数
7、相容关系、相容类
特点：自反、对称。
图的简化：⑴不画环；
⑵两条对称边用一条无向直线代替
相容类：设r是集合X上的相容关系，C?X,如果对于C 中任意两个元素x,y有
最大相容类的意义是——一个相容类加多一个点就不是相容类了，所以最大相容类可以是多个而不是唯一的“最大”的概念，定义类似极大线性无关组，但元素个数不同------找最大完全多边形。最大完全多边形：含有结点最多的多边形中，每个结点都与其它结点相联结。
通过最大相容类求完全覆盖：
完全覆盖就是指所有最大相容类构成的集合。
8、关系的分类：
偏序关系定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R 是A上的偏序关系。并称
全序关系定义：
9、偏序集Hasse图的画法
1).用“。”表示A中元素。
2).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。
3). 如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。
4). 一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头，带中间的方法 )
10、重要元素定义（极大小元、最大小元、上下界、最大下界与最小上界）
11、如何求映射是入（单）、满、双射？
第一步：分别求出定义域和值域
第二步：比较就出来了，就那么简单
但是要证明的话：
两者结合得：双射成立
12、复合函数中的重要性质（常考）：
f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则
⑴如果f和g是满射的，则 g。f 也是满射的；
⑵如果f和g是入射的，则 g。f 也是入射的；
⑶如果f和g是双射的，则 g。f 也是双射的
⑴如果 g。f 是满射的，则g是满射的；
⑵如果g。f 是入射的，则 f 是入射的；
⑶如果 g。f 是双射的，则f是入射的和g是满射的
13、函数种类个数的求法
14、逆函数（性质）
设f:X→Y是双射的函数，f C:Y?X 也是函数, 称之为 f 的逆函数。
设f:X→Y是双射的函数，则有
15、第六章基础知识重点
幂等元、幺元e、零元0、逆元的概念
同态同构：f(x)满射、并且满足
*不是双射就一定复合同构的条件：
必须具有幺元对幺元、零元对零元......
代数系统（重点）
半群：封闭、可逆独异点：有幺元
群：可逆交换群：可交换
群的特征：1.消去律 2.无零元 3.除幺元外无其他幂等元
运算表中：每个元素在每一行、列必须出现仅出现一次！16、第七章基础知识重点
格：
平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。
分配格：（判定定理）
所有链均为分配格。
设
有界格：（判定定理）
有界格定义：如果一个格存在全上界1与全下界0，则称此格为有界格。
从格的图形看：全上界1，就是图的最上边元素(只一个)。全
下界0，就是图的最下边元素(只一个)。
有补格：（判定定理：根据定义看是不是每个中间元素都有补元）
补元：设
有补格的定义：一个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有补格
布尔格：如果一个格既是分配格又是有补格，则称之为布尔格。
*重要定理：
在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯一的。
17、格的同构条件（特别）需同时满足：
钻石定律：
一个布尔代数的所有原子（直接覆盖最小元0的元素）构成的布尔代数一定与元代数同构
18、布尔代数表达式和布尔函数
含有变元 x1,x2,…,xn 的布尔表达式记作E(x1,x2,…xn),也可以看成是一个函数f:Bn→B, 称之为布尔函数
布尔表达式的范式的写法（很重要，与第一第二章的方法类似）19、第八章图论的重要知识点（好多好多的定义自己记吧）
图的同构：
两个图同构的必要条件:
1.结点个数相等.
2.边数相等.
3.度数相同的结点数相等.
4.对应的结点的度数相等.
图的连通：强连通、单侧连通和弱连通（一般不考）
如果任何两个结点间相互可达, 则称 G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后 (即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通
强分图、单侧分图和弱分图
在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.
具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图.
具有弱连通的最大子图,称为弱分图.
图的矩阵表示和写法（前两个有点重要）：
一、邻接矩阵
每一行的1：在无向图中代表一条线
有向图中代表—>出线
列中的1代表<—入线
二、可达性矩阵
三、完全关系矩阵
图中结点的度与个数、边的关系：
考试需要两则结合
20、欧拉图与H（汉密尔）图（重点）
定义：
在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路. 称此图为欧拉图
汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.具有汉密尔顿回路(H回路)的图.
欧拉回路的判定：（充要条件）
无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.
汉密尔顿图的判定: （只有充分条件）
(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之
和大于等于n,则G有一条H回路
欧拉回路的算法（重重重！虽然可能不考）
（记做闭迹交集法）
H回路的算法（重重重！虽然可能不考）
（记做相邻最小权法）
21、树中的重要方法：
树的结点与边数：边数=结点数-1 e = v-1
m叉有序树转化成二叉树的方法：
赋权图的最小生成树的求法（记做相邻最小权不回路法）：定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.
最优树求法：定义
***后五章重点内容（考题重点）：
<精华看完绝对不亏>
1、求逆元（例如a逆）
第一步：求出幺元e
第二步：a逆与a进行所定义的运算，写出等式：如a*a逆=e,求解
2、群的阶性质
*有一个群G，a属于G，a元素的阶为n，当且仅当k=mn(n的整数倍),a 的k次方=e.
*n阶群中的元素x，x的n次方等于e
3、树的边数e与叶结点t的关系
e=2t-2
4、图的画法与格的判断
画法在前面总结过：偏序集Hasse图的画法
3).用“。”表示A中元素。
4).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。
3). 如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。
4). 一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头，带中间的方法 )
判断——
格：看是否任意都有最小上界、最大下界；
分配格：跟那俩个特别的格比较，没有那样的子格就是分配格；链一定是分配格
有界格：有无最大最小元（1,0表示），有限个元素的格一定是有界格；
有补格：看是否每个元素都有补元
若有补元，补元唯一的是有界分配格！
布尔格：分配、有补
5、复合函数的性质
f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则
⑴如果f和g是满射的，则 g。f 也是满射的；
⑵如果f和g是入射的，则 g。f 也是入射的；
⑶如果f和g是双射的，则 g。f 也是双射的
⑴如果 g。f 是满射的，则g是满射的；
⑵如果g。f 是入射的，则 f 是入射的；
⑶如果 g。f 是双射的，则f是入射的和g是满射的
6、完全图的边数
无向完全图：边数为 n(n-1)/2
有向完全图：边数为 2的n次方
7、欧拉图、H图
完全图Kn，n为奇数时，完全图既是欧拉图又是H图；
8、证明子格
证明从封闭性入手，若对∨,∧（取最小下界、最大上界运算）运算封闭则为子格。
9、证明子群
第一步：证明非空集合；
第二步：在集合中任取两个进行自定义的运算，证明封闭性；
第三步：任意取一个集合中的数a，证a逆属于集合即证明可逆性。
10、证明等价关系
证明三点：自反、对称、传递
11、证明同态、同构（或者自同构）
第一步：证明f(x)双射，①先证入射（单射），②再证满射，则为双射
第二步：证类似如下式子成立
12、求图定点数与欧拉握手定理
形如：“一个图，边12，有6个3度结点，其他结点度数都小于3，求最少有几个结点”的问题
用欧拉握手定理：边数|E|为m，则所有结点度数累加起来等于2m
任何图中都有：奇数度顶点个数为偶数。
13、布尔表达式的析取范式、合取范式的求法
和前面说的一样，与第一第二章的范式写法类似，最好列真值表
14、分清叶结点、分支节点、树中节点数与边的关系、度数和与节点数的关系
15、Δ(G)，k(G)，δ(G)，λ(G)，W(G)，x(G) 分别表示图G的( 最大度 )，( 点连通度 )，( 最小度 )，( 边连通度 )，( 连通分支数 )，( 最小着色数 )
K（G）表示点连通度λ（G）表示边连通度 d（u，v）表示最短两点距离 deg(v)表示度 degi 表示入度 dego 表示出度
16、代数系统的证明
半群——》独异点——》群——》交换群
对应证明顺序：
封闭、可结合——》有幺元——》可逆性——》可交换
！！！当复杂时，可以用画出运算表的方法，就可以证明是否运算封闭、有幺元、有逆元。
17、循环群、生成元( g )与交换群（循环群属于需要了解）
循环群一定是交换群
素数阶群一定是循环群
证明交换群：证任意X、Y，对运算 X * Y = Y * X 成立。循环群周期：g的N次方等于e(幺元)，则n为周期
无限循环群与
p为素数，p阶循环群有p-1个生成元。
18、图的面与欧拉公式
欧拉公式：对于一个平面图
V - e + r = 2
v为顶点数，e为边数，r为面的数量。
19、完全二叉图的顶点、边数与叶的关系 (理解性记忆)
叶子结点：n
顶点数：2n-1
边数：2(n-1)
m叉图：叶子结点：t 分支结点：i
则有（m-1）i = t-1
20、二元关系种数
若A有n个元素，B有m个元素，A→B有2的nm次方种关系。
21、三叉树
叶结点为n，边数为3（n-1）/2
22、证明图不连通、其补图一定连通
任取u,v∈V(G), 如果u与v不邻接,则在G中有边(u,v)，所以在G中 u与v是连通的；如果在G中u与v邻接, 则u与v在G的同一个连通分支, 由于G是不连通的,所以G必有另一个连通分支G(V1), 设w∈V1(G), 于是在G中必有边(u,w),(w,v),于是在G中必有路uwv, 所以G是连通的。
23、最优树问题
在第八章知识点最后一个方法，考试考的可能性还算大
东北大学 19春学期《离散数学》在线作业2 答案
试卷总分:100 得分:0 一、单选题(共10 道试题,共50 分) 1.单选题。一棵树有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，该树有（）个4度结点。 A.4； B.3； C.2； D.1； E.不在给定的选择的范围内。 正确答案:D 2. A.B:①：⑵⑶⑺⑻ B.B:②：⑶⑷⑻ C.B:③：⑶⑹⑺⑻ D.B:④：⑶⑺ 正确答案:D 3.单选题。一棵根树是完全m叉树，当且仅当该图（）。 A.每个结点的度数是m； B.每个结点的出度都是m； C.每个结点的出度不是0就是m； D.恰有一个结点入度为0：其余结点入度为1。 正确答案:C 4.令命题P表示“没有大学生不懂外语。”下面命题( )与P等价。 A.有些大学生懂一些外语。 B.所有大学生都懂一些外语。 C.有些大学生懂所有外语。 D.没有大学生懂所有外语。 正确答案:B 5. A.矛盾式 B.重言式 C.无法确定 D.不知道
正确答案:B 6.7.选择题：在一次集会中，与奇数个人握手的人数共有()个。 A.奇数 B.不能确定 C.偶数 D.不知道 正确答案:C 7.下面是 "xC(x), $x(A(x)ÚB(x)), "x(B(x)?ØC(x)) Þ $xA(x) 的谓词推理过程。在这个过程中每一步中的（）处是此步所用的推理规则。请写出这些推理规则。 ⑴$x(A(x)ÚB(x)), ( ) ⑵A(a)ÚB(a) ( ) ⑴ ⑶"xC(x) ( ) ⑷C(a) ( ) ⑶ ⑸"x(B(x)→ØC(x)) ( ) ⑹B(a)→ØC(a) ( ) ⑸ ⑺ØB(a) ( ) ⑷⑹I12 ⑻A(a) ( ) ⑵⑺I10 ⑼$xA(x)) ( ) ⑻ A.⑴P；⑵T；⑶T；⑷UG；⑸P；⑹US；⑺P；⑻T；⑼ES。 B.⑴P；⑵EG；⑶T；⑷UG；⑸P；⑹UG；⑺P；⑻T；⑼EG。 C.⑴P；⑵ES；⑶P；⑷US；⑸P；⑹US；⑺T；⑻T；⑼EG。 D.⑴P；⑵US；⑶T；⑷UG；⑸P；⑹UG；⑺P；⑻T；⑼UG。 正确答案:C 8. 选择填空。如果集合X满足XÍD 且XÇB＝Ф，则X可能与下面给定的集合( ) 相等。 A.A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， B.B＝{2,4,6,8}， C.C＝{1,3,5,7,9}， D.D＝{3,4,5}， E.E＝{3,5}， 正确答案:E
离散数学必备知识点总结
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总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；
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总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义m n 2种不同的关系； 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；
离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
东北大学离散数学复习总结(满分版)
方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用
4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P 吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S
R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式
量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁ ”，则用量词否定公式﹁ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁ ”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)； 4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。 简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁ 3、换元 4、量词辖域扩充
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中
离散数学学习体会
我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言，我们可以使用这些前提： 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到：cab=abc=c-1。 需要注意的是： 1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。 2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab 的方法。 我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现，如果要使用反证法的话，我们需要反设1-ba不存在乘法逆元，然后由此推出1-ab也不可能有逆元（或者推出R不是含幺环）。 但反设1-ba不存在乘法逆元后，我们到底能推出哪些结论来呢？似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R，必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明（因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”，并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”）。 另一方面，利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时，我们可以“取巧”了。注意到： 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话，我们只要找到1-ba的左逆元（或者右逆元）就基本完成任务了（虽然最终书写证明时，我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元）。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话，它的左右逆元是唯一且相等的（所以，1-ba确实可逆，而我们又找到了它的一
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明:
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离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式，则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。（用等值演算或真值表） 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?：全称量词 ?：存在量词 一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式：设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词，n t t ...1是项，则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元，可以换成个体变元的表达式(项)，但不能出现任何联结词与量词，只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式：(1)原子公式是合式公式；(2)若 A 是合式公式，则(﹁A)也是合式公式；(3)若 A,B 合式，则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式，则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域：?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围，A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元：在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ，称为约束变元，这是与量词相关的变元，约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词，称为自由变元，它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元，就是自由变元。 注意：为了避免约束变元和自由变元同名出现，一般要对“约束变元”改名，而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式
离散数学总结
离散数学学习总结 一、课程内容介绍： 1．集合论部分： 集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如： 方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。 表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法， 如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C 是不相交的。 两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 2．关系 二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果
得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。 3．代数系统 代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字 αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统
东大20春学期《离散数学X》在线平时作业2【标准答案】
20春学期《离散数学X》在线平时作业2 试卷总分:100 得分:100 一、单选题 (共 10 道试题,共 40 分) 1.单选填空题。E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算Ç的有逆元的元素是（）。 A.不存在。 B.{b}； C.{a} ； D.{a,b}； E.Φ； 答案:D 2.{图} A.{图} B.{图} C.{图} D.{图} 答案:B 3.下面是 "xC(x), $x(A(x)ÚB(x)), "x(B(x)?ØC(x)) Þ $xA(x) 的谓词推理过程。在这个过程中每一步中的（）处是此步所用的推理规则。请写出这些推理规则。 ⑴ $x(A(x)ÚB(x)), ( ) ⑵ A(a)ÚB(a) ( ) ⑴ ⑶ "xC(x) ( ) ⑷ C(a) ( ) ⑶ ⑸ "x(B(x)→ØC(x)) ( ) ⑹ B(a)→ØC(a) ( ) ⑸ ⑺ ØB(a) ( ) ⑷⑹ I12 ⑻ A(a) ( ) ⑵⑺ I10 ⑼ $xA(x)) ( ) ⑻ A.⑴ P；⑵ US；⑶ T；⑷ UG；⑸ P；⑹ UG；⑺ P；⑻ T；⑼ UG。 B.⑴ P；⑵ T；⑶ T；⑷ UG；⑸ P；⑹ US；⑺ P；⑻ T；⑼ ES。 C.⑴ P；⑵ ES；⑶ P；⑷ US；⑸ P；⑹ US；⑺ T；⑻ T；⑼ EG。 D.⑴ P；⑵ EG；⑶ T；⑷ UG；⑸ P；⑹ UG；⑺ P；⑻ T；⑼ EG。 答案:C 4.{图} A.{图} B.{图} C.{图} D.{图} 答案:D
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={