高中数学 基本不等式培优讲义
高中数学——基本不等式培优专题
目录
1.常规配凑法 (2)
2.“1”的代换 (3)
3.换元法 (5)
4.和、积、平方和三量减元 (7)
5.轮换对称与万能k法 (10)
6.消元法（必要构造函数求异） (11)
7.不等式算两次 (13)
8.齐次化 (14)
9.待定与技巧性强的配凑 (15)
10.多元变量的不等式最值问题 (17)
11.不等式综合应用 (19)
1.常规配凑法
1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________
2. 已知实数x,y 满足116
2
2
=+y x ，则22y x +的最大值为_____________
3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1
1)(
(≥++y
x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++1
1
的最小值是_____________
5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b
a =+3
2，
则ab 的最小值是_____________
6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则b
b a 21
4+
-的最小值是_____________
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11
111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ）
A.23
B.22
C.3
D.2
2.“1”的代换
8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b
a b 1
+的最小值为_____________此时a=______
9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+
b a 则b a
+2
的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9
10.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y 满足x ﹥y ﹥0,且x+y=2，则
3y
x 4
y -x 1++的最小值是_____________
11.（18届金华十校高一下期末）记max ｛x,y,z ｝表示x,y,z 中的最大数，若a ﹥0,b ﹥0,则max ｛a,b,
b
a 31+｝ 的最小值为（ ）
A.2
B.3
C.2
D.3
12. 已知a,b 为正实数,且a+b=2，则21
22
2-+++b b a a 的最小值为_____________
13. 已知正实数a,b 满足1)2(2
21=+++a
a b b b a ）（，则ab 的最大值为_____________
（补充题）已知x,y ﹥0,则
2
222296y
x xy
y x xy +++的最大值是_____________
3.换元法
14.（2019届超级全能生2月）已知正数x,y 满足x+y=1,则y
x 21111+++的最小值是（ ）
A. 2833
B.67
C.5223+
D.
56
15.（2019届模拟7）已知㏒2(a-2)+ ㏒2(b-1)≥1，则2a+b 取到最下值时ab=（ ）
A.3
B.4
C.6
D.9 16.（2018温州期中）已知实数x,y 满足2x ﹥y ﹥0,且121
21=++-y
x y x ，则x+y 的
最小值为（ ）
A.
5323+ B.5324+ C.5
3
42+ D.
5343+
17.（2018杭州期末）若正数a,b 满足a+b=1,则b
b
a a ++
+11的最大值是_____________
18.（2017湖州期末）若正实数x,y 满足2x+y=2,则2
2142
2+++x y y x 的最小值是_____________
19.（2018河北区二模）若正数a,b 满足
111=+b a ，则1
9
11-+
-b a 的最小值为（ ） A.1 B.6 C.9 D.16
20.（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知实数x,y 满足xy-3=x+y,且x ﹥1，则y(x+8)的最小值是（ ）
A.33
B.26
C.25
D.21
21. 若正数x,y 满足111=+y x ，则1
914-+-y y x x 的最小值为_____________
22.（2018届嘉兴期末）已知实数x,y 满足194=+y x ，则1132+++y x 的取值范围是_____________
23.（2018上海二模）若实数x,y 满足11
2244+++=+y x y
x
，则S=y x 22+的取值范
围是_____________
4.和、积、平方和三量减元
24.（2019届台州4月模拟）实数a,b 满足a+b=4,则ab 的最大值为_____________，
则)1)(1(2
2
++b a 的最小值是_____________
27.（2016宁2波期末14）若正数x,y 满足1242
2
=+++y x y x ，则xy 的最大值是_____________
28.（2018届诸暨市期中）已知实数x,y 满足214-=+xy x y y x ，则1
22-+y x xy 的最大值为（ ）
A.332
B.23
C.
13
3
2+ D. 213+
29.（2018台州一模）非负实数x,y 满足324442
2
2
2
=+++y x xy y x ,则x+2y 的最小值为_____________，
xy y x 2)2(7++的最大值是_____________
30.（2018春南京）若x,y ∈(0,+∞),,42
=++
xy y
x 则17212
2+++xy y x xy 的取值范围是_____________
31.（2017武进区模拟）已知正实数x,y 满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y 的最小值为_____________
32.（2017宁波期末）若正实数a,b 满足ab b a 61)2(2
+=+,则1
2++b a ab
的最大值为
_____________
5.轮换对称与万能k 法
33.（2019嘉兴9月基础测试17）已知实数x,y 满足142
2
=++y xy x ，则x+2y 的最大值为_____________
34.（2016暨阳联谊）已知正实数x,y 满足2x+y=2,则22y x x ++的最小值为
_____________
35. 已知正实数a,b 满足1922=+b a ，则b
a ab
+3的最大值为_____________
36. 已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, 1222=++c b a 则a 的最大值为_____________
37.（2018届杭二高三下开学）若16492
2
=++xy y x ，x ∈R ，y ∈R ，则9x+6y 的最大值为_____________
6.消元法（必要构造函数求异）
38.（2016十二校联考13）若存在正实数y,使得y
x x y xy 451
+=-，则实数x 的最大值为_____________
39.（2019届镇海中学5月模拟13）已知a,b ∈+
R ，且a+2b=3,则b
a 2
1+的最小值是_____________，
2
22
1b
a +的最小值是_____________
40.（2019届金华一中5月模拟9）已知正实数a,b 满足a+b=1,则的最大值是（ ）
A.2
B.21+
C. 1332+
D. 22
23+
41.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则b
a b
a u ++=
32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为5
14 C.没有最小值 D.有最大值为3
42.（2018湖州期末）已知a,b 都为正实数，且31
1=+b
a ，则a
b 的最小值是_____________
ab
b
+1的最大值是_____________
7.不等式算两次
43. 设a ＞b ＞0,那么)
(1
2
b a b a -+
的最小值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
44. 设a ＞2b ＞0，则)
2(9
)(2
b a b b a -+-的最小值为_____________
45.（2017天津）若a,b ∈R,ab ＞0，则ab
b a 1
444++的最小值为_____________
46. 若x,y 是正数，则22)21
()21(x
y y x +++的最小值是_____________
47. 已知a,b,c ∈(0,+∞),则ac
bc c b a ++++25
)(2222的最小值为_____________
48.（2018天津一模）已知a ＞b ＞0，则b
a b a a -+
++2
32的最小值为_____________
49.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042
≤+-b a ，则b
a b
a u ++=
32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为5
14 C.没有最小值 D.有最大值为3
50. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0且a+b=2,则2
5
2-+-+c c ab c b ac 的最小值是_____________
8.齐次化
51.（2019届杭高高三下开学考T17）若不等式)(22
2
x y cx y x -≤-对满足x ＞y ＞0的任意实数x,y 恒成立，
则实数c 的最大值为_____________
52.（2019届绍兴一中4月模拟）已知x ＞0，y ＞0，x+2y=3，则xy
y
x 32+的最小值为（ ）
A.223-
B.122+
C.12-
D.12+
53.（2018浙江模拟）已知a ＞0,b ＞0，则
2
222296b
a ab
b a ab +++的最大值为_____________ 若2542
2
=+-y xy x ，则2
2
3y x +的取值范围是_____________
54.（2016新高考研究联盟二模）实数x,y 满足2222
2
=+-y xy x ，则2
2
2y x +的最小值是_____________
9.待定与技巧性强的配凑
55.（2016大联考）若正数x,y,z 满足3x+4y+5z=6，则z
x z
++++2y 4z y 21的最小值为
_____________
56.（2016杭二最后一卷）若正数x,y 满足11
x 1=+y
，则2210y xy x +-的最小值为_____________
57.（2016宁波二模）已知正数x,y 满足xy ≤1，则M=1
211x 1+++y 的最小值为_____________
58.（2016浙江模拟）已知实数a,b,c 满足14
14122
2=++c b a ，则ab+2bc+2ca 的取值范围是（ ）
A.(]4，
∞- B. []44，- C. []42，- D. []41，-
59.（2019江苏模拟）已知x,y,z ∈(0,+∞)且1222=++c b a ，则3xy+yz 的最大值为_____________
60.（2016大联考）已知12
222=+++d c b a ，则ab+2bc+cd 的最大值为_____________
61.
（2017学年杭二高三第三次月考）已知
{}
222)()()(min T z x y z y x +++=，，，且x+y+z=2，
则T 的最大值是（ ）
A.
38 B.8 C. 3
4
D. 3
2
62. 已知a,b,c ∈+
R ,则bc
ab c b a 22
22+++的最小值是_____________
63. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则bc ab 25+的最大值是_____________
64. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则ac+bc 的最大值为_____________,又若a+b+c=0,
则c 的最大值是_____________
10.多元变量的不等式最值问题
65.（2019届浙江名校新高考研究联盟第9题）已知正实数abcd 满足a+b=1,c+d=1，
则
d
1
abc 1+的最小值是（ ） A.10 B.9 C.24 D.33
66.（2019届杭四仿真卷）已知实数x,y,z 满足???
=++=+5
1
22
2
2
z y x z xy ，则xyz 的最小值为
_____________
67.（2019届慈溪中学5月模拟）若正实数a,b,c 满足a(a+b+c)=bc ，则c
b +a
的最大值为_____________
68.（2017浙江期末）已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a ﹥b ﹥c,则2
2
c
a b +的取值范围
是（ ）
A.)55,55(-
B. )51,51(-
C.)2,2(-
D. )5
5,
2(- 69.（2018浦江县模拟）已知实数a,b,c 满足1222=++c b a ，则ab+c 的最小值为（ ）
A.-2
B.2
3
- C.-1 D.-
2
1 70.（2016秋湖州期末）已知实数a,b,c 满足1322
22=++c b a ，则a+2b 的最大值为
（ ）
A.
3 B.2 C.5
D.3
71.（2019江苏一模）若正实数a,b,c 满足ab=a+2b ，abc=a+2b+c ，则c 的最大值为_____________
72.（2018秋辽宁期末）设a,b,c 是正实数且满足a+b ≥c ，则c
b a
a b ++
的最小值为_____________
73.（2017秋苏州期末）已知正实数a,b,c 满足
11a 1=+b
，11b a 1=++c ，则c 的取
值范围是_____________
74.（2019届浙江名校协作体高三下开学考17）若正数a,b,c 满足
1222=--++bc ab c b a ，则c 的
最大值为_____________
75.（2018届衢州二中5月模拟12）已知非负实数a,b,c 满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围
是_____________ 76.（2018届上虞5月模拟16）若实数x,y,z 满足x+2y+3z=1, 1942
2
2
=++z y x ,则z 的最小值
为_____________
11.不等式综合应用
77.（2018春衢州期末）已知x,y ＞0，若,1464x y x y +=
++ 则y
x 1
4+的最小值是（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9 78.（2018嘉兴模拟）已知,0x ,841x ）＞（y y
x y ++=
+则x+y 的最小值为（ ） A.35 B.9 C.2624+ D.10
79.（2018越城区校级）已知x,y ＞0，且,419211x =+++y x y 则y
167x 3-的最小值是_____________
80.（2016台州期末）已知a,b,c ∈(0,1),设a
c c b b a -+
-+-+11
2,112,112这三个数的最大值为M ，
则M 的最小值为（ ）
A.5
B.223+
C. 223-
D.不存在
81.（2019乐山模拟）已知实数x,y 满足x ＞1，y ＞0, ,111
114x =+-+
+y
x y 则y
1
1-x 1+的最大值 为_____________
82.（2019乐山模拟）已知x,y 为正实数，且满足)2)(23(12
-+=-y y xy ）（，则y
1+
x 的最大值
为_____________
83.（2019届镇海中学最后一卷）已知x,y ＞0，且1y
1
x 82=+，则x+y 的最小值为_____________
人教版高中数学高一培优讲义第7讲函数与方程
第7讲函数与方程 理清双基 1．函数的零点（非点） （1）函数零点的定义；对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数 ))((D x x f y ∈=的零点． （2）几个等价关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数 )(x f y =有零点。 （3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(++=a c bx ax y 的图象与零点的关系 >?0=?0 ++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点) 0,)(0,(21x x ) 0,(1x 无交点零点个数 2 1 无 3.二分法 定义：对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(高中数学必修五《基本不等式》培优专题(无答案)
高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用
培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9
【多套试卷】人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》培优试题(一)与简答
人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》培优试题（一）与简答 一．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知函数112 y x =+，当1y -…时，x 的取值范围是 ． 2．不等式3442(2)x x -+-…的最小整数解是 ． 3．若不等式组230x x m -?? ? … …无解，则m 的取值范围是 ． 4．若不等式组3 x x a >?? >? 的解集是x a >，则a 的取值范围是 ． 5．若关于x 的不等式组0 721x m x -?? -? …有解，则m 的取值范围是 ． 7．不等式组112251 x x ? -???+>?… 的最大整数解是 ． 8．不等式组12 35a x a x -<<+?? <?≠?>? 的解集是x a >，则a ，b 的关系是( ) A ．a b < B ．a b … C ．a b > D ．a b … 10．若a b >成立，则下列不等式成立的是( ) A ．a b ->- B ．11a b -+>-+ C ．(1)(1)a b -->-- D ．11a b ->- 11．不等式组5335 x x x a -<+??
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
【2021培优】专题2.2 基本不等式(解析版)
旗开得胜 1 专题2.2 基本不等式 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足2 2 1x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．1 B 3 C ． 22 D ． 12 【答案】D 【解析】因为22 2x y xy +≥，所以22 2=1y x x y +≤，得12 xy ≤ . 故选：D. 2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3【答案】C 【解析】因为90,30a b >>，22a b +=， 所以2293293233236a b a b a b a b ++≥?=?==，
旗开得胜 1 当且仅当233a b =，即1 ,12 a b = =时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C 3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．2a b ab +≤【答案】B 【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确； B.2222220a b ab a b ab +≥-?++≥，即()2 0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B 4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241 x x y x -+=-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】依题意24 1 x x y x -+= -4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以
一元一次不等式培优带答案.doc
初一数学培优讲义—不等式（答案） 一、例题选讲 4 x m8 x 1 例 1、已知关于x 的方程：37，当m为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m的最大值。 4 x m 1，可得 m 4 x 1 解：原方程化简整理得：2121 4 x 因为 m为负整数，所以21必为小于-1的负整数 4 x1， x 21，即x 5 1 所以214 4 4 x 而要使 21为负整数，x必是21的倍数，所以x 的最大值为 -21 因为当 x 取最大值时， m也取得最大值，所以m的最大值为 -3 4 x 例 2、已知 m、n 为实数，若不等式 (2m-n) x+3m-4n<0 的解集为9 ， 求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。 解：由 (2m-n) x+3m-4n<0 得： (2m-n) x<4n-3m ， 2m n 0 (1) x 4 4n 3m 4 (2) 9 ，所以有2m n 9 因为它的解集为 n 7 m 由(2) 得8 代入(1) 得 m<0 n 7 m 5m x 5m 把8 代入(m-4n) x+2m-3n>0 得 2 8 1 1 x x ∵ m<0 ∴ 4 所以，不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解集为 4 例 3、解不等式： (1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x (x-1) (2) x 4 2x 3 1 解： (1) 原不等式可化为： (7-2m) x
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高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 2019-2020届七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》考试时间：100分钟试卷分数：120分 姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.不等式组 ?? ? ??2x D ．48)32(2≥-+x x B ．48)32(2≥--x x C ．48)32(2≤-+x x D ．482≥x 7.若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ） D ． a ＞-b B ． a ＜-b C ． 2-a ＞a -b D ． -2a ＜-2b 8.如果不等式ax+4＜0的解集在数轴上表示如图，那么（ ） D ．ａ>0 B ．a<0 C ．a=-2 D ．a=2 9.小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平 均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ） D ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800 D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8 10.已知方程组2,231y x m y x m -=??+=+? 的解x 、y 满足2x+y ≥0，则m 的取值范围是（ ） D ．m ≥－ 43 B ．m ≥43 C ．m ≥1 D ．－4 3 ≤m ≤1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.直接写出下列不等式（组）的解集 ①42φ-x ②105πx - ③ ? ? ?-21 πφx x 12.现用甲，乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排______辆． 13.已知实数x ，y 满足2x －3y ＝4，并且x ≥－1，y ＜2，现有k ＝x －y ，则k 的取值范围 是 ． 14.若点（2，m -1）在第四象限，则实数m 的取值范围是______． 15.若a>b ，则______；若a 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 考点1 复数 [玩前必备] 1．复数的有关概念 (1)定义： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝?a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R 3．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． [玩转典例] 题型一 复数的概念 例1（2018?福建）若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015?湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1- (2i)(1i)a ++i 例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( ) （A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省烟台市高三模拟）设i 是虚数单位，若复数5i 2i ()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1- 2.已知复数 z = (m 2 - m - 2) + (m 2 - 3m + 2)i 是实数，则实数 m =_________ 3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i - 题型二 复数的代数运算 例5（2016?全国）复数2 2 (12)(2)i i -+的模为( ) A ．1 B ．2 C D ．5 例6（2020?梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2i C ．1i -+ D ．0 例7【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ， 若12z zz =，则z 的共复数z =（ ） A ． 1322i + B ． 1322i - C ．1322 i - + D ．13 22i - - 2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i =+-，则z ＝（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155 i -- 题型三 复数的几何意义 一元一次不等式培优训练 例1、要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 例2、已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 例3、若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。 例4、设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又2012721=+++x x x ，则21x x +的最大值是 。 例5、设实数a 、b 、c 满足a 当堂练习 一、选择题 1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则......................................( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2、a 、b 是有理数，下列各式中成立的是........................................( )． (A)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若a ＞b ，则a 2＞b 2 3、｜a ｜＋a 的值一定是......................................................................( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4、若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足...............( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜1 (D)a ＜－1 5、若由x ＜y 可得到ax ≥ay ，应满足的条件是...............................( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 6、某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是........................................................( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 7、若不等式组?? ?>≤ 一元一次不等式（组）的应用 【例题讲解】 【例题1】(1)已知不等式30x a -≤的正整数解恰是1,2,3，则a 的取值范围是___________. (2)已知关于x 的不等式组0521x a x ->??-≥-? 无解，则a 的取值范围是___________. 【例题2】如果关于x 的不等式组???<-≥-0 607n x m x 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等 式组的整数对（m ，n ）共有_____对。 【例题3】解下列不等式（组） （1）233mx x n +<+ （2）| -2 || 210 |x x ≤- （3）求不等式321≤-+-x x 的所有整数解。 【例题4】已知三个非负数a 、b 、c 满足32+5231a b c a b c +=+-=和，若c b a m 73-+=。求m 的最大值与最小值。 【例题5】如果???==2 1y x 是关于x 、y 的方程2(12)80ax by ax by --+-+=的解，求不等式组13433 x x a b ax x +?->???-<+?的解集。 【课堂练习】 1、 若关于不等式组?????<++>+0 1456m x x x 的解集为4 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 4．2 不等式的基本性质 专题一 不等式的基本性质 1．（2013·淄博）若a b >，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．a m b m +>+ B ．22(1)(1)a m b m +>+ C ．22 a b -<- D ．22a b > 2．如图， A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ） 0 图3b a B A A ．ab ＞0 B ．a b +＜0 C ．(1)(1)b a -+＞0 D ．(1)(1)b a --＞0 3.已知a 、 b 、 c 、d 都是正实数，且d c b a <.给出下列四个不等式： ①d c c b a a +<+； ②b a a d c c +<+； ③b a b d c d +<+； ④d c d b a b +<+；其中不等式正确的是 _____________________________. 4. 5. 状元笔记 【知识要点】 1.不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2.不等式的传递性：如果,a b b c >>，那么a c >. 【温馨提示】 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【方法技巧】 1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负． 2．对于一些较复杂的变形，遇到两个或者两个以上的性质，一定要依据性质仔细分析，不要因盲目下结论导致判断失误． 参考答案： 1. D 解析：根据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变”，可知选项A 正确；由于m 2+1＞0，根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，可知选项B 正确；根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，可知选项C 正确；由于a ，b 的正负不明确，故a 2，b 2的大小也不确定，如a =﹣1， b =﹣2时，满足a b >，但a 2＜b 2，故选项D 不正确．故应选D ． 2. C 解析：根据数轴知－1＜a ＜0，b ＞1，则a+1＞0，b －1＞0．因此ab ＜0，a+b ＞0，(a+1)( b －1)＞0，(a －1)( b －1)＜0，故选C ． 3. ①③ 解析：因为d c b a <，所以bc ad <，所以a b c d <，所以11+<+a b c d ，所以a a b c d c +<+，即可得 d c c b a a +<+，同样的方法可得d b c d a b ?++，故填①③. 4. 不等式（组）与方程（组）互化 一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程 11 a x =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11 a x =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解. 解：解方程 11 a x =+，得x=a －1. 又由关于x 的方程的解是负数即x<0， 所以?? ?≠<-. 0, 01a a 解得，a<1且0a ≠. 故应选B. 例2如果方程组?? ?=++=+3 3, 13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 . 分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解. 解：解方程组???=++=+3 3,13y x k y x ，得x ＋y=4k ＋1. 又由x ＋y>0， 所以4 k ＋1>0，解得，k>－4. 二、不等式（组）转化为方程（组） 例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解. 解：解不等式84x x m +>+，得x<3 8m -. 由3x <，所以 3 8m -=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1. 例4（若不等式组?? ?>->-. 02, 2x b a x 的解是－1 不等式及其性质（提高）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 空间几何体的表面积和体积 培优班专题资料 考点一 几何体的表面积 (1)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q ＝( ) A.8π B.6π C.π6 D. π8 解析 由题意可以得到n ＝6m 2 ，q ＝4πp 2 ，所以n q ＝6m 24πp 2＝ 32π×4＝6 π ，故选B. 答案 B (2)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．54 B ．58 C ．60 D ．63 解析 由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S 表＝6×32 ＋2×1×3＝60. 答案 C (3)(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．2π＋4 D ．3π＋4 解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×1 2π×12＋12 ×2π×1×2＋2×2 ＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D (4)(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( ) A ．1＋ 3 B ．2＋ 3 C ．1＋2 2 D ．2 2 解析 由空间几何体的三视图可得 该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2 ＝2＋3，故 选B. 答案 B (5)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2 ＝4π× 62 ＝144π，选C. 答案 C (6)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．54 B ．60 C ．66 D ．72 解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋5 2×4＋3×5＝60.选B.答案 B (7)(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》培优练习
高中数学基本不等式题型总结
2021艺体生基础生培优讲义考点1 复数(学生版)
一元一次不等式组培优训练
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高中数学基本不等式专题复习
-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
4.2 不等式的基本性质 能力培优训练(含答案)
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第6讲 不等式及其性质(培优课程讲义例题练习含答案)
高中数学基本不等式练习题
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