基本初等函数经典总结

第十二讲基本初等函数

一：教学目标

1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；

2、理解基本初等函数的性质；

3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数

二：教学重难点

教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用

三：知识呈现

1.指数与指数函数

1).指数运算法则：（1）r

r s

a a a

+=；

（2）()

r rs a

a =；

（3）()r

r r

ab a b =；

（4）m

n m

a a =；

（5）m n

a -

（6）

,||,n

n a n a a n ?=?

?奇偶

2). 指数函数：形如(01)x

y a a a =>≠且

2.1）对数的运算：

1、互化：N b N a a b log =?=

2、恒等：N a

a =log

3、换底： a

b b

c c a log log log =

指数函数

a>1

图象

表达式 x y a =

定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 (0,1)

单调性

单调递减单调递增

推论1 a

b b a log 1log =

推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n

a a

n b b m

=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log +=

log log log a

a a M

M N N

=- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数：

3.幂函数

一般地，形如 a

y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质：

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);

对数函

数

a>1

图象

表达式 log a y x =

定义域 (0,)+∞

值域 R

过定点 (1，0)

单调性

单调递减

单调递增

(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；

(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。

四：典型例题

考点一：指数函数

例1 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >

．∴x 的取值范围是14??

+ ???

，∞．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判

断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

例2 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-． ∴当1a >时，∵[]11x ∈-，， ∴1

x a a a

≤≤，即1t a a ≤≤．

∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=．解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1

x a a a

≤≤，即1a t a ≤≤，

∴ 1t a =时，2

max 11214y a ??

=+-= ???

，

解得13a =或1

a =-（舍去），∴a 的值是3或13．

评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令26x t -=，则1y t =-，

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01，

．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．例4 求函数y ＝2

3231+-?

? ??x x 的单调区间.

分析这是复合函数求单调区间的问题

可设y ＝u

??? ??31,u ＝x 2

-3x+2，其中y ＝u

? ??31为减函数

∴u ＝x 2

-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2

-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

解：设y ＝u

? ??31,u ＝x 2

-3x+2,y 关于u 递减，

当x ∈(-∞，2

)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［2

，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.

考点二：对数函数

例5 求下列函数的定义域（1）y=log 2（x 2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x ）

（3）y= ．

解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，故定义域为｛x ｜x ＜-1，或x ＞5｝．

（2）令得

故所求定义域为｛x ｜-1＜x ＜0，或0＜x ＜2｝．

（3）令，得

故所求定义域为

｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝．

说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．

例6比较大小：

（1）log0．71．3和log0．71．8．

（2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）．

（3）log23和log53．

（4）log35和log64．

解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以

log0．71．3＞log0．71．8．

（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．

若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；

若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．

（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．

因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．

评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．

例7已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y 取最大值时，x的值．

分析要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．

解：∵f（x）=2+log3x，

∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2

=（2+log 3x ）2+2+2log 3x =log 23x+6log 3x+6 =（log 3x+3）2-3．

∵函数f （x ）的定义域为［1，9］，

∴要使函数y=［f （x ）］2+f （x 2）有定义，就须???≤≤≤≤9

x x ，

∴1≤x≤3． ∴0≤log 3x≤1 ∴6≤y=（log 3x+3）2-3≤13

∴当x=3时，函数y=［f （x ）］2+f （x 2）取最大值13．

说明本例正确求解的关键是：函数y=［f （x ）］2+f （x 2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．

其实我们还能求出函数y=［f （x ）］2+f （x 2）的值域为［6，13］．例8 求函数y=log 0．5（-x 2+2x+8）的单调区间．

分析由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x 2+2x+8（-2＜x ＜4）的单调性相反．

解．∵-x 2+2x+8＞0， ∴ -2＜x ＜4，

∴ 原函数的定义域为（-2，4）．

又∵ 函数u=-x 2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数， ∴函数y=log 0．5（-x 2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．

考点三：幂函数例9．比较大小：

（1）1122

1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112

5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5

解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴1122

1.5 1.7<

（2）∵3

y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴3

( 1.2)( 1.25)->-

（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴11

5.25 5.26-->；

∵ 5.26x

y =是增函数，12->-，∴1

25.26

5.26-->；

综上，1

125.25

5.26 5.26--->>

（4）∵3

00.51<<，0.5

1>，3log 0.50<，

∴30.5

3log 0.50.53<<

例10．已知幂函数2

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，

求m 的值．解：∵幂函数2

m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，

∴2

230m m --≤，∴13m -≤≤；

∵m Z ∈，∴2

(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2

23m m --是奇数，∴0m =或2m =．

例11、求函数y ＝5

2x ＋2x 5

1＋4（x ≥－32）值域．

解析：设t ＝x 5

1，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．

∴函数y ＝5

x ＋2x 5

1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

五：课后练习

1、若a ＞1在同一坐标系中，函数y=a

-和y=log

x a

的图像可能是（）

A B C D 2．求值40625.0+4

-（π）0

-3833=

3. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）

Ａ．1

y x = Ｂ．2

y x = Ｃ．3

y x = Ｄ．2

y x -= 答案：Ｂ

4.已知x=

,y=31,求y x y x -+-y

x y x +-的值

5．若a 2

1＜a 2

1－，则a 的取值范围是（）

A ．a ≥1

B ．a ＞0

C ．1＞a ＞0

D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ．答案：C

6.下列式子中正确的是（）

A log a

)

(y x -=log a

-log a

x a log log =log x a -log y

C y

x a log log =log y

x a D log a

-log a

= log y

x a

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

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n a n a n ? （1）根式的概念高一必修一函数知识点（12.1）〖1.1〗指数函数 ① 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数． ②当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ． ?a (a ≥ 0) ③根式的性质： ( n a )n = a ；当 n 为奇数时， = a ；当 n 为偶数时， =| a |= ?-a ． (a < 0) （2）分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂的意义是： a n = (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0． a - m = ( )1 m ( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) ②正数的负分数指数幂的意义是： n n = n m + 且．0 的负分数指数幂没有意 a a 义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R ) （4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数 a > 1 0 < a < 1 图象 y 1 y O y a x (0,1) x y a x y 1 O y (0,1) x 定义域 R 值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的变化情况 y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0) y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0) a 变化对图象的影响在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴；在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴．在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴；在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．例：比较 n a n n a m

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质函数性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)；对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心：对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

基本初等函数I知识点总结

第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log —对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． ◆ 指数式与对数式的互化幂值真数＝ b

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号：记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

基本初等函数知识点

指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．三、指数函数的图象和性质

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质函数 x y sin = x y cos = x y tan =

三角函数基础知识点整理

三角函数基础知识点 1、两角和公式 sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(?±=±μ cos(A ±B) = cosAcosB μsinAsinB 2、二倍角公式（含万能公式） tan2A = A tan 12tanA 2- sin2A=2s inA?cosA=A tan 12tanA 2 + cos2A = cos 2A-sin 2A=2cos 2A-1=1-2sin 2A=A tan 1A tan -12 2 + 22cos 1tan 1tan sin 222 A A A A -=+= 2 2cos 1cos 2 A A += 3、特殊角的三角函数值

4、诱导公式公式一： απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）．公式二： ααπ-sin sin(=+）；ααπ-cos cos(=+）；ααπtan tan(=+）．公式三： sin()-sin αα-=；cos()cos αα-= ；tan()tan αα-=-．公式四： ααπsin sin(=-）；ααπ-cos cos(=-）；ααπtan tan(-=-）公式五： sin(2sin παα-=-）；cos(2cos παα-=）；tan(2tan παα-=-）公式六： sin( 2π) = cos ； cos(2π ) = sin ．公式七： sin(2π+) = cos ；cos(2π +) = sin ．公式八： sin(32π)=- cos ； cos(32π ) = -sin ．公式九： sin(32π+) = -cos ；cos(32 π +) = sin ．以上九组公式可以推广归结为：要求角2 k π α?±的三角函数值，只需要直接求角α的三角函数值的问题．这个转化的过程及结果就是十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”。即诱导公式的左边为k ·900＋α（k ∈Z ）的正弦（切）或余弦（切）函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角（可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角），然后分析k ·900＋α（k ∈Z ）为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号。

人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章基本初等函数一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,=０。注意:（1)n a = （2)当ｎ是奇数时a = ,当 n 是偶数时,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈>且正数的正分数指数幂的意义:_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ (2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (３）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如122 [(1]11≠- (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地,函数x y a = 叫做指数函数，其中ｘ是自变量，函数的定义域为Ｒ．注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．即 a>０且a ≠１ 2a>1

注意: 指数增长模型:y ＝N(1+p)指数型函数: ｙ＝ｋａ3 考点：(１）ａｂ =Ｎ, 当ｂ＞0时，ａ,N 在1的同侧；当b ＜0时,ａ,N 在１的异侧。（2)指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进１(=a 0)进行传递或者利用(1）的知识。 (3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。（4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1＝ａ,用ｘ＝1去截图象得到对应的底数。（5）指数型函数:y=N(１+ｐ)x 简写：y=ka x 二、对数函数（一)对数 1.对数的概念：一般地,如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a x N = ( a — 底数, N — 真数，log a N — 对数式）说明：１. 注意底数的限制,a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数： (1)常用对数：以１0为底的对数， 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式指数式对数底数← a → 幂底数对数← x → 指数真数← N → 幂结论:（1）负数和零没有对数（２)log a a=1， log a １＝0 特别地, l ｇ10＝1, lg1=0 , ｌｎｅ＝1， l ｎ１＝0

初中三角函数知识点总结(中考复习)

锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A C

切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。反比例函数知识点整理一、反比例函数的概念 :i h l =h l α

基本初等函数(Ⅰ)知识点总结

第三章基本初等函数（Ⅰ）一、指数和指数函数 ①指数 1、定义：n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。规定：1 a a = 2、整数指数幂的运算法则： m n m n a a a + ?= () n m m n a a = (),0m m n n a a m n a a -=>≠ ()m m m ab a b =? 规定：()010a a =≠，；()1 0n n a a a -= ≠ 3、平方根：如果2 x a =，则x 叫做a 的平方根当0a >时，有两个平方根，互为相反数，记作：a ±（a 为算术平方根）当0a = 时，00= 当0a <时，在实数范围内没有平方根立方根：如果3 x a =，则x 叫做a 的立方根（或三次方根）在实数范围内a 只有一个立方根，记作3a 举例382=，382-=-，311 273 - =- n 次方根：如果n x a =（,1,a R n n N +∈>∈），则x 叫做a 的n 次方根注意：（1）偶次方根：正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作：,,n n a a - （0,a a >为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在（2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为n a （3）算术根：正数的正n 次方根叫做的a 的n 次算术根 4、根式：当n a 有意义时，n a 叫做根式，n 叫做根指数 5、根式性质：（1） () ()1,n n a a n n N +=>∈；（2）,,n n a n a a n ??=??? 为奇数为偶数 6、分数指数幂性质：（1）()10n n a a a = >；（2）()() ()11 ,0m m m n m m n n n n a a a a a a ??=== => ??? ；（3）11 m n m n m n a a a - = =

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+<

三角函数专题知识点及练习

三角函数知识总结一、知识框架二、知识点、概念总结 1.Rt△ABC中 (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边 (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边 (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边 (4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边 2.特殊值的三角函数： a sina cosa tana cota 30°1 2 3 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 1 60° 3 2 1 2 3 3 3 3.互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 4. 同角三角函数间的关系平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 5.三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0, 当角度在0°<∠A<90°间变化时， tanA>0, cotA>0. 6.解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表： 7.仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．要点一：锐角三角函数的基本概念

10基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结一、指数函数的概念（1）、指数函数的定义一般地，函数x y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。（2）、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0a >且1a ≠的前提下，x R ∈。（3）、指数函数x y a =（0a >且1a ≠）解析式的结构特征 1、底数：大于0且不等于1的常数。 2、指数：自变量x 。 3、系数：1。二、指数函数的图象与性质一般地，指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象与性质如下表：三、幂的大小比较方法比较幂的大小常用方法有：（1）、比差（商）法；（2）、函数单调性法；（3）、中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。四、底数对指数函数图象的影响（1）、对函数值变化快慢的影响 1、当底数1a >时，指数函数x y a =是R 上的增函数，且当0x >时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快。 2、当底数01a <<时，指数函数x y a =是R 上的减函数，且当0x <时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快。（2）、对函数图象变化的影响

指数函数x y a =与x y b =的图象的特点： 1、1a b >>时，当0x <时，总有01x x a b <<<；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有1x x a b >>。 2、01a b <<<时，当0x <时，总有1x x a b >>；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有01x x a b <<<。五、对数的概念（1）、对数：一般地，如果x a N =（0a >，且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）、常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数10log N 简记为lg N 。（3）、自然对数：我们通常把以无理数e （ 2.71828e =）为底的对数称为自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记为ln N 。六、对数的基本性质根据对数的定义，对数log a N （0a >，1a ≠）具有如下性质： 1、0和负数没有对数，即0N >； 2、1的对数是0，即log 10a =； 3、底数的对数等于1，即log 1a a =； 4、对数恒等式：如果把b a N =中的b 写成log a N ，则log a N a N =。七、对数运算性质如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）、()log log log a a a MN M N =+；（2）、log log log a a a M M N N =-；（3）、log log n a a M n M =（n R ∈）。八、换底公式

基本三角函数知识点总结

基本三角函数一、重要知识点 1、已知角α为第一象限，求α/2,α/3,α/4为第几象限 2、弧度与角度的转变特别是一弧度大约等于57度要知道，便于三角函数比较大小和判断正负，举个例子sin （cos30°）与cos （cos30°）大小 3、弧长公式以及弧长公式的公式的推导 ||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α== 4、基本三角函数的定义此章节的基础，比如能理解为什么sinX 在一二象限为正？为什么正弦和余弦平方和等于一？为什么正切余切在一三象限为正，为何正切等于正弦除余弦重点掌握正弦、余弦和正切余切，正割余割不用掌握 5、诱导公式，奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：这个是此章节的重点，只要理解这个定理，就不必记书上繁琐的公式 6、三角函数的两角和与差公式的推导过程，并逐渐推导二倍角公式，半角公式，万能公式，辅助角公式四川去年高考题就是余弦两角和的公式推导 7、三角函数的定义域、值域，周期性、奇偶性、单调性、对称中心和对称轴、图像以及三角函数的变换

()k x ASin y Sinx y ++==?ω变化为怎样由？振幅变化：Sinx y = ASinx y = 左右伸缩变化： x ASin y ω= 左右平移变化 )(?ω+=x ASin y 上下平移变化 k x ASin y ++=)(?ω ()a b Sin b a bCos aSin y =++=+=??αααtan , 22其中补充知识点 1．常见三角不等式：（1）若(0,)2x π ∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π ∈，则1sin cos 2x x <+≤. (3) |sin ||cos |1x x +≥. 2.三角形面积定理：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 3.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22 αβαβ++=?，()()222αββααβ+=---等），如（1）已知2tan()5 αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4 πα+的值是_____（答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223 sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5 αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：23431(1)555 y x x x =--+<<） (2)三角函数名互化如（1）求值sin50(13tan10)+ （答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23 αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）

高一数学必修一基本初等函数知识点总结

〖 2.1〗指数函数根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）分数指数幂的运算性质① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数〖2.2〗对数函数负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么

①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且换底公式的推论：（5）对数函数〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数 y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α 是常数．

基本初等函数和函数的应用知识点总结

基本初等函数和函数的应用知识点总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．因为负数对一些分数次方无意义，0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0