解应用题的一般步骤

解应用题的方法及步骤

解应用题的方法及步骤(1 )审题：要明确已知什么，未知什么及其相互关系，并用x表示题中

的一个合理未知数。

(2)根据题意找岀能够表示应用题全部含义的一个相等关系。(关键一步)

(3)根据相等关系，正确列岀方程，即所列的方程应满足等号两边的量要相等；方程两边

的代数式的单位要相同。

(4)解方程：求岀未知数的值。

(5)检验后明确地、完整地写岀答案。检验应是：检验所求岀的解既能使方程成立，又能

使应用题有意义。

2. 应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系：

(1 )等积类应用题的基本关系式：变形前的体积(容积)=变形后的体积(容积)。

(2 )调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。

(3)利息类应用题的基本关系式：本金X利率=利息，本金+利息=本

息。

(4)商品利润率问题：商品的利润率，商品利润二商品售价一商品

进价。

(5)工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1,其中，工

作效率=工作总量 +工作时间。

(6)行程类应用题基本关系：路程二速度X时间。

相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程+乙走的路程二总路程。

追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程二前者走的路程+两地间的距离。

环形跑道题：

①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向岀发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。

②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向岀发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。

航行问题，基本等量关系：

①顺水速度=静水速度+水速

②逆水速度=静水速度-水速

(7)比例类应用题：若甲、乙的比为2 : 3，可设甲

为2x，乙为3x。

(8)数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，

则这三位数为：。

1学校组织植树活动，已知在甲处植树的有27人，在乙处植树的有18人.如果要使在甲处植树

的人数是乙处植树人数的 2 倍, 需要从乙队调多少人到甲队？

甲处乙处

原有人数27 18

现有人数27+

18-

相等关系

解 设应调往甲处 人，根据题意，得 27+ =2 （ 18- ）.解这个方程，得 =3.

答：从乙处调 3 人到甲处 .

2 变题 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 2

3 人，在乙处植树的有 17 人 .现调 20 人去支 援，使在

甲处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 2 人，应调往甲、乙两处各多少人？

分析 设应调往甲处 人，题目中涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：

甲处 乙处

原有人数 27 18

增加人数

20-

现有人数

27+

18+20- 等量关系 +2

解 设应调往甲处 人，根据题意，得 27+ =2 （ 18+20- ） +2.解这个方程，得

=17.二20- =3.

答：应调往甲处 17 人，乙处 3人. 3 某中学组织同学们春游，如果每辆车座 45 人，有 15 人没座位，如果每辆车座 60 人，那么空 出一辆

车，其余车刚好座满，问有几辆车，有多少同学？

4 某车间一共有 59 个工人， 已知每个工人平均每天可以加工甲种零件 或丙种零件 8 个，问如何安排每天的生产，才能使每天的产品配套？（ 零件， 1 个丙种零件为一套）

5 立方米木料，恰好能做桌子多少张？ 解：设在这 5 立方米木料中，用 x 立方米木料做桌面，用 y 立方米木料做桌子腿，由题意可

得：

15 个，或乙种零件 12 个， 3 个甲种零件， 2 个乙种

5 一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成， 已知一立方米木料可做桌面

50 个或桌腿 300 根， 现在

即用 3 立方米木料做桌面， 2 立方米木料做桌腿。 答：能做成桌子 150 张。

6 某班有 50 名学生，在一次数学考试中，女生的及格率为 80% ，男生的及格率为 75% ，全班的 及格率

为 78% ，问这个班的男女生各有多少人？

7 一份试卷共有 25 道题，每道题都给出了 4 个答案，其中只有一个正确答案，每道题选对得 4 分，不选或

错选倒扣 1 分，如果一个学生得 90 分，那么他做对了多少道题。

8 有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说： “一半学生学数学，四分之一学音乐， 七分之

一正休息，还剩 3 个女学生。 ”问毕达哥拉斯的学校中多少个学生。

9有一些分别标有 5,10,15,20,25 的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大 5,小明

拿到了相邻的 3 张卡片，且这些卡片上的数之和为 240。

( 1 )小明拿到了哪 3 张卡片？

( 2)你能拿到相邻的 3张卡片，使得这些卡片上的数之和是 63 吗？

10 个连续整数的和为 72 ，则这三个数分别是

11：(准备小勇 6年后上大学的学费 5000 元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储

屮：〉、 ［、.

蓄方式。

x X(1十2.88 % X 6) = 5000 解得x ~ 4263元) 如果按照第二种蓄储方式， 可鼓励学

生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和二本金十利息

利息： 本金X 利率X 期数 等量关系是：第二个

3午后本利和二5000 所以列方程 1.081x?(1十2.7 % X 3) = 5000 解得 x ~ 4279 这就是说，大约 4280

(1) 直接存一个 6 年期， 年利率是 2.88 ％；

存一个 3 年期。 3 年期的年利率是 2.7 ％。 分

析： 要解决 “哪种储蓄方式开始存入的本金较少

元，然后再比较。 设开始存入 x 元。． (2) 先存一个 3 年期的， 3年后将本利和自动转 你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少 ? ”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少 如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：

元，3 年期满后将本利和再存一个 3 年期， 6 年后本利和达到5000 元。因此第一种储蓄方式

< 即直接存一个6 年期）开始存人的本金少。

13 答下列各问题：（1）据《北京日报》2000 年5 月16 日报道：北京市人均水资源占有300 立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的，问全国人均水资源占有量是多少立方米?

世界人均水资源占有量是多少立方米?

（2）北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有 6 XI05个水

龙头，2X I05个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水，一个漏水

马桶，一个月漏掉b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米？（用含a、b的

代数式表示）

（3）水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费 1.3元，超标部分每立方米水费2.9 元，某住楼房的三口之家某月用水12 立方米，交水费22 元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米？

14 伐木队按计划每天应采伐48m3 的木材，因每天采伐，故提前3 天完成任务，且比原计划

多伐，求原计划采伐多少木材？

解：方法1：以实际工作量为中介量，可得方程

方法2：以实际采伐时间为中介量，可得方程

方法 3 ：以计划时间为中介量，可得方程

，即原计划采伐木材

15 某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过20 立方米，则每立方米水价按1.2 元收费；若超过20 立方米，则超过部分每立方米按 2 元收费。如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米

1.5 元，那么他这个月共用了__________________________________________________ 立方米的水。

（贵州省，1999 ）

16 国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800 元的

不纳税；（2）稿费高于800 元又不高于4000 元的应缴纳超过800 元的那一部分稿费的14% 的税；（3）稿费高于4000 元的应缴纳全部稿费的11% 的税。今知丁老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税420 元，问丁老师的这笔稿费有 _________________________________________________ 元。

（黄冈市，1999 ）

17 工人师傅制作了一个容积是，高为6cm 的长方体盒子，已知盒子底面的长比宽多

5cm ，那

么盒子底面的宽是 ____________________ c m

18、乙两队学生绿化校园，如果两队合作， 6 天可以完成；如果单独工作，乙队比甲队多用5

天，两队单独工作各要多少天？

19 一个水池装有甲、乙、丙三个进水管，单开甲管45 分钟注满水池，单开乙管60 分钟注满水池，单开丙管90 分钟可注满水池。如果三管一齐开__________________________________________ 分钟注满水

池。

说明：：：商家将一件成本是100 元的夹克, 按成本价提高50% 后,标价150 元,后按标价的8 折

出售给某顾客, 请算一算,在这笔交易中商家有没有赚钱?

成本价___标价___售价利润________ 利润率 ______ 1 、某商品的进价为150 元,销售价为180

元, 此商品的利润率是__________ .2 、某商场有一件商品需要降价处理，现把它降价25% 后售价

75 元，设这件商品降价前的原价卖x 元，列方程为.

3、某商品的进价为200 元,标价为300 元,打折销售时的利润为5%, 此商品是按几折销售的?

20 理一批图书，由一个人做要40 小时完成，现在计算由一部分人先做4 小时，再增加2人和他们一起

做8 小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？

分析：1、这里把什么看作单位1；

2、由一个人独做要40 小时完成，那么每人做1 小时的工作量是多少？

3 、一个人独做

4 小时的工作量是多少？

4、本题的等量关系是什么？

如何列出一元一次方程？

21 种货物，连续两次均以10% 的幅度降价后，售价为486 元，则降价前的售价为___________ 元。

22 家商店里某种服装每件的成本价是50 元，按标价的8 折（即按标价的80% ）优惠卖出。（1）、如果每件仍获利14 元，这种服装的标价是多少元？

(2 )、如果利润率为20% ，这种服装的标价是多少元？商场将一件成本价为100 元的夹克，按成本价提高50% 后，标价150 元，后按标价的8 折出售给某顾客，请算一算，在这笔交易中商

家有没有赚？学生计算，同桌之间交流后，教师提问检查：

150 $0%-100=20 (元)每件夹克商家赚了20元。

23 商店积压了100 件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的 2.5 倍，再作三次降价处理：第一次降价30% ，标出“亏本价”；第二次降价30% ，标出“破产价”；第三次降价30% ，标出“跳楼价”。三次降价处理销售结果如下表：

价次数

售价数0 0 一抢而光

( 1 )跳楼价占原价的百分比是多少？

( 2)该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案赢利多？

24 商品按定价销售，每个可获利45 元，现在按定价的8.5 折出售8 个所能获得的利润与按定价每个减价

35 元出售12 个所获得利润一样。问这种商品每个的进价、定价各是多少元？

思考题：( 1 )、据了解，个体服装销售只要高出进价的20% 便可盈利，但老板常以高出进价的50% —100% 标价。假如你准备买一件标价为200 元的服装，应在什么范围内还价？

2 5 、乙两相距6 千米，两人同时出发，同向而行，甲

3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇，两人的平

均速度各是多少？

解：设甲的平均速度是每小时行x 千米，乙的平均速度是每小时行y ，根据题意，得：3x=3y

+6

x+y=6 解这个方程组，得：x= 4

y=2

答：平均每小时甲行 4 千米，乙行2 千米。

26 乙两人从相距18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时48 分相遇，如果甲比乙早出发40 分钟，那

么在乙出发 1 小时30 分相遇，求甲、乙二人各自的速度。

1. 解：设甲的速度为x 公里/ 小时，乙的速度为y 公里/ 小时，则根据题意：

解之得：

27 从甲地到乙地，先下山后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时12 千米的速度下山，而以每小时9 千米速度通过平路，到乙地55 分钟。他回来时以每小时8 千米的速度通过平路，而以每

小时 4 千米速度上山，回到甲地用小时，求甲、乙两地的距离

分析：

根据“去时所走平路长=回时所走平路长”列方程求解。

解：设山路长为x 千米，依题意列方程为：

解这个方程，得。

代入方程左边，算得平路长为：

答：甲乙两地距离为9 千米。

28 甲、乙两人在周长是400 米的环形跑道上散步．若两人从同地同时背道而行，则经过2 分钟就相遇．若两人从同地同时同向而行，则经过20 分钟后两人相遇．已知甲的速度较快，求二人散步时的速度．(只列方程，不求出)

分析：这个问题是环形线上的相遇、追及问题．其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度．有

两个相等关系，即

(1) 背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400 米；

(2) 同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400 米．

( 让学生自己设未知数，列方程组，教师请一名学生将自己所列的方程组写在黑板上．)解：设甲人速度为每分钟x 米，乙人速度为每分钟行走y 米．依题意，得

29 人骑自行车绕800 米长的环形跑道行驶，他们从同一地点出发，如果方向相反，每1 分20 秒相遇一

次．如果方向相同，每13 分20 秒相遇一次．求各人的速度．

30 某一铁路桥长1000 米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1

分钟，整列火车完全在桥上的时间为40 秒钟．求火车速度．

31 地相距280 千米，一艘轮船在其间航行．顺流用了14 小时，逆流用了20 小时．求这艘轮船

在静水中的速度和水流速度

甲、乙两相距36 千米两地相向而行，如果甲比乙先走 2 时，那么他们在乙出发2.5 时后相遇；

如果乙比甲先走2 时，那么他们在甲出发 3 时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？

解：设甲、乙两人每小时分别行走x 千米、y 千米。根据题意可得：

4.5x+2.5y=36x= 6

3x+5ky=36解此方程可得：y=4

所以甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米。

32 乙两码头相距60 千米，某船往返两地，顺流时用3 小时，逆流时用4 小时，求船在静水中的

航速及水流速度。②

分析：复习船在顺流航行及逆流航行中的速度与船在静水中的速度、水流速度的关系

顺流航行的船速= 在静水中的船速度+ 水流速度

逆流航行的速度= 在静水中的船速度- 水流速度

师生共同分析两个相等关系

⑴顺流航行的速度X3=60千米

⑵逆流航行的速度X4=60千米

解：设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时。

由题意得 3 (x + y) =60 ①

4( x -y )=60 ②

解这个方程组; 得

x =17.5

y =2.5

答：略

练习：P48 7.

33.两地之间的路程为20千米，甲从A地，乙从B地同时岀发，相向而行，2小时侯在C点相遇，相遇后甲原速反回A地，乙仍向A地前进。甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲乙

两地的时速。

学生活动：独立分析、思考、找相等关系，一个学生板演。

解：设甲速为每小时x千米，乙速为每小时y千米，根据题意，

2(x + y) =20 ①

2x -2y =2 ②

解得

X =5.5

y =4.5

答：甲速为每小时5.5 千米，乙速为每小时 4.5 千米。

甲、乙二人从C点同向而行，甲回到A地的时间是2小时，在相同的时间内，乙到达D点，距A

地还有2 千米，从而可得相等关系：

甲行程一以行程=2千米

34 乙两人由上午8 时自A、B 两地同时相向而行，上午10 时相距36 公里，两人继续前进，到1

2时又相距36公里，已知甲每小时比乙多走2公里，求A、B两地距离。（108公里）

35、B两地相距5公里，一辆汽车与一辆自行车同时从A地岀发，驶向B地，当汽车到达B地

时，自行车才走完全程的。汽车在B停留半小时后，以原速度返回A地，经过24分钟与自行车

相遇。求汽车、自行车的速度。

分析：根据在汽车到达B地时自行车才走完全程的，得到汽车的速度是自行车的速度的4倍。剩下的路程，等于自行车行驶半小时加24 分钟所走过的距离加上汽车行驶24 分钟走过的距离。A、B 之间的路程全长是已知的，只需设自行车和汽车的速度分别为x公里/小时，y公里

/ 小时，就可列岀方程。

解：设自行车的速度为x公里/小时。

汽车的速度为y 公里/小时。

依题意列方程组：

解此方程组得：

答：自行车速度为15 公里/小时，汽车速度为60 里/小时。