2020届辽宁省沈阳市120中学第一学期高三第一次月考试卷与答案

{正文}

2020届辽宁省沈阳市120中学第一学期高三第一次月考

数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．已知集合{

}

2

20A x x x =-->，则C R A =（ ）

A ．{}

12x x -<<

B ．{}

12x x -≤≤ C ．}

{}{|1|2x x x x <-> D ．}

{}{|1|2x x x x ≤-≥

2．函数()f x

的定义域为（ ） A ．(]

3,0-

B ．(]

3,1-

C ．()(],33,0-∞-?-

D ．()(],33,1-∞-?-

3．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b

a b a b a

+=，则b a -=（ ） A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

4．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的函数是（ ） A ．ln y x =

B ．2

y x =

C ．x x

y -=

1 D ．||

2

x y -=

5．下列说法错误的是（ ）

A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”

B ．“1x >”是“||0x >”的充分不必要条件

C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题

D ．命题P ：“x R ?∈，使得210x x ++<”，则P ?：“x R ?∈，2

10x x ++≥”

6．已知111

f x x ??=

?

+??，那么()f x 的解析式为（ ）

A ．1x +

B ．

11x

+ C

．

1x

x

+ D ．

1x x

+ 7．设0.84a =，0.48b =， 1.51()2

c -=，则（ ） A ．a c b >> B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．a b c >>

8．设曲线y=

1

1

-+x x 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a 等于（ ） A ．2

B ．

2

1 C ．2

1-

D ．-2

9．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税，若某人共纳税420元，则这个人的稿费为（ ） A ．3000元

B ．3800元

C ．3818元

D ．5600元

10．函数1()ln()f x x x

=-的图象是（ ）

11．已知函数()()(

)317

,328

log ,03

x x f x x x ???+≥? ?=????<

,18

(

) B ．7[,1)8

C ．7[,1]8

D ．0,1()

12．函数()3

2

f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A ．0,0,0,0a b c d ><>>

B ．0,0,0,0a b c d ><<>

C ．0,0,0,0a b c d <<>>

D ．0,0,0,0a b c d >>><

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上） 13．如图所示，曲线12

-=x y 与x 轴围成图形的面积S 为____________

14．函数14()12

x x y -=-+，[3,2]x ∈-的值域是____________

15．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则5(1)2f f ??

-+= ???

____________ 16．若函数()21

ln f x mx x x

=--在()1,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是____________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

（Ⅰ）已知)23)(32()(2

-+=x x x f ，求)1(f '。

（Ⅱ）已知x

x x f sin )(2

=，求)(x f '。

18．（本小题满分12分）

已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)0f =，当0x >时，12

()log f x x =。

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）解不等式2

(1)2f x ->-。 19．（本小题满分12分）

设函数2

()1f x mx mx =--

（Ⅰ）若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围；

（Ⅱ）对于任意的[1,3]x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围。 20．（本小题满分12分）

已知函数3

2

()++f x x ax bx c =+，曲线()y f x =在点1x =处的切线为

:310l x y -+=，若2

3

x =

时，()y f x =有极值。 （Ⅰ）求,,a b c 的值；

（Ⅱ）求()y f x =在[3,1]-上的最大值和最小值。 21．（本小题满分12分）

已知二次函数()f x 的最小值为4-，且关于

x 的不等式()0f x ≤的解集为

}{13x x -≤≤

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()

4ln f x g x x x

=-的零点个数。 22．（本小题满分12分）

已知函数()ln()x

f x e x m =-+

（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >。

{答案}

2019届辽宁省沈阳市120中学第一学期高三第一次月考

数学试题（理科）参考答案

一、选择题

13．

43； 14．3,134??????； 15．2-； 16．2,+27??∞????

三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为)23)(32()(2

-+=x x x f ，所以9818)(2

+-='x x x f ，故19)1(='f

（Ⅱ）因为x

x x f sin )(2=

根据导函数的计算公式可得，)(x f '2

2)

(sin cos sin 2x x

x x x -= 18．解：（Ⅰ）设0x <，则0x ->，所以，12

()log ()f x x -=-

又因为函数()f x 是偶函数，故12

()()log ()f x f x x =-=-，

所以，1212

log ,0,()0,0,log (),0.x x f x x x x >???

==??-

（Ⅱ）因为12

(4)log 42f ==-，故不等式2(1)2f x ->-可化为2

(1)(4)f x f ->

又因为()f x 是偶函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递减，

所以2

|1|4x -<，解得x <<

即不等式的解集为(

19．解：（Ⅰ）当0m =时，()10f x =-<恒成立；

当0m ≠时，()0f x <恒成立等价于0

0m

m m m

综上可知(4,0]m ∈-

（Ⅱ）[1,3]x ∈时，()5f x m <-+恒成立等价于260mx mx m -+-<恒成立， 解法一：令2

()6g x mx mx m =-+-，则()y g x =的对称轴为1

2

x =， ①当0m =时，()60g x =-<恒成立；

②当0m <时，()y g x =在[1,3]上单调递减，max ()=(1)=6g x g m - 所以，260mx mx m -+-<恒成立等价于60m -<，即6m < 又0m <，故m 的取值范围为(),0-∞

③同理，当0m >时，()y g x =在[1,3]上单调递増，max ()=(3)=76g x g m - 所以，260mx mx m -+-<恒成立等价于760m -<，即67

m < 又0m >，故m 的取值范围为60,7?? ???

综上可知：6(,)7

m ∈-∞

解法二：260mx mx m -+-<恒成立等价于2

(1)6m x x -+<恒成立 又210x x -+>，故2

(1)6m x x -+<恒成立等价于2

6

1

m x x <-+恒成立 等价于min 2

6

()1

m x x <-+成立 又2

6()1h x x x =

-+在[1,3]上单调递减，所以min 6

()(3)7

h x h == 故，6

(,)7

m ∈-∞

20．解：（Ⅰ）由3

2

()++f x x ax bx c =+，得2

()3+2f x x ax b '=+

当1x =时，切线l 的斜率为3，可得(1)2+3=3f a b '=+，即2=0a b + ① 当23x =

时，()y f x =有极值，则2

()03

f '=，可得43+4=0a b + ② 由①②解得，=2b=4a -，

由于切点的横坐标为1，所以(1)4f =，即1++=4a b c +，得5c = （Ⅱ）由（Ⅰ）可得3

2

()+24+5f x x x x =-，2

()3+44f x x x '=- 令()=0f x '，解得12223

x x =-=

， 当x 变化时，()()f x f x '，的取值及变化情况如下表所示：

所以，()y f x =在[3,1]-上的最大值为13，最小值为

27

。 21．解：（Ⅰ）由题意可知，1,3-是二次函数()f x 的两个零点。

所以，可设()(1)(3),0f x a x x a =+->

变形为22

()(23)(1)4,0f x a x x a x a a =--=--> 所以min ()(1)44f x f a ==-=- 故2

1,()23a f x x x ==-- （Ⅱ）由（1）知，()3

()4ln 24ln ,0f x g x x x x x x x

=

-=---> 22223443(1)(3)

()1x x x x g x x x x x -+--'=+-==

令()0g x '=，得1x =或3x =

当(0,1)

(3,)x ∈+∞时，()0g x '>；

当(1,3)x ∈时，()0g x '<；

所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,)+∞上单调递增。 又(1)40g =-<，(3)4ln 30g =-<，5553

()220g e e e

=--

> 所以5

(3)()0g g e ?<，函数()g x 在5

(3,)e 上有且只有一个零点。 由函数()g x 的单调性可知，()g x 在(0,)+∞上有唯一一个零点。

22．解析：（Ⅰ）f′(x)＝

1 x

e

x m -

+

由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1

于是f(x)＝e x-ln(x+1)，定义域为(-1，+∞)，f′(x)＝

1

1 x

e

x

-

+

函数f′(x)＝

1

1

x

e

x

-

+

在(-1，+∞)单调递增，且f′(0)＝0

因此当x∈(-1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0

所以f(x)在(-1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增

（Ⅱ）当m≤2，x∈(-m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)＞0

当m=2时，函数f′(x)=

1

2

x

e

x

-

+

在(-2，+∞)单调递增

又f′(-1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)=0在(-2，+∞)有唯一实根x0，且x0∈(-1，0) 当x∈(-2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，+∞)时，f′(x)＞0，

从而当x=x0时，f(x)取得最小值

由f′(x0)=0得0x e=

01 2

x+，ln(x0+2)=-x0，故f(x)≥f(x0)=

1

2

x+

+x0=

2

1

2

x

x

(+)

+

＞0

综上，当m≤2时，f(x)＞0