专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有问题详解)

专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；

规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒

子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。 【典型题目练习】

1．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q ，质量为m ，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ） A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上

B ．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心

C ．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长

D ．只要速度满足qBR

v m

，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上 2．如图所示，长方形abed 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心Od 为半径的四分之一

圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T 。一群不计重力、质量m=3×

10-7kg 、电荷量q=+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ） A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边 C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边 D ．从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点

3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（a ，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y =a 的上方和直线x =2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，一质量为m 、电荷量为+q （q >0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O 1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度B 的大小；

（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；

（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总

时间t 。

4．如图所示的直角坐标系中，从直线x =?2l 0到y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界从A （?2l

0，?l 0）点到C （?2l 0，0）点区域内，连续分布着电量为+q 、质量为m 的粒子。从某时刻起，A 点到C 点间的粒子依次连续以相同速度v 0沿x 轴正方向射入电场。从A 点射入的粒子恰好从y 轴上的A '（0，?l 0）点沿沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求从AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间t 和匀强电场的电场强度E 的大小。 （2）求在A 、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动？

（3）为便于收集沿x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x =2l 0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿x 轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？

5．如图所示，在xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r =0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度B 1=1T ，方向垂直纸面向里，该区域同时与x 轴、y 轴相切，切点分别为A 、C ；第四象限中，由y 轴、抛物线FG （2100.025y x x =-+-，单位：m ）和直线DH （0.425y x =-，单位：m ）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E =2.5N /C 的匀强电场；以及直线DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B 2=0.5T 。现有大量质量m =1×10-6 kg （重力不计），电量大小为q =2×10-4 C ，速率均为20m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y 轴夹角在0至1800之间。 （1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径； （2）试证明这些粒子经过x 轴时速度方向均与x 轴垂直；

（3）通过计算说明这些粒子会经过y 轴上的同一点，并求出该点坐标。

6．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy 内，存在着两个边长为L 的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L 的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。电场的场强大小均为E ，区域Ⅰ的场强方向沿x 轴正方向，其下边界在x 轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向沿y 轴正方向，其上边界在x 轴上，左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。磁场的磁感应

强度大小均为，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，2

L

）、磁场方向垂直于xOy 平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，2

L

-

）、磁场方向垂直于xOy 平面向里。两个质量均为m 、电荷量

均为q 的带正电粒子M 、N ，在外力约束下静止在坐标为（32

L -，2

L ）、（32

L -）的两点。在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy 平面。将粒子M 、N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求： （1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。

（2）粒子M 击中感光板的位置坐标。 （3）粒子N 在磁场中运动的时间。

7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O 1在x 轴上，OO 1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B 1。虚线MN 平行x 轴且与半圆相切于P 点。在MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E ，方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为B 2。B 1，B 2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O 射入第I 象限，其中沿x 轴正方向进入磁场的粒子经过P 点射入MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m ，电荷量为q （粒子重力不计）。求： （1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。

（2）若撤去磁场B 2，则经过P 点射入电场的粒子从y 轴出电场时的坐标。

（3）试证明：题中所有从原点O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。

8．如图甲所示，真空中有一个半径r =0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B =2.0×10?3T ，方向垂直于纸面向里，在x =r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L =0.5m 的匀强电场区域,电场强度E =1.5×103N/C ，在x =2m 处有一垂直x 方向的足够长的荧光屏，从O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷

91.010/q

C kg m

=?带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子M ，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：

（1）粒子M 进入电场时的速度。

（2）速度方向与y 轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N ，最后打到荧光屏上,画出粒子N 的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。

9．如图甲所示,质量m =8.0×10?25kg ，电荷量q =1.6×10?15C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x 方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v 0=2.0×107m/s 。现在某一区域内加一垂直于xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B =0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上,并且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(π=3.14)求： （1）粒子从y 轴穿过的范围。 （2）荧光屏上光斑的长度。

（3）打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。 （4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。

参考答案

1．当v ⊥B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为mv R qB =、2m T qB

π=的匀速圆周运动；只要速度满足qBR

v m

=

时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上，选项D 正确。 2．由0.3mv

R m qB

=

=知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa 入射的粒子，出射点一定在b 点；从Od 入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be ，由于边界无磁场，将沿be 做匀速直线运动到达b 点；选项D 正确。

3．解析：（1）当粒子速度沿x 轴方向入射，从A 点射出磁场时，几何关系知：r =a ；

由2

v qvB m r

=知：mv mv B qr qa == （2）从A 点进入电场后作类平抛运动；

沿水平方向做匀加速直线运动：x v =沿竖直方向做匀速直线运动：v y =v 0；

∴粒子离开第一象限时速度与y

轴的夹角：

tan x

y v v θ== （3）粒子从磁场中的P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO 1PO 2构成菱形，故粒子从P 点的出射方向与OO 1平行，即与y 轴平行；轨迹如图所示； ∴粒子从O 到P 所对应的圆心角为θ1=600，粒子从O 到P 用时：163T a

t v

π==

。 由几何知识可知，粒子由P 点到x

轴的距离1sin S a θ==； 粒子在电场中做匀变速运动的时间：22mv

t Eq

=

；

粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：32()a S t v -=

=

粒子由P 点第2次进入磁场，从Q 点射出，ＰO 1QO 3构成菱形；由几何知识可知Q 点在x 轴上，即为（2a ，0）点；粒子由P 到Q 所对应的圆心角θ2=1200，粒子从P 到Q 用时：

4233T a

t v

π=

=

；

∴粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：12342a

mv

t t t t t v

Eq

π=+++=

。

4．解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有0

2l t v =

从A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知2

01()22

Eq t l m =

解得2

00

2

82ml mv E qt ql == （2）设距C 点为y ?处入射的粒子通过电场后也沿x 轴正方向，第一次达x 轴用时t ?，有

水平方向0x v t ?=?

竖直方向21()2qE

y t m

?=

? 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x 轴正方向，有022l n x =?? （n =1，2，3，…）

解得：200

2201()2qE l l y n m v n

?==

即在A 、C 间入射的粒子通过电场后沿x 轴正方向的y 坐标为02

1

y l n =- （n =1，2，3，…）

（3）当n =1时，粒子射出的坐标为10y l =

当n =2时，粒子射出的坐标为2014

y l =-

当n ≥3时，沿x 轴正方向射出的粒子分布在y 1到y 2之间（如图）y 1到y 2之间的距离为

12054

L y y l =-=；

则磁场的最小半径为 0

528

L l R ==

若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），

轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO 1QO 2为棱

形，由2

0mv qv B R

= 得：0085mv B ql =

5．解析：（1）由211v qvB m R =知：11

0.1mv

R m B ==

（2）考察从A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K 点离开磁场，O 1和O 2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O 1AO 2K 为菱形，离开磁场时速度垂直于O 2K ，即垂直于x 轴，得证。

（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x ，y 1）,离开电场时的坐标为（x ，y 2）,离开电场时速度为v 2； 在电场中运动过程，动能定理：22

21211()22

Eq y y mv mv -=

- 其中21100.0025y x x =-+-，20.425y x =- 解得v 2=100x

在B 2磁场区域做圆周运动的半径为R 2，有2

2

222

v qv B m R = 解得R 2=x

因为粒子在B 2磁场区域圆周运动的半径刚好为x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y

轴上；又因v 2的方向与DH 成45o，且直线HD 与y 轴的夹角为450，则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H 处，H 点坐标为（0，–0.425）。 6．解析：（1）粒子在区域Ⅰ中运动，由动能定理得2

012

EqL mv =

解得0v =

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有2

0v qv B m r

=，

又有B =解得02mv L r qB ==

因M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M 在磁场Ⅲ中运动四分之一个周期后经过原点进入磁场Ⅳ，再运动四分之一个周期后平行于x 轴正方向离开磁场，进入电场Ⅱ后做类平抛运动。

假设M 射出电场后再打在x 轴的感光板上，则 M 在电场Ⅱ中运动的的时间0

L

t v =（1分） 沿电场方向的位移

22011()2242

Eq L L L y at m v ==??=<（2分）

假设成立，运动轨迹如图所示。

沿电场方向的速度y v at == 速度的偏向角0

1tan 2

y v v θ=

=

设射出电场Ⅱ后沿x 轴方向的位移x 1，有124tan 2

L L L

x θ-==

M 击中感光板的横坐标122

L

x L x L =

++=，位置坐标为（2L ，0） （1分） （3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N 将从b 点进入磁场Ⅲ，从原点

O 离开磁场Ⅲ进入磁场Ⅳ，然后从d 点离开磁场Ⅳ，沿水平方向进入电场Ⅱ。轨迹如图。

在磁场Ⅲ中，由几何关系4cos 2

L θ==则θ=300，圆弧对应的圆心角φ=1800?300=1500

粒子在磁场中运动的周期0

22L T v π?

==

粒子在磁场Ⅲ中运动的时间10

360

t T ?

=

=由对称关系得粒子在磁场Ⅲ、Ⅳ中运动时间相等；

故粒子在磁场中运动的时间12t t ==

7．解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有02Eq qv B =

解得02

E

v B =

粒子在磁场B 1中匀速圆周运动，有20

01v qv B m R

=

解得0112

mv mE

R qB qB B =

=

由题意知粒子在磁场B 1中圆周运动半径与该磁场半径相同，即12

mE

R qB B = （2）撤去磁场B 2,，在电场中粒子做类平抛运动，有

水平方向匀加速2

12Eq R t m =

竖直方向匀速0y v t ==

= 从y

轴出电场的坐标为0211

(mE y y R v t qB B '=+==

+ （3）证明：设从O 点入射的任一粒子进入B 1磁场时，速度方向与x 轴成θ角，粒子出B 1磁场与半圆磁场边界交于Q 点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO 1O 2Q 四条边等长是平行四边形，所以半径O 2Q 与OO 1平行。所以从Q 点出磁场速度与O 2Q 垂直，即与x 轴垂直，所以垂直进入MN 边界。进入正交电磁场E 、B 2中都有02Eq qv B =故做直线运动。

8．解析：（1）由沿y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R =r =0.5m 。

粒子M 在磁场中匀速圆周运动有：2

v qvB m R

=

解得6110/qBR

v m s m

=

=? （2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N 在磁场中转过120°角后从P 点垂直电

场线进入电场，运动轨迹如图所示。

在电场中运动的加速度大小1221.510/Eq

a m s m

==? 穿出电场的竖直速度57.510/y L

v at a m s v

===? 速度的偏转角tan 0.75y v v

α=

=

在磁场中从P 点穿出时距O 点的竖直距离1 1.50.75y r m ?==

在电场中运动沿电场方向的距离22211()0.187522Eq L y at m m v

?=

== 射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上3()tan 0.75y x r L m α?=--=

最好达到荧光屏上的竖直坐标123()0.1875y y y y m =?-?+?=- 故发光点的位置坐标（2m ，?0.1875m ）

9．解析：粒子在磁场中匀速圆周运动，有2

v qvB m R

= 解得0.1mv R m qB ==

当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R =0.1m ；且圆形磁场的圆心在y 轴上O 点正上方，如图所示的O 1点。 （1）初速度沿y 轴正方向的粒子直接从原点穿过y 轴；

初速度与x 轴正方向成300的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O 2，则∠OO 2B =1500；设此粒子从y 轴上的A 点穿过y 轴，由几何关系知∠OAO 2=300，

则有02cos30OA R ==。

粒子从y 轴穿过的范围为0~。

（2）初速度沿y 轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的P 点，有P y R =；

初速度与x 轴正方向成300入射的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，如图所

示，打在光屏上的Q 点，有0s 60Q y R R in R =+=+

；

荧光屏上光斑的长度Q P l y y =-== （3）粒子在磁场中运动的周期8210m

T s qB

ππ-=

=? 打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间815111012466t T T T s π

-?=-==? 打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间821

1024

R t s v -?==? 打到最高点和最低点的粒子运动的时差间89121

(

)107.71064

t t t s s π

--?=?+?=+?=? （4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B 到C 的边界无磁场分布。