质点运动学典型例题2

求解风吹气球时气球的运动情况

一气球以速率0V 从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按by V x =增大，其中b 是正的常量，y 是从地面算起的高度，x 轴取水平向右的方向。试计算：

(1) 气球的运动学方程；

(2) 气球水平飘移的距离与高度的

关系；

(3) 气球沿轨道运动的切向加速度

和轨道的曲率与高度的关系。

解：

（1）取平面直角坐标系x0y ，如图

一，令t=0时气球位于坐标原点（地

面），已知

0V V y =，.by V x =

显

然，有.0t V y = （1） 而,,00tdt bV dx t bV by dt

dx === 对上式积分，??=x

t

tdt bV dx 000,得到 .2

2

0t bV x = （2） 故气球的运动学方程为：j t V i t bV r ???0202

+=. (2)由（1）和（2）式消去t ，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系

.220

y V b x = （3）气球的运动速率

202220220222V y b V t V b V V V y x +=+=+=

气球的切向加速度

.120

22022202V y b y V b t b t V b dt dV a +=+==τ

而由22τa a a n -=

和,)()(2022222

2V b dt dV dt dV a a a y x y

x =+=+=可得

.20222

0V

y b bV a n +=

由ρ2V a n =，求得

2

02

/320222)(bV V y b a V n +==ρ 小船船头恒指向某固定点的过河情况

一条笔直的河流宽度为d ，河水以恒定速度u ?流动，小船从河岸的A 点出发，为了到达对岸的O 点，相对于河水以恒定的速率V （V>u ）运动，不论小船驶向何处，它的运动方向总是指向O 点，如图一，已知,,00φ=∠=AOP r O A 试求：

小船的运动轨迹。若O 点刚好在A 点的对面（即d O A =），结果又如何？

解：选定极坐标系，原点为O 点，极轴为OP 。在任一时刻t ，小船的位置为（φ,r ），小船速度的径向分量和横向分量

φcos u V dt dr V r +-== φφθsin u dt

d r V -== 两式相除，得到

φ

φφφ

cos sin u V u dr d r dt

dr dt d r +--== 分离变量，

,)sin (sin cos φφφ

φφφd ctg u V d u u V r dr -=-+-= 积分后，得到

φφφφφd ctg u V r dr r

r ??-=00)sin ( )],sin sin (]

2

2ln[[)sin ln sin (ln )2

tan ln 2tan (ln ln 0/0000φφφφ

φφφφ?=-+-=u V tg tg u V r r 既 ).sin sin (]22[0/0

φφφφ?=u V tg tg r r 这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。

若O 点刚好在A 点的对面，则2,00πφ=

=d r ，

代入，得 .)2

(sin /u V tg d r φφ= 求解小环对地的运动情况

一细杆绕端点O 在平面内匀角速旋转，角速度为ω，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设0=t 时小环位于杆的端点O ，求：

小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。

解：本题采用极坐标系较为方便。取t=0时细杆的位置为极轴，此时小环位于端点O.任意时刻t ，小环的位置,ut r =t ωθ=.

这就是小环在极坐标系中的运动学方

程。消去t ，便得小环的轨迹方程：

,θωu r = 式中ωu 为常量，r 与θ成正比，小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。

在任意时刻，小环的径向速度 ,u dt

dr V r == 横向速度 ,t u r dt

d r V ωωθθ=== 速度的大小 .1)(222222t u r u V V V r ωωθ+=+=+=

速度的方向指向阿基米德线的切线方向。小环的径向速度的大小不变，横向速度随r 的增大而增大。

任意时刻，小环的加速度

)(00ωθr ur dt

d dt V d a +==??， 0r 和0θ为径向和横向的单位矢量，则

dt

d r dt dr dt dr u a 000θωθω++=? 0020002ωθωθωθωθθu r r r dt d r dt dr dt d u

+-=-+=

既径向加速度;22t u r a ωωτ-=-=

横向加速度ωθu a 2=.

加速度的大小为

22224t u a a a ωωθτ+=+=

尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变化引起的。即使u=0,小环停在半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速度。横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。

求解烟对船的速度

当蒸汽船以15km/h 的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向。过一会儿，船以24km/h 的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟飘向正西北方向。若在这两次航行期间，风速的大小和方向都不变，求： 风速。（烟对地的速度即风对

地的速度。）

解：设风速为V ，则人观察到

烟的飘向速度为

船地冯地烟船V V V -=

由图一所示，可知

15sin =θV （1） 0045sin )135sin(24V =-θ （2） 由（2），得到

.24sin cos V

=+θθ 将（1）代入上式，得到 ,5sin 8sin /1524sin cos θθθθ==

+ ,sin 8sin 5cos 5θθθ=+ 得到

67.13

5==θtg ， 059=θ 即风来自西偏南059，风速大小为17.5km/h.

运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间

一架飞机由A 处向北飞往B 处，然后又向南飞回A 处。已知A 、B 相距为L ，飞机相对于空气的速度为V ，而空气相对于地面的速度（即风速）为u ，其方向为北偏西θ角，求：

飞机往返一次的飞行时间。

解：由分析可知，

气对地机对气机对地V V V +=，

为了使飞机相对于地面的速度V '的方向指向正北。飞机相对于空气的速度V 必须北偏东φ角，如图一所示。由上面的矢量式，得到

0sin sin =-='θφu V V x .cos cos θφu V V y +='

消去φ，得到

θθcos sin 222u u V V y +-='

所以往程所需时间为 y V L t '

=1 当飞机由B 返回A 时，V u V ???''、、三者的关系如图二所示。同样可得，

,0sin sin =-'=''θφu V V x θφcos cos u V V y -'=''

消去φ'，得到.cos sin

222θθu u V V y --=''

所以返程所需时间为 y

2V L ''=t 则所求时间可求。

运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力

在桌上有质量为1m =1kg 的板，板与桌面之间的摩擦因数=1u 0.5.板上有放有质量2m =2kg 的物体，板与物体之间的摩擦因数25.02=μ，如图一。今以水平力F=19.6N 将板从物体下抽出。问：

板与物体的加速度各为多少？

解：当用力F 拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下抽出。现分两种情况分别讨论。

（1） 物体的运动滞后于板的运动的情况

物体和板的受力情况如图二所示。注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦力均为滑动摩擦力。设板的加速度为1a ，物体的加速度为2a 。列出板和物体的运动方程：

对板：,1121a m f f F =--

0121=--g m N N ，

.0,22222=-='g m N a m f

又因为

222111,N f N f μμ==

联立方程组，得

.,)(221

211221g a m g m m g m F a μμμ=+--= 代入数值，得221/45.225.0,0S m g a a ===

在本题的条件下，,12a a >这显然是不合理的。

（2） 物体与板相对静止，物体与板一起运动的情况

物体与板的受力图如图三所示。这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。板与物体的加速度相同，设为a ，

列出板与物体的运动方程：

,121a m f f F =--

,0121=--g m N N

,0,2222=-=g m N a m f

又因为.111N f μ=

联立解方程，得到 ,)(2

1211m m g m m F a ++-=μ ,)(212112

2m m g m m F m f ++-=μ 代入数值，得到

2/63.1S m a =，.26.32N f =

所求得的静摩擦力2f 小于最大静摩擦力（N N f mzx 9.422==μ），所以是可能实现的。

由第一种情况的讨论可知，只有21a a >才能将板从物体下抽出，根据以上计算结果，可得

,)(21

21122g m g m m g m F μμμ>+-- 或者.))((2121g m m F ++>μμ

代入数值，得到

22.5N.2.25g =〉F

飞车走壁

一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。设演员和摩托车的总质量为M ，直壁半径为R ，演员骑摩托车在直壁上以速率V 做匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升的距离为h ，如图一所示，求：

直壁对演员和摩托车的作用力。

解：演员受到两个力的作用。一是重力G ，另一个是

直壁的作用力N.把N 分解为沿直壁向上的1N 和指向圆周

运动中心的2N ，如图二所示。同样，把演员的速度V 分

解为竖直向上的1V 和绕筒壁做圆周运动的水平速度2V ，

于是

,1Mg N = .222R V M Ma N n == 展开螺旋面成斜面，如图三所示，V 沿斜面向上。且有

,)2(2cos 222h R R V

V V +==ππθ

代入，得到 22222

244h R R MV N +=ππ 故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为

22

21N N N += 方向与壁成角φ，

.)4(42222

212g

h R RV arctg N N arctg +==ππφ 求解小船转向的情况

一质量为M 的机动船，在进入河道弯道前Q 点处关闭发动机，以速度0V 在静水中行驶，设水的阻力与船速成正比。（1）若Q 点至弯道处P 点的距离为0L ，求船行至P 点时

的速度；（2）若船行至P 点时开动发动机，给船以0F ?的转向力，0F ?与速度方向的夹角为

θ，如图一所示，求：

船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。

解：（1）在PQ 的河流直道行驶中，船仅受水的阻力，,kV f -=k 为比例系数，负号表示与速度的方向相反。有牛顿运动定律，得到

,dt

dV m kV f =-=

,ds dV mV dt ds ds dV m

kV ==- 分离变量，积分 得到，船行至P 点的速度大小00L m

k V V P -

=. 方向沿弯道P 点的切线方向。 （2）在P 点，船除了受到阻力P kV -外， 还受到转向力的作用，这样船在P 点的加速度,0m

F m V k a P P ???+-= 此时其切向加速度

.cos cos 02000m

L k m kV m F m F m kV a p +-=+-=θθτ 法向加速度.sin 0θm

F a n = P 点的曲率半径.sin )(2002

θρF L m k V m a V n -==

?

?=-000L V V P dV ds m

k