质点运动学习题和答案

作业1 质点运动学

知识点一、位移、速度、加速度

1、位矢：r xi yj zk =++位移：21r r r xi yj zk

?=-=?+?+?

平均速度：

r v t x y z

i j k

t t t ????=

=++????（瞬时）速度：

d d d d d d d d r x y z v i j k t t t t ==++ （瞬时）加速度：22222222d d d d d d d d dv r x y z

a i j k

dt t t t t ===++

2、路程s ：物体通过的实际距离。

平均速率：s v t ?=

?（瞬时）速率：d ds

v t =

速度的大小等于速率

问题1、如何由r 求v ，如何由v 求a 。

利用求导

dr

v dt =

，

dv a dt =

。 问题2、如何由a 求v ，如何由v 求r 。

若()a a t =，利用

00()()v t v dv

a t dv a t dt

dt =?=??

若()a a v =，利用

00()()v t v dv

dv a v dt

dt a v =?=??

若()a a x =，利用 ()()()dv dv dx dv

a x a x v a x dt dx dt dx =?=?=00()v t v vdv a x dx

?=??

问题3、如何由r 求位移和路程。 位移：

21r r r xi yj zk

?=-=?+?+?

路程：1、d 0

d r

t =，求得速度为零的时间1t ，然后求出

10t -的路程1s 和1t t -的路程2s ［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸

上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是

(A) 匀加速运动．(B) 匀减速运动．

(C) 变加速运动． (D) 变减速运动．(E) 匀速直线运动．

【解答】

如图建坐标系，设船离岸边x 米，

222l h x =+，22dl dx

l

x

dt dt

=， 22dx l dl x h dl dt x dt

x dt +==，0dl

v dt

=-，

2

2

0dx h x

v i v i dt x

+==-

2203v h dv dv dx

a i dt dx dt x

==?=-

可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。

［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为

(A) 5m ． (B) 2m ．

(C) 0． (D) -2 m ．

(E)-5 m. 【解答】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面

积的代数和。 4.50

(1 2.5)22(21)122()s

x vdt m =

=+?÷-+?÷=?

［C ］3、[自测提高6]某物体的运动规律为t k t 2

d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是

(A) 0221v v +=kt (B) 0221v v +-=kt (C)02121v v +=kt (D) 0

21

21v v +

-=kt 【解答】t k t 2

d /d v v -=，分离变量并积分，020

v t

v dv ktdt v =-??，得02v 1

2v 1+=kt

4、[基础训练12 ]一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s 的时

间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10m ．

【解答】（1）x = 6 t －t 2 (SI)，位移大小()

24064408 ()r x x m ?=-=?--=；

（2）62x dx

v t dt

=

=-，可见，t<3s 时，x v >0；t=3s 时，x v =0；而t>3s 时，x v <0；所以，路程=()()()3034()909810 ()x x x x m -+-=-+-=

5、[基础训练13 ]在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度2

Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为3

03

C v v t =+

，运动学方程为4

00+12

C x x v t t =+

。 【解答】

v

x

o

x

l

h

（1）2

dv a Ct dt ==，02

v t

v dv Ct dt =??，得：303C v v t =+.

（2）303C dx v v t dt =+=，03003x t

x C dx v t dt ?

?=+ ??

???，得：400+12C x x v t t =+

. 6、[自测提高11]一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是4π/3=4.19

（m ），这段时

间内的平均速度大小为3

)=4.1310(/) m s π-?，方向是__与x 轴正方向逆

时针成600．

【解答】

24S 2R (m);3

3

ππ=

?=路程 0r 2cos30v m /s S t v

??===?平均速度大小）

；方向如图。 7、[基础训练16 ]有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2– 2 t 3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒内的路程． 【解答】

（1）t 1=1s: x 1=2.5m; t 2=2s: x 2=2m ;

∴21212 2.5

0.5(/)21

x x v i i i m s t t --=

==--- （2）,)69(2i t t i dt

dx v

-==

)/(6)4629(22s m i i v s t -=?-?==∴时， （3）令0)69(2

=-=i t t v ， 得：' 1.5t s =.此时x ’=3.375m;

∴第二秒内的路程s=(x ’-x 1)+(x ’-x 2)=（3.375-2.5）+(3.375-2)=2.25m 知识点二、圆周运动（曲线运动）

角速度：

d d t θ

ω=

角加速度：

d d t ωβ=

线速度t t t d d d d s r v e e r e t t θω=== 加速度：2n d d t t n v v a a a e e t R =+=+2

d ()d t n

v v e e t ρ+

问题1、如何由θ求ω，通过求导

d d t θ

ω=

问题2、如何由β求ω，通过积分00d d d d ωt ωω

ωt

t ββ=?=??

v

［D ］1、[基础训练4] 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a

表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1)a t = d /d v ，(2)v =t r d /d ， (3)d d /t =s v ，(4)t a t =d /d v

．

(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的．

(C)只有(2)是对的．(D) 只有(3)是对的． 【解答】根据定义式d d t =

s v ，d d t a t

=v

，d d a a t ==v 即可判断。

2、[基础训练10 ] 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v

的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°，则物体在A 点的切向加速度a t

=-0.5g ，轨道的曲率半径

2

3v g

.（重力加速度为g ）

【解答】

如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得

2

2

sin 300.5, cos 30 cos 30t n v v a g g a g g ρρ=-=-==∴=

3、[自测提高9 ]一质点从静止出发沿半径R=1m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律为2

126 (SI)t t β=-，则质点的角速度ω=3

2

43 (/) t t rad s -；加速度切向分量a t =2

2

126 (/) t t m s -。

【解答】

（1）2126d t t dt ωβ=-=，()

200

126t

d t t dt ωω=-??，32

43 (/)t t rad s ω=-；

（2）22126 (/)t a R t t m s β==-；

4、[基础训练19 ]质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角?保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。 【解答】

,n t

a tg a ?= 将t dv

a dt =

，2n v a R =代入，得2dv v dt Rtg ?=， 分离变量并积分：

00200011, v

t

v v Rtg dv dt t

v v Rtg v v Rtg Rtg v t ????=-+=∴=-?? 5、[自测提高15 ]质点按照2

12

s bt ct =-

的规律沿半径为R 的圆周运动，其中s 是质点运动的路程，b 、c 是常量，并且b 2

>cR 。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？ 【解答】