第一章 质点运动学习题答案

第一章 质点运动学习题答案 1-1 质点做直线运动，运动方程为

2126x t t =-

其中t 以s 为单位，x 以m 为单位，求：(1)t ＝4s 时，质点的位置、速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4) 做出x -t 图、v -t 图、a -t 图.

解：(1) 根据直线运动情况下的定义，可得质点的位置、速度和加速度分别为 2

126x t t =- （1） 1212dx

v t dt

=

=- （2） 2212d x

a dt

==- （3）

当t ＝4s 时，代入数字得：48x =-m 36v =-m/s 12a =-m/s 2

（2）当质点通过原点时，x ＝0，代入运动方程得：2

126t t -＝0 解得：120,2t t ==，代入（2）式得： 112v =m/s 2v =－12m/s

(3) 将0v =代入（2）式，得12120t -= 解得：1t =s 代入（1）式得：x =12m －6m=6m 1.2一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1t 2

+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度.

解：（1）

j t t i t r

)432

1()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有

j i r

5.081-= m

j j r

4112+=m j j r r r

5.4312+=-=?m

(3)∵ j i r j j r

1617,4540+=-=

∴ 104s m 534

201204-?+=+=--=??=j i j

i r r t r v (4) 1s m )3(3d d -?++==j t i t

r

v 则 j i v 734+= 1

s m -?

(5)∵ j i v j i v

73,3340+=+=

204s m 14

44-?==-=??=j v v t v a (6) 2s m 1d d -?==j t

v

a 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量.

1-4 一质点沿一直线运动，其加速度为2a x =-，式中x 的单位为m ，a 的单位为m/s 2

,试求该质点的速度v 与位置坐标x 之间的关系.设0x =时，0v ＝4m/s 解：依题意

2dv dv dx dv a v x dt dx dt dx

=

===- 0

2x

v v xdx vdv -=?

?

积分得 2

2

201()2

x v v -=-

v =

=1-5质点沿直线运动，加速度2

4a t =-，如果当t ＝3时，9x =，2v =，求质点的运动方程. (其中a 以m/s 2

为单位，t 以s 为单位，x 以m 为单位，v 以m/s 为单位) 解：加速度表示式对t 积分，得

301

43v adt t t v ==-++?

4

2001212

x vdt t t v t x ==-

+++? 将t ＝3s ，x ＝9m ，2v =m/s 代入以上二式，得积分常数01v =-m/s ，0x ＝0.75m ，则

3421

41

3

1

20.75

12

v t t x t t t =-+-=-+-+

1-6 当物体以非常高的速度穿过空气时，由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比，即2

a kv =-，其中k 为常量. 若物体不受其他力作用沿x 方向运动，通过原点时的速度为0v ，试证明在此后的任意位置x 处其速度为0kx v v e -=.

解：根据加速度定义得：

2dv a kv dt ==-，因dv dv dx dv a v dt dx dt dx

===，代入上式，分离变量，整理后得：1

dv kdx v

=-，应用初始条件00,x v v ==，两边积分得

00

1v

x v dv kdx v =-?? 得 0ln v v kx =- 即 有：0kx

v v e -= 1-7试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程，并证明做匀速圆周运动质点的速度矢量v 和加速度a 矢量的标积等于零，即0v a = 解：以直角坐标表示的质点运动学方程为

cos ,sin x R t y R t ωω==

以矢量形式表示的指点运动学方程为

cos sin R t R t ωω=+r i j

速度和加速度分别为

sin cos dr

R t R t dt

ωωωω=

=-+v i j 22cos sin R t R t ωωωω=--a i j

所以 0v a =

1-8一质点在xoy 平面内运动，其运动方程为cos sin a t b t ωω=+r i j ，其中,,a b ω均为大于零的常量.

解：（1）质点在任意时刻的速度sin cos d a t b t dt

ωωωω=

=-+r

v i j （2）由cos ,sin x a t y b t ωω==

消去t ，可得轨道方程

22

221x y a b

+= 可见是椭圆方程，表明质点作椭圆运动 （3）加速度22(cos sin )=d a t b t dt

ωωωω=

=-+-v

a i j r 因为2

ω>0，所以a 的方向恒与r 反向，即a 恒指向椭圆中心.

1-9路灯离地面高度为H ，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度0v 步行. 如图所示，求当人与灯的水平距离为x 时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小.

解：建立如图所示的坐标，t 时刻头顶影子的坐标为

'x x +，设头顶影子的移动速度为v ，则

'''

0()d x x dx dx dx v v dt dt dt dt

+==+=+ 由图中可看出有

''

H h x x x =+， 则有'

hx x H h =- '0hv dx dt H h

=-

所以有 000hv H

v v v H h H h

=+

=-- 1-10 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

02

1bt t v -

的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ． 解：（1） bt v t

s

v -==

0d d R

bt v R v a b t

v

a n 2

02)(d d -=

=-==

τ

则 2

4

02

22

)(R

bt v b a a a n

-+=+=τ 加速度与半径的夹角为

2

0)

(arctan

bt v Rb

a a n --==τ? (2)由题意应有

2

4

02

)(R bt v b b a -+

== 即 0)(,)(402

4

02

2

=-?-+=bt v R

bt v b b

∴当b

v t 0

=

时，b a = 1-11质点做半径为20cm 的圆周运动，其切向加速度恒为5cm/s 2

，若该质点由静止开始运动，需要多少时间：(1)它的法向加速度等于切向加速度；(2)法向加速度等于切向加速度的二倍.

解：质点圆周运动半径r ＝20cm ，切向加速度a τ＝5cm/s 2

，t 时刻速度为v a t τ=，法向加速度为2/n a v r =，因此有

/t v a a ττ==

=

（1） 当n a a τ=

时，4t =

===s （2） 当12n a a τ=

时， 2.83t ====s 1-12 (1)地球的半径为6.376

10?m ，求地球赤道表面上一点相对于地球中心的向心加速度. (2)地球绕太阳运行的轨道半径为1.511

10?m ，求地球相对于太阳的向心加速度. (3)天文测量表明，太阳系以近似圆形的轨道绕银河系中心运动，半径为 2.820

10?m ，速率为2.55

10?m/s ，求太阳系相对于银河系的向心加速度. 解：（1）地球赤道表面一点相对于地球中心的向心角速度为 12

6

221126.3710(

) 3.3610246060

n a R π

ω-==??=??? m/s 2

（2）地球相对太阳的向心加速度为 22

11

232221.510(

) 5.9510365246060

n a R π

ω-==??=???? m/s 2

（3）太阳系相对银河系的向心加速度

325210

320

3(2.510) 2.23102.810n v a R -?===?? m/s 2

1-13 以初速度0v ＝201

s m -?抛出一小球，抛出方向与水平面成60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ．

解：设小球所作抛物线轨道如题1-13图所示．

题1-13图 (1)在最高点，

o 0160cos v v v x == 21s m 10-?==g a n

又∵ 1

2

11ρv a n =

∴ m

1010)60cos 20(2

2111=??=

=n a v ρ

(2)在落地点，

2002==v v 1s m -?,

而 o

60cos 2?=g a n

∴ m 8060cos 10)20(2

2222=?

?==n a v ρ

1-14一架飞机在水平地面的上方，以174m/s 的速率垂直俯冲，假定飞机以圆形路径脱离俯冲，而飞机可以承受的最大加速度为78.4m/s 2

，为了避免飞机撞到地面，求飞机开始脱离俯冲的最低高度. 假定整个运动中速率恒定. 解：设飞机以半径为R 圆形路径俯冲，其加速度为 2/n a v R =

当n a 为飞机所能承受的最大加速度时，R 即为最小，所以 22min min 78.4174/,174/78.4386.2R R ===m

1-15一飞轮以速度1500n =rev/min 转动，受制动而均匀减速，经50t =s 静止，求 (1) 角加速度β和从制动开始到静止飞轮转过的转数N ；

(2) 求制动开始后，25t =s 时飞轮的角速度ω；

(3) 设飞轮半径R =1m ，求25t =s 时，飞轮边缘上一点的速度和加速度.解：（1）飞轮的

初角速度01500

225060

n ωπππ==?

=，当50t =s 时，0ω=；代入0t ωωβ=+得

t

ωωβπ-=

=-

从开始到静止，飞轮转过的角度及其转数为：

220115050(50)125022

t t θωβπππ=+=?-= rad

6252N θ

π

=

= rev （2）25t =s 时，飞轮的角速度为

0502525t ωωβ

πππ=+=-= rad/s （3）25t =s 时，飞轮边缘上一点的速度为

12525v R ωππ==?= m/s 相应的切线和法线加速度为

1t a R βππ==-?=-m/s 2

222(25)1625n a R ωππ==?= m/s 2

1-16一质点沿半径为1m 的圆周运动，运动方程为2

23t θ=+，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：(1)t ＝2s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45?

角时，其角位移是多少？

解： t t

t t 18d d ,9d d 2====

ωβθω (1)s 2=t 时， 2s m 362181-?=??==βτR a

2222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n

(2)当加速度方向与半径成45?

角时，有

即 βωR R =2 亦即 t t 18)9(22= 则解得 923

=t 于是角位移为

rad 67.29

2

32323=?

+=+=t θ

1-17一圆盘半径为3m ，它的角速度在t ＝0时为3.33πrad/s ，以后均匀地减小，到t ＝4s 时角速度变为零. 试计算圆盘边缘上一点在t ＝2s 时的切向加速度和法向加速度的大小.

解：角速度均匀减小，因此，角加速度为

tan 451n

a a τ

?=

=

(4)(0)

0 3.330.8340

4

ωωπ

βπ--=

=

=-- rad/s 2 圆盘做匀角加速度，故有

0 3.330.83t t ωωβππ=+=-

当2t =s 时， 3.330.83216.7ωπππ=-?=rad/s 法向和切向加速度分别为

282.4n a R ω==m/s 2

a R τβ=＝－7.8 m/s 2

1-18某雷达站对一个飞行中的炮弹进行观测，发现炮弹达最高点时，正好位于雷达站的上方，且速率为v ，高度为h ，求在炮弹此后的飞行过程中，在t (以s 为单位)时刻雷达的观测方向与铅垂直方向之间的夹角θ及其变化率d dt

θ

ω=

(雷达的转动角速度)

解：以雷达位置为坐标原点，取坐标系xoy 如图所示 ，根据题意，炮弹的运动方程为 2

1,2

x v t y h g t ==-

可解得： 212cot h gt y x vt θ-== （1） 则2

12arccot

h gt vt

θ-= 将（1）式两边对t 求导数，得

22

221

2csc gt h gt d dt vt

θθ--+-= 则有22222222222

111()222csc (cot 1)()2

h gt h gt v h gt d dt vt vt h gt v t θωθθ+++====

+-+

1-19 汽车在大雨中行驶，车速为80km/h ，车中乘客看见侧面的玻璃上雨滴和铅垂线成60?

角，当车停下来时，他发现雨滴是垂直下落的，求雨滴下落的速度.

解：取车为运动参考系'

S ，雨滴相对于车的速度为ps 'v ，雨滴对地速度为ps v ，车对地

的速度为's s v ，相对运动速度合成定理为

'ps

ps s s '=+v v v 见如图所示的速度合成图，则有

'ps ps 1000

cot 60800.57712.83600

v v ?

==??=m/s

1-20一升降机以加速度1.22m/s 2

上升，当上升速度为2.44 m/s 2

时，有一螺帽自升降机的天花板松落，天花板与升降机底面相距2.74m ，计算：(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间；(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.

解：以升降机外固定柱子为参考系，竖直向上为y 坐标轴正向，螺帽松落时升降机底面位置为原点. 螺帽从0y ＝2.74m 处松落，以初速度0v ＝2.44m/s 做竖直上抛运动，升降机底面则从原点以同样的初速度做向上的加速运动，加速度a ＝1.22m/s 2

，它们的运动方程分别为 螺帽：210012y y v t gt =+-

底面：2201

2

y v t at =+ 螺帽落到底面上时，12y y =，由以上两式得 t ＝0.705s （2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为 2

01010.7152

s y y v t gt =-=-+

=m

1-21某人骑自行车以速率v 向西行使，北风以速率v 吹来（对地面），问骑车者遇到风速及

风向如何？

解：地为静系E ，人为动系M 。风为运动物体P

绝对速度：v v PE =，方向向南； 牵连速度：v v ME =，方向向西； 求相对速度？=PM v 方向如何？ ∵ ME PM PE v v v

+=

∵ v v v PE ME ==

∴ =∠α45°

v v v v PE MP PM 22

2=+=?

PM v

方向：来自西北。或东偏南45°。

1-22 当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮着蓬的垂直投影后2m 的甲板上，蓬高为4m ，但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m ，若雨滴的速度大小为8m/s ，求轮船的速率.

解： 依题意作出矢量图如题1-22所示．

图1-22

∵ 船雨雨船v v v

-= ∴ 船雨船雨v v v

+= 由图中比例关系可知

1s m 8-?==雨船v v

1-23 飞机自A 城向北飞到B 城，然后又向南飞回到A 城，飞机相对于空气的速度为v ，而空气相对于地面的速度为u ，A 、B 之间的距离为L ，如果飞机相对于空气的速率保持不变，试证：(1)当空气静止的(u ＝0)时，飞行一个来回的时间为02/t L v =； (2)当空气的速度

由南向北时，飞行一个来回的时间为2

102/(1)u t t v

=-；(3)当空气的速度由东向西，飞行一

个来回的时间为20t t = 解：（1）当空气静止时，L t t v

==

返往 则02L t t t v

=+=

返往 （2）空气对地面的速度u 由南向北时，飞机相对空气的相对速度去时与u 同向，回来时与u 反向，根据相对运动速度合成定理，飞机往返速率分别为

,v v u v v u =+=-返往

则往返飞行的时间

01222

21(/)t L L Lv

t t t v u v u v u u v =+=

+==+---返往 （3）空气对地面的速度由东向西时

v v ==返往往返飞行的时间

2t t t =+===

返往