圆与圆之间的位置关系(人教A版)(含答案)
圆与圆之间的位置关系（人教A版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.已知两圆的半径分别为2，3，圆心距为d，若两圆有公共点，那么圆心距的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
当两圆外切时，圆心距；
当两圆相交时，圆心距满足；
当两圆内切时，圆心距满足．
综上，圆心距满足，故选A．
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
2.若圆，圆，则两圆的位置关系是( )
A.相交
B.内含
C.外切
D.内切
答案：B
解题思路：
由题意，
，；，．
圆心距：，
，则，
∴两圆内含，故选B．
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
3.已知方程组有两组不同的解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，两个方程所表示的几何图形为两个圆，
方程组有两解，
即圆与圆有两个交点，
即两圆相交．
，；，；
，
∴，即，
∴解不等式组，得，
∴，故选A．
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
4.若圆和圆相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
由题意，
圆，圆心，半径；
圆，圆心，半径．
∵两圆相交，
∴，即
，解得．
故选C
试题难度：三颗星知识点：两圆相交的性质
5.圆与圆的公切线（注：公切线是两个圆公共的切线）的条数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解题思路：
由题意，
圆，圆心，半径；
圆，圆心，半径．
两圆的圆心距，
∴，，
∵，
∴两圆相交，则两圆有两条公切线，故选C．
试题难度：三颗星知识点：两圆的公切线条数及方程的确定
6.已知，若圆和圆
只有一条公切线（注：公切线是两个圆公共的切线），则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
圆，圆心，半径；
圆，圆心，半径．
∵两圆只有一条公切线，
∴两圆内切．
∴，即，
∴，故选A．
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
7.若圆始终平分圆的周长，则
满足的关系是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
由题意，
两圆的公共弦必过圆的圆心．
由两圆方程相减得，
公共弦所在直线方程为．
将圆心坐标代入可得，
，故选C．
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
8.两圆相交于点，，两圆的圆心均在直线上，则
的值为( )
A.-1
B.2
C.3
D.0
答案：C
解题思路：
由题意，
直线垂直平分线段AB，则
，且AB中点在直线上，
∵，AB中点为，
∴，且，
解得，．
∴，故选C．
试题难度：三颗星知识点：两圆相交的性质应用
9.圆经过点，且与圆相切于，则圆的圆心坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
圆，圆心．
∴圆经过点，，圆心应该在线段MN的垂直平分线上，即在直线：x＝2上，
∵，，三点共线
∴圆心在直线：上，
联立直线表达式可得：
，
解得，则圆心，故选A．
试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系Revised on November 25, 2020
35.1 点与圆的位置关系 教学目标: 1.掌握点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系. 2.经历探索点与圆三种位置关系,体会数学分类讨论思考问题的方法. 教学重点: 用数量判定点与圆的位置关系.教学难点: 判定点与圆的位置关系. 教学过程: 一、创设问题情境 1.足球运动员踢出的地滚球在球场上滚动,再其穿越中间圆形区域的过程中,足球与这个圆的位置关系呢 2.代号为"白沙"的台风经过了小岛A 。在每一时刻，台风所侵袭的区域总是以其中心为圆心的一个圆。小岛在遭受台风袭击前后，他与台风的侵袭区域有什么不同的位置关系呢 二、合作探索 1．点与圆有几种不同的位置关系你还能举出类似的的实例吗 点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。 2．如图表示点与圆的三种位置关系。 点P 在⊙O 内 点P 点P 3.在你画出的三幅图中,分别测量点到圆心的距离 d ，并与圆的半径的r 大小进行比较. 4.点与圆有三种位置关系对应的r 与d 之间的数量关系分别是怎样的与同学交流并填写下表 P O
位置关系。 6．归纳与概括： 点在圆内 d 课题24.3圆与圆的位置关系 主备人：谭永峰教研组长：盛大森审核人：上课教师： 一、学习目标1．通过生活实例，探究圆和圆的五种位置关系． 2．理解圆和圆的五种位置关系及与之对应的数量关系． 二、学习重点：理解圆和圆的五种位置关系及与之对应的数量关系． 三、学习难点：判断圆与圆的位置关系 .四、学习过程 (一)温故而知新 问题：直线与圆的位关系有几种？分别是？ (二)情境导入 在以上几幅图画中，请大家仔细观察，图中的圆与圆之间，有几种位置关系？ （三）合作探究 圆和圆的位置关系与数量关系 1.观察下列图形，在下面的横线上填写圆和圆的位置关系.然后阅读课本第100页“思考”，再结合图中标注填写后面表格.可以和同伴一起讨论完成. 两圆的位置关系d与r1和r2之间的关系 外离 外切 相交 内切 内含 思考：如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？ 【反思小结】圆和圆共有五种位置关系，由位置关系可以推出数量关系，由数量关系可以推出位置关系，它们是互逆的.圆和圆相切是指内切或外切，圆和圆相离是指外离或内含. （四）：例题讲解 例1如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP＝8cm.以P为圆心作一个圆与⊙O外切，这个圆的半径是多少？以P为圆心做作一个圆与⊙O内切呢？ （五）：针对训练 1.（2012·上海）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的关系是( D) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 2.（2012·济南）已知⊙O1和O2的半径是一元二次方程x2－5x+6=0的两根，若圆心距O1O2 ＝5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（B） A．外离B．外切C．相交D．内切 3.（2012·巴中）已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是（D） A.0＜d＜2 B.1＜d＜2 C.0＜d＜3 D.0≤d＜2 4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则 ⊙A，⊙B的位置关系是（A） A.外切 B.内切 C.相交 D.外离 5.（2012·丽水）半径分别为3cm和4cm的两圆相切，这两圆的圆心距为1或7 cm．（六）：归纳总结、反思感悟 1.两圆的五种位置关系：，，，，． 2.在五种位置关系下，圆心距和两圆半径的数量关系． （七）：更上一层楼 作业《全品》P88 点、直线、圆与圆的位置关系 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质 教学目标 重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系 教学内容 第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理 课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的 延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线． 知识梳理 （一）两圆位置关系的定义 注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部 （2）两圆相切是指两圆外切与内切 （3）两圆同心是内含的一种特殊情况 （二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么 两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ） 两圆内切 d =R－r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ） （三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系 圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x . 圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点； 精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： （1）直线l和⊙O相离?d r > 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l和⊙O相切?d r = . （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径 长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二.圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、 （ （ （ （ （ 2. 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲 例1如图，已知Rt ABC ?中，∠C=90°，AC=3，BC=4 （1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围. . 已知Rt ABC ?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B. （1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 点和圆的位置关系 1．回忆及思考 投影片 1．线段垂直平分线的性质及作法。 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 作法：如下图，分别以 A．B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧找出两交 直线和圆有哪几种位置关系？ 答：直线和圆有三种位置关系．它们是直线和圆相交；直线和圆相切；直线和圆相离． 直线和圆的三种位置关系是这样定义的： (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2)直线和圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 根据定义，容易看出： 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分，它们是一致的． 直线和圆的位置关系，可用下表表示． 例1 已知⊙O的半径为11厘米，当直线MN与⊙O的位置是相离、相切、相交时，O点到直线MN的距离分别如何？ 解⊙O的半径r=11厘米，所以有： 当直线MN与⊙O相离时，圆心O到直线MN的距离d大于半径11厘米．当直线MN与⊙O相切时，圆心O到直线MN的距离d等于11厘米． 当直线MN与⊙O相交时，圆心O到直线MN的距离d小于11厘米． 例2 已知Rt△ABC的斜边AB=6厘米，直角边AC=3厘米．圆心为C，半径分别为2厘米、4厘米的两个圆与AB有怎样的位置关系？半径多长时，AB 与圆相切？ 解：过C作CD⊥AB，垂足为D(如图)． 在直角△ABC中，有 根据三角形的面积公式，有 CD·AB=AC·BC． 当⊙C的半径为2厘米时，⊙C与AB相离； 当⊙C的半径为4厘米时，⊙C与AB相交； 由以上两例可以看出：直线和圆的位置关系是由公共点的个数确定的，可以由圆心到直线的距离与圆的半径的关系来决定． o C B A 24．2．1 点和圆的位置关系（第六课时） 一．学习目标： 1、掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系， 2、通过探求点和圆三种位置关系，渗透数形结合、分类讨论等数学思想 二．学习重点、难点： 重点：点和圆的三种位置关系； 难点：点和圆的三种位置关系及数量间的关系； 教学过程 一、预习检测： 1、圆的定义是 2、放暑假了,爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，就这一轮来讲，很显然，_____的成绩好。 若把靶子看作以O 点为圆心的圆，你能得出点和圆有几种位置关系吗？ 二、合作探究： （一）自学指导： 阅读课本P92 并完成以下各题 点和圆的位置关系：若设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那点和圆的位置关系可表示成怎样的数量关系？ ?d ＞r ； ?d=r ?d ＜r （二）交流展示，精讲解惑 例：如图，在ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠30A ，AB CD ⊥，cm AC 3=，以点C 为圆心，3cm 为半径画⊙C ，请判断A 、B 、D 与⊙C 的位置关系，并说明理由. （三）当堂训练 1、已知⊙O 的半径为5cm ，有一点P 到圆心O 的距离为3cm ，求点P 与圆有何位置关系？ 2、⊙O 的半径为10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与 ⊙O 的位置关系是：点A 在 ；点B 在 ； 点C 在 ； 3、若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标为（3，4），点P 的坐标（5，8），则点P 的位置为（ ） A ．⊙A B ．⊙A 上 C ．⊙A 外 D ．不确定 4、⊙O 的直径18cm ，根据下列点P 到圆心O 的距离，判断点P 和圆O 的位置关系． （1）PO ＝8cm （2）PO ＝9cm （3）PO ＝20cm 5、已知⊙O 的半径为5cm ，P 为一点，当cm OP 5=时，点P 在 ；当OP 时， 点P 在圆；当cm OP 5>时，点P 在 . 6、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A 。 课后反思： 35.1 点与圆的位置关系 教学目标: 1、掌握点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系、 2、经历探索点与圆三种位置关系,体会数学分类讨论思考问题的方法、 教学重点: 用数量判定点与圆的位置关系、教学难点: 判定点与圆的位置关系、 教学过程: 一、创设问题情境 1、足球运动员踢出的地滚球在球场上滚动,再其穿越中间圆形区域的过程中,足球与这个圆的位置关系呢? 2、代号为"白沙"的台风经过了小岛A 。在每一时刻,台风所侵袭的区域总就是以其中心为圆心的一个圆。小岛在遭受台风袭击前后,她与台风的侵袭区域有什么不同的位置关系呢？ 二、合作探索 1.点与圆有几种不同的位置关系？您还能举出类似的的实例不？ 点与圆有三种位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外。 2.如图表示点与圆的三种位置关系。 点P 在⊙O 内 点P 在⊙O 上 点P 在⊙O 外 3、在您画出的三幅图中,分别测量点到圆心的距离d,并与圆的半径的r 大小进行比较、 6.归纳与概括: 点在圆内 d 2、练习:P36 四、回顾与反思:点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系、 五、作业:P36 1、2、3 35、2 直线与圆的位置关系 教学目标: 1使学生掌握直线与圆的三种位置以及位置关系的判定与性质。 2培养学生用运动变化的观点,去观察图形,研究问题的能力。 3渗透类比、分类、化归、数形结合的思想,指导相应的学习方法,使学生不仅学会数学,而且会学数学教学重点:掌握直线与圆的三种位置关系的性质与判定 教学难点:如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d与r并加以比较。 教学过程: 一、复习引入 我们已经研究了点与圆的位置关系,回忆一下有几种情况？就是怎样判定各个位置关系的？点与圆的位置关系就是用什么方法研究？(演示投影或放录像) 今天我们将借鉴这些方法与经验共同探讨在同一平面内“直线与圆的位置关系”(板书课题) 二、探索、学习新知识 1、直线与圆的位置关系 ①利用投影演示直线与圆的运动变化过程,要求学生观察,圆与直线的位置关系在哪些方面发生了变化？设法引导观察“公共点个数”的变化。 Ⅰ没有公共点Ⅱ有唯一公共点Ⅲ有两个公共点, ②引导学生思考:Ⅰ直线与圆有三个(或三个以上)的公共点不？为什么？ Ⅱ通过刚才的研究,您认为直线与圆的位置关系可分为几种类型？分类的标准各就是什么？ ③在此基础上,揭示直线与圆的位置关系的定义(板书) 点、线、圆与圆的位置关系 一：点与圆的位置关系： 1. 点与圆的位置关系的判断 点与圆的位置关系 设O ⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点在圆外?d r <. >；点在圆上?d r =；点在圆内?d r 2. 三角形外接圆的圆心与半径 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 二：直线与圆的位置关系： 1.直线与圆的位置关系 设 2.切线的性质 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3.切线的判定 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4. 切线长定理及三角形内切圆 ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三：圆与圆的位置关系： 一：点与圆的位置关系： 1.点与圆的位置关系的判断： 例题1：⑴【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为___________ 【答案】10或8 【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10． 当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8． ⑵【易】已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ． ①以点C 为圆心，4为半径作⊙C ，则点A 、B 、M 分别与⊙C 有怎样的位置关系？ ②若以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内，且至少有一点在圆外，求⊙C 的半径r 的取值范围． 【答案】①∵在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ∴AB ， 122 CM AM = = ， ∵ 以点C 为圆心，4为半径作⊙C ， ∴AC=4，则A 在圆上，42 CM = <，则M 在圆内，BC=5＞4，则B 在圆外； ②以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内时，2 r >， 当至少有一点在⊙C 外时，r ＜5， 故⊙C 的半径r 的取值范围为：52 r <<． 测一测1：【易】在△ABC 中，90,45,C AC AB ∠=?==， 以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由. 点与圆的三种位置关系 一、学习目标： 1、了解点与圆的三种位置关系； 2、能根据点与圆心的距离判断点与圆的位置关系； 3、能画出经过一点、经过两点的圆。 二、探索： 问题1：点与圆的位置关系有哪几种？ （做一做）如图，直线上有四点O、A、B、 C ， 且OA=1，OB=2，OC=3， 以O为圆心，2 ， r 为半径画O 则点A在圆，点B在圆， 点C在圆。 结论：⑴点与圆的位置关系有三种：点在，点在，点在。 ⑵设O 的半径为r， ①若点A OA r； ②若点B OB r； ③若点C OC r。 三、练习A 填一填：1、设O 的半径为10㎝， ⑴若PO=8㎝，则点P在圆。 ∵r=，OP=， ∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”）， ∴点P在圆。 ⑵若PO=10㎝，则点P在圆。 ∵r=，OP=， ∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”）， ∴点P在圆。 ⑶若PO=12㎝，则点P在圆。 ∵r=，OP=， ∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”）， ∴点P在圆。 2、已知O 的半径为5 r=㎝，A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A和O 的位置关系： ①OP=6㎝②OP=10㎝③OP=14㎝解：∵OP=6㎝，解：∵OP=10㎝，解：∵OP=14㎝，∴AO=㎝，∴AO=㎝，∴AO=㎝， A B A B C ∴AO r ， ∴AO r ， ∴AO r ， ∴点A 在 。 ∴点A 在 。 ∴点A 在 。 问题二：如何判定一个圆经过已知点？ 1、如图经过已知点A 的圆是（ ） 2、根据以下条件，作O （1）经过一个已知点A ，作O 思考：这样的圆能做 个，请在上图中再做一个经过A 点的O 结论：过一点可以画 个圆。 （2）经过两个已知点A 、B ，作O 分析：圆心O 在线段AB 的 线上， 思考：这样的圆能画 个。 结论：过已知两点可以画 个圆。 （3）经过不共线的三点A 、B 、C ，作O 分析：∵O 经过A 、B 、C 三点 ∴O 经过A 、B 两点 圆与圆的位置关系 教学目标 （一）知识目标： 1、了解圆与圆之间的几种位置关系。 2、了解两圆的位置关系与两圆圆心距d，半径R和r的数量关系之间的联系。 （二）能力目标：模拟“日食”活动，经历观察、抽象类比、交流、想象、应用等过程，学会提炼圆与圆的位置关系，培养学生分类的数学思想。 （三）情感目标 1、通过本节探索，体验数学活动充满着探索与创造。 2、经历探究过程，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维。 教学重点：两圆相对运动产生“交点个数”的形成过程及两圆的半径与圆心距的数量关系教学难点：圆和圆之间的几种位置关系；及其两圆圆心距d，半径R和r 数量关系. 教学方法：引导发现法、合作探究法、练习巩固法 学习方法：观察分析法、探究归纳法、练习巩固法 教学过程 （一）创设情境，导入新课 播放：“日食”过程 问：月亮与太阳的圆形轮廓有哪几种位置关系？（通过创设现实问题情境，引导学生发现数学问题了解知识的产生。） (二) 探索交流，发现新知 问：用两个圆形纸片模拟“日食”过程，在黑板上贴出你发现的不同位置关系。 且一起来给它们命名： 外离外切相交内切内含 议一议 观察五种位置关系下的交点个数，你能根据“交点个数”对这五种位置进行分类吗？请讨论。 在上图中抽离出五种情况的几何图形， 观察思考这些图形是轴对称图形吗？ 相切时，切点与对称轴有什么位置关系？ 回顾： 直线与圆的位置关系和数量关系的联系。 相离?d>r 相切?d=r 相交?d 圆与圆的位置关系Revised on November 25, 2020 第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一 .直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： > （1）直线l和⊙O相离?d r 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l 和⊙O 相切 ?d r = 此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线l 和⊙O 相交 ?0d r ≤< 此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线． 2. 切线 的判定定 理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质: （1）与圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别: （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况 : l l （1 （2 （3 （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. 设两圆的圆心距为12O O d =，半径为0r R <<，则有： （1）外离：没有公共点 ，两圆外离? d R r >+ （2）外切：有唯一的公共点，两圆外切?d R r =+ （3）相交：有两个公共点， 两圆相交?R r d R r -<<+ （4）内切：有唯一的公共点，两圆内切?d R r =- （5）内含：没有公共点，两圆内含?0d R r ≤<- （1） （2） （3） （4） （5） 2. 相切两圆的性质 连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 点与圆的位置关系教学 设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 课题：点与圆的位置关系 教学目标： 1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。 2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。 3.能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。 4.初步理解反证法和应用。 教学重点： 1.用数量关系判断点和圆的位置关系； 2.用尺规作三角形的外接圆。 教学难点： 理解不在同一条直线的三点确定一个圆。 教学过程： （一）情境导入 教师描述：我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢这就是本节课研究的课题。 （二）自主探究：点与圆的位置关系 1.问题探究:（1）点与圆有哪几种位置关系 （2）经过一点，两点和不在同一条直线上的三个点分别可以做几个圆 （3）三角形外接圆、外心的概念什么 请同学们带着这些问题阅读课本P92——P94页。 问题一：已知点P和⊙O的位置关系共有三中，结合PPT向同学们展示。 若点P在⊙O内OP＜r 若点P在⊙O上OP=r 若点P在⊙O外OP＞r 设点P与圆心O的距离为d，半径为r，上述关系可表示为： 若点P在⊙O内d＜r 若点P在⊙O上 若点P在⊙O外d 巩固练习：PPT展示 问题二： (1)平面上有一点A，经过A点的圆有几个圆心在哪里 (2)平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个圆心在哪里 (3)平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个圆心在哪里。 如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆． 即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 一.内容： 圆和圆的位置关系 二. 教学目标： 1. 使学生掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法。 2. 使学生掌握两圆连心线的性质。 3. 通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点。 三. 教学重点和难点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系既是重点也是难点。 四. 教学过程： （一）复习： 直线和圆有几种位置关系？各是怎样定义的？ 直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交。各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的。 （二）新课 电脑演示，做两圆的相对运动。 1、定义： （1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1））内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6）） （2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2）） 内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4）） （3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3）） 注意： （1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。 （2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。 （3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。 提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？ 答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合。 初中数学《点和圆的位置关系》教案 点和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 第一张：(记作3．4A) 第二张：(记作3．4B) 第三张：(记作3．4C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索． Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径 圆与圆之间的位置关系（人教A版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.已知两圆的半径分别为2，3，圆心距为d，若两圆有公共点，那么圆心距的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 由题意， 当两圆外切时，圆心距； 当两圆相交时，圆心距满足； 当两圆内切时，圆心距满足． 综上，圆心距满足，故选A． 试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定 2.若圆，圆，则两圆的位置关系是( ) A.相交 B.内含 C.外切 D.内切 答案：B 解题思路： 由题意， ，；，． 圆心距：， ，则， ∴两圆内含，故选B． 试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定 3.已知方程组有两组不同的解，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 由题意，两个方程所表示的几何图形为两个圆， 方程组有两解， 即圆与圆有两个交点， 即两圆相交． ，；，； ， ∴，即， ∴解不等式组，得， ∴，故选A． 试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定 4.若圆和圆相交，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 由题意， 圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径． ∵两圆相交， ∴，即 ，解得． 故选C 试题难度：三颗星知识点：两圆相交的性质 5.圆与圆的公切线（注：公切线是两个圆公共的切线）的条数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路： 由题意， 圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径． 两圆的圆心距， ∴，， ∵， ∴两圆相交，则两圆有两条公切线，故选C． 试题难度：三颗星知识点：两圆的公切线条数及方程的确定 6.已知，若圆和圆 只有一条公切线（注：公切线是两个圆公共的切线），则下列结论正确的是( ) 课题：点与圆的位置关系 教学目标： 1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。 2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。 3.能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。 4.初步理解反证法和应用。 教学重点： 1.用数量关系判断点和圆的位置关系； 2.用尺规作三角形的外接圆。 教学难点： 理解不在同一条直线的三点确定一个圆。 教学过程： （一）情境导入 教师描述：我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？这就是本节课研究的课题。 （二）自主探究：点与圆的位置关系 1.问题探究:（1）点与圆有哪几种位置关系？ （2）经过一点，两点和不在同一条直线上的三个点分别可以做几个圆？ （3）三角形外接圆、外心的概念什么？ 请同学们带着这些问题阅读课本P92——P94页。 问题一：已知点P和⊙O的位置关系共有三中，结合PPT向同学们展示。 若点P在⊙O内 OP＜r 若点P在⊙O上 OP=r 图 23.2.3 图 23.2.2 设点P 与圆心O 的距离为d ，半径为r ，上述关系可表示为： 若点P 在⊙O 内 ＜r 若点 P 在⊙O 上若点P 在⊙O 外＞r 符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端从右端也可以得到左端． 巩固练习：PPT 展示 问题二： (1) 平面上有一点A ，经过A 点的圆有几个？圆心在哪里？ (2) 平面上有两点A 、B ，经过A 、B 点的圆有几个？圆心在哪里？ (3) 平面上有三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？。 如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上，而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O ，则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心，OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆． 即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 注：在这个环节，教师可以带领学生从过一点，两点和不在同一条直线上的三点可以做几条直线出发，帮助学生建立探究思维。 思考：经过同在一条直线上的三个点能做出一个圆吗？ 图28.2.4圆与圆之间的位置关系教案
点、直线、圆与圆的位置关系
初中一对一精品辅导讲义：圆与圆的位置关系.docx
高中数学-圆与圆的位置关系教案
圆与圆的位置关系
点和圆的位置关系教学设计
【教学目标】
教学知识点： 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的 方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。 能力训练要求： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的 策略。 情感与价值观要求： 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精 神。 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
【教学重点】
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论。 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
【教学难点】
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三 个点作圆。
【教学方法】
教师指导学生自主探索交流法。
【教学用具】
投影片
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线。那么，经过一点
能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索。 二、新课讲解
1
2 点 C．D，作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的任一点到 A 与 B 的距 离相等。
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 定点即为圆心，定长即为半径。根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题。因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小。确定了圆心和半径，圆就随之确定。
2．做一做(投影片) （1）作圆，使它经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使它经过已知点 A．B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分 布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ （3）作圆，使它经过已知点 A．B．C(A．B．C 三点不在同一条直线上)。你是如何作的？ 你能作出几个这样的圆？ [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意 见并作出解答。 [生]（1）因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来， 半径就随之确定了下来。所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为半 径就可以作一个圆。由于圆心是任意的。因此这样的圆有无数个。如图（1）。
2直线和圆有哪几种位置关系
24.2点及圆的位置关系
点与圆的位置关系
点线圆与圆的位置关系
点与圆的三种位置关系
圆与圆的位置关系教案
圆与圆的位置关系
点与圆的位置关系教学设计
圆和圆的位置关系-数学习题及答案
初中数学《点和圆的位置关系》教案
圆与圆之间的位置关系(人教A版)(含答案)
《点与圆的位置关系》教学设计