第十二章电磁感应电磁场

第十二章电磁感应电磁场

题12.1：如图所示，在磁感强度T 106.74－?=B 的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两

个半径均为3.7 cm 且相互垂直的半圆构成，磁感强度的方向与两半圆平面的夹角分别为 62和

28。若在s 105.43－?的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？

题12.1分析：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，

即??-=-

=S

d d d

d d S B t t Φε但在求解时应注意下列几个问题： 1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。

2．Φ应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由??=S

d S B Φ计算。对于均匀磁

场则有θcos d S

BS Φ=?=?S B ，其中⊥=S S θcos 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面

积。对于本题，2211cos cos θθBS BS Φ+=中1θ和2θ为两半圆形平面法线n e 与B 之间的夹角。 3．感应电动势的方向可由t

Φ

d d -

来判定，教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的B 的方向满足右螺旋关系，此时Φ恒为正值，这对符号确定较为有利。

题12.1解：迎着B 的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律

V

1091.4)cos cos (cos cos d d cos cos d d d d 4221122112211-?=+??-=+-=+-=-

=θθθθθθεS S t

B S S t

B

BS BS t t Φ）（）（

0>ε，说明感应电动势方向与回路正向一致

题12.2：一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为

t Φ)s 100s i n ()Wb 100.8(15--?=π，求在s 100.12－?=t 时，线圈中的感应电动势。

题12.2解：线圈中总的感应电动势

t t

Φ

N

)s 100cos()V 51.2(d d 1-=-=πε

当 s 100.12－?=t 时， ε= 2.51 V 。

题12.3：如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆。使这根半圆形导线在磁感强度

为 B 的匀强磁场中以频率f 旋转，整个电路的电阻为R ，求感应电流的表达式和最大值。

题12.3解：由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为

θcos )(0BS Φt Φ+=

其中Φ0等于常量，S 为半圆面积， )2(00ft t Φπ?ωθ+=+=

)2cos(2

1

)(020?ππ++=ft B r Φt Φ

根据法拉第电磁感应定律，有)2sin(d d 022?ππε+=-=ft fB r t

Φ

因此回路中的感应电流为 )2sin()(022?ππε

+=

=ft R

fB

r R

t I

则感应电流的最大值为 R

fB

r I 22m π=

题12.4：有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流

均以

t

I

d d 的变化率增长。若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。

求线圈中的感应电动势。

题12.4解1：穿过面元d s 的磁通量为

x x

I

x d d x I Φd 2d )

(2d d d d 0021πμπμ-

+=

?+?=?=S B S B S B 因此穿过线圈的磁通量为

4

3ln 2d 2d )(2d 020

20πμπμπμId x x Id x d x Id ΦΦd d d d

=-+==???

再由法拉第电磁感应定律，有 t

I

d t Φd d 43ln 2d d 0??? ??=-

=πμε

解2：当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为

4

3

ln 20πμId Φ=

线圈与两长直导线间的互感为

4

3ln 20πμd I ΦM ==

当电流以t

I

d d 变化时，线圈中的互感电动势为

t

I d t I M

d d 43ln 2d d 0??? ??=-=πμε

题12.5：如图所示，一长直导线中通有 I = 5.0 A

的电流，在距导线 9.0 cm 处，放一面积为0.10 cm 2，10匝的小圆线圈，线圈中的磁场可看作是

均匀的。今在s 100.12-?内把此线圈移至距长直导线 10.0 cm 处。求：（1）线圈中平均感应电动势；（2）设线圈的电阻为Ω?-2100.1，求通过线圈横截面的感应电荷。

题12.5解：虽然线圈处于非均匀磁场中，但由于线圈的面积很小，可近似认为穿过线圈平面的磁场是均匀的，因而可近似用NBS Ψ=来计算线圈在始、末两个位置的磁链。

（l ）在始、末状态，通过线圈的磁链分别为

10112r IS N S NB Ψπμ=

=， 2

0222r IS

N S NB Ψπμ==

则线圈中的平均感应电动势为

V 1011.11128

21

0-?=?

??? ??-?=??=

r r t

IS N t Ψπμε 电动势的指向为顺时针方向。

（2）通过线圈导线横截面的感应电荷为

C 1011.11

821-?=?=-=

t R

ΨΨR q ε 题12.6：如图所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 对水平向右平动时，求导线中感应电动势ε的大小，哪一端电势较高？

题12.6解1：如图所示，假想半圆形导线OP 在宽为2R 的静止在“[”形导轨上滑动，两者

之间形成一个闭合回路。设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或端点P 距“[”形导轨左侧距离为x ，则

B R Rx Φ)2

1

2(2π+=

即

RvB t

x

RB t Φ2d d 2d d -=-=-

=ε 由于静止的“[”形导轨上的电动势为零，则RvB 2-=ε。式中负号表示电动势的方向为逆时

针，对OP 段来说瑞点P 的电势较高。

解2：建立如图所示的坐标系，在导体上任意处取导体元d l ，则

θθθεd cos d cos 90sin d )(d 0R vb l vb ==??=l B v

??

-==2

/2

/2d cos d ππθθεεRvB vBR ＝

由矢量)(B v ?的指向可知，端点P 的电势较高。

解3：连接OP 使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通

量常数==BS Φ。由法拉第电磁感应定律t

Φ

d d -

=ε可知 0=ε

又因 po op εεε+=

即

RvB 2po op =-=εε

由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导

体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法。

题12.7：如图所示，金属杆 AB 以匀速v = 2.0 m/s

平行于一长直导线移动，此导线通有电流 I = 40 A 。问：此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？

题12.7解1：杆中的感应电动势为

V 1084.311ln 2d 2d )(501

.11.00AB

AB -?-=-=-=??=?

?π

μπμεIv

x v x I l B v

式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高。

解2：对于图，设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根

据分析，在距直导线x 处，取宽为d x 、长为y 的面元d s ，则穿过面元的磁通量为

x y x

I

Φd 2d d 0πμ=

?=S B 穿过回路的磁通量为

11ln 2d 2d 01

.11.00π

μπμIy

x y x I ΦΦS

-===?

? 回路的电动势为

V 1084.311ln 2d d 11ln 2d d 500-?-=-=-==

π

μπμεIv t y

I t Φ 由于静止的U 形导轨上电动势为零，所以

V 1084.35AB -?-==εε

式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A ，故点A 电势较高。

题12.8：如图所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂

直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向。

题12.8解1：根据分析，线框中的电动势为

)

(2d )

(2d 2d )(d )(12

1001000gh

ef

hg

ef 2

2l d d l Ivl l l d Iv l d Iv l l +=

+-=??-??=-=????πμπμπμεεεl

B v l B v 由hg ef εε>可知，线框中的电动势方向为efgh 。

解2：设顺时针方向为线框回路的正向。根据分析，

在任意位置处，穿过线框的磁通量为

ξ

ξπμξπμ1

200

20ln

2d )(21l Il x x Il Φl +=+=?

相应电动势为

)

(2d d )(1210l l Ivl t Φ

+=

-

=ξπξμξε 令d =ξ，得线框在图示位置处的电动势为

)

(212

10l d d l Ivl +=

πμε

由0>ε可知，线框中电动势方向为顺时针方向。

题12.9：如图所示，一长为l ，质量为m 的导体棒CD ，其电阻为R ，沿两条平行的导电轨道

无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成θ角，整个装置放在均匀磁场中，磁感强度B 的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD 的最大速度m v 。

题12.9解：如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P 和导轨支持力F N 外，还受到一个与

下滑速度有关的安培力F A ，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为

θε

cos 2

2A v R

l B R Bl BlI F ===

（1）

导体律沿轨道方向的动力学方程为

t

v m

ma F mg d d cos sin A ==-θθ （2）

将式（l ）代入式（2），并令mR

l B H θ

222cos =，则有

t

v Hv g d d sin =

-θ 分离变量并两边积分

??=-t v

t Hv g v

00d sin d θ 得

t g Hv

g H =--

θ

θsin sin ln 1 由此得导体在t 时刻的速度

???

? ?

?

-=t

mR l B e l B mgR v θ

θ

θ2

22cos 22

21cos sin 由上式可知，当t 增大时，v 也按指数规律随之增大，当∞→t 时

θ

θ

222m cos sin l B mgR v v =

=

此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度，其v －t 图线如图所示。

题12.10：在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与往的轴线平行。如图所示，有一长为l 的金属

棒放在磁场中，设B 随时间的变化率t

B

d d 为常量。试证：棒上感应电动势的大小为

2

222d d ??

? ??-=l R l t B ε

题12.10证1：由法拉第电磁感应定律，有

2

2PQ

22d d d d d d ??

?

??-==-==?l R l t B t B S t Φεε

证2：在r ＜R 区域，感生电场强度的大小t

B

r E d 2d k =

。设PQ 上线元d x 处，E k 的方向如图（b ）所示，则金属杆PQ 上的电动势为

()()2

22

20k k PQ

/2

d d d 2/d d 2d cos d d l R l t B x r

l R x

B

r x E x E l

l -=

-===???θε 讨论如金属棒PQ 有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势，为什么？如果有，你准备如何求解？

题12.11：一半径为R ，电阻率为ρ的金属薄圆盘放在磁场中，B 的方向与盘面垂直，B 的值

为τ

t

B t B 0

)(=，式中B 0和τ为常量，t 为时间。（1）求盘中产生的涡电流的电流密度；（2）

若 R = 0.20 m ，m 100.68?Ω?=－ρ，B 0 = 2.2 T ，τ= 18.0 s ，计算圆盘边缘处的电流密度。

题12.11解1：（1）如图所示，P 为距圆盘中心点O 距离为r 的一点，虚线为经过该点的感生

电场的电场线，则该点感生电场强度的大小,2d d 20

τ

rB t B r E ==方向为场线的切线方向，于是该点电流密度的大小为

)0(,21

R r r B E j ≤≤=

=

ρτ

ρ

方向与该点电场强度方向一致

（2）圆盘边缘处r = R ，则

250

m A 1004.22??==

R B j ρτ

解2：以O 为中心取一半径为r ，宽度为d r ，截面积为d S 的窄圆环回路l ，则环上电动势的

大小为,d d 2

0τ

πεr B t Φ==而圆环电阻,2dS r R πρ=故环中电流S r

B R I d 20ρτε==，再考虑到在该处电流与电流密度的关系是I = j d S ，这样就可求得与解1相同的结果。

题12.12：截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图所示，共有N 匝（图中仅画

出少量几匝），求该螺绕环的自感L 。

题12.12解：设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图所示，由安培环路定理可求得

在R 1＜r ＜R 2范围内的磁场分布为

x

NI

B πμ20=

由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为

1

2

200ln 2d 2d 21

R R hI N x h x NI N N ΨS

R R ??

==?=πμπμS B 则 1

2

2

0ln 2R R h N I ΨL πμ==。

若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为r μ，则自感将增大r μ倍。

题12.13：一空心长直螺线管，长为0.50 m ，横截面积为例10.0cm 2，若螺线管上密绕线圈

3.0310?匝，问：（1）自感为多大？（2）若其中电流随时间的变化率为1s A 10-?，自感电动势的大小和方向如何？

题12.13解：（1）长直像线管的自感为

H 1026.2222

00-?===L

S

N V n L μμ

2）当

1s A 10d d -?=t

I

时，线圈中的自感电动势为 V 226.0d d -=-=t

I

L

L ε

负号表明，当电流增加时，自感电动势的方向与回路中电流I 的方向相反。

题12.14：如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1和S 2，磁导率分别为21μμ和，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感。（设管的截面很小）

题12.14解：设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为

I l

N

nI B I l N nI B 2221

11,μμμμ==== 通过N 匝回路的磁链为

221121S NB S NB ΨΨΨ+=+=

则自感

()22112

S S l

N I ΨL μμ+=

= 题12.15：有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d 。试求长为l 的一对导线的

自感。（导线内部的磁通量可略去不计）

题12.15解：在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间r

r r d +→位置的点的磁感强度为

()

r d I

r I B -+

=

πμπμ2200 穿过图中阴影部分的磁通量为

a

a

d Il r Bl Φa d a

S

-=

=?=?

?-ln d d 0πμS B 则长为l 的一对导线的自感为

a

a

d l I ΦL -==

ln 0πμ 题12.16：如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和B A ''，每个线圈的自感均为L ，

求：（1）A 和A '相接时，B 和B '间的自感 L 1；（2）A '和 B 相接时，A 和B '间的自感L 2。

题12.16解：（1）当A 和A '连接时，AB 和B A ''线圈中电流流向相反，通过回路的磁通量亦相反，故穿过大回路的总通量为0221=-=ΦΦΦ，故L 1 = 0

（2）当A '和B 连接时，AB 和B A ''线圈中电流流向相同，通过回路的磁通量亦相同，故穿过大回路的总通量为ΦΦΦΦ4222=+=，故

L I

Φ

I ΦL 4422===

。 题12.17：如图所示，一面积为4.0 cm 2共50匝的小圆

形线圈A ，放在半径为20 cm 共100匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面。没线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的。求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈B 中电流的变化率为1s A 50-?-时，线圈 A 中感应电动势的大小和方向。

题12.17解：（1）设线圈 B 有电流 I 通过，它在圆心

处产生的磁感强度 R

I

N B

200μ=B ，穿过小线圈A 的磁链近似为 A 0B

A A 0A A 2S R

I

N N S B N Ψμ==

则两线圈的互感为

H 1028.626A 0B A A

-?===

R

S N N I ΨM μ (2)V 1014.3d d 4A -?=-=t

I

M

ε 互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同。

题12.18：如图所示，两同轴单匝线圈 A 、C 的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d 。若r 很

小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的。求两线圈的互感。若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少？

题12.18解：设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁感强度近

似为

2

32220)(2d R IR B +=

μ

穿过线圈C 的磁链为

22

/322

20C )

(2r d R IR BS Ψπμ+=

=

则两线圈的互感为

2

/322220)(2d R r R I Ψ

M +=

=πμ 若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍。

题12.19：一半径为R 的圆形回路与一无限长直导线共面，圆心到长直导线间的距离为d ，求

它们之间的互感。

题12.19解：通有电流I 的长直导线在线圈平面内磁感强度的分布为

)

(22

0x d I

B +=πμ

穿过面元d S 的磁通量为

x R x d I Φd cos 2)

(2d d 0θπμ+=

?=S B

从图可知θθd cos d ,sin R x R x == 代

入

上

式

，

有

θθθπ

μd s i n

s i

n d 220

???

?

??-++-=R d R d d R I Φ 因此穿过圆形回路的磁通量为

[

]

2

202202

/2/220

d arctg arctg

2d sin sin d R d d I R d R d R d R d R d I R d R d d R I

ΦΦ--=???

?????+???? ??+-+-+--=

??

?

???-++-==??-μππ

μθθθ

π

μππ 则互感()

[

]2

/1220R d d I

Φ

M --==μ

(注：2

arccot arctg arctg arctg

π

=+-+-+=+-+-+R d R d R d R d R d R d R d R d ) 题12.20：将一段导线弯成一边长为l 的正六边形线圈，在正六边形中心处放一个半径为r 的

小圆形线圈，且l r <<这两个线圈在同一平面内。求：（1）它们的互感；（2）当小圆线圈通以

电流I 时，通过正六角形线圈的磁通量为多少？

题12.20解：（1）六边形线圈中通以电流I 1，在中心O 处激发的磁感强度为其中一条边激发

的磁感强度的6倍，即

[]l

I d I B B 326)30sin(30sin 466101

010πμπμ=?--??

==

考虑到l r <<，小圆线圈内各点的磁感强度B 近似相等，0B B ≈，故穿过小圆线圈的磁链为

l

r I S B Ψ2

1020213μ=

= 两回路间的互感为

l

r I ΨM M 20121

213μ===

（2）由于M 21 = M 12，当小圆线圈通以电流I 时，在六边形线圈内的磁通量为

I l

r I M I M ΨΦ2

02112123μ====

题12.21：如图所示，螺绕环A 中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0 cm ，沿环每厘米绕有

100匝线圈，通有电流A 100.421-?=I ，在环上再绕一线圈C ，共10匝，其电阻为Ω10.0，今将电键K 突然开启，测得线圈C 中的感应电荷为C 100.23-?。求：当螺绕环中通有电流1I 时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率r μ。

题12.21解：当螺绕环中通以电流I 1时，在环内产生的磁感强度11r 0I n B μμ=，则通过线圈C

的磁链为

S I n N BS N Ψ11r 022C μμ==

设断开电源过程中，通过C 的感应电荷为q c ，则有

R

S I n N ΨR ΨR q 11r 02C C C )0(1

1μμ=--=?-

=

由此得

T 01.02C 11r 0==

=S

N R

q I n B μμ 相对磁导率

1991102C

r ==

S

I n N Rq μμ

题12.22：一个直径为0.01 m ，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Q 。求：（1）如把线圈接到电动势V 0.2=ε的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能

有多少？磁能密度是多少？（2）从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？

题12.22解：（1）密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感l

S N L 02μ=，电流稳定后，线

圈中电流R

I ε

=

，则线圈中所储存的磁能为 J 1028.322152

2

022m -?===lR

S N LI W εμ 在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中，并为均匀磁场，

故磁能密度3m

m m J 17.4-?==

Sl

W w 显然，对于均匀磁场来说，m w 处处相等。

（2）自感为L ，电阻为R 的线圈接到电动势为ε的电源上，其电流变化规律

)1(t L

R e

R

I --=

ε

，当电流稳定后，其最大值R

I ε

=

m

按题意??? ??=2m 2212121LI LI ，则R I ε22=，将其代入???

? ??-=-t L R e R I 1ε中，得

()

s 1056.122ln 221ln 4-?=+=???? ??-

-=R

L R L t 题12.23：一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I 。试证：每单位长度导线

内所贮藏的磁能为16/2I μ。

题12.23证：本题中电流激发的磁场不仅存在于导体内(当r ＜R 时，2

012R Ir

B πμ=

)，而且存在于导体外(当R r >时，r

I

B πμ202=

)。由于本题仅要求单位长度导体内所储存的磁能，故用公式?=V

m d V w W m 计算为宜，取长为单位长度，半径为r ，厚为d r 的薄柱壳（壳层内w m 处处相

同）为体元d V ，则该体元内储存的能量r r R Ir W d 2])2(

21[d 2

2

00

m ππμμ=，单位长度导线内贮存的磁能为π

μππμ16d 28d 2

00

42220m m I r r R r I W W R =

==?

? 题12.24：在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与T 50.0-的均匀磁场中的磁场能量密

度相等，该电场的电场强度为多少？

题12.22解： 0

2m 20e 2,21μεB w E w ==，按题意，当w e = w m 时，有022

0221μεB E =则

180

0m V 1051.1-??==

μεB

E

题12.25：设有半径R = 0.20 m 的圆形平行板电容器，两板之间为真空，板间距离 d = 0.50 cm

，以恒定电流 I = 2.0 A 对电容器充电。求位移电流密度（忽略平板电容器的边缘效应，设电场是均匀的）。

题12.25解：忽略电容器的边缘效应，电容器内电场的空间分布是均匀的，因此板间位移电

流2d d d R j S j I s

d π=?=?，由此得位移电流密度的大小为

22c 2

d d m A 9.15-?===R

I

R I j ππ