第十二章 电磁感应电磁场(一)作业答案

第十二章 电磁感应 电磁场（一）

一．选择题

[ A ]1.（基础训练1）半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ，当把线圈转动使其法向与B 的夹角为α=60?时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动时间的关系是：

(A) 与线圈面积成正比，与时间无关. (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比. (C) 与线圈面积成反比，与时间无关. (D) 与线圈面积成反比，与时间成正比. 【解析】

[ D ]2.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解析】

dt dI L

L -=ε，在每一段都是常量。dt

dI ［ B ］3.（基础训练6）如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B ?

平

行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动时，abc 回路中的感应

电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为

(A) =0，U a – U c =221l B ω (B) =0，U a – U c =22

1l B ω- (C) =2l B ω，U a – U c =2

2

1l B ω (D) =2l B ω，U a – U c

=22

1

l B ω-

【解析】金属框架绕ab 转动时，回路中

0d d =Φ

t

，所以0=ε。 2012c

L a c b c bc b U U U U v B d l lBdl Bl εωω→→→

??-=-=-=-??=-=- ???

??

［ C ］5.（自测提高1）在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半经

为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且r a >>。当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为：

(A))1

1(220r a a R Ir +-πμ (B)

a

r a R Ir +ln 20πμ (C)aR Ir 220μ (D) rR Ia 220μ 【解析】直导线切断电流的过程中，在导线环中有感应电动势大小：t

d d Φ

=

ε

B ?

a

b c

l

ω

a

I

r

o

R q 2

1

φφ-=

感应电流为：t

R R

i d d 1Φ

=

=

ε

则沿导线环流过的电量为：?Φ=?Φ=

=??

R

t t R t i q 1

d d d 1d

aR Ir R r a I R S B 212120200μππμ=??=??≈

［ C ］6.（自测提高4）有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r 1和r 2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为1和2．设r 1∶r 2=1∶2，1∶2=2∶1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L 1∶L 2与磁能之比W m 1∶W m 2分别为：

(A) L 1∶L 2=1∶1，W m 1∶W m 2 =1∶1． (B) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶1． (C) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶2． (D) L 1∶L 2=2∶1，W m 1∶W m 2 =2∶1． 【解析】自感系数为l r n V n L 2

2

2

πμμ==，磁能为22

1LI W m =

［ B ］7.（附录C3）在圆柱形空间内有一磁感应强度为B ?的均匀磁场，如图所示，B ?

的

大小以速率dB/dt 变化。有一长度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab ）和2（b a ''），则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为(A)012≠=εε (B).

12εε>(C) 12εε<(D)012==εε

【解析】ab oab dB S dt ε?=

，a b oa b dB S dt

ε''''?= 因为 oa b oab S S ''

??>，所以a b ab εε''>.

二. 填空题

8.（基础训练9）一自感线圈中，电流强度在 0.002 s 内均匀地由10 A 增加到12 A ，此过程中线圈内自感电动势为 400 V ，则线圈的自感系数为L =L =__0.4H__。 【分析】

L dI

L

dt ε=- H

L L

4.0002.010

12400=--=-

9.（基础训练14）载有恒定电流I 的长直导线旁有一半圆环导线cd ，半圆环半径为b ，环面与直导线垂直，且半圆环两端点连线的延长线与直导线相交，如图。当半圆环以速度沿平行于直导线的方向平移时，半圆环上的感应电动势的大小为0ln 2I a b

v a b

μεπ+=-。 【解析】=0d dt

?ε=-

i a a'

O

b b'

l 0

?

B ?

00ln 22d

a b cd cd c

a b I I a b v B d l v dx v x a b μμεεππ→→→

+-+??==??=-=- ?-??

?

?

10.（基础训练15）如图12-20所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在载电流为I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由

下落，则t 秒末导线两端的电势差=-N M U U a

l

a Igt +-ln 20πμ 【解析】金属杆MN 两端的动生电动势为：

()00ln

22N a l MN M a I Igt a l

v B dx v dx x a μμεππ++=??=??=??v v v

所以金属杆MN 两端的电势差为：

0ln

2MN MN Igt a l

U a μεπ+=-=-

11.（基础训练16）如图12-21所示，aOc 为一折成∠形的金属导线(aO =Oc

=L )，位于xy 平面中；磁感强度为B ?

的匀强磁场垂直于xy 平面．当aOc

以速度v ?

沿x 轴正向运动时，导线上a 、c 两点间电势差U ac =θsin Bvl ；

当aOc 以速度v ?

沿y 轴正向运动时，a 、c 两点的电势相比较, 是___a__

点电势高．

【解析】当沿x 轴运动时，导线oc 不切割磁力线，c o U U =， θsin Bvl U U ao oc ==

当沿y 轴运动时，Bvl U oc =，oc oa U Bvl U <=θcos 所以a 点电势高。

12.（自测提高9）如图所示，一半径为r 的很小的金属圆环，在初始时刻与一半径为a （r a >>）的大金属圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流I ，方向如图，如果小圆环以匀角速度ω绕其任一方向的直径转动，并设小圆环的

电阻为R ，则任一时刻t 通过小圆环的磁通量φ=

；小圆环中

的感应电流i =。

【解析】

)cos(2cos 2

0t r a I μBS ωπθ=

=Φ

)

sin(212

0t Ra r I μdt d ΦR I ωωπ=-=

13．（自测提高10）在一个中空的圆柱面上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′(如图)．已知每个线圈的自感系数都等于0.05 H ．若a 、b 两端相接，a ′、b ′

接入电路，则整个线圈的自感L =_0_．若a 、b ′两端相连，a ′、b 接入电路，则整个线圈的自感L =__0.2H _． 若a 、b 相连，又a ′、b ′相连，再以此两端接入电路，则整个线圈的自感L =_0.05 H __． 【解析】

a a ′ b

M N a

l

x

v ?B ? x v ? c a θ

×

××

×

××

×

×

×

图12-21

a 、

b 两端相接，a ′、b ′接入电路，反接，21212L L L L L -+=； a 、b ′两端相连，a ′、b 接入电路，顺接，21212L L L L L ++=；

a 、

b 相连，又a ′、b ′相连，再以此两端接入电路，不变。 三. 计算题

14.（基础训练18）如图12-26所示，一长直导线，通有电流I ，在与其相距处放有一矩形线圈，共N 匝。线圈以速度v 沿垂直于长导线的方向向右运动，求： （1） 如图所示位置时，线圈中的感应电动势为多少？

（2） 若线圈不动，而长导线通有交变电流),(100sin 5A t I π=线圈中的感应电动势为多少？

【解析】

（1）无限长直导线的磁感应强度为02I

B r

μπ=

考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=， 则：12εεε=-=

)

(2)1

1(200a d d Ilav N a d d Ilv N +=+-πμπμ。 (2) 无限长直导线的磁感应强度为02I

B r

μπ=

则矩形线圈内的磁通量为：0000ln sin ln

222d a

d

I I l I l d a d a

l dr t r d d

μμμωπππ+++Φ=

?==?

， ∴00cos ln 2N I l d d a

N t dt d

μεωωπΦ+=-=-。 ),(100sin 5A t I π=d

a

d t l N i +-=ln

100cos 2500πμε。 15.（自测提高13））如图12-31所示，长直导线AB 中的电流I 沿导线向上，并以d I /d t =2 A/s 的变化率均匀增长．导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示．求此线框中产生的感应电动势的大小和方向．(=4×10-7 T ·m/A)

【解析】如图建立坐标系，则直角三角形线框斜边方程为

20.2y x =-+

在x 处取一宽度为dx 的小面元，则阴影面积为dS=ydx ，此处的磁感

应强度为()

020.05I

B x μπ=

+，穿过直角三角形线框所围面积的磁通量为

()()0.1

0.1000

020.220.0520.05S

I I x B dS ydx dx x x μμππ-+Φ=?==++???

?r r

000.10.150.15

ln

0.05

I

I

μμπ

π

??=-+

82.5910 ()I Wb -=? 三角形线框中的感应电动势的大小为

882.5910 5.1810d dI

V dt dt

ε--Φ=-

=?=? 根据愣次定律可知ε的方向为逆时针绕行方向。

16.（自测提高18）无限长直导线通以电流I ．有一与之共面的直角三角形线圈ABC ，已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，

如图所示．若线圈以垂直导线方向的速度v ρ

向右平移，当B 点与长直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势大小和感应电动势的指向． 【解答】

解一：,tan b ABC a

θθ∠==

设 000cos()sin ln 222cos 2A

A d a BA

B B d I I I dx b d a v B d l v dl v v x x a d μμμπεθθππθπ→→→

++??=??=-== ??????02()C

AC

A I v

B d l v b d a μεπ→→→

??=??=- ?+??

? 0C

BC

B v B d l ε→→→

??=??= ???

? 00ln 22()

BA AC CB I I

b d a v

v b a d d a μμεεεεππ+∴=++=-+ 解二：x y x

I

s B Φd π2d d 0μ=

?=?

?，

当B 点与长直导线的距离为任意值r 时，有：

a

b

r x y =- r

a

r r a

Ib

Ib

dx r x a

b

x I a

r r

+-

=

-=?

+ln

π2π

2)(π2000μμμφ ??

? ???+-+?+=-

=dt dr a r a dt dr r a r a Ib dt d ln π20μφεi

其中，

v dt

dr

=，时当d r =，??? ??+-+=a d a d a d a Ibv ln π20μεi ，

方向：BACB

17.（自测提高19）求长度为L 的金属杆在均匀磁场B ?

中绕平行于磁场方向的定轴OO ＇转动时的动生电动势．已知杆相对于均匀磁场B ?

的方位角为，杆的角速度为，转向如图。

【解答】在距O 点为l 处的d l 线元中的动生电动势为

l B v d i ??ρd )(??=ε

θ

ωsin l v =

???π=?=L

d cos )21sin(d )(l vB l B v L i αε?

?ρ

θωθωθθωΛ

220

2

sin 2

1

d sin sin d sin BL l

l B l lB L

===??

方向沿着杆指向上端．

18.（附录D20）均匀磁场B ?

被限制在半径R =10 cm 的无限长圆柱空

间内，方向垂直纸面向里．取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示．设磁感强度以d B /d t =1 T/s 的匀速率增加，已知π=

3

1

θ，cm 6==Ob Oa ，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。

【解答】由法拉第电磁感应定律有感生电动势大小

）

（）（V dt dB oa ab R S dt dB dt d 3

-2221068.31

6

cos 06.02131.0212cos 2121?-=???-??-=??? ???--=-=-

=π

πθθφε 负号表示感生电动势逆时针绕向。

[附加题]20.（自测提高17）有一很长的长方的U 形导轨，与水平面成角，裸导线ab 可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位

于磁感强度B ?

竖直向上的均匀磁场中，如图12-35所示．设导

线ab 的质量为m ，电阻为R ，长度为l ，导轨的电阻略去不计，abcd 形成电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab 下滑的速度v

d

c

b

a θ

l B ?

图12-35

× × × ×

R

B ? c

b d

a

O

θ

与时间t 的函数关系． 【解答】sin()cos 2

Bvl Bvl π

εθθ=+=

回路中的电流：cos Bvl I R R

ε

θ

=

=

导线ab 受安培力：

安培力的方向如图所示，水平向右。

ab 棒沿斜面的动力学方程为：

θθcos sin B F mg ma -=

mR vl B g dt dv θθ222cos sin -= ??=-

t v dt mR

vl B g dv

222cos sin θθ

()()

2

cos cos sin 12

θθ

θBl mgR e v t

mR

Bl ???????

?-=-

R cos θ

vl B IlB F 22B =

=2222222220

0cos (sin )cos cos sin v t B l d g v mR mR dt B vl B l g mR

θθθθθ--=-??22

2

222cos sin ln cos sin B l g v

mR mR t B l g θθθθ--=222222

cos cos sin sin B l t

mR

B l g v mR e g θθ

θθ

--=222cos 222

cos 1sin B l t mR B l v e mgR θθθ--=

222cos 222

cos 1sin B l t mR

B l v e mgR θθθ-=-