绝对值不等式的解法教学设计.doc
《绝对值不等式的解法》教学设计
富源四中朱树平
课题：绝对值不等式的解法
数学学生课
科目教学对象 1
时
提供者朱树平单位富源四中
一、教学目标
熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力
二、教学内容及模块整体分析
含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。
三、学情分析
学生基础差，少讲多练，以基础题为主。
四、教学策略选择与设计
讲练结合，多媒体展现。
五、教学重点及难点
熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．
六、教学过程
教师活动学生活动
问题 :
你能一眼看出下面两个不等式的解集吗设计意图
让学生熟练掌
提问的方式总结前面学过的知识
一般地，可得解集规律:
形如 |x|a (a>0) 的含绝对值的不等式的解集 :
不等式 |x| 课堂练习一： 试解下列不等式： (1) | 3 2 x |≥ 7 握 熟练地掌握方 法 不等式 |x|>a的解集为{x|x<-a或x>a } (2) | x 2 3x | 4 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集 易得 . 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式 . (3) | 3 x 2 | 1 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化： 试解不等式 |x-1|+|x+2| ≥ 5 利用 |x-1|=0 ， |x+2|=0 的零点， 将数轴分为三个区间，然后在这 三个区间上将原不等式分别化为 不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想． ⑴ f x a(a 0) f x a 或 f x a ； ⑵ f x a(a 0) a f x a ； ⑶ f x g(x) f x g(x)或f x g(x)； 更熟练的掌握 ⑷ f x g(x) g(x) f x g(x)； 一般情况 ⑸ f x g x f x 2 g x 2 熟练掌握零点 分段法在解不 等式中的应 用。 x x ≥2或x ≤ 3 学习小结 : 1、解不等式 |2 x-4|-|3 x+9|<1 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。 主要方法有： 1、同解变形法 :运用解法公式直接转化； 2、分类讨论去绝对值符号：2、对任意实数x，若不等式 |x+ 1| |x 2|>k恒成立，则k 的取值范围是（） ( A)k 3 ( B)k 3 (C )k ≤ 3 (D) k ≤ 3 ①含一个绝对值符号直接分类； 3.不等式x 4 x 3 a 有解的条件是 () ②含两个或两个以上绝对值符号: ( A)0 a 1 零点分段法确定 . ( B )a 1 10 3、数形结合（运用绝对值的几何意义） ; 利用函数图象来分析. 1 (C) a (D )a 1 10 七、板书设计 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗 （ 1）x1 ⑵ x 1 一般地，可得解集规律: 形如 |x| 不等式 |x| 不等式 |x|>a的解集为{x|x<-a或x>a } 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得. 2、课堂练习一： 试解下列不等式： (1) | 3 2 x|≥ 7(2) | x 23x | 4 (3) | 3x 2 | 1 3、课堂练习二(挑战 )： 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥ 5 4、学习小结 : 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。 主要方法有： 1、同解变形法:运用解法公式直接转化； 2、分类讨论去绝对值符号： ①含一个绝对值符号直接分类； ②含两个或两个以上绝对值符号:零点分段法确定. 3、数形结合（运用绝对值的几何意义）; 4、利用函数图象来分析. 5、练习 : 解不等式 |2x-4|-|3x+9|<1 2.对任意实数 x，若不等式 |x+1| |x 2|>k 恒成立，则k 的取值范围是（）( A)k 3 (B)k 3 (C )k ≤ 3 (D) k≤ 3 3.不等式x 4 x 3 a ) 有解的条件是 ( ( A)0 a 1 ( B )a 1 (C )a 1 (D ) a 1 10 10 教学目标： 1、使学生了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值。 2、能利用数形结合思想来理解绝对值的几何定义；理解绝对值非负的意义。 3、能利用分类讨论思想来理解绝对值的代数定义；理解字母a的任意性。 4、经历绝对值概念的形成，体会数形结合的思想方法，丰富解决问题的策略。 情感态度与价值观 教学重点：初步理解绝对值的意义，会求一个有理数的绝对值； 教学难点：有理数的绝对值的代数意义及其应． 教学过程： 一、（一）复习旧知 1、什么是数轴？ 2、数轴的三要素是什么？ （二）情景导入： 两辆汽车从同一处O出发，分别向东、向西方向行驶10千米，到达A、B两处（如图），它们行驶的路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？（考虑的是路程，而不是方向。） A 10 O 10 B 西 东 二、探究新知 1、将上述问题画在数轴上（直接呈现） 老师直接给出绝对值的概念： 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 注意： a 可以是正数、零或者负数。字母代表任意数。 例如-10和10的绝对值都是10，记作|-10|=10，|10|=10 2、在数轴上标出到原点距离是3个单位长度的点，这样的点有几个？ 一个学生板演，其他学生在练习本上画。 （学生发现表示3的点和表示－3的点到原点的距离都是3。） 尝试总结发现：互为相反数的两个数的绝对值相等。 3、求下列各数的绝对值 |+2|= |-2|= |+|= ||= |+15|= |-15|= 10 0 -10 A B |0| = （要求：独立完成） 思考：一个数的绝对值与这个数的关系？ 学生分组讨论、交流并发言，老师总结 归纳：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．谁来说说|a|是什么数？非负数（重点说明绝对值的非负性|a| ≥ 0） 说明理由：距离的非负性 组内交流：小组内每人说出一个具体数值让其他三人说出这个数的绝对值。 思考：若把这个数用a表示，你能试着把上面这三句话转化为数学语言吗？ 学生分组讨论 4、尝试用字母a表示： 当a ＞ 0时，|a| = a 当a = 0时， |a| = 0 当a ＜ 0时，|a| = -a 5、思考 的数有几个?各是什么? (1)绝对值是1 2 含绝对值的不等式教案 一、条件分析 1．学情分析 本课是开学第一课，学生对上学期的知识已经比较陌生，而本课的内容要以上学期的不等式内容为基础，是不等式内容的提升，所以本课先复习上学期的内容，让学生顺利过渡到新知识中来。 2.教材分析 本节教材首先分别讨论含有绝对值的等式的三种情况，从而推导出含有绝对值的不等式的公式，然后例题加以巩固。由于我校学生基础薄弱，对于理论性的知识掌握不牢固，所以我们在教授的时候从简单的具体的例子推导含有绝对值的不等式的公式，由浅入深，层层递进，符合学生的认知。 二、三维目标 知识与技能目标 } A层： 1.理解绝对值的概念； 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式； 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想； 5.通过研究含有绝对值不等式，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和辩证思维能力． B层： 1.理解绝对值的概念； ? 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式； 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想. C层： 1.理解绝对值的概念； 2.了解绝对值不等式的解法； 3.会解含有绝对值的不等式. 过程与方法目标 ( 复习法、讲授法、练习法、自讲法 情感态度与价值观目标 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时培养辩证思维能力。 三、教学重点 含有绝对值不等式的解法 四、教学难点 将含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式 五、主要参考资料： ( 中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。 六、教学进程： 1.复习导入 绝对值的含义 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，-5的绝对值是5。 正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值还是0。 2.讲授新课 （1）求下列各数的绝对值 ￥ 3、- 4、1 2、1- 2 1．3绝对值 一、教学目标 1．知识与能力：借助于数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，初步学会求绝对值等于某一个正数的有理数。 2．过程与方法：通过从数形两个侧面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法。 通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义。 3．情感态度与价值观：通过应用绝对值解决实际问题，培养学生浓厚的学习兴趣，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。 二、教学重点与难点 教学重点：绝对值的概念和求一个数的绝对值 教学难点：绝对值的几何意义及求绝对值等于某一个正数的有理数。 三、教学过程 1、巩固复习; 什么是数轴?互为相反数的两个数在数轴上有什么特点？ 2、引入新课： （1）甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正。两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10Km到达A处，记做＿＿＿＿＿Km，乙车向西行驶10Km 到达B处，记做＿＿＿＿＿Km. （2）用多媒体动画显示：两只小狗分别距原点多远? 在实际生活中，有时存在这样的情况，无需考虑数的正负性质，比如：在计算小狗所跑 的路程中，与小狗跑的方向无关，这时所走的路程只需用正数，这样就必须引进一个新的概念———绝对值。 绝对值的概念 绝对值的几何定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 比如：－5到原点的距离是5，所以－5的绝对值是5，记|－5|=5；5的绝对值是5，记做|5|=5。 注意：①与原点的关系②是个距离的概念 3、新课应用： 例1、求下列各数的绝对值 －1.6 , 8 5 , 0, －10, ＋10 解：|－1.6|=1.6 | 8 5 |= 8 5 | 0 |=0 |－10 |=10 |＋10 |=10 2、填表 相反数绝对值 2.05 1000 7 9 －7 9 －1000 绝对值教学设计 一、学生起点分析： 学生的知识技能基础：学生已经认识数轴，并且知道了相反数的概念，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。并初步体会到了数形结合的思想方法。 学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、学习任务分析： 1．地位和内容 绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。 借助数轴引出对绝对值的概念，并通过计算、观察、交流、发现绝对值的性质特征，利用绝对值来比较两个负数的大小。让学生直观理解绝对值的含义，不要在绝对值符号内部出现多重符号和字母，多鼓励学生通过观察、归纳、验证2．教学重点和难点 理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。 3. 教学目标 知识与技能目标： （1）、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。 （2）、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 过程与方法目标： （1）、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的； （2）、通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识； （3）、通过对“议一议”的思考和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法；通过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝试评价两种不同方法之间的差异。 情感态度与价值观： 借助数轴解决数学问题，有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想。通过“想一想”“议一议”“做一做”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。 三、教学过程设计： 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：合作交流，解读探究；第三环节：应用迁移，巩固提高；第四环节：总结反思，拓展升华；第五环节：布置作业。 含有绝对值的不等式 教学目标 （1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法； （2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法； （3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法； （4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神． ②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点． 三、教学建议 （1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例． （2）课前复习应充分．建议复习：当时 ； ； 以及绝对值的性质： ，为证明例1做准备． （3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？ 大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论． （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨． （5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论． （6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神． 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点 绝对值教案 教学内容：课本第11页至第12页 教学目标： 1、借助数轴初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。 2、正确理解绝对值的代数意义和几何意义。 3、掌握绝对值的非负性、双值性。 4、渗透数形结合与分类讨论的思想。 教学重点：理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。 教学难点：正确理解绝对值的代数意义和几何意义。 教学过程： 一、 复习 1、 什么叫互为相反数？ 2、 在数轴上表示互为相反数的两点和原点的位置关系怎样？ 二、讲授新知 1、 绝对值的概念： 观察课本第11页图1.2-5得出绝对值的概念: 一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫数a 的绝对值, 记作|a| 2、 绝对值的代数意义： 试一试:（1）|+6|＝ ，|0.2|＝ ， |+8.2|＝ ； （2）|0|＝ ； （3）|-3|＝ ，|-0.2|＝ ， |-8.2|＝ . 由绝对值的意义，结合上面口答结果，引导学生归纳出： （1）的绝对值是它本身； （2）零的绝对值是零； （3）一个负数的绝对值是它的相反数． 上述式子可以表示为: (1) 当a 是正数时, |a|=____ (2) 当a=0时, |a|=____ (3) 当a 是负数时, |a|=____ 例1 求下列各数的绝对值： ．5.10,75.4,10 1,217-+- 例2 化简： ();211??? ??+- ()．3 112-- 练习： 1、第12页练习1 2、填空： （1）绝对值等于本身的数是_______,绝对值等于它的相反 数的数是__________ （2） 如果|a|=a,则a 是__________数, 如果|a|=-a,则a 是__________数 3、 绝对值具有非负性和双值性： 提问： （1）任何一个有理数都有绝对值吗？一个数的绝对值有几个？ （2）有没有一个数的绝对值等于-2？任何一个数的绝对值一定是 怎样的数？ （3）绝对值等于2的数有几个？它们是什么？ 归纳： （1） 非负性：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0（通 常也称非负数）．即对任意有理数a ，总有 ． a 0≥ （2）双值性：两个互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a| 练习： 教学小结： 和学生一起归纳本节课主要内容： 1、从数轴看，一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离． 2、一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零． 3. 绝对值具有非负性和双值性。 课堂练习： 1.填空： (1) -3的符号是______, 绝对值是____; (2) 符号是“+”号，绝对值是7的数是_____; (3) 10.5的符号是_____, 绝对值是______; (4) 绝对值是5.1，符号是“-”号的数是_____． (5)_________绝对值等于本身的数, ________绝对值等于它的相反 (6)a________时, |a|=a, a________时, |a|=-a (7) |-35.6|=________, |a|=_____(a<0) (8) |x|=5,则x=______ （9）绝对值小于4的整数有________ (10) 绝对值大于2小于5的整数有________ 2.回答下列问题： （1）绝对值是12的数有几个？是什么？ 绝对值 【教学目标】 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题. 【教学重难点】 1、重点：绝对值的概念。 2、难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 【教法与学法】 1、教法指导：创设问题情境，引起学生学习兴趣，让学生通过自主合作，观 察、探究知识的产生、发展过程。利用数形结合思想，引入绝对值概念，形象生动。归纳有理数的绝对值时，利用分类讨论思想对正数、0，负数的绝对值进行总结。利用类比的方法，把数轴上数的大小与温度计中度数的高低进行比较，总结出负数比较大小的规律。讲解例题时，让学生先结合所学知识点进行自主探究，然后教师再规范、总结解题过程。 2、学法指导：通过小组交流、合作、自主探究知识的产生、发展过程，探索 各个知识点之间的联系，充分利用已学的数形结合思想，并体会分类讨论思想、类比思想方法，以此来加深理解绝对值的概念，以及负数比较大小的规律。 【探究课堂】 【教学准备】 教师：刻度尺，小黑板或多媒体，温度计图片 学生：刻度尺 【教学过程】 一、情境引入 问题两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处如图，它们的行驶路线相同吗它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗 学生讨论回答 教师总结：两辆车的行驶路线相反，它们行驶的路程相同都是10km。 我们把上面这个过程看成一个数轴，那么就有数轴上表示-10和10的两个点到原点的距离都是10。 数轴上，一个点到原点的距离，是“形”的描述，那么对于“数”是表示一个数的绝对值。下面我们一起来学习今天的新知识——绝对值。 二、互动新授 问题1如图数轴上有A、B、C、D、四个点， 点A表示的数是（），点A到原点的距离是（）个长度单位； 点B表示的数是（），点B到原点的距离是（）个长度单位； 点C表示的数是（），点C到原点的距离是（）个长度单位； 点D表示的数是（），点D到原点的距离是（）个长度单位； 学生活动：小组合作探究 教师总结：点A-22；点B22；点；点； 数学上定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。如上面的-2的绝对值是2；2的绝对值也是2。还有与的绝对值都是。用绝对值符号表示为：︱-2︱=2，︱2︱=2， ︱︱=，︱︱=，显然︱0︱=0 设计意图：利用学生故有知识，从特殊到一般来理解绝对值“形”的含义。问题2a的绝对值等于什么 学生活动：根据问题2的结论，来总结任意正、负数a的绝对值怎么表示。师生合作探究：a在这里可能是正数、0、负数，那么我们应该分类来讨论a 的绝对值，结果去掉绝对值符号并用含a的式子来表示。我们可以利用绝对值定义写成下面的式子： （1）当a是正数时，︱a︱=_____； 含绝对值的不等式 教学目标 1.认知目标 （1）掌握|x| 教学过程设计 教师活动学生活动设计意图 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 口答 a (a>0） |a|= 0 (a=0) -a (a<0) 绝对值的概念是解|x|>a与 |x| 《绝对值》教案 贵州省织金县三塘中学：程佳 一、教学目标 1、知识与技能 （1）、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。 （2）、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 2、过程与方法目标： （1）、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的 （2）、通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识； （3）、通过对“做一做”“议一议”“试一试”的交流和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法；通过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝 试评价两种不同方法之间的差异。 3、情感态度与价值观： 借助数轴解决数学问题，有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想。通过“做一做“议一议”“试一试”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。 二、教学重点和难点 理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。 三、教学过程： 1、教师检查组长学案学习情况，组长检查组员学案学习情况。（约5分钟） 2.在组长的组织下进行讨论、交流。（约5分钟） 3、小组分任务展示。（约25分钟） 4、达标检测。（约5分钟） 5、总结（约5分钟） 四、小组对学案进行分任务展示 （一）、温故知新: 前面我们已经学习了数轴和数轴的三要素，请同学们回想一下什么叫数轴？数轴的三要素什么？ （二）小组合作交流，探究新知 1、观察下图,回答问题: （五组完成） 绝对值不等式的解法 教学设计 《绝对值不等式的解法》教学设计 富源四中朱树平 课题：绝对值不等式的解法 科目数学教学对象学生课 时 1 提供者朱树平单位富源四中 一、教学目标 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力 二、教学内容及模块整体分析 含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。 三、学情分析 学生基础差，少讲多练，以基础题为主。 四、教学策略选择与设计 讲练结合，多媒体展现。 五、教学重点及难点 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题． 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 提问的方式总结前面学过的知识问题: 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗? ⑴1 x< ⑵ 1 x> 让学生熟练 掌握 一般地，可得解集规律: 形如|x| 注：如果0 a≤，不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()() f x a a f x a f x a (0) >>?><- 或； ⑵()() (0) f x a a a f x a <>?-<<； ⑶()()() f x g x f x g x f x g x ()()() >?><- 或； ⑷()() ()()() f x g x g x f x g x ?> ???? 更熟练的掌 握一般情况 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥5 利用|x-1|=0，|x+2|=0的零 点，将数轴分为三个区间， 然后在这三个区间上将原不 等式分别化为不含绝对值符 号的不等式求解．体现了分 类讨论的思想． {} 23 ≥≤ x x x- 或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。 学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。 主要方法有： 1、同解变形法:运用解法公式直接转化； 2、分类讨论去绝对值符1、解不等式|2x-4|-|3x+9|<1 2、对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是（） ()3 A k<()3 B k<-()3 C k≤()3 D k- ≤ 3.不等式有解的条件是 2 (2)|3|4 x x -< (3)|32|1 x-> 43 x x a -+-< 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 绝对值教案设计 课题：§1.2.4 绝对值 学习目标: 1.初步理解绝对值的概念. 2.会求一个数的绝对值，并利用绝对值解决实际问题. 3.理解绝对值的非负性. 重点难点: 1.重点：对绝对值概念的理解及运用. 2.难点：对绝对值非负性的理解. 课时安排：2课时 学习过程，（学法指导） 一、学习准备: (一)已学知识: 上一节我们学过互为相反数的两个数到原点的距离相等. 1、什么叫相反数？互为相反数的两个数的代数及几何特征如何？ ２、到原点的距离为2.5的点有几个？它们有什么特征？ (二)相关知识: 距离表示点与点之间的线段长度.距离总是一个非负数。 二、新课导学 ※ 自学探究（阅读教材P11~ P13） 探究任务一： 问题探究：绝对值的概念和表示方法。 1. 观察：－5与5是相反数，把它们在数轴上表示出来，这两个数到原点的距离是多少？ －5与5在数轴上所表示的点到原点的距离是个单位长度，它们的符号不同。我们把这个距离5叫做＋5和－5的绝对值。 概括： 一般地，数轴上表示数a的点叫做数a的绝对值(absoute value)，记作：。读作a的绝对 值. 例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。 2．试一试：你能从中发现什么规律? (1)∣＋1∣＝_____ (2)| +2.5 |=______；(3) |+6|=_____； (4)∣－5∣＝____ (5)∣－0.5∣ ＝____(6) |-0.1|=____；(7) |-101|=____； (8)∣0∣ ＝_____ 思考：上述各数的绝对值与这些数本身有什么关系？ 正数的绝对值是 ; 负数的绝对值 是 ; 0的绝对值是. 小结：代数意义，用式子表示为： |a|= 所以|a| 0（绝对值的非负性） 3.知识延伸： （1）－3的符号是_______，绝对值是______；（2）＋3的符号是_______，绝对值是______； （3）－6.5的符号是_______，绝对值是______；（4）＋6.5的符号是 _______，绝对值是______ 在上一节课中我们规定只有符号不同的两个数称互为相反数。今天学习了绝对值以后，你能给相反数一个新的解释吗？ 《绝对值不等式的解法》教学设计 富源四中朱树平 课题：绝对值不等式的解法 科目数学教学对象学生课 时 1 提供者朱树平单位富源四中 一、教学目标 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力 二、教学内容及模块整体分析 含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。 三、学情分析 学生基础差，少讲多练，以基础题为主。 四、教学策略选择与设计 讲练结合，多媒体展现。 五、教学重点及难点 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题． 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 提问的方式总结前面学过的知识问题: 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗? ⑴1 x< ⑵ 1 x> 让学生熟练掌 握 一般地，可得解集规律: 形如|x| x>a } 注：如果0 a≤，不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()() f x a a f x a f x a (0) >>?><- 或； ⑵()() (0) f x a a a f x a <>?-<<； ⑶()()() f x g x f x g x f x g x ()()() >?><- 或； ⑷()() ()()() f x g x g x f x g x ?> ???? 更熟练的掌握 一般情况 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥5 利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点， 将数轴分为三个区间，然后在这 三个区间上将原不等式分别化为 不含绝对值符号的不等式求 解．体现了分类讨论的思想． {} 23 ≥≤ x x x- 或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。 2 (2)|3|4 x x -< (3)|32|1 x-> 2.2相反数与绝对值（导学案） 青岛版七年级数学（上） 学习目标：1.了解相反数的意义；会求已知数的相反数； 2.了解绝对值的含义；会求有理数的绝对值； 3.会利用绝对值比较两个负数的大小。 重点：会求有理数的相反数和绝对值。 难点：能正确理解绝对值在数轴上表示的意义。 教材分析：相反数和绝对值是数学中的重要概念，它们的应用十分广泛。我们不仅要深入理解这两个概念，灵活运用它们来解题，而且在应用过程中要学会其中的思想方法。教学过程中借助数轴理解绝对值的意义，并会求绝对值。明确绝对值和数轴的联系，并会利用绝对值比较有理数的大小。初学绝对值用语言叙述的定义，便于学生记忆和运用，以后逐步改用解析式表示绝对值的定义，在教学中突出一种定义即可。 教学准备：学案导学 课前案：（有学生提前完成并由老师批阅，了解情况） 一相关知识链接： 1.指出数轴上各点分别表示什么数： A B C D 2. 在所给数轴上标出表示下列各数的点： 2.5, -2.5;3, -3; 二新知预习： 1) 叫做相反数； 2）叫做绝对值； 3）一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。 4）两个负数，绝对值大的。 课堂实录 I 导入语 师:同学们好,看了大家做的“课前案”中的内容，老师感到很是欣慰.看来同学们都做了很充分的预习，今天这节课我就跟同学们一起共同来进一步的探讨一下“相反数与绝对值”（板书课题）请大家看“学案” 生：阅读学习目标。 II 结合学案进行新知学习 课中案 （一）知识点一相反数的认识1.自主探究: （1）观察以下几组数:像-5和5, 3.5和-3.5, — 1 1 5 和 1 1 5 .它们是只有不同的两 个数. （2）请你将以上三组数表示在下面的数轴上。 2.归纳总结： 师：我们把只有符号不同的两个数，叫做互为相反数；0的相反数是 0 ； 【点拨引导：（1）互为相反数中的“相反”表示只有符号相反，如5与-5互为相反数，也就是说两个数性质符号不同，符号不同的意思是说一正一负，除了符号不同以外完全相同。）（2）“0的相反数是0”也是相反数定义的一部分，不能把它漏掉。（3）在数轴上，表示护卫相反数的两个点分别在原点的两旁，并且到原点的距离相等。】 生，记住相反数的定义 3.有效训练：（口答） （1）分别说出6.9， -12，-4/5，0 的相反数。 （2）分别说出-（+20），-（-0.09），-(+3 8 )各是哪些数的相反数。 （3）小游戏：同位之间互相配合，一个同学说出一个数，另一个同学说出他的相反数。（通过练习，理解相反数的定义。） （二）知识点二：绝对值的认识 1、观察 A B C D 图中的A和D；B和C.所表示的数有什么相同点和不同点？. 生：A表示-4， D表示+4，它们只有符号不同，是互为相反数； B表示-2， C表示+2，它们也只有符号不同，也是互为相反数。 师：继续观察，它们到原点的距离是？ 生：A点和D点到原点的距离都是4；B点和C点到原点的距离都是3. 2、继续探究：9到原点的距离是，—9到原点的距离也是； 到原点的距离等于9的数有个，它们的关系是一对 . 3、归纳总结： 师：我们把4叫做4和-4的绝对值；2叫做2和-2的绝对值；9叫做9和-9的绝对值； 那么0是的绝对值？ 生：0是0的绝对值。 师：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。我们通常把有理数a的绝对值记作：∣a∣（学生记住） 4、例题解析：求8，-5.6 ，0，-3，－3 4 的绝对值。（教师演示） 第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本 1.绝对值不等式的性质：(a ∈R ) (1)|a |≥0(当且仅当a ＝0时取“＝”)； (2)|a |≥±a ； (3)－|a |≤a ≤|a |； (4)|a 2|＝|a |2＝a 2； (5)|ab |＝|a ||b |，|a b |＝|a ||b | . 2．两数和差的绝对值的性质： |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a ＋b |＝|a |＋|b |?ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |?ab ≤0； |a |－|b |＝|a ＋b |?(a ＋b )b ≤0； |a |－|b |＝|a －b |?(a －b )b ≥0. 3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下： (1)|f (x )|＜a (a >0)?－a ＜f (x )＜a ； (2)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＜－a 或f (x )＞a ； (3)|f (x )|＜g (x )?－g (x )＜f (x )＜g (x )； (4)|f (x )|＞g (x )?f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )； (5)|f (x )|＜|g (x )|?[f (x )]2＜[g (x )]2. (6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 考点陪练 1.设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |； ④|a ＋b |>|a |－|b |. 一、复习铺垫 1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0, ||0,0,,0.a a a a a a >??==??- 说明 若在x 的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去． 练1．解下列方程：｜x+3｜-｜x -1｜=x+1； 例2 解不等式：13x x -+-＞4． 解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1 <绝对值>教学设计 教学目标： 1．借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。 2．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 3．体验数学的概念，法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想。 教学重难点： 重点：绝对值的概念。 难点：绝对值概念的灵活应用。 教学过程: 一．复习引入 首先让学生画一条数轴，借助数轴思考回答。 数轴上有一点在原点的右边且距原点的距离是２，那么这一点所表示什么数？（老师变式问题，学生思考回答） 教师说明： 数轴上表示的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所表示的数的正负性无关。（这就是绝对值） 二．讲授新课 两辆汽车从同一处Ｏ出发，分别向东，西方向行驶１０ｋｍ，到达Ａ，Ｂ两处，它们的行驶路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段的长度）相同吗？（出示幻灯片） （观察并思考，用数轴表示刚才的图形。） 定义： 一般地，数轴上表示数ａ的点与原点的距离叫做ａ的绝对值。记作︱ａ︳． 强调：数ａ可以是正数，负数，０. 合作交流，探究规律： 求下列各数的绝对值，并归纳有理数的绝对值有什么规律。 （一）３，７，2.5，；（二）-3，-7，-3.3，- （三）0 绝对值法则： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. ∣a∣=a(a是正数时) ∣a∣=-a(a是负数时) ∣a∣=0(a=0时) 想一想：互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？ 结论：互为相反数的两个数的绝对值相等。 三课堂练一练： 1.有“＞”“＜”“=”填空。 ∣-5∣___0 ∣+3∣____0 ∣+8∣___∣-8∣ ∣-5∣___∣-8∣ 【课题】2.4含绝对值的不等式 【教学目标】 知识目标： （1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法． 能力目标：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，以及逻辑推理能力，考察学生思维的积极性和全面性，领悟分类讨论、化归和数形结合的数学思想方法，培养数学理解力，化归能力及运算能力，初步学会用数学思想指导数学思维。 情感目标：激发学生学习兴趣，鼓励学生大胆探索，向学生渗透“具体－抽象－具体”、“未知－已知－未知”的辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质和学习习惯。 【教学重点】 （1）不等式x a <或x a >的解法 ． （2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学难点】 利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 教学方法：主要采取启导式教学，通过对初中不等式知识及绝对值的含义和几何意义等相关知识的学习引入，在教师指导下由实例引出解绝对值不等式的实际意义，导出解决含绝对值不等式的解法这一研究主题。 【教学设计】 （1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力； （4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 1-2课时．(80分钟) 【安全教育：清点人数】 (2,)+∞（如图（ 明确新知 (),a +∞．a （0a >）的解集．（2） （1） 《绝对值》教学设计 教学目的：通过数轴上的点与原点的距离引出有理数的绝对值的概念。 借助数轴理解绝对值的意义，能准确熟练地求一个有理数的绝对值，能更深刻地 理解相反数的概念。 向学生渗透数形结合思想和分类讨论的思想，让学生领略到数学的奥妙，从而激 起他们的好奇心和求知欲望。 教学重点：求一个数的绝对值。 教学关键：绝对值定义的得出、意义的理解及应用。 教学准备：教师准备：1.多媒体课件 2.直尺 学生准备：练习本. 直尺.铅笔 教学过程设计： [环节一] 教学引入 （引例1）教师用多媒体展示生活问题. 学生独立思考画出数轴并回答问题 问题：小明的家在学校西边 3 km处，小丽的家在学校东边 2 km处。 你能用数轴描述上面的情景，并用有理数表示他们的位置吗？他们的家到学校的距离与家在学校的哪个方向相关系吗？ 你还能举出其他类似的例子吗? 教师引出新课（板书课题） （引例2）提问：找一找数轴的哪些点到原点的距离是相等的。 结论：1与-1到原点的距离相等、3与-3到原点的距离相等。 [环节二]概念与例题讲解 1、概念讲解 在数轴上表示-6的点与原点的距离是6，数100的点与原点的距离是100。我们叫做-6的绝对值是6，100的绝对值是100， 也就是说，把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对 值，记作|a|。 2、绝对值的非负性 例1（1）用数轴上的点表示下列各数：2 ，－4.5，，－，0 （2）观察上述各点在数轴上的位置，写出这些数的绝对值。 （3）一个数的绝对值，它的结果是什么数？ 教师在学生练习时巡视指导，参与学生的讨论，评价学生的方法，，最后在展示台上展示个别学生的解答，借以讲评和纠正。并总结出绝对值的非负性。 3、练习 （1）试一试：口答： （2）下列各数的绝对值： -15/2 , +1/10 , -4.75 , 10.5绝对值教案课程
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