不等式与绝对值不等式教案

第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本

1.绝对值不等式的性质：(a ∈R )

(1)|a |≥0(当且仅当a ＝0时取“＝”)；

(2)|a |≥±a ；

(3)－|a |≤a ≤|a |；

(4)|a 2|＝|a |2＝a 2；

(5)|ab |＝|a ||b |，|a b |＝|a ||b |

. 2．两数和差的绝对值的性质：

|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.

特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件．

|a ＋b |＝|a |＋|b |?ab ≥0；

|a －b |＝|a |＋|b |?ab ≤0；

|a |－|b |＝|a ＋b |?(a ＋b )b ≤0；

|a |－|b |＝|a －b |?(a －b )b ≥0.

3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下：

(1)|f (x )|＜a (a >0)?－a ＜f (x )＜a ；

(2)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＜－a 或f (x )＞a ；

(3)|f (x )|＜g (x )?－g (x )＜f (x )＜g (x )；

(4)|f (x )|＞g (x )?f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )；

(5)|f (x )|＜|g (x )|?[f (x )]2＜[g (x )]2.

(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．

考点陪练

1.设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( )

①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |；

④|a ＋b |>|a |－|b |.

A．①和②B．①和③

C．①和④D．②和④

解析：∵ab>0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，

∴①和④正确．

答案：C

2．如果x是实数，那么使|x|≤2成立的必要且不充分条件是( )

A．|x＋1|≤1 B．|x＋1|≤2

C．|x＋1|≤3 D．|x－1|≤1

解析：|x|≤2?－2≤x≤2.

又|x＋1|≤1?－2≤x≤0；|x＋1|≤2?－3≤x≤1；

|x＋1|≤3?－4≤x≤2；|x－1|≤1?0≤x≤2，

∴|x|≤2?|x＋1|≤3.

答案：C

3．(天津八校联考)如果a、b是满足ab≠0的实数，则下面结论一定不正确的是( )

A．|a＋b|>|a－b|

B．|a＋b|<|a－b|

C．|a－b|<||a|－|b||

D．|a－b|<|a|＋|b|

解析：当ab>0时，则A正确，B错，C错，D正确．

当ab<0时，则A错，B正确，C错，D错．

∴一定不正确的为C.

答案：C

4．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( )

A．(0,2)

B．(－2,0)∪(2,4)

C．(－4,0)

D．(－4，－2)∪(0,2)

解析：1＜|x＋1|＜3?1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1

?0＜x＜2或－4＜x＜－2.

∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．

答案：D

5．不等式|x2＋2x－1|≥2的解集是______．

解析：|x2＋2x－1|≥2?

x2＋2x－1≤－2或x2＋2x－1≥2，

由x2＋2x－1≤－2得(x＋1)2≤0，故x＝－1；

由x2＋2x－1≥2得x≤－3或x≥1.

综上知，原不等式解集为{x|x≤－3或x＝－1或x≥1}．

答案：{x|x≤－3或x＝－1或x≥1}

类型一绝对值不等式的性质应用

解题准备：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|.

【典例1】(1)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是( )

A．|x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y|

C．|x＋y|<|x－y| D．|x－y|<||x|－|y||

(2)已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b|

|a－b|

，n＝

|a|＋|b|

|a＋b|

，则m，n之间的大小关系是________．

[解析](1)解法一：特殊值法

取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2<0，

这样有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝1＋2＝3，||x|－|y||＝|1－2|＝1，

∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．

解法二：由xy<0得x，y异号，

易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，

|x－y|>||x|－|y||，

∴选项C成立，A、B、D均不成立

(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，

所以|a|－|b|

|a－b|

≤1，即m≤1，

又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，

所以|a|＋|b|

|a＋b|

≥1，即n≥1，所以m≤1≤n.

点评]绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大．注意放缩后等号是否还能成立．

类型二含绝对值不等式的解法

解题准备：若不等式中有多个绝对值符号，一般可用数形结合和区间讨论两种方法．

1．数形结合是根据绝对值的几何意义在数轴上直接找出满足不等式的数，写出解集，或构造函数，画出图象，由图象直接写出未知数的取值范围，得出解集；2．分区间讨论是先求出绝对值内因式的根，这些根把实数集分成若干个区间，在每个区间上解不等式，最后求出并集，即为原不等式的解集．

(2)解法一：|x＋1|>|x－3|，

两边平方得(x ＋1)2>(x －3)2，∴8x >8，∴x >1.

∴原不等式的解集为{x |x >1}．

解法二：分段讨论

当x ≤－1时，有－x －1>－x ＋3，此时x ∈?；

当－1－x ＋3，此时1

当x >3时，有x ＋1>x －3成立，∴x >3.

∴原不等式解集为?∪{x |13}＝{x |x >1}．

类型三 含绝对值不等式的证明

解题准备：把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法．

证法二：当a ＝－b 时，原不等式显然成立，

当a ≠－b 时，

∵|1＋a 2－1＋b 2|＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|

1＋a 2＋1＋b 2

<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|(a ＋b )(a －b )||a ＋b |

＝|a －b |，

∴原不等式成立．快速解题

技法求证：

|a|＋|b|

1＋|a|＋|b|

≥

|a＋b|

1＋|a＋b|

快解：由题中两端形式联想到函数f(x)＝

x

1＋x

＝1－1

1＋x

(x≥0)，不等式的左端＝

f(|a|＋|b|)，右端＝f(|a＋b|)．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，由|a|＋|b|≥|a＋b|≥0知原不等式成立