定积分的证明题

题目1证明题 容易

d X

证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a

解答_

X

a (x-t)f (t)dt

X

= [(X —t)df(t)

X X

=(X

一

t)f(t)

a + [

f(t)dt

X

= (^-X) f (a) + [ f (t)dt

d X

^X a

(X -t)f(t)dt

--f(a) f(x)

f (x) - f (a)。

题目2证明题

容易

由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使

4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n (

0) G 三[0,] n

》：：0

n

匚

4

4

Iim Sin n 4 J 0

Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n

=0

n _O

π

.Iim 4 Sin n XdX= 0。

—0 0

题目3证明题 一般

b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a

证明：在［a,b ］内至少存在一点?使f 「)=0。 解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使

b ［

f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0

f ( 1

) =0

在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1)

(a,b)使f ( J=0b

题目4证明题 一般

设 f (x) = f (x +a)，

na

a

证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx

解答

利用积分中值定理证明 解答

π

:Ijm 4

Sin n

XdX 二 0 n 0 0

2

na

a

2a

na

证明：

f(x)dx= f(x)dx f(x)dx

f(x)dx =0

=0

^a

=( n

丄)a

f(x) = f (x a)

2 a

a a

a

a f(x)dxx =y a 0 f(y a)dy = 0 f(y)dy = O f(x)dx 3a

a

a

2a f (x)dxx = y 2a O f (y 2a)dy = 0 f(y a)dy

a a

=.0f(y)dy = 0f(x)dx

na

a

(n 仆 f (x)dx x =y (n - 1)a O f (y (n — 1)a)dy

a

=0f(y)dy

a

0f(x)dx

na a

.0 f(x)dx= n 0f(x)dx°

题目5证明题

一般

1 1

证明：X m (I-X)n dx X n (I-X)m dx o

解答_

证:令X =1 -t 贝 UdX = -d 且X =0 时,t =1 X =1 时,t =0

1

?

x m (1-x)n dx

=.1(1-t)m t(dt)

1

= 0t n

(1 - t)m dt

1

=J 0χn (1-x)m dx

题目6证明题 一般

设f (x)在［a,b ］上有定义，且对［a,b ］上任意两点x, y,

有 f (x) - f (y) _ X - y.则f (x)在［a,b ］上可积,且

1

解答

b

1

a

f(x)dx -(b-a)f(a)兰；(b-a)

< X -a(x _ a)

即 f (a) -(x -a) Ef(X)Ef (a) (x -a) 由定积分的不等性质，有

b

［［f (a) —(x —a)］dx

b a

f(x)dx

b

a ［f(a) (X -a)］dx -

b

a f (x)dx -(

b - a) f (a)

”:(b-a)2 _ 2

b

几［

f (x)dx -(b -a) f (a)

题目7证明题

一般

设f (x)在［a,b ］上的连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f (b) = 0. 、

b

2

证明：4 I L f (x)dx 兰 M (b —a),其中 M=

SUP f "(x)

I a

_ L-

1

(a,x)

2

(x,b)

= 1,2

I f 2

∣f(x)dx≤M I a 2

(x —a)dx =M (b —a)

b b

M 2

a b f (x)dx 乞 M a b (b-x)dx (b-a)

2

2

8

两式相加,有

f ∣f(x)dx 兰 M

(b —a)2。 a 4

题目8证明题 一般

设f (x)在［a,b ］上正值，连续，则在 (a,b)内至少存在一点 匚 b 1 b

使 a f(x)dx = f(x)dx f(x)dx

证明：?∕x E (a,b)因为 ?y =| f (x +&) - f (x) ≤ A *

.Iim L y =O

.f (x)在［a, b ］上连续，于是f (X)在［a, b ］上可积. 又由题设知If(X) — f (a)

(b-a)2 2

-1(b -a)2。 2

a : ?x :

b 解答_

证明：由假设并利用微分中值 定理,有

f (X) = f (X) -f (a) =(x -a)f (

1

f (x) = f (x) - f (b) = (x -b) f ( 2) 又由 M

=SUPf (X)故 f ( i ) EM. i a :X Ib 取绝对值，有f (X) _(x -a)M f (x) _(b -x)M

a -b

a -b

解答

X b

证：令F(X)= f(t)dt - f(t)dt

U a J X

由于X ［a,b］时，f(x) 0

b

-F(a) —a f(t)dt ：：：0

b

F(b) f(t)dt 0

V a

由根的存在性定理，存在一点-(a,b)使

F( )=0

已 b

即［f(t)dt = %f(t)dt

b E b

又Q a f(t)dt = a f(x)dx . f (x)dx

巴 b

f(x)dx . f (x)dx

a ■

>

=2 f (x)dx

a

从而原式成立。

题目9证明题一般

πJI

证明：0 < 02 Sin n*xdx c J2sin n XdX。

解答_

证明：

已知函数Sin 连续?非负，且X0 [0二],使

2 2

π

Sin n41x°>0，由性质，有0 Sin nd1xdxn0

又已知函数Sin n X-Sin n* X = Sin n x(1 -Sin x)在［0,工］连续非负,

2

且X0 ［0, 2 ］，使Sin n X0 -sin n 1 x。= Sin n x°(1 -Sin x°) 0,由性质，有

解答

π

『(Sin n X-Sin n*

π

二0 ￡ I L2 Sin n* XdX C

j0

题目10证明题一般

1 1dx 求

证:-：：：一

2 04

π

x)dx = 02sin n XdX -

π

2sin n XdX

π

2Sin n舟XdXA

π

。

-χ2X3 6

X (0,1)时，x 2 x 3 ...4 -χ2 -χ3 ：： . 4 = 2 又χ3 0 .4 -X 2 -X 3 . 4- X

1 1 1

2

. 4 -χ2 χ3

. 4-X

1

1 1 dχ = 0

2 2 1

dχ _ 二 厂4> =6 1 1

dχ 二 。 2

Lx 2 +χ3

6

题目11证明题 一般

设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭 区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。 解答_

证明：设 x 0 ? (a,b)，-X ? (a,b)。令

X

G(X) = x f(t)dt x

0 则由题设：?：」(x) =0 从而G (X)=O

而"(X) = f (x)

.f(x)≡0°

题目12证明题 一般 若函数f (X)在［0,1］上连续,

a 3

2 1 a 2

证明：0X f(x )dx

Xf (x)dx (a 0)。

解答_

2 1

证:令X =t ，则XdX dt ,且x=0时，t = 0

2

X= a 时，t = a 2

a

3

0X f (X )dx

a 2 1

=0

t f

(t) -dt

1

a 2

= 2 -0 tf

(t)dt _ 1

2 题目13证明题 一般

设函数f (x)和g(x)在［a,b ］上连续,

b

2 b 2

b 2

证明:［a f(x)g(x)dx ］ < a f (X)dx a g (x)dx 。

解答

a 2

O

Xf(X)dx 。

考虑以t为参数的定积分

b

2

f[f(X) —tg(x)] dx

显然[f(x) -tg(x)]2 _0.并由题设知它在[a,b]上连续,

故有[& f (x) -tg(x)]2dx _ 0

2 b 2 b b 2

即t a g(X)dx—2t[ f(x)g(x)dx + [ f (x)dxK0

不等式左端是关于t的二次三项式,且对任意t, 此二次式均非负.所以其判别式.■: < 0

b b b

即[[f(χ)g(χ)dχ]2—[[ f2(x)dx][ [g2(χ)dχ]≤0

b 2 b 2 b 2

-[a f(x)g(x)dx] <[ a f (x)dx][ a g (x)dx]o

题目14证明题一般

设f (x)在[0,1]上连续，

ππ

证明：02 f(sin2)cos:d = 04 f(sin2 )(cos「亠Sin :)d : 解答_

π

左式=『f (sin 2?)cos? d?

ππ

=Q4 f (Si n2)cos :d「亠∣2?f(si n2 )cos:d :

4

在第二个积分中，令t,则2即房-2t, d即=-dt

2

π

_2 f (Sin 2 ) cos ：d :

4

0二

f (si n(二-2t))cos( t)d(-t)

4 2

π

=∫04 f (sin2t)sintdt

π

=∫04 f(sin2c P)sin c P d c P

ππ

.左式=o4 f (Sin2 Jcos V 亠14 f (sin2 Jsin :d :

π

二O4 f (sin2 J(CoS i Sin )d :

=右式。

题目15证明题一般

设 f (x)在[ a, b]上可导,且 f (x) EM, f(a) =0,

b MC

证明:a f (x)dx ≤M(b—a)2o

解答证明：由假设可知广X (a,b)f(x)在[a,x]上满足

微分中值定理，则

f (X) = f(x) 一f (a)

f ( )(x-a) (a,x)

又.f (x)二M, -χ= (a,b)

.f(x)^M(x-a)

由定积分的比较定理，有