第六章 空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章 要求与练习
一、学习要求
1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.
3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.
7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程.
二、练习
1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求
（1）AB u u u r
分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB u u u r 的模；（3）AB u u u r 的方向余弦；（4）AB u u u r 方向上的单位向量.
解：（1）()3,8,2AB =-u u u r ，AB u u u r 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的
分向量2k r ；（2）AB =u u u r ；（3）AB u u u r
（4）AB u u u r 382)
i j k -++r r r . 2、设向量a r 和b r 夹角为60o
，且||5a =r ，||8b =r ，求||a b +r r ，||a b -r r .
解：||a b +==r r
||a b -=
=r r =7.
3、已知向量{2,2,1}a =r
，{8,4,1}b =-r ，求
（1）平行于向量a r
的单位向量； （2）向量b r 的方向余弦.
解（1）3a =
=r
平行于向量a r
的单位向量221{,,}333
±；
（2）9b ==r ，向量b r 的方向余弦为：841,,999
-.
4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标.
解：AB u u u r
=(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）；
5、已知{2,2,1}a =-r
，{3,2,2}b =r ，求
（1）垂直于a r 和b r 的单位向量； （2）向量a r 在b r
上的投影； （3）以a r 、b r
为边的平行四边形的面积以及夹角余弦.
解（1）(
)6,1,10,c a b c =?=--=r r r r
6,1,10)c --u u r ； （2）(
)
cos ,a b a b a b
?==?r r
r r r r ；
（3）(
)
sin ,S a b a b a b =?=?=r r r r r r (
)
cos ,a b =r r
6、设0a b c ++=r r r ，||3a =r ，||2b =r ，||4c =r
，求a b b c c a ++r r r r r r g
g g . 解：(
)
222220a b c a b c a b b c c a ++=+++++=r r r r r r r r r r r r g g g ，所以a b b c c a ++r r r r r r
g g g =29/2-；
7、求参数k ，使得平面29x ky z +-=分别适合下列条件： （1）经过点(5,4,6)--； （2）与平面2433x y z ++=垂直； （3）与平面230x y z -+=成
4
π
的角； （4）与原点相距3个单位； 解：7、（1）2； （2）1； （3
）； （4）2±； 8、已知平面平行于y 轴，且过点(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -，求平面的方程.
解：设平面方程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -代入求得
1,1, 2.A B D ===-该平面方程为：20x z +-=.
9、已知平面过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平面方程.
解：设平面方程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代入平面方程得，
1,2,1,A B C ==-=-，该平面方程为20x y z --=.
10、求过点(1,2,1)M ，且垂直于已知两平面0x y +=与510y z +-=的平面方程.
解：两平面的法向量为：()()121,1,0,0,5,1n n ==u r u u r
，所示平面的法向量为：
()()()121,1,00,5,11,1,5n n n =?=?=-r u r u u r
，则所示的平面方程为：540x y z -+-=.
11、把直线1
24
x y z x y z -+=??
++=?化为对称式方程及参数方程.
解：两平面的法向量为：()()121,1,1,2,1,1n n =-=u r u u r
，则直线的方向向量为：()()()121,1,12,1,12,1,3s n n =?=-?=-r u r u u r
，取直线上一点为：(1，1，1)，则直线对称式方
程为：111,213x y z t ---===-参数方程为:12113x t
y t z t
=-??=+??=+?
.
解二：若取点为：(0，-3/2,5/2) ,则直线对称式方程为：3/25/2
213
x y z --==
- ， 参数方程为:2,3/2,35/2x t y t z t =-=+=+.
12、求过点(0,2,4)且与平面21x z +=及32y z -=都平行的直线方程.
解：两平面的法向量为：()()121,2,2,0,1,3n n ==-u r u u r
，则直线的方向向量为：()()()111,2,20,1,32,3,1s n n =?=?-=-r u r u r ，则直线方程为：24
231
x y z t --===-，或2234x t
y t z t =-??
=+??=+?
13、一直线过点(2,3,4)A -且和y 轴垂直相交，求其方程.
解：过点(2,3,4)A -的直线与y 轴垂直相交的交点为(0，-3，0)，直线的方向向量为：
(2，0，4)，所以直线方程为：231204x y z -++==
，即30
2124
y x z +=??
?-+=??. 14．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为()x z y 52
2
2=+±，即x z y
522
=+。
15．画出下列各方程所表示的曲面：
(1)
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
=
+
?
?
?
?
?
-
a
y
a
x；(2)1
4
9
2
2
=
+
z
x；(3)2
2x
z-
=。
16．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
17．说明下列旋转曲面是怎样形成的？
(1)14
222
=+-z y x ；(2)()222
y x a z +=-。 解：(1)由xoy 坐标面上的双曲线14
2
2
=-y x ，绕y 轴旋转一周或是yoz 坐标面上的双曲线14
22
=+-z y ，绕y 轴旋转一周得到。 (2)是yoz 坐标面上关于z 轴对称的一对相交直线()22
y a z =-，即a y z +=和
a y z +-=中之一条绕z 轴旋转一周；
或是xoz 坐标上关于z 轴对称的一对相交直线()22
x a z =-，即a x z +=和a x z +-=中之一条，绕z 轴旋转一周。
18．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？
(1)???-=+=3215x y x y ；(2).3
19
42
2??
???==+y y x 解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；
(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭
圆柱面19
42
2=+y x 与其切平面3=y 的交线。 19．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线?????=-+=++0
16
22
222
22y z x z y x 的柱面方程。
解：10．从方程组中消去x 得：162322=-z y ，此方程即母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程；
20．从方程组中消去y 得：162322=+z x ，此方程即母线平行于y 轴且通过此曲线的柱面方程。
20．求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影的方程。 解：由1=+z x ，得x z -=1，代入9222=++z y x ，消去z 得
()912
22=-++x y x ，即82222=+-y x x ，这就是通过球面9222=++z y x 与平
面1=+z x 的交线，并且母线平行于z 轴的柱面方程，将它与0=z 联系，得：
??
?==+-0
8
2222z y x x ，即为所求的投影方程。 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
第八章 空间解析几何答案
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-， 求点A 的坐标. 解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3 ),(,4||,3||π = ==Λ b a b a ，求b a c 23-=的模. 解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2 ?+?-?-?=-?-=
空间解析几何考题
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是 （ ）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 （ ）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ） Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。 Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40]班级_.
第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40] 班级 §1空间直角坐标系§2向量及其加减法，向量与数的乗法姓名________ 一、概念题 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限。 (】，-2, 3) ________ (2，- 3，- 4) _________ (- 1，- 3，- 5) _________ (-1, 5,- 3)____________ (2, 3,- 4)____________ (- 2,- 3, ]) _______________ (-5 , 3 , 1) _________ (3 , 4 , 6) _______________ 2、指出下列各点的位置。 A(3,4,0) ___________ B(0,4,3) ________ C(3,0,0) ___________ D(0,—1,0) ________ 3、指出当点的坐标适合下列条件之一时，该点所在的卦限。 点)在__________________ 上的对称点是1 5、点A (—4,3,5 )在％0『平面上的投影点为_________________________ 在ZOX平面上的投影点为 _______________ 在0X轴上的投影点为 _________________ 在oy轴上的投影点为__________________ 6、点P (—3,2,— 1)关于yoz平面的对称点为_______________________ 关于ZOX 平面的对称点为 ______________ 关于oy轴的对称点为_______________ 关于ox轴的对称点为_______________ 7、在y轴上与点A (1,—3,7 )和点B (5,7,—5 )等距离的点 为_______________ 8、u a b 2 c, v a 3b c，用a, b, c 表示2u 3v = __________________ 二、计算题：
第六章 空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. （平7 1 （1 （2AB的模；）AB方向上的单位向量 解：1）AB=，AB分别在轴的投影为-3，在8，在z 轴上的分向量2k；（2）AB=77 （4）AB方向上的单位向量12)k. 2、设向量a和b夹角为5=，||8 b=，求| 解：()2220 +=+=++=129， a b a b a b a b ||||||2||||cos60 ()2220 a b a b a b a b -=-=+-=7. ||||||2||||cos60 3、已知向量{2,2,1} b=-，求 a=，{8,4,1} （1）平行于向量a的单位向量；（2）向量b的方向余弦. 解（1）2223 a=+=平行于向量a的单位向量221 ±； {,,} 333 （2）2849 b=+=，向量b的方向余弦为：841 -. ,, 999
4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量；（2）向量a 在b 上的投影； （3解（）()6,1,10,137c a b c =?=--=， （2()4 cos ,17 a b a b a b ?==?； （3() sin ,137a b a b a b ?=?=() 4 ,1751 a b = 60b c +=，||3a =，||2b =，||4c =，求a b b c c a ++. 解：( ) 2 22220a b c a b c a b b c c a ++=+++++=，所以a b b c c a ++=29/2-7、求参数k ，使得平面29x ky z +-=分别适合下列条件： （1（3解：8解：设平面方程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -代入求得1,1, 2.A B D ===-该平面方程为：20x z +-=. 9、已知平面过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平面方程. 解：设平面方程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代入平面方程得， 1,2,1,A B C ==-=-，该平面方程为20x y z --=.
第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
空间解析几何答案word
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解 析几何 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2 角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点. 图8-1 在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面 y x z O
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1.在空间直角坐标系中，点( 1,— 2, 3 )在[D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2 2 2.方程2x y 2在空间解析几何中表示的图形为 [C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 X —1 y + 1 z +1 ” _x + y _1 = 0 3.直线11 j 与 >2 : — —> 的夹角是[C ] 4 2 3 x+y+z-2=0 A Ji n n A.— B. — C.— D. 0 4 3 2 4.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) A. 2 2 2 a b (a ?b) B. a 2 b 2=(a b)2 C. 2 2 (a 叱)=(a b) 2 2 2 2 D. (a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是 [B ] A. z 2 二 4(x y) B. z 2 _ _4.. x 2 y 2 C. y 2 z 2 =4x D. 2 2 y z = 4x 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 2 C. 3 关于 [B ] A 1 1 A. B.— 3 3 7.在空间直角坐标系中，点( B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3) C. (-1,-2,3) 1，2,3) 2 D.— 3 yoz 平面的对称点是[A ] 2 2 8.方程—2 弓二z ， a 2 b 2 表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D.球面 9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2}, 则 proj a b =[ C ] A. 1 3 B. 3 C. -1 D. 1 10.
第六章向量代数与空间解析几何(424).
、选择题第六章向量代数与空间解析几何 习题A 1、向量a与三坐标轴的夹角分别为，则); A cos cos cos 1 B cos2cos2cos2 C cos2cos2cos2 f 2 D cos 2 cos 2 CO S 2、两个非零向量a和b平行，则 ()； r r r A其必要条件是a b 0 其必要条件是 r r C充分必要条件是a b 0D充分必要条件是 3、设a，b为非零向量，且满足 r (a r 3b) (7； 5b) r ,(a r 4b) r (7 a 2b)，则 r r a，b的夹角 4、平面x 2y 5 0的位置是) ； A平行Z轴B 通过Z轴垂直Z轴D 平行XOY平面5、过点 A 3,0,2 ,B 4,1,6 且平行于Y轴的平面的法向量n ()； 1,1,4 0,1, 1 1,1, 4 1,0,0 C 1,1,4 0,1,0 D 1,1,4 0,0, 1 6、向量a 1,1, 2,0, 2，则同时垂直a及b的单位向量为()； 2,0, b a 2,0,2 2,0, 2,0, 2
7、过点M 1,0,3且与两平面 1 ：X 2 y 2z 1 0都平行的直线方程为 2y z 1 0 （） ； A g - 3 c y 3 1 B 3X1 1y D - 3X 1 1 8、平面X 2y 5 0的位置是） ； 平行Z轴 B 通过 C 垂直z轴9、过点 A 3,0,2 ,B 4,1,6且平行于丫轴的平面的法向量 10 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 9 、 平行XOY平面 ） ； 1,1,4 0,1, 1 1,1,4 0,1, 曲面X2 4y2 z24与平面X (a z)24y2 X 0 (a z)24y2 X 0 、填空题 平行于向量a 3i B 1,1,4 D 1,1,4 z a的交线在 1,0,0 0,0, 1 yOz上的投影方程是（ X2 r 4j 点P 3, 1,6到平面X 5k的单位向量2y 2z 1 设平面X 2y Kz 6与平面Mx 过点M 1,2,0与平面3x y 2z B (a X)24y2 z 0 X2 4 z)2 4y2z2 4 0的距离为 4y z 2平行，则K 7 0垂直的直线方程 xoy平面上的曲线X2 3y25绕x轴旋转一周形成的旋转曲面方程为 直线过点平面方程 义三卫与平面X y z 7 0的位置关系为 2 1 3 - X 1 y 1 z 2 M 1,2, 2且与直线一！丿一垂直的平面方程为 2 3 1 xoy上的曲线y2z 2绕轴旋转一周而成的旋转面方程为 X2 4 y 1 20表示
03级空间解析几何期末试卷B
2003--2004学年第一学期补考试题（卷） 03级数教《空间解析几何》 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e 共面,则a , c , e ( ) （A ）不一定共面 （B ）一定共面 （C ）一定不共面 （D ）一定共线 2、关于零矢量的描述不正确的是 ( ) （A ）模不定 （ B ）方向不定 （ C ）模为零 （ D ）模定方向不定 3、i i j j k k ?+?+?= ( ) （A ）0 （B ）3 （C ）1 （D ）0 4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c 的模为 ( ) （A （B ）3 （C ）0 （D ）1 5、平面的法式方程中的常数项必满足 ( ) （A ）≤0 （B ）≥0 （C ）< 0 （D ）＞0 6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 （ ） （A ）任意 （B ）与B 异号 （C ）与A 异号 （D ）与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足 ( ) （A ）D 1=D 2=0 （B ）D 1=0,D 2≠0 （C ）D 1≠0,D 2=0 （D ）D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( ) （A ）0 （B ）1 2 （C ）1 7 （D ） 114 9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( ) （A ）2 2 2 sin sin sin 1λμν++= （B ）2 2 2 cos cos cos 2λμν++= （C ）222cos cos cos 1λμν++= （D ） 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-= 10、下列方程中表示双曲抛物面的是 ( ) （A ）222x y z += （B ）2232x y z -= （C ）222x y z -= （D ）222x y z += 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。把答案填在题中横线上。 1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。 2、三矢量不共面的充要条件是 。 3、 叫方向余弦。 4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。 5、给定直线000 : x x y y z z l ---== ＸＹＺ 和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。 6、给定直线 111 1111: x x y y z z l X Y Z ---==与2222222 :x x y y z z l ---==ＸＹＺ则12l l 与异面的充要条件是 。 7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。 8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。 9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的 有 。 10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。 三、判断题：本大题共10小题，共10分，正确的打”√”,错误的打”×”。 1、若a ,b 共线, b ,c 共线,则a ,c 也共线。 ( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。 ( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b |。 ( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。 ( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。 ( ) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。 ( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。 ( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。 ( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。 ( ) 10、将抛物线220 y pz x ?=?=?绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=( ) 四、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第七章空间解析几何与向量代数.
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1空间直角坐标系 一. 空间点的直角坐标 右手系 坐标轴，坐标面，卦限 空间点的直角坐标 横坐标，纵坐标和竖坐标 二.空间两点的距离 设M 1 X i , y i , z i ,M 2 X 2,y 2,Z 2 为空间两点 特殊地，点M X, y,z 与坐标原点O 0,0,0的距离 .向量的概念 1 .定义 3 .自由向量 4 .零向量 单位向量 零向量的方向可以看作是任意的 二.向量的加减法 (1 )交换律:a b b a 的负向量：记 a 大小相等，方向相 反 三.向量与数的乖法 1 .定义 2 .运算规律 (1 )结合律: (2 )分配律: (2 )结合律:(a b) c a (b c) 1. 2. 3. =J 2 X 2 X 1 y 2 2 y i Z 2 2 Z i D = J x 2 y 2 z 2 §7 .2向量及其加减法 向量与数的乘法 2 .向径：OM 叫点M 对于点O 的向径
定理1 .设向量a 0，那么，向量b//a 存在唯一的实数 ，使b a 注：(1 ). b 可以为零向量，此时 0 (2 ).规定零向量与任何向量都平行 3 .与a 同方向的单位向量：a 0 一. 向量在轴上的投影 1 .轴u 上有向线段 AB 的值.记AB 2.点A 在轴U 上的投影 * 3 .向量在.轴U 上的投影，记prj u AB 二. 向量的坐标 1 . P 1P 2 Q i Q 2 R i R 2 2 .向量a 的坐标 a a x , a y , a z a x ，a y , a z 为a 在x,y,z 轴上的投影 上式叫向量a 的坐标表示式 §7 .3 向量的坐标 AB * 4 .（性质1 ）投影T h 向量AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：prj u AB AB cos 5.（性质2 ） prj prj a prj b 6 .（性质3 ） prj prj a M 1M 2 M 1P M i Q M i R X 2 X 1 y 2 * j 上式称为向量基本单位向量的分解式
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
(完整版)(整理)第七章空间解析几何
第七章空间解析几何与向量代数内容概要
习题7-1 ★★1．填空： （1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥ （2） 要使 b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向 ★2．设c b a v c b a u -+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32- 知识点：向量的线性运算 解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=- ★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点 R 在线段PQ 上，且 n m RQ PR = ，证明点R 的向径为 n m m n += +r r r 12 知识点：向量的线性运算 证明：在OPQ ?中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+= n m m n m m ， ∴n m m n n m m PR OP OR ++=-++ =+=22r r r r r 1 11)( ★★4．已知菱形 ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。 知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形， ∴ =（自由向量）， ∴222 AB AC BD AB CD DC AB --=-=-?=?=-=-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a a b ∴2b a +==，2 DA +=-u u u r a b ★★5．把ABC ?的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点 A 连接，试以 a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
空间解析几何习题答案解析(20210120005111)
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：Interspace Analytic Geometry（2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1．教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2．教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3．教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4. 教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。