2020年海南省新高考数学试卷

2020年海南省新高考数学试卷

副标题

题号 一 二 三 四 总分 得分

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. (5分)设集合A ={2,3，5，7}，B ={1,2，3，5，8}，则A ∩B =( )

A. {1,3，5，7}

B. {2,3}

C. {2,3，5}

D. {1,2，3，5，7，8} 2. (5分)(1+2i)(2+i)=( )

A. 4+5i

B. 5i

C. ?5i

D. 2+3i

3. (5分)在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB

????? =( ) A. 2CD ????? +CA ????? B. CD ????? ?2CA ????? C. 2CD ????? ?CA ????? D. CD

????? +2CA ????? 4. (5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把

地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )

A. 20°

B. 40°

C. 50°

D. 90°

5. (5分)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或

游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )

A. 62%

B. 56%

C. 46%

D. 42%

6. (5分)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，

则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 7. (5分)已知函数f(x)=lg(x 2?4x ?5)在(a,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )

A. (2,+∞)

B. [2,+∞)

C. (5,+∞)

D. [5,+∞) 8. (5分)若定义在R 的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)≥0的x 的取值范围

是( )

A. [?1,1]∪[3,+∞)

B. [?3,?1]∪[0,1]

C. [?1,0]∪[1,+∞)

D. [?1,0]∪[1,3] 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

9. (5分)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折

线图，下列说法正确的是( )

A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%；

D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

10. (5分)已知曲线C ：mx 2+ny 2=1.( )

A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上

B. 若m =n >0，则C 是圆，其半径为√n

C. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√?m

n x D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线

11. (5分)如图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图象，则sin(ωx +φ)=( )

A.

B.

C.

D.

12. (5分)已知a >0，b >0，且a +b =1，则( )

A. a 2+b 2≥1

2

B. 2a?b >1

2

C. log 2a +log 2b ≥?2

D. √a +√b ?√2

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. (5分)已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A ?NMD 1的

体积为 ．

14. (5分)斜率为的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|= ．

15. (5分)将数列{2n ?1}与{3n ?2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为 16. (5分)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在

圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，

BC ⊥DG ，垂足为C ，tan∠ODC =，BH // DG ，EF =12cm ，DE =2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为 ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.(10分)在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题

中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，_______？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18.(12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8．

(1)求{a n}的通项公式；

(2)求a1a2?a2a3+?+(?1)n?1a n a n+1．

19.(12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天

空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：

SO2

PM2.5

[0,50](50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：

SO2

PM2.5

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？

附：K2=n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k 3.841 6.63510.828

20.(12分)如图，四棱锥P?ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)证明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．

21.(12分)已知椭圆C：x2

a2

+y2

b2

=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为1

2

．

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．

22.(12分)已知函数f(x)=ae x?1?lnx+lna．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】 【分析】

本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 根据两集合的公共元素得出答案． 【解答】

解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5 故A ∩B ={2,3，5}． 故选：C ．

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了复数运算，属于基础题． 根据复数的乘法公式计算．

【解答】

解：(1+2i)(2+i)=2+i +4i +2i 2=5i ， 故选：B ．

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用向量加法法则直接求解． 【解答】

解：在△ABC 中，D 是AB 边上的中点， 则CB ????? =CD ????? +DB ?????? =CD ????? +AD

?????? =CD

????? +(AC ????? +CD ????? ) =2CD ????? ?CA ????? ． 故选：C ．

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．

由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A 处的水平面所成角． 【解答】

解：可设A 所在的纬线圈的圆心为O?，OO?垂直于纬线所在的圆面， 由图可得∠OHA 为晷针与点A 处的水平面所成角， 又∠OAO?为40°且OA ⊥AH ，

在Rt △OHA 中，O?A ⊥OH ，∴∠OHA =∠OAO?=40°， 故选：B ．

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．

设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，画出图形，列出方程求解即可．

【解答】

解：设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，

由题意，可得x +z =60，x +y +z =96，y +z =82，解得z =46．

∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．

故选：C

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．

【解答】

解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，

每个村里至少有一名志愿者，

则不同的安排方法共有：

C32C11A22=6．

故选：C．

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．

由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t=x2?4x?5，由外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f(x)=lg(x2?4x?5)在(a,+∞)上单调递增，需内层函数t=x2?4x?5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，转化为(a,+∞)?(5,+∞)，即可得到a的范围．

【解答】

解：由x2?4x?5>0，得x5．

令t=x2?4x?5，

∵外层函数y=lgt是其定义域内的增函数，

∴要使函数f(x)=lg(x2?4x?5)在(a,+∞)上单调递增，

则需内层函数t=x2?4x?5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0，

则(a,+∞)?(5,+∞)，即a≥5．

∴a的取值范围是[5,+∞)．

故选：D．8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f(x)的草图，是解决本题的关键．难度中等．

根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．

【解答】

解：∵定义在R的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，f(x)的大致图象如图：

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(?2)=0；

故f(?1)<0；

当x=0时，不等式xf(x?1)≥0成立，

当x=1时，不等式xf(x?1)≥0成立，

当x?1=2或x?1=?2时，即x=3或x=?1时，不等式xf(x?1)≥0成立，

当x>0时，不等式xf(x?1)≥0等价为f(x?1)≥0，

此时{

x>0

0

当x<0时，不等式xf(x?1)≥0等价为f(x?1)≤0，

即{

x<0

?2?x?1<0，得?1≤x<0，

综上?1≤x≤0或1≤x≤3，

即实数x的取值范围是[?1,0]∪[1,3]，

故选：D．

9.【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查折线图表示的函数的认知和理解，考查理解能力、识图能力、推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属于中档题．

通过复工和折线图中都有递减的部分来判断A；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断B；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断CD；

【解答】

解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；

由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；

第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；

故选：CD．

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．

根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．

【解答】解：A.若m>n>0，则1

m <1

n

，则根据椭圆定义，知

x2

1

m

+y21

n

=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A

正确；

B .若m=n>0，则方程为x2+y2=1

n ，表示半径为1

√n

的圆，故B错误；

C.若m<0，n>0，则方程为x2

1

m

+y21

n

=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√?m

n

x，

若m>0，n<0，则方程为x2

1

m

+y21

n

=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√?m

n

x，

故C正确；

D.当m=0，n>0时，则方程为y=±1

√n

表示两条直线，故D正确；故选：ACD．

11.【答案】BC

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和ω，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．

根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．

【解答】

解：由图象知函数的周期，即，即ω=2，

由五点对应法得，

得，

则

故选：BC．

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．

【解答】

解：①已知a>0，b>0，且a+b=1，所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2?1

2

，故A正确．

②利用分析法：要证2a?b>1

2

，只需证明a?b>?1即可，即a>b?1，由于a>0，b>0，且a+b=1，所以：a>0，b?1<0，故B正确．

③log2a+log2b=log2ab?log2(a+b

2

)2=?2，故C错误．

④由于a>0，b>0，且a+b=1，

利用分析法：要证√a+√b?√2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2√ab?2，即2√ab?1，

故√ab?1

2

=a+b

2

，当且仅当a=b=1

2

时，等号成立．故D正确．

故选：ABD．

13.【答案】1

3

【解析】

【分析】

本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．

由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥A ?NMD1的体积．

【解答】

解：如图，

∵正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，

∴S△ANM=1

2×1×1=1

2

，

∴V A?NMD

1=V D

1?AMN

=1

3

×1

2

×2=1

3

．

故答案为：1

3

．

14.【答案】16

3

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．

【解答】

解：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y=√3(x?1)，

代入y2=4x并化简得3x2?10x+3=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=10

3

；

x1x2=1，∴由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=10

3

+2=16

3

．

故答案为：16

3

．

15.【答案】3n2?2n

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题．

首先判断{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，再利用求和公式，得出结论．

【解答】

解：将数列{2n?1}与{3n?2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，

则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，

故它的前n项和为n×1+n(n?1)

2

×6=3n2?2n，

故答案为：3n2?2n．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．

设大圆的半径为R，利用已知条件求出OQ、OD的长，利用tan∠ODC=求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出△AOH为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．

【解答】

解：作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，

∵A到直线DE和EF的距离均为7cm，∴EM=AM=7，

又∵EF=12，MN=DE=2，

∴NG=MF=12?7=5，AN=AM?NM=7?2=5，

∴∠AGD=45°，∵BH//DG，∴∠AHO=45°，

由于AG是圆弧的切线，

∴AG⊥OA，∠AOH=∠ACN=45°，

设大圆的半径为R，则AS=OS=

√2

OQ =SN =5?

R √2

，DQ =DN ?QN =7?R

√2， ∵tan∠ODC =3

5

，∴

5?

R

√27?R √2

=3

5，解得R =2√2，

图中阴影部分面积分为扇形AOB 和直角△AOH 的面积减去小半圆的面积， 所以S 阴影=135

360×π×(2√2)2+1

2×2√2×2√2?1

2×π×1=5

2π+4． 故答案为：52π+4．

17.【答案】解：①ac =√3．

△ABC 中，sinA =√3sinB ，即b =

√3

3

a ， ac =√3，∴c =√

3

a ，

cosC =

a 2+

b 2?

c 2

2ab

=

a 2+

a 23?3a 22√3a 23

=

√32

， ∴a =√3，b =1，c =1． ②csinA =3． △ABC 中，

，∴a =6．

∵sinA =√3sinB ，即a =√3b ，∴b =2√3．

cosC =a 2+b 2?c 22ab =36+12?c 22×6×2√3

=√3

2

∴c =2√3．

③c =√3b.

∵sinA =√3sinB ，即a =√3b ，

又∵c =√3b ，

与已知条件

相矛盾，所以问题中的三角形不存在．

【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．

①根据题意，结合正弦定理，可得b =√3

3

a ，c =√

3

a

，结合

，运用余弦定理cosC =

a 2+

b 2?

c 2

2ab

，即可求

得c =1．

②根据题意，△ABC 中，csinA =asinC ，即可求得a =6，进而得到b =2√3.运用余弦定理cosC =a 2+b 2?c 2

2ab

，

即可求得c =2√3．

③根据c =√3b ，sinA =√3sinB 即a =√3b ，可列式求得cosC =√

3

6

，与已知条件

矛盾，所以问题中

的三角形不存在．

18.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，

则{

a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20

a 3=a 1q 2=8

, ∵q >1，∴{a 1=2

q =2, ∴a n =2·2n?1=2n ．

(2)a 1a 2?a 2a 3+?+(?1)n?1a n a n+1

=23?25+27?29+?+(?1)n?1?22n+1， =

23[1?(?22)n ]1?(?22)

=8

5?(?1)

n 2

2n+3

5

．

【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．

(1)根据题意，列方程组{a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20

a 3=a 1q 2=8

，解得a 1和q ，然后求出{a n }的通项公式；

(2)根据条件，可知a 1a 2，?a 2a 3，…(?1)n?1a n a n+1，是以23为首项，?22为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．

19.【答案】解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过

150”的概率 P =

32+18+6+8

100

=0.64；

SO 2 PM2.5 [0,150]

(150,475]

[0,75] 64 16 (75,115]

10

10

由K 2

=

n(ad?bc)2

(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )

=100×(64×10?16×10)2

80×20×74×26

=7.484>6.635，

P(K 2≥6.635)=0.01；

故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关，

【解析】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．

(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率； (2)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；

(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．

20.【答案】解：(1)证明：过P 在平面PAD 内作直线l // AD ，

由AD // BC ，可得l // BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线， ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ，CD ∩PD =D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵l // BC ，∴l ⊥平面PCD ；

(2)如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ?xyz ， ∵PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB =√2， ∴PB =√3，QP =1，

则D(0,0，0)，A(1,0，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，B(1,1，0)，

设Q(1,0，1)，则DQ ?????? =(1,0，1)，PB ????? =(1,1，?1)，DC ????? =(0,1，0)， 设平面QCD 的法向量为n

? =(a,b ，c)， 则{n ? ?DC ????? =0n ? ?DQ ?????? =0,∴{b =0a +c =0，取c =1，可得n

? =(?1,0，1)， ∴cos =

n

?? ?PB ?????? |n ?? ||PB

|=

√3·√

2

=√6

3

， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√6

3

．

【解析】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

(1)过P 在平面PAD 内作直线l // AD ，推得l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；

(2)以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ?xyz ，求出Q(0,1，

1)，运用向量法，求得平面QCD 的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．

21.【答案】解：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y ?3=1

2(x ?2)，即x ?2y =?4，

当y =0时，解得x =?4，所以a =4，椭圆C ：

x 2

a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0)过点M(2,3)，

可得416+9

b 2=1，解得b 2=12，

所以C 的方程：

x 2

16

+y 2

12=1．

(2)设与直线AM平行的直线方程为：x?2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．

x?2y=m 代入椭圆方程：x2

16+y2

12

=1．

化简可得：16y2+12my+3m2?48=0，所以△=144m2?4×16(3m2?48)=0，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：x?2y=8，

利用平行线之间的距离为：d=8+4

√1+4=12√5

5

，

|AM|==3．

所以△AMN的面积的最大值：1

2×3√5×12√5

5

=18．

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题．

(1)利用已知条件求出A的坐标，然后求解b，得到椭圆方程．

(2)设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．

22.【答案】解：(1)当a=e时，f(x)=e x?lnx+1，

∴f′(x)=e x?1

x

，

∴f′(1)=e?1，∵f(1)=e+1，

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e+1)=(e?1)(x?1)，

当x=0时，y=2，当y=0时，x=?2

e?1

，

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=1

2

×2×2

e?1

=2

e?1

．(2)方法一：由f(x)≥1，可得ae x?1?lnx+lna≥1，即e x?1+lna?lnx+lna≥1，

即e x?1+lna+lna+x?1≥lnx+x=e lnx+lnx，

令g(t)=e t+t，

则g′(t)=e t+1>0，

∴g(t)在R上单调递增，

∵g(lna+x?1)≥g(lnx)

∴lna+x?1≥lnx，

即lna≥lnx?x+1，

令?(x)=lnx?x+1，

∴?′(x)=1

x

?1=1?x

x

，

当00，函数?(x)单调递增，

当x>1时，?′(x)<0，函数?(x)单调递减，

∴?(x)≤?(1)=0，

∴lna≥0，

∴a≥1，

故a的范围为[1,+∞)．

方法二：由f(x)≥1可得ae x?1?lnx+lna≥1，

即ae x?1?1≥lnx?lna，

设g(x)=e x?x?1，

∴g′(x)=e x?1>0恒成立，

∴g(x)在(0,+∞)单调递增，

∴g(x)>g(0)=1?0?1=0，

∴e x?x?1>0，

即e x>x+1，

再设?(x)=x?1?lnx，

∴?′(x)=1?1

x =x?1

x

，

当0

当x>1时，?′(x)>0，函数?(x)单调递增，

∴?(x)≥?(1)=0，

∴x?1?lnx≥0，

即x?1≥lnx

∵a>0，

∴e x?1≥x，则ae x?1≥ax，

此时只需要证ax≥x?lna，

即证x(a?1)≥?lna，

当a≥1时，

∴a≥1，x(a?1)>0>?lna恒成立，

当0

综上所述a的取值范围为[1,+∞)．

方法三：由题意可得x∈(0,+∞)，a∈(0,+∞)，

∴f′(x)=ae x?1?1

x

，

易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，

①当0

a

)=ae1a?1?a=a(e1a?1?1)>0，

∴存在x0∈(1,1

a

)使得f′(x0)=0，

当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

∴f(x)

②当a≥1时，e x?1>0，lna>0，∴f(x)≥e x?1?lnx，

令g(x)=e x?1?lnx，

∴g′(x)=e x?1?1

x

，

易知g′(x)在(0,+∞)上为增函数，

∵g′(1)=0，

∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，

∴g(x)≥g(1)=1，

即f(x)≥1，

综上所述a的取值范围为[1,+∞)．

方法四：∵f(x)=ae x?1?lnx+lna，x>0，a>0，

∴f′(x)=ae x?1?1

x

，

易知f′(x)在(0,+∞)上为增函数，

∵存在x0∈(0,+∞)，使得f′(x0)=ae x0?1?1

x0

=0，则ae x0?1=1

x0

，则lna+x0?1=?lnx0，即lna=1?x0?lnx0，

当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

∴f(x)≥f(x0)=ae x0?1?lnx0+lna=

1

x0

?lnx0+1?x0?lnx0=

1

x0

?2lnx0+1?x0≥1

∴

1

x0

?2lnx0?x0≥0

设g(x)=1

x

?2lnx?x，

易知函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g(1)=1?0?1=0，

∴当x∈(0,1]时，g(x)≥0，

∴x0∈(0,1]时，1

x0

?2lnx0?x0≥0，

设?(x)=1?x?lnx，x∈(0,1]，

∴?′(x)=?1?1

<0恒成立，

x

∴?(x)在(0,1]上单调递减，

∴?(x)≥?(1)=1?1?ln1=0，

当x→0时，?(x)→+∞，

∴lna≥0=ln1，

∴a≥1．

【解析】本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归

能力，属于难题．

(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；

(2)方法一：不等式等价于e x?1+lna+lna+x?1≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(t)=e t+t，根据函数单调性可得lna>lnx?x+1，再构造函数?(x)=lnx?x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围；方法二：构造两个基本不等式e x>x?1，x?1≥lnx，则原不等式转化为x(a?1)≥?lna，再分类讨论即可求出a的取值范围，

方法三：利用分类讨论的思想，当0

再根据导数和函数最值的关系即可证明，

?2lnx0+1?x0≥1，lna=1?x0?lnx0，方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出f(x)≥f(x0)=1x

再求出x0的范围，再利用导数求1?x0?lnx0的范围，即可求出a的范围．