2020年海南省高考数学试卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学(海南卷)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2 A. {x|2 B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1 【分析】 根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4) A B== 故选：C 2. 2i 12i - = + （） A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 【分析】 根据复数除法法则进行计算. 【详解】 2(2)(12)5 12(12)(12)5 i i i i i i i i ---- ===-++- 故选：D 3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【分析】 分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C； 最后剩下的3名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有12 6561060C C ?=?=种. 故选：C 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 【分析】 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=?，所以40OAG AOC ∠=∠=?， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=?， 所以40BAE OAG ∠=∠=?，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=?. 故选：B 5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 【分析】 记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ?，然后根据积事件的概率公式 ()P A B ?=()()()P A P B P A B +-+可得结果. 【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ?， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=， 所以()P A B ?=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C. 6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 【分析】 根据题意可得()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果. 【详解】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.281 0.386 r -= =，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.69 1.80.380.38 t = ≈≈天. 故选：B. 7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ? 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)- 【分析】 首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 AB 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式， 可知AP AB ?等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ?的取值范围是()2,6-， 故选：A. 8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A. [)1,1][3,-+∞ B. 3,1][,[01]-- C. [1,0][1,)-?+∞ D. [1,0][1,3]-? 【分析】 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-?时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得： 021012x x x 01212 x x x >?? ≤-≤-≤-?或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤， 所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-?， 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B. 若m =n >0，则C C. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【分析】 结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线， 0,0m n =>时表示两条直线. 【详解】对于A ，若0m n >>，则22 1mx ny +=可化为22 111 x y m n +=， 因为0m n >>，所以 11m n <， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为2 2 1x y n += ， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为 n n 的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22 1 11 x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由2 2 0mx ny +=可得m y x n =±- ，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则22 1mx ny +=可化为2 1y n = ， n y n =± ，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD. 10.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ） A. π sin(3 x +） B. π sin( 2)3x - C. π cos(26 x +） D. 5π cos( 2)6 x - 【分析】 首先利用周期确定ω的值，然后确定?的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知： 22362T πππ=-=，则222T ππωπ ===，所以不选A, 当2536212 x π ππ+ ==时，1y =-∴()5322122 k k Z ππ?π?+=+∈， 解得：()2 23 k k ?ππ=+∈Z ， 即函数的解析式为： 2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ???????? =++=++=+=- ? ? ? ????????? . 而5cos 2cos(2)66 x x ππ ? ? +=-- ?? ? 故选：BC. 11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2 2 12 a b +≥ B. 122 a b -> C. 22log log 2a b +≥- D. ≤ 【分析】 根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，() 2 2 2 2 2 1221a b a a a a +=+-=-+2 1211222a ? ???+ ? ≥-=， 当且仅当1 2 a b == 时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以1 1222 a b -->=，故B 正确； 对于C ，2 222221log log log log log 224a b a b ab +??+=≤==- ? ?? ， 当且仅当1 2a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为 2 112a b =+≤++=， ≤，当且仅当1 2 a b == 时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2, ,n ，且 1 ()0(1,2, ,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21 ()log n i i i H X p p ==-∑.（ ） A . 若n =1，则H (X )=0 B. 若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大 C. 若1 (1,2, ,)i p i n n ==，则H (X )随着n 的增大而增大 D. 若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) 【分析】 对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项的正确性；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项的正确性；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项的正确性. 【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-?=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-?+-?-????， 当114p =时，()221 133log log 4 444H X ?? =-?+? ??? ， 当13p 4= 时，()223 311log log 4 444H X ??=-?+? ???， 两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()1 1,2,,i p i n n = =，则 ()2221 11log log log H X n n n n n ??=-??=-= ???， 则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确. 对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2, ,j m =）. ()2222 1 1 1 log log m m i i i i i i H X p p p p ===-?=?∑∑ 12 22212 22 12 21 21111log log log log m m m m p p p p p p p p --=?+?++?+?. ()H Y =()()()122 221212 12221 1 11 1 log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++?++?+ ++?+++12 22212 2212221 2211211 11 log log log log m m m m m m p p p p p p p p p p p p ---=?+?+ +?+?++++由于 ()01,2, ,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111 log log i i m i p p p +->+， 所以2 22111 log log i i i i m i p p p p p +-?>?+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为2 4y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121 ,33 x x = = 所以12116||||3|33 AB x x =-=-= 解法二：10036640?=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103 x x += , 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2= 3 x x =+ 故答案为： 163 14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【分析】 首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1) 16322 n n n n n -?+?=-， 故答案为：232n n -. 15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC = 3 5 ，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2． 【分析】 利用3 tan 5 ODC ∠= 求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ?∠=， 因 //BH DG ，所以45AHO ?∠=， 因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，25OQ r =，272 DQ =-， 因为3 tan 5OQ ODC DQ ∠= =，所以3252212522 r r -=-， 解得22r = 等腰直角OAH △面积为11 222242 S = ?=； 扇形AOB 的面积(2 21322324 S π π=??=， 所以阴影部分的面积为1215422 S S ππ+- =+. 故答案为：542 π + . 16.已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 【分析】 根据已知条件易得1D E 3=，1D E ⊥侧面11B C CB ，可得侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 的距离为 2，可得侧面11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图： 取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ， 因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以 1D E 3=111D E B C ⊥， 又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1 111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ， 设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥， 513D E ，所以2211||||||532EP D P D E =-=-= 所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ， 因为||||EF EG == 11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114 B EF C EG π ∠=∠= ，所以2 FEG π ∠= ， 所以根据弧长公式可得2 2 FG π = = . . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6 C π = ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】 解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由sin 3sin A B 可得： a b = 不妨设(),0a b m m =>， 则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-?=，即c m =. 选择条件①的解析： 据此可得：2ac m =?==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析： 据此可得：222222231 cos 222 b c a m m m A bc m +-+-===- ， 则：sin 2A == ，此时：sin 32c A m =?= ，则：c m ==选择条件③的解析： 可得 1c m b m ==，c b =， 与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵(),,6 sinA C B A C π π== =-+, ∴( )6sinA A C A π?? =+=+ ?? ? , ( )1 ?2 sinA A C =+= ， ∴sinA = ,∴tanA =23A π= ,∴6 B C π ==, 若选①，ac = ,∵a == 2= 若选②，3csinA =, 3= ,c =; 若选③,与条件=c 矛盾. 18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求1 12231(1)n n n a a a a a a -+-+?+-. 【分析】 (1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列 () {} 1 11n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可. 【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则324112 3120 8 a a a q a q a a q ?+=+=?==?， 整理可得：2 2520q q -+=， 11,2,2q q a >==， 数列的通项公式为：1222n n n a -=?=. (2)由于：() () () 11 211 1 1122112n n n n n n n n a a --++-+=-??=--，故： 112231(1)n n n a a a a a a -+-+?+- 35791212222(1)2n n -+=-+-+?+-? ()() 3223 2 21282(1)5512 n n n +??--????==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础. 19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表： （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22?列联表： （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？ 附：2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++， 【分析】 （1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得22?列联表； （3）计算出2K ，结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天， 所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为64 0.64100 =； （2）由所给数据，可得22?列联表为： （3）根据22?列联表中的数据可得 222 ()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -??-?==++++???3600 7.4844 6.635481 =≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22?列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ． （1）证明：l ⊥平面PDC ； （2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，从而得到l ⊥平面PDC ； （2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos ,n PB <>的最大值，即为直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值. 【详解】（1）证明： 在正方形ABCD 中，//AD BC ， 因为AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ， 又因为AD ?平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =， 所以//AD l ， 因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥ 因为CD PD D = 所以l ⊥平面PDC ； （2）如图建立空间直角坐标系D xyz -， 因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =， 则00 DC n DQ n ??=? ?=?，即0 0y mx z =?? +=? ， 令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则 2 cos ,31 n PB n PB n PB m ?<>= = ?+ 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于 2|cos ,|31n PB m <>=?+2 23121 m m m ++=+223232||36 111111m m m m = +≤+≤+= ++，当且仅当1m =时取等号， 所以直线PB 与平面QCD 6 . 21.已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程； （2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【分析】 (1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM 的方程为：1 3(2)2 y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4， 椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>过点M (2，3)，可得 249116b +=， 解得b 2=12. 所以C 的方程：22 11612 x y +=. (2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值. 联立直线方程2x y m -=与椭圆方程22 11612 x y +=， 可得：()2 232448m y y ++=， 化简可得：2 2 16123480y my m ++-=， 所以( ) 22 1444163480m m ?=-?-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ， 点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得： 5 d==， 由两点之间距离公式可得|| AM== 所以△AMN 的面积的最大值： 1 18 25 ?=. 22.已知函数1 ()e ln ln x f x a x a - =-+． （1）当a e =时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）解法一：利用导数研究，得到函数() f x得导函数() ’f x的单调递增，当a=1时由() ’10 f=得 ()()11 min f x f ==,符合题意；当a>1时，可证 1 ()(1)0 f f a ''<，从而() 'f x存在零点 x>，使得0 1 1 ()0 x f x ae x - '=-=，得到 min () f x，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1 x≥恒成立；当01 a <<时，研究() f1.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将()1 11 lna x lnx f x e lna x e lnx +- ≥++-≥+ 转化为, 令()x g x e x =+,上述不等式等价于()() 1 g lna x g lnx +-≥,注意到() g x的单调性，进一步等价转化为 1 lna lnx x ≥-+，令()1 h x lnx x =-+,利用导数求得()max h x，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a的取值范围. 【详解】（1）()ln1 x f x e x =-+， 1 ()x f x e x ' ∴=-，(1)1 k f e ' ∴==-. (1)1 f e =+，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1) y e e x --=--,即()12 y e x =-+, ∴切线与坐标轴交点坐标分别为 2 (0,2),(,0) 1 e - - , ∴所求三角形面积为 122 2||= 211 e e - ?? -- ; （2）解法一：1 ()ln ln x f x ae x a - =-+, 绝密*启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 数 学（文科） 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1 2017年普通高等学校招生全国统一考试(海南) 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.31i i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{} 240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥?，则2z x y =+的最小值是（ ） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） 海南省2017年高考文科数学试题及答案 （word 版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A B A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）= A. 1-i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i 3. 函数()f x =π sin （2x+）3的最小正周期为 A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 4. 设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A. a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 5. 若a ＞1，则双曲线x y a =2 22-1的离心率的取值范围是 A. 2∞（，） B. 22（，） C. 2（1，） D. 12（，） 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截 去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. 90π B.63π C.42π D.36π 7. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? 。则2z x y =+ 的最小值是 A. -15 B.-9 C. 1 D. 9 8. 函数2 ()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(-∞,-2) B. (-∞,-1) C.(1, +∞) D. (4, +∞) 9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 10. 执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S= A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再 随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上 的数的概率为 A. 110 B. 15 C. 310 D. 25 12. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线， 点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为 A. 5 B. 22 C. 23 D. 33 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 . 14. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-， 0∈∞时，()322=+f x x x , 则() 2=f 15. 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个 2018年海南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（） A．B．C． D． 4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（） 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷) 文科数学 注意事项 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合 A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ x | x - x - 2 = 0 ﹜，则 A B= (A) ? （B ）{2} （C ）{0} (D) {-2} (2) 1+ 3i = 1- i （A ） 1+ 2i （B ） -1+ 2i （C ）1-2i (D) -1-2i （3） 函数f (x ) 在 x=x 0 处导数存在，若 p ：f l （x 0 ）=0；q ：x=x 0 是f (x ) 的极值点，则 （A ） p 是q 的充分必要条件 （B ） p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ） p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4） 设向量a , b 满足|a+b|= ， |a-b|= ，则 a·b= （A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5 （5） 等差数列{a n }的公差为 2，若a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列，则{a n }的前 n 项 S n = （A ） n (n +1) n (n +1) （B ） n (n -1) n (n -1) （C ） (D) 2 2 （6） 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm ），图中粗线画出的是某 零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm ，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削 10 6 2 2010年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 文科数学 参考公式： 样本数据12, n x x x 的标准差 锥体体积公式 s = =13 V sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V Sh = 233 4,4 S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合2,,|4,|A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，则A B = （A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2| （2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）16 65 - （3）已知复数2 3(13) i z i +=-，则i = (A) 14 （B ）1 2 （C ）1 （D ）2 （4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ （5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A ） （B （C （D （6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动， 其初始位置为0p ），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 (7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于 （A ）54 （B ）45 （C ）65 （D ）56 (9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){} 20x f x ->= （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 （10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4 a π += （A ）- （B （C ） （D （11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ， y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20） 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（海南） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ） A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8} 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合交集的运算可直接得到结果. 【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}， 所以{}2,3,5A B = 故选：C 【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单. 2. (12)(2)i i ++=（ ） A. 45i + B. 5i C. -5i D. 23i + 【答案】B 【解析】 【分析】 直接计算出答案即可. 【详解】2 (12)(2)2425i i i i i i ++=+++= 故选：B 【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单. 3. 在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ） A. 2CD CA + B. 2CD CA - C. 2CD CA - D. 2CD CA + 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 () 222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=?，所以40OAG AOC ∠=∠=?， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=?， 2020年海南省高考数学试卷（新课标Ⅱ） 一、选择题 1. 设集合A ={2,3,5,7}， B ={1,2,3,5,8}，则A ∩B =( ) A.{1,8} B.{2,5} C.{2,3,5} D.{1,2,3,5,8} 【答案】 C 【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为A ={2,3,5,7}，B ={1,2,3,5,8}， 所以A ∩B ={2,3,5}. 故选C ． 2. (1+2i)(2+i)=( ) A.?5i B.5i C.?5 D.5 【答案】 B 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1+2i )(2+i )=2+5i +2i ?i =2+5i ?2=5i . 故选B . 3. 如果D 为△ABC 的边AB 的中点，则向量CB → =( ) A.2CD → ?CA → B.2CA →?CD → C. 2CD →+CA → D. 2CA →+CD → 【答案】 A 【考点】 向量在几何中的应用 向量的三角形法则 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由三角形中线性质，2CD → =CB → +CA → ， 所以CB → =2CD → ?CA → . 故选A . 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( ) A.20° B.40° C.50° D.90° 【答案】 B 【考点】 解三角形的实际应用 在实际问题中建立三角函数模型 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：画出截面图如图所示， 其中CD 是赤道所在平面的截线， l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ， AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线. 依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知m//CD ，根据线面垂直的定义可得AB ⊥m . 由于∠AOC =40°,m//CD ， 所以∠OAG =∠AOC =40°. 由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE =90°， 所以∠BAE =∠OAG =40°，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE =40°. 故选B ． 1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991?云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 2．（3分）（1991?云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3 C ． 它的首项是﹣3，公差是2 D ． 它的首项是3，公差是﹣ 2 3．（3分）（1991?云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 2 4．（3分）（1991?云南）在直角坐标系xOy 中，参数方程 （其中t 是参数）表示的曲（ ） A ． 双曲线 B ． 抛物线 C ． 直线 D ． 圆 5．（3分）（1991?云南）设全集I 为自然数集N ，E={x 丨x=2n ，n ∈N}，F={x 丨x=4n ，n ∈N}，那么集合N 可以表示成（ ） A ． E ∩ F B ． ?U E ∪F C ． E ∪?U F D ． ?U E∩?U F 6．（3分）（1991?云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0 ，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线 C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线 D ． 椭圆 7．（3分）（1991?云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ） A ． ﹣ B ． ﹣ C ． ﹣ D ． ﹣ 8．（3分）（1991?云南）函数y=sinx ，x 的反函数为（ ） A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1] B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1] C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1] D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1] 9．（3分）（1991?云南）复数z=﹣3（sin ﹣icos ）的辐角的主值是（ ） A ． B ． C ． D ．2019海南省高考文科数学试题
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