2020年海南省高考数学试卷(新课标Ⅱ)
2020年海南省高考数学试卷（新课标Ⅱ）
一、选择题
1. 设集合A ={2,3,5,7}， B ={1,2,3,5,8}，则A ∩B =( ) A.{1,8} B.{2,5} C.{2,3,5} D.{1,2,3,5,8}
【答案】 C
【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：因为A ={2,3,5,7}，B ={1,2,3,5,8}， 所以A ∩B ={2,3,5}. 故选C ．
2. (1+2i)(2+i)=( ) A.?5i B.5i C.?5 D.5
【答案】 B
【考点】
复数代数形式的乘除运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1+2i )(2+i )=2+5i +2i ?i =2+5i ?2=5i . 故选B .
3. 如果D 为△ABC 的边AB 的中点，则向量CB →
=( ) A.2CD →
?CA →
B.2CA →?CD →
C. 2CD →+CA →
D. 2CA →+CD →
【答案】 A
【考点】
向量在几何中的应用 向量的三角形法则 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由三角形中线性质，2CD →
=CB →
+CA →
，
所以CB →
=2CD →
?CA →
. 故选A .
4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
【答案】 B
【考点】
解三角形的实际应用
在实际问题中建立三角函数模型 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：画出截面图如图所示，
其中CD 是赤道所在平面的截线，
l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ， AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线.
依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知m//CD ，根据线面垂直的定义可得AB ⊥m . 由于∠AOC =40°,m//CD ， 所以∠OAG =∠AOC =40°.
由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE =90°，
所以∠BAE =∠OAG =40°，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE =40°. 故选B ．
5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
【答案】
C
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，
两个项目都喜欢的百分比为z，
由题意，可得{x+z=60，
x+y+z=96，y+z=82,
解得{x=14, y=36, z=46,
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．
故选C．
6. 3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( )
A.4种
B.5种
C.6种
D.8种
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：先将3人分成两组，有C32=3种分法，
再将两组分配到两个山村，共C32A22=6种不同分配方案.
故选C.
7. 已知函数f(x)=log2(x2?4x?5)在(a,+∞)单调递增，则a的取值范围是()
A.(?∞,?1]
B.(?∞,2]
C.[2,+∞）
D.[5,+∞)
【答案】
D
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令t =x 2?4x ?5，由t >0，得x 5，
又f (x )=log 2t 在定义域内单调递增，且t =x 2?4x ?5在(5,+∞)也单调递增， 由条件可知a ≥5. 故选D ．
8. 若定义在R 的奇函数f (x )在(?∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x ?1)≥0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B.[?3,?1]∪[0,1] C.[?1,0]∪[1,+∞) D.[?1,0]∪[1,3]
【答案】 D
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：因为定义在R 的奇函数f (x )在(?∞,0)单调递减，且f (2)=(?2)=0. 令g (x )=f (x ?1)，
则g (3)=g (?1)=0，且g (x )在(?∞,1)， (1,+∞)单调递减， 又当x =0时，不等式xf (x ?1)≥0成立， 当x =1时，不等式xf (x ?1)≥0成立；
当x ?1=2或x ?1=?2时，即x =3或x =?1时，不等式xf (x ?1)≥0成立. 当x >0时，不等式x (x ?1)≥0等价为f (x ?1)≥0， 此时{
x >0，
0 此时1 当x <0时，不等式xf (x ?1)≥0等价为f (x ?1)≤0， 即{x <0，?2≤x ?1<0， 得?1≤x <0， 综上?1≤x ≤0或1≤x ≤3，即实数x 的取值范围是[?1,0]∪[1,3]. 故选D . 二、多选题 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( ) A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加； B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量； C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量； 【答案】 C,D 【考点】 频率分布折线图、密度曲线 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：从第1天到第7天复产指数逐日增加，从第7天到第9天复产指数也逐日减少， 从第9天到第11天复产指数也逐日增加，所以A选项错； 从图中可以看出这11天期间，复工指数增量略大于复产指数的增量，所以B选项错；从图中可以看出第3天和第11天复工复产指数均在80%线之上，所以C选项对； 从图中纵坐标变化可以看出第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，所以D 选项对. 故选CD． 已知曲线C:mx2+ny2=1.( ) A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m=n>0，则C是圆，其半径为√n x C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√?m n D.若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】 A,C,D 【考点】 双曲线的渐近线 椭圆的标准方程 圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析【解答】 解：A，若m>n>0，则1 m <1 n ，则根据椭圆定义，知x 2 1 m +y21 n =1表示焦点在y轴上的 椭圆，故A正确； B，若m=n>0，则方程为x2+y2=1 n ，表示半径为 n 的圆，故B错误； C，根据求双曲线渐近线的方法，可以得双曲线的渐近线方程mx2+ny2=0，又因为mn<0， 所以渐近线方程为y=±√?m n x，故C正确； D，当m=0，?n>0时，则方程为y= √n 表示两条直线，故D正确. 故选ACD． 如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=( ) A.sin(x+π 3) B.sin(π 3 ?2x) C.cos(2x+π 6 ) D.cos(5π 6 ?2x) 【答案】 B,C 【考点】 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由图象知函数的周期T=2×(2π 3?π 6 )=π， 所以ω=2. 由五点对应法得2×π 6+φ=π，得φ=2π 3 . 则f(x)=sin(2x+2π 3)=cos(2x+2π 3 ?π 2 )=cos(2x+π 6 )=sin(π 2 ?2x?π 6 )= sin(π 3 ?2x). 故选BC. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则( ) A.a2+b2≥1 2B.2a?b>1 2 C.log2a+log2b≥?2 D.√a+√b≤√2 【答案】 A,B,D 【考点】 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A，已知a>0，b>0，且a+b=1， 因为a+b 2≤√a2+b2 2 ， 所以(a+b)2≤2a2+2b2， 则a2+b2≥1 2 ，故A正确； B，要证2a?b>1 2 ，只需证明a?b>?1即可，即a>b?1，由于a>0，b>0且a+b=1， 所以a>0，b?1<0，故B正确； C，log 2a+log 2 b=log 2 ab≤log 2 a+b 2 =?2，故C错误； D，由于a>0，b>0，且a+b=1， 根据a+b 2≤√a2+b2 2 ， 得√a+√b 2≤√a+b 2 =√2 2 ， 所以√a+√b≤√2， 当且仅当a=b=√2 2 取等号，故D正确． 故选ABD． 三、填空题 棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1?D1MN的体积为________. 【答案】 1 【考点】 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为S A 1NN =2×2?1 2 ×2×1?1 2 ×2×1?1 2 ×1×1=3 2 ， 所以V A 1?D1MN =V D 1?A1MN =1 3 ×S A 1MN ×A1D1=1 3 ×3 2 ×2=1. 故答案为：1. 斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=_________. 【答案】 16 3 【考点】 与抛物线有关的中点弦及弦长问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y=√3(x?1)， 将方程代入y2=4x并化简得3x2?10x+3=0. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=10 3 ， 所以由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=10 3+2=16 3 . 故答案为：16 3 . 将数列{2n?1}与{3n?2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________. 【答案】 3n2?2n 【考点】 等差数列的前n项和 等差关系的确定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：将数列{2n?1}与{3n?2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}为1，7，13，19，?， 则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列， 故它的前n项和为n×1+n(n?1) 2 ×6=3n2?2n. 故答案为：3n2?2n. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四 边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=3 5 ，BH//DG，EF= 12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2. 【答案】 4+5π2 【考点】 解三角形的实际应用 在实际问题中建立三角函数模型 扇形面积公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图， 设OB=OA=r，由题意AM=AN=7,?EF=12，所以NF=5. 因为AP=5，所以∠AGP=45°，因BH//DG，所以∠AHO=45°. 因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形； 在直角△OQD中，OQ=5?√2 2r，DQ=7?√2 2 r. 因为tan∠ODC=OQ DQ =3 5 ， 所以21?3√2 2r=25?5√2 2 r， 解得r=2√2； 等腰直角△OAH面积为S1=1 2 ×2√2×2√2=4， 扇形AOB的面积S2=1 2×3π 4 ×(2√2)2=3π， 所以阴影部分的面积为S1+S2?1 2π=4+5π 2 . 故答案为：4+5π 2 . 四、解答题 在①ac=√3，②c sin A=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A=√3sin B，C=π 6 ，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 解：①ac=√3. △ABC中，sin A=√3sin B，即b=√3 3 a， ac=√3， 所以c=√3 a . cos C=a2+b2?c2 2ab =a 2+a2 3 ?3 a2 2√3a2 3 =√3 2 ， 所以a=√3，b=1，c=1； ②c sin A=3. △ABC中，c sin A=a sin C=a sinπ 6 =3，所以a=6. 因为sin A=√3sin B，即a=√3b， 所以b=2√3 . cos C=a2+b2?c2 2ab =2 2×6×2√3 =√3 2 ， 所以c=2√3； ③c=√3b. 因为sin A=√3sin B，即a=√3b，又因为c=√3b， cos C=a2+b2?c2 2ab =√3 6 ≠cosπ 6 ， 与已知条件C=π 6 相矛盾， 所以问题中的三角形不存在． 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：①ac=√3. △ABC中，sin A=√3sin B，即b=√3 3 a，ac=√3， 所以c=√3 a . cos C=a2+b2?c2 2ab =a 2+a2 3 ?3 a2 2√3a2 3 =√3 2 ， 所以a=√3，b=1，c=1； ②c sin A=3. △ABC中，c sin A=a sin C=a sinπ 6 =3，所以a=6. 因为sin A=√3sin B，即a=√3b， 所以b=2√3 . cos C=a2+b2?c2 2ab =2 2×6×2√3 =√3 2 ， 所以c=2√3； ③c=√3b. 因为sin A=√3sin B，即a=√3b，又因为c=√3b， cos C=a2+b2?c2 2ab =√3 6 ≠cosπ 6 ， 与已知条件C=π 6 相矛盾， 所以问题中的三角形不存在． 已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8. (1)求{a n}的通项公式； (2)求a1a2?a2a3+?+(?1)n?1a n a n+1. 【答案】 解：(1)因为a2+a4=20,a3=8， 所以8 q +8q=20，2q2?5q+2=0. 解得q=2或q=1 2 （舍去）， 所以a1=2， 所以a n=2n. (2)令b n=(?1)n?1a n a n+1， 则b n=(?1)n?1×2n×2n+1=(?1)n?1×22n+1. 因为b n b n?1=(?1)n?1×22n+ (?1)n?2×22n?1 =?4(n≥2,n∈N?)， 又b1=8， 所以{b n}是以8为首项，?4为公比的等比数列， 所以a1a2?a2a3+?+(?1)n?1a n a n+1=b1+b2+b3+?+b n =8?(?1)n×2n+1×4 1?(?2)2=8?(?1)n×22n+3 5 . 【考点】 等比数列的前n项和 等比数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)因为a2+a4=20,a3=8， 所以8 q +8q=20，2q2?5q+2=0. 解得q=2或q=1 2 （舍去）， 所以a1=2， 所以a n=2n. (2)令b n=(?1)n?1a n a n+1， 则b n=(?1)n?1×2n×2n+1=(?1)n?1×22n+1. 因为b n b n?1=(?1)n?1×22n+ (?1)n?2×22n?1 =?4(n≥2,n∈N?)， 又b1=8， 所以{b n}是以8为首项，?4为公比的等比数列， 所以a1a2?a2a3+?+(?1)n?1a n a n+1=b1+b2+b3+?+b n =8?(?1)n×2n+1×4 1?(?2)2=8?(?1)n×22n+3 5 . 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表： （ (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过$150"$的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表： (0,75] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关？ 附： K 2=n (ad?bc )2 a+b c+d a+c b+d 【答案】 解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过$150"$的概率 P = 32+18+6+8 100 =0.64. (2)根据所给数据，可得下面的2×2列联表： (0,75] 由K 2 =n (ad?bc )2 (a+b )(c+d )(a+c )(b+d ) = 100×(64×10?16×10)2 80×20×74×26 =7.484>6.635， P (K 2≥0.635)=0.01. 故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关. 【考点】 独立性检验 古典概型及其概率计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过$150"$的概率 P = 32+18+6+8 100 =0.64. (2)根据所给数据，可得下面的2×2列联表： 由K2=n(ad?bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =7.484>6.635， =100×(64×10?16×10)2 80×20×74×26 P(K2≥0.635)=0.01. 故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 如图，四棱锥P?ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．【答案】 (1)证明：过P在平面PAD内作直线l//AD, 由AD//BC，可得l//BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线， 因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以PD⊥BC. 又BC⊥CD，CD∩PD=D， 所以BC⊥平面PCD. 因为l//BC， 所以l⊥平面PCD； (2)如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D?xyz. 则D (0,0,0)，C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B (1,1,0). 设Q (0,m,1)(m >0)，BQ → =(?1,m ?1,1)， 因为QB =√2， 所以(?1)2+(m ?1)2+12=2，化简得(m ?1)2=0，所以m =1， 所以Q (0,1,1)， 因此，DQ →=(0,1,1)，DC →=(1,0,0)，PB → =(1,1,?1). 设平面QCD 的法向量为n → =(a,b,c )， {n → ?DC → =0,n →?DQ →=0, 即{a =0,b +c =0. 取n → =(0,1,?1)， 所以cos ?PB →,n → ?= PB →?n → |PB →|?|n → | = 1×0+1×1+?1×?1√3×√2 = √63 ， 所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√6 3 . 【考点】 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 (1)证明：过P 在平面PAD 内作直线l//AD , 由AD//BC ，可得l//BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线， 因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， 所以PD ⊥BC . 又BC ⊥CD ， CD ∩PD =D ， 所以BC ⊥平面PCD . 因为l//BC ， 所以l ⊥平面PCD ； (2)如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ?xyz . 则D (0,0,0)，C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B (1,1,0). 设Q (0,m,1)(m >0)，BQ → =(?1,m ?1,1)， 因为QB =√2， 所以(?1)2+(m ?1)2+12=2，化简得(m ?1)2=0，所以m =1， 所以Q (0,1,1)， 因此，DQ →=(0,1,1)，DC →=(1,0,0)，PB → =(1,1,?1). 设平面QCD 的法向量为n → =(a,b,c )， {n → ?DC → =0, n →?DQ →=0, 即{a =0, b + c =0. 取n → =(0,1,?1)，所以cos ?PB →,n → ?= PB →?n → |PB →|?|n → |= √3×√2 = √6 3 ， 所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√6 3. 已知椭圆C ： x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)过点M (2,3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为1 2. (1)求C 的方程； (2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 【答案】 解：(1)由题意可知直线AM 的方程为： y ?3=1 2(x ?2)， 即x ?2y =?4当y =0时， 解得x =?4， 所以a =4. 椭圆C:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)过点M (2,3)， 可得4 16+9b 2=1， 解得b 2=12. 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值． 联立直线方程x?2y=m与椭圆方程x 2 16+y2 12 =1， 可得：3(m+2y)2+4y2=48， 化简可得：16y2+12my+3m2?48=0，所以Δ=144m2?4×16(3m2?48)=0， 即m2=64，解得m=±8. 与AM距离比较远的直线方程：x?2y=8，直线AM方程为：x?2y=?4. 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：d=8+4 √1+4=12√5 5 ， 由两点之间距离公式可得|AM|=√(2+4)2+32=3√5，所以△AMN的面积的最大值： 1 2×3√5×12√5 5 =18. 【考点】 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)由题意可知直线AM的方程为：y?3=1 2 (x?2)，即x?2y=?4当y=0时， 解得x=?4， 所以a=4. 椭圆C:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)过点M(2,3)， 可得4 16+9 b2 =1， 解得b2=12. 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值． 联立直线方程x?2y=m与椭圆方程x 2 16+y2 12 =1， 可得：3(m+2y)2+4y2=48， 化简可得：16y2+12my+3m2?48=0，所以Δ=144m2?4×16(3m2?48)=0， 即m2=64，解得m=±8. 与AM距离比较远的直线方程：x?2y=8，直线AM方程为：x?2y=?4. 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：d=8+4 √1+4=12√5 5 ， 由两点之间距离公式可得|AM|=√(2+4)2+32=3√5，所以△AMN的面积的最大值： 1 2×3√5×12√5 5 =18. 已知函数f(x)=ae x?1?ln x+ln a. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围． 【答案】 解：(1)当a=e时，f(x)=e x?ln x+1， 所以f′(x)=e x?1 x ， 所以f′(1)=e?1. 因为f(1)=e+1， 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e+1)=(e?1)(x?1). 当x=0时，y=2， 当y=0时，x=?2 e?1 ， 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S= 1 2×2×2 e?1 =2 e?1 . (2)由f(x)≥1，可得ae x?1?ln x+ln a≥1，即e x?1+ln a?ln x+ln a≥1， 即e x?1+ln a+ln a+x?1≥ln x+x=e ln x+ln x. 令g(t)=e t+t， 则g′(t)=e t+1>0， 所以g(t)在R上单调递增， 所以g(ln a+x?1)>g(ln x)， 所以ln a+x?1>ln x，即ln a>ln x?x+1. 令?(x)=ln x?x+1， 所以?′(x)=1 x ?1=1?x x . 当0 当x>1时，?′(x)<0，函数?(x)单调递减， 所以?(x)≥?(1)=0， 所以ln a≥0， 所以a≥1. 故a的范围为[1,+∞). 【考点】 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 （1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积； （2）不等式等价于e x?1ln aaa+ln a+x?1≥ln x+x=e ln x+ln x，令g(t)=e t+t，根据函数单调性可得ln a>ln x?x+1，再构造函数?(x)=ln x?x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出α的范围. 【解答】 解：(1)当a=e时，f(x)=e x?ln x+1， 所以f′(x)=e x?1 x ， 所以f′(1)=e?1. 因为f(1)=e+1， 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e+1)=(e?1)(x?1). 当x=0时，y=2， 当y=0时，x=?2 e?1 ， 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S= 1 2×2×2 e?1 =2 e?1 . (2)由f(x)≥1，可得ae x?1?ln x+ln a≥1，即e x?1+ln a?ln x+ln a≥1， 即e x?1+ln a+ln a+x?1≥ln x+x=e ln x+ln x. 令g(t)=e t+t， 则g′(t)=e t+1>0， 所以g(t)在R上单调递增， 所以g(ln a+x?1)>g(ln x)， 所以ln a+x?1>ln x，即ln a>ln x?x+1. 令?(x)=ln x?x+1， 所以?′(x)=1 x ?1=1?x x . 当0 所以?(x)≥?(1)=0， 所以ln a≥0， 所以a≥1. 故a的范围为[1,+∞). 绝密*启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 数 学（文科） 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1 2017年普通高等学校招生全国统一考试(海南) 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.31i i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{} 240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥?，则2z x y =+的最小值是（ ） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） 海南省2017年高考文科数学试题及答案 （word 版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A B A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）= A. 1-i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i 3. 函数()f x =π sin （2x+）3的最小正周期为 A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 4. 设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A. a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 5. 若a ＞1，则双曲线x y a =2 22-1的离心率的取值范围是 A. 2∞（，） B. 22（，） C. 2（1，） D. 12（，） 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截 去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. 90π B.63π C.42π D.36π 7. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? 。则2z x y =+ 的最小值是 A. -15 B.-9 C. 1 D. 9 8. 函数2 ()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(-∞,-2) B. (-∞,-1) C.(1, +∞) D. (4, +∞) 9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 10. 执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S= A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再 随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上 的数的概率为 A. 110 B. 15 C. 310 D. 25 12. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线， 点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为 A. 5 B. 22 C. 23 D. 33 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 . 14. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-， 0∈∞时，()322=+f x x x , 则() 2=f 15. 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个 2018年海南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（） A．B．C． D． 4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（） 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷) 文科数学 注意事项 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合 A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ x | x - x - 2 = 0 ﹜，则 A B= (A) ? （B ）{2} （C ）{0} (D) {-2} (2) 1+ 3i = 1- i （A ） 1+ 2i （B ） -1+ 2i （C ）1-2i (D) -1-2i （3） 函数f (x ) 在 x=x 0 处导数存在，若 p ：f l （x 0 ）=0；q ：x=x 0 是f (x ) 的极值点，则 （A ） p 是q 的充分必要条件 （B ） p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ） p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4） 设向量a , b 满足|a+b|= ， |a-b|= ，则 a·b= （A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5 （5） 等差数列{a n }的公差为 2，若a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列，则{a n }的前 n 项 S n = （A ） n (n +1) n (n +1) （B ） n (n -1) n (n -1) （C ） (D) 2 2 （6） 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm ），图中粗线画出的是某 零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm ，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削 10 6 2 2010年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 文科数学 参考公式： 样本数据12, n x x x 的标准差 锥体体积公式 s = =13 V sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V Sh = 233 4,4 S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合2,,|4,|A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，则A B = （A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2| （2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）16 65 - （3）已知复数2 3(13) i z i +=-，则i = (A) 14 （B ）1 2 （C ）1 （D ）2 （4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ （5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A ） （B （C （D （6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动， 其初始位置为0p ），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 (7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于 （A ）54 （B ）45 （C ）65 （D ）56 (9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){} 20x f x ->= （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 （10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4 a π += （A ）- （B （C ） （D （11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ， y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20） 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（海南） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ） A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8} 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合交集的运算可直接得到结果. 【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}， 所以{}2,3,5A B = 故选：C 【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单. 2. (12)(2)i i ++=（ ） A. 45i + B. 5i C. -5i D. 23i + 【答案】B 【解析】 【分析】 直接计算出答案即可. 【详解】2 (12)(2)2425i i i i i i ++=+++= 故选：B 【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单. 3. 在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ） A. 2CD CA + B. 2CD CA - C. 2CD CA - D. 2CD CA + 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 () 222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=?，所以40OAG AOC ∠=∠=?， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=?， 2020年海南省高考数学试卷（新课标Ⅱ） 一、选择题 1. 设集合A ={2,3,5,7}， B ={1,2,3,5,8}，则A ∩B =( ) A.{1,8} B.{2,5} C.{2,3,5} D.{1,2,3,5,8} 【答案】 C 【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为A ={2,3,5,7}，B ={1,2,3,5,8}， 所以A ∩B ={2,3,5}. 故选C ． 2. (1+2i)(2+i)=( ) A.?5i B.5i C.?5 D.5 【答案】 B 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1+2i )(2+i )=2+5i +2i ?i =2+5i ?2=5i . 故选B . 3. 如果D 为△ABC 的边AB 的中点，则向量CB → =( ) A.2CD → ?CA → B.2CA →?CD → C. 2CD →+CA → D. 2CA →+CD → 【答案】 A 【考点】 向量在几何中的应用 向量的三角形法则 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由三角形中线性质，2CD → =CB → +CA → ， 所以CB → =2CD → ?CA → . 故选A . 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( ) A.20° B.40° C.50° D.90° 【答案】 B 【考点】 解三角形的实际应用 在实际问题中建立三角函数模型 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：画出截面图如图所示， 其中CD 是赤道所在平面的截线， l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA ⊥l ， AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线. 依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知m//CD ，根据线面垂直的定义可得AB ⊥m . 由于∠AOC =40°,m//CD ， 所以∠OAG =∠AOC =40°. 由于∠OAG +∠GAE =∠BAE +∠GAE =90°， 所以∠BAE =∠OAG =40°，也即晷针与点A 处的水平面所成角为∠BAE =40°. 故选B ． 1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991?云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 2．（3分）（1991?云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3 C ． 它的首项是﹣3，公差是2 D ． 它的首项是3，公差是﹣ 2 3．（3分）（1991?云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 2 4．（3分）（1991?云南）在直角坐标系xOy 中，参数方程 （其中t 是参数）表示的曲（ ） A ． 双曲线 B ． 抛物线 C ． 直线 D ． 圆 5．（3分）（1991?云南）设全集I 为自然数集N ，E={x 丨x=2n ，n ∈N}，F={x 丨x=4n ，n ∈N}，那么集合N 可以表示成（ ） A ． E ∩ F B ． ?U E ∪F C ． E ∪?U F D ． ?U E∩?U F 6．（3分）（1991?云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0 ，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线 C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线 D ． 椭圆 7．（3分）（1991?云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ） A ． ﹣ B ． ﹣ C ． ﹣ D ． ﹣ 8．（3分）（1991?云南）函数y=sinx ，x 的反函数为（ ） A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1] B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1] C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1] D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1] 9．（3分）（1991?云南）复数z=﹣3（sin ﹣icos ）的辐角的主值是（ ） A ． B ． C ． D ．2019海南省高考文科数学试题
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