傅里叶分析应用于热传导问题

（物理系郭素梅指导教师陆立柱）

〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。

〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题

引言

1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。

1. 傅里叶分析 1.1 傅里叶级数

傅里叶级数在应用上有以下优点[1]

：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调

和分析。

若函数()f x 以2l 为周期，即

(2)()f x l f x +=[2] (1.1.1)

则可取三角函数族

1， cos

x l π,cos 2x l π, … cos n x l π ，… sin x l π,sin 2x l π, … sin n x l

π ， … (1.1.2)

作为基本函数族，将()f x 展开为级数

[3]

()f x =0a +

(n n a ∞

=∑cos

n x l π+n b cos n x

π) (1.1.3) 可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的[4]

。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展

开系数为

1()cos 1()sin l n l n l

n l n a f d l l n b f d l l πξξξδπξξξ--?=??

?=??

?? （1.1.4）其中

2(0)1

(0)

n n n δ?=?=?

≠??

(1.1.3)称为周期函数()f x 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题[2]

，有Dirichlet 定理

[4]

。

若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，0a 及诸k a 均等于零，

展开式(1.1.3)为

()f x =1

sin

n n n x

b l

π∞

=∑, (1.1.5) 这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为

1()sin l n l n b f d l l

πξ

ξξ-=

? （1.1.6）同理，若周期函数是偶函数，则

()f x =0a +1

n n n x

a co l

π∞

=∑ (1.1.7) 这叫做傅里叶余弦级数，其中，

()cos

n l

n n a f d l l

πξ

ξξδ-=

? （1.1.8）对于只在有限区间，例如在(0,)l 上有定义的函数()f x ,可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数()g x ，而在(0,)l 上，()g x ≡()f x 。然后再对()g x 作傅里叶级数展开，其级数和在区间(0,)l 上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l 无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在(0,)l 上均代表()f x .有时，对函数()f x 在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。例如要求

(0)()0f f l ==

这时应延拓为奇的周期函数，因为

sin

n x l π│0x ==0, sin n x

π∣x l ==0; 又如要求

''(0)()0f f l ==

这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在0x =和x l =为零。

对于函数u(x,t),-l

叶级数

u(x,t)=a 0(t)+

(()s

()sin

n n n n x n x

a t co

b t l l

ππ∞

=+∑) (1.1.9) 其中的展开系数不是常数，而是关于t 的函数，

()(,)cos

1()(,)sin l

n l

n l n a t u t d l l

n b t u t d l l

πξξξδπξ

ξξ--==

?? (1.1.10)

1.2 傅里叶积分

一般说来，定义在区间（-∞

g(x)=0a +

sin

n n n n x n x

a co

b l l

ππ∞

=+∑) 在l →∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开。仔细研究这一极限过程[4]

，

可以得到：

f(x)=0

()cos ()sin A xd B xd ωωωωωω∞

∞

? (1.2.1)

其中

A(ω)=1

∞

-∞?f(ξ)cos ωξd ξ

B(ω)=

∞

-∞

f(ξ)sin ωξd ξ (1.2.2)

(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。对f(x)的条件，有傅里叶积分定理

[5]

。复数形式的傅里叶积分为:

f(x)=

∞

-∞

F(ω)i x

ωd ω (1.2.3)

F(ω)=

12π

∞

-∞

f(x)*[]i x e ωdx (1.2.4)

1.3 含参数的傅里叶变换

对于函数u(x,t),(-∞

u(x,t)=

∞

-∞

F(ω,t)i x

ωd ω (1.3.1)

其中

F(ω,t)=

12π

∞

-∞

u(x,t)*

[]i x e

ωdx (1.3.2)

(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。

２．细杆的热传导问题

由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。在细杆的

热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。应用热传导定理和能量

守恒定律，可导出

[6]

可导出热传导方程：

20t xx u a u -= (无热源、汇)

2(,)t xx u a u f x t -= (有热源、汇) 还需初始条件

u(x,t)|0t t ==?(x) 和三类边界条件

[7]

：

第一类 u(x,t)|0x x ==ψ(t) 第二类 u x (x,t)|0x x ==ψ(t)

第三类 u(x,t) |0x x =+Hu x (x,t)|0x x ==ψ(t) 这样构成完整的一维热传导问题

[8]

。根据空间变量的范围可分为以下两种细杆的热传导问题。

２.1 有界细杆的热传导问题

这里仅选第二类边界条件作讨论，构成

200

(,)(0,0)

|0|()t xx x x x x l t u a u f x t x l t u u u x ?===?-=<<>?

=??

=??=? (2.1.1)

2.2 无界细杆的热传导问题

20(,)(,0)

t xx t u a u f x t x t u =?-=-∞<<∞>?

=?? (2.2.1)

对半无界细杆的热传导问题，根据边界条件延拓到无界，转化为无界细杆的定解问题。对第一类齐

次边界条件的定解问题

2(,)t xx u a u f x t -= （x>0,t>0）

0|x u ==0 0|t u ==?(x) 作奇延拓

2(,)t xx u a u f x t -= 0|t u ==()(0)

()

(0)

x x x x ??>??--

对第二类边界条件

2(,)t xx u a u f x t -= （x>0,t>0） 0|0x x u == 0|t u ==?(x) 作偶延拓

2(,)t xx u a u f x t -= 0|t u ==()(0)

()

(0)

x x x x ??>??-

３．傅里叶分析应用于细杆的热传导问题

３.1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题

傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。对问题(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展开

为傅里叶级数，基本函数族应是相应齐次方程 20t xx u a u -= 在第二类齐次边界条件下的本征函数：cos

n x

π(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数 u(x,t)=0

n ∞

=∑

()s

n n x

T t co l

π (3.1.1) 把这个级数代入泛定方程，

222'

[()()]s n n n n a n x

T t T t co l l ππ∞

=+∑＝f(x,t) (3.1.2)

方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到：

222'

[]cos ()cos n n n n n n a n x n x

T T f t l l l πππ∞

∞==+=∑∑ (3.1.3) 其中()n f t 为(,)f x t 的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。比较两边的系数，分离出n T （t ）的常微分方程

n T 222

n n a T l π+=()n f t (3.1.4)

又把（3.1.1）代入初始条件，得：

0(0)n n T ∞

=∑cos n x l π=()x ?=0n

n ?∞

=∑cos n x l π (3.1.5) 其中n ?为()x ?的傅里叶余弦级数的第n 个傅里叶系数。(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数族cos n x

π的正交性，等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等，于是得n T (t)的非零初始条件

001(0)()l

o T d l ??ξξ==

? 2(0)()cos l n n o n T d l l πξ

??ξξ==? (3.1.7)

n T (t)的常微分方程（求解[9]）在初始条件（3.1.7）下的解是

n T (t)=222

222

[()()]n a n a t

l l n n n e

f t e

dt f t dt ππ?-+-?? (3.1.8)

这样所求解是

(,)u x t =0

{n ∞

=∑222

222

[()()]n a n a t

l l n n n e

f t e

dt f t dt ππ?-

+-??}cos

n x

(3.1.9)

可以证明(3.1.9)是存在且唯一的

[10]

3.2 用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题

对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换，即用不着遍乘方程及定解条件各项，并对空间变数x 积分（时间变数视作参数），原来的定解问题变成

'220(;)(;)(;)

(;)|0

t U t k k a U t k F t k U t k =?+=?=? (3.2.1)

其中(;)U t k 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次常微方程，用22k a t

遍乘方程各项，得：

2222[(;)](;)k a t k a t d

U t k e F t k e dt

= 对t 积分一次，计及零初始值，

(;)U t k =22

a t

e -22

(;)t

k a F k e d τττ?

t ?22

()

(,)ik k a

t f e e d d ξτξτξτ∞

----∞

进行傅里叶逆变换，

(,)u x t =

12π

()

[(,)t

ik k a

t f e e d d ξτξτξτ∞

∞

----∞

-∞

]?ikx e dk

交换积分次序

(,)u x t =0

(,)

f ξτ∞

-∞

12π[22()()k a t ik x e e dk τξ∞----∞

?]d d ξτ 引用积分公式

k e e dk α

β∞

--∞

4βα

可得结果

(,)u x t =0

2()4()

(,]x a t f d d ξτξτξτ--

∞

--∞

(3.2.2))

可以验证

[11]

(3.2.2) 确实符合(2.2.1).有热源或热汇的热传导问题，即泛定方程是齐次的，求解[12]

更容易。

4. 讨论

4.1 一维热传导问题方法和结论的推广

用傅里叶分析法解决细杆的热传导问题，以及得到的结论均可推广到二维、三维空间，用到的理论基础是二、三重傅里叶级数

[13]

和二

[14]

、三

[15]

重傅里叶变换，求解过程与一维类似。

4.2 傅里叶分析应用于其它定解问题

用傅里叶分析法求解热传导问题时，只是对所求解进行了傅里叶展开或变换，并未对方程限制，常见的其它定解问题

[13]

：振动问题，扩散问题等均可用傅里叶分析法。

参考文献

[1]近藤次郎等. 微分方程付里叶分析 .于溶渤译者沈阳：辽宁人民出版社，1981 [2]董延 .级数.上海：上海科学技术出版社，1982 [3]周肇锡. 积分变换. 国防工业出版社，1982

[4]梁昆淼 .数学物理方法（第三版）. 北京：高等教育出版社，1998 [5]管平等 .数学物理方法.北京：高等教育出版社，2001 [6]郭敦仁.数学物理方法.北京：人民教育出版社，1965

[7]陆全康等.数学物理方法自学辅导. 上海：上海科学技术出版社，1989

[8]杨应辰徐明聪.数学物理方法与特殊函数.国防工业出版社，1980

[9]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三版）.北京：高等教育出版社，1995

[10]Tyn Myint-U . 数学物理中的偏微分方程.徐元钟译. 上海：上海科学技术出版社，1983

[11]陈庆益. 数学物理方程. 人民教育出版社，1979

[12]陆立柱.数学物理方法.太原：山西高校联合出版社，1993

[13]周祥龙.数学物理方程.浙江大学出版社，1991

[14]孙仲康.快速傅里叶变换及其应用.北京：人民邮电出版社，1982

[15]C. 哈普尔. 数学物理引论. 肖布森译.北京：科学出版社，1989

Fourier analysis application to

Heat-conduction question

(Department of Physics Guo Sumei Director Lu Lizhu )

〔Abstract〕Fourier analysis is an important Mathematics tool.The thesis applies Fourier analysis to one-dimensional space Heat-conduction question, and have a discussion. Fourier analysis consists of Fourier series which can solve limited one-dimensional space Heat-conduction question and Fourier integral which can solve infinite one-dimensional space Heat-conduction question. This is more systematic compared with the other methods, and embodies corresponding beauty of Mathematics to Physics.

〔Key words〕Fourier series Fourier integral Fourier transform one-dimensional space Heat-conduction question

【教师评语】

本文对傅里叶分析的理论和方法理解深刻，阐述正确。应用于热传导问题时，物理概论和思想清晰，数学方法得当，逻辑性强，过程清晰，结论正确。

指导教师：陆立柱

傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换

傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。傅里叶级数的指数形式一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o

)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω，（1）其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω，（2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω，（3）根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω，（4）若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω，（5）

傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、

概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子； 2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

有関傅立叶变换的FPGA实现傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。离散傅里叶变换的应用 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用

傅里叶级数及其应用.

毕业论文题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉指导教师：李博职称：讲师院系：理学院数学系专业：数学与应用数学班级：10级1班日期： 2014年5月

傅里叶级数及其应用摘要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎. 关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型

Fourier series and its applications Abstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propositions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and development process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation process of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of China's railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians. Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic design；prediction model

信号与系统matlab实验傅里叶分析及应用报告答案

实验二傅里叶分析及应用姓名学号班级一、实验目的（一）掌握使用Matlab进行周期信号傅里叶级数展开和频谱分析 1、学会使用Matlab分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理含义 2、学会使用Matlab分析周期信号的频谱特性（二）掌握使用Matlab求解信号的傅里叶变换并分析傅里叶变换的性质 1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶变换 2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图 3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质（三）掌握使用Matlab完成信号抽样并验证抽样定理 1、学会运用MATLAB完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析 2、学会运用MATLAB改变抽样时间间隔，观察抽样后信号的频谱变化 3、学会运用MATLAB对抽样后的信号进行重建二、实验条件需要一台PC机和一定的matlab编程能力三、实验内容 2、分别利用Matlab符号运算求解法和数值计算法求下图所示信号的FT，并画出其频谱图（包括幅度谱和相位谱）[注：图中时间单位为：毫秒(ms)]。

符号运算法： Ft= sym('t*(Heaviside(t+2)-Heaviside(t+1))+Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1)+(-t)*(Heavi side(t-1)-Heaviside(t-2))'); Fw = fourier(Ft); ezplot(abs(Fw)),grid on; phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); ezplot(phase);grid on; title('|F|'); title('phase'); 3、试用Matlab 命令求ω ωωj 54 -j 310)F(j ++= 的傅里叶反变换，并绘出其时域信号图。

傅里叶变换在信号处理中的应用

傅里叶变换在信号处理中的应用姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要：傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。关键词：傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换傅里叶逆变换 2.分类连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.

MATLAB实验二傅里叶分析及应用

M A T L A B实验二傅里叶分析及应用 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

实验二傅里叶分析及应用一、实验目的（一）掌握使用Matlab进行周期信号傅里叶级数展开和频谱分析 1、学会使用Matlab分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理含义 2、学会使用Matlab分析周期信号的频谱特性（二）掌握使用Matlab求解信号的傅里叶变换并分析傅里叶变换的性质 1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶变换 2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图 3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质（三）掌握使用Matlab完成信号抽样并验证抽样定理 1、学会运用MATLAB完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析 2、学会运用MATLAB改变抽样时间间隔，观察抽样后信号的频谱变化 3、学会运用MATLAB对抽样后的信号进行重建二、实验条件 Win7系统，MATLAB R2015a 三、实验内容 1、分别利用Matlab符号运算求解法和数值计算法求下图所示信号的FT，并画出其频谱图（包括幅度谱和相位谱）[注：图中时间单位为：毫秒(ms)]。

符号运算法

t (20 π ex p(-3 t) heaviside(t) - 8 π ex p(-5 t) heaviside(t))/(2 π) 数值运算法 2、试用Matlab 命令求ω ωωj 54 -j 310)F(j ++=的傅里叶反变换，并绘出其时域信号图。两个单边指数脉冲的叠加 3、已知门函数自身卷积为三角波信号，试用Matlab 命令验证FT 的时域卷积定理。

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1.前言 1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识

傅里叶级数和应用毕业论文

傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级：姓名：

目录引言 (3) 1 傅立叶级数的计算 (5) 1.1 傅立叶级数的几何意义 (5) 1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10) 1.3 傅里叶级数的展开 (11) 1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16) 1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19) 2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21) 2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21) 2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28) 3 微分中值定理在复数域上的推广 (32) 3.1 复数域上的中值定理 (32) 3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36) 结论 (39) 致谢 (40) 参考文献 (41)

为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．关键词： n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域

快速傅里叶变换原理及其应用(快速入门)

快速傅里叶变换的原理及其应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用

Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used

傅里叶变换的应用

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量 3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化

图像傅里叶变换详解

图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。

傅里叶分析应用于热传导问题

傅里叶分析应用于热传导问题（物理系郭素梅指导教师陆立柱）〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题引言 1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。 1. 傅里叶分析 1.1 傅里叶级数傅里叶级数在应用上有以下优点[1] ：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调和分析。若函数()f x 以2l 为周期，即 (2)()f x l f x +=[2] (1.1.1) 则可取三角函数族 1， cos x l π,cos 2x l π, … cos n x l π ，… sin x l π,sin 2x l π, … sin n x l π ， … (1.1.2) 作为基本函数族，将()f x 展开为级数 [3] ()f x =0a + 1 (n n a ∞ =∑cos n x l π+n b cos n x l π) (1.1.3) 可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的[4] 。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展开系数为

傅里叶分析及应用

实验二傅里叶分析及应用一、实验目的（一）掌握使用Matlab进行周期信号傅里叶级数展开和频谱分析 1、学会使用Matlab分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理含义 2、学会使用Matlab分析周期信号的频谱特性（二）掌握使用Matlab求解信号的傅里叶变换并分析傅里叶变换的性质 1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶变换 2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图 3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质（三）掌握使用Matlab完成信号抽样并验证抽样定理 1、学会运用MATLAB完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析 2、学会运用MATLAB改变抽样时间间隔，观察抽样后信号的频谱变化 3、学会运用MATLAB对抽样后的信号进行重建二、实验条件安装winXP系统的电脑一台、matlab 7.0软件三、实验内容 1、已知周期三角信号如下图所示[注：图中时间单位为：毫秒(ms)]：（1）试求出该信号的傅里叶级数[自己求或参见课本P112或P394]，利用Matlab编程实现其各次谐波[如1、3、5、13、49]的叠加，并验证其收敛性；

解：命令文件： clear all;close all;clc; t=-10:0.01:10; omega=pi; y=abs(sawtooth(pi*0.5*t,0.5)); plot(t,y),grid on; axis([-10,10,0,3]); n_max=[1,3,5,13,49]; N=length(n_max); for k=1:N n=1:2:n_max(k); b=4./((pi*n).^2); x=b*cos(omega*n'*t); figure; plot(t,y); hold on; x=x+1/2; plot(t,x); hold off; axis([-10,10,0,3]); title(['最大谐波数=',num2str(n_max(k))]); end 图像：

傅里叶级数的其收敛性及其应用

傅里叶级数的收敛性及其应用摘要傅里叶级数是数学分析的一个重要组成部分.本文首先介绍了傅里叶级数的相关知识、以2π为周期函数的傅里叶级数展开式、以2l为周期函数的傅里叶级数展开形式.其次，通过狄利克雷积分和黎曼—勒贝格引理及局部化定理傅里叶 f t展开成傅里叶级数的收敛定理及其证明.级数的收敛定理分析了周期函数() 最后，给出了傅里叶级数一些简单应用，其原理主要是利用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和趋于无穷大时吉伯斯现象不存在以及利用傅里叶级数展开法研究了平顶高斯光束通过有光阑限制的近轴ABCD光学系统的传输特性问题. 关键词：傅里叶级数；收敛性；积分；周期函数

CONVERGENCE OF FOURIER SERIES AND ITS APPLICATION ABSTRACT Fourier series is an important part in Mathematical Analysis. The first introduced the knowledge of Fourier series, toπ2for the periodic function of the Fourier series expansion, to l2for the periodic function of the Fourier series expansion. Second, analyzed periodic function()x f expand into Fourier series convergence theorem and its proof by Dirichlet integral and Riemann-Lebesgue Lemma and local theorem of Fourier series convergence theorem . Finally, some simple application of Fourier series, and its main principle is to use the mean square error of the Fourier series is proved, and tends to infinity, some of Gibbs phenomenon does not exist and the use of fourier Fourier series expansion of the flattened Gaussian beams through apertured paraxial optical system ABCD, the transmission characteristics of the problem. Key words:Fourier series; Convergence; Integral; Periodic function ----

傅里叶分析应用于热传导问题

傅里叶分析应用于热传导问题（物理系郭素梅指导教师陆立柱）〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题引言 1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。 1.傅里叶分析 1.1 傅里叶级数傅里叶级数在应用上有以下优点[1]：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调和分析。若函数() f x以2l为周期，即 +=[2] (2)() f x l f x (1.1.1)

则可取三角函数族 1， cos x l π,cos 2x l π, … cos n x l π ，… sin x l π,sin 2x l π, (i) n x l π ， … (1.1.2) 作为基本函数族，将()f x 展开为级数[3] ()f x =0 a +1 (n n a ∞ =∑cos n x l π+ n b cos n x l π) (1.1.3) 可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的[4]。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展开系数为 1()cos 1()sin l n l n l n l n a f d l l n b f d l l πξξξδπξξξ--?=??? ?=?? ?? （1.1.4）其中 2(0)1 (0) n n n δ?=?=? ≠?? (1.1.3)称为周期函数()f x 的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题[2]，有Dirichlet 定理[4]。若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，0a 及诸k a 均等于零，展开式(1.1.3)为 () f x = 1 sin n n n x b l π∞ =∑,

MATLAB离散傅里叶变换及应用资料

MATLAB 离散傅里叶变换及应用一、DFT 与IDFT 、DFS 、DTFT 的联系 1、序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为 1N ,0,1,k , W x(n)DFT [x(n)]X(k)1 N 0n nk N -===∑-= (12-1) 1N ,0,1,n , W X(k)N 1IDFT[X(k)]x(n)1N 0 k nk N -===∑-=- (12-2) 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。程序源代码： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:(N-1);k=0:(N-1); Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)');

subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); title('IDFT|X(k)|'); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk)); title('|X(k)|'); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk)); title('arg|X(k)|'); 运行图如下： x(n) IDFT|X (k)| 2 4 6 8 |X (k)| 2 4 6 8 arg|X (k)| 从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N 点的离散序列。 2、序列DFT 与周期序列DFS 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，