解析几何中恒过定点问题的解题策略学案

恒过定点问题的解题策略

一、复习要点：

1.恒过定点问题的解题策略和方法；

2.体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式，掌握类比探究、转化与化归等思想方法.

二、课前热身：

1.动直线(2)(34)210()a x a y a a R ++-+-=∈过定点 . 整理得：(32)2410x y a x y +++--=对任意实数a 恒成立.定点11(,)22

- 2.动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a R ++++---=∈过定点 . 整理得：22(4)2440x y a x y x y --++++-=.定点(2,2),(1,5)---

3.如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q . 求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求出定点坐标. 解法一：

设000(,)(0)M x y y ≠，

则直线00:(2)2y AM y x x =++，0

06(4,)2y P x ∴+

则直线00:(2)2y BM y x x =--，0

02(4,)2y Q x ∴-

圆C ：2

0062(4)()()022

y y x y y x x -+--=+-，

整理得：22

8(1)

(4)120x x y y y --++

-= 由22(4)1200

x y y ?-+-=?=?

得定点为(4±

解法二：

设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，(4,6)P k ∴，1AM BM k k =-Q

所以直线1:(2)BM y x k =-

-，2(4,)Q k

∴- 圆C ：22(4)(6)()0x y k y k -+-+=，整理得：22

2(4)(6)120x y k y k

-++--=

由22(4)120

0x y y ?-+-=?=?

得定点为(4±.

三、例题精讲

例1．如图，已知椭圆2

214

x y +=，直线l ：4x =，A ，B 是长轴的两端点，M 是椭圆上异

于A ，B 的任意一点，设直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q ．求证：以PQ 为直径的圆C 经过定点，并求出该定点坐标．

(4,0

) 解法一：

设000(,)(0)M x y y ≠，圆C 方程：

2200

2(1)

(4)30x x y y y --++

-= 解法二：

设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，则直线

1:(2)4B M y x k =-

-，1(4,6),(4,)2P k Q k

∴- 圆C ：2

1(4)(6)()02x y k y k -+-+=，整理得：221(4)(6)302x y k y k -++--= 由22(4)30

x y y ?-+-=?=?

得定点为(4.

例2．过椭圆2

214

x y +=的左顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点.

求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．证明：

设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，则直线1

:(2)AM y x k

+ 2222

(2)(14)16164014

y k x k x k x k x y =+???+++-=?+=?? 22222

1642842,,141414M M M

k k k

x x y k k k ---=∴==+++Q 所以点222284(

,)1414k k M k k -++，同理：点222

284(,)44k k

N k k --++ 2222222

44514428284(1)144MN

k k

k k k k k k k k k +++∴==----

++，直线2222

4528:,()144(1)14k k k MN y x k k k

--=-+-+ 令0y =得222222

2816(1)6(14)6

145(14)5(14)5

k k k x k k k ---+=-==-+++，所以直线MN 过定点6(,0)5-. 或解：（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）

令222

2228281144k k k k k --=?=++，此时22

286145

k k -=-+，所以直线MN 过定点6(,0)5-. 当22

22245141,2864(1)145CM

k k k k k k k k +≠==--++，22224542864(1)

k k k k k k -+==--+

+. ,,,CM CN k k M N C ∴=∴三点共线，即：直线MN 过定点6

(,0)5

解法二：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线:MN y kx m =+.

222

(14)844014

y kx m k x kmx m x y =+???+++-=?+=??

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

高中数学解析几何中的基本公式

解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴，则=AB 。 y //AB 轴，则=AB 。 2、平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

高考解析几何中的基本公式(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴，则=AB 。 y //AB 轴，则=AB 。 2、平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为 λ，则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x

变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

高中数学解析几何解题方法

解析几何常规题型及方法核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221- =，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

高中解析几何秒杀公式及解题套路

高中解析几何秒杀公式及解题套路高中解析几何秒杀公式是什幺，解析几何解题套路有哪些，怎幺能用一套完整的思路做所有类似的题目？把所有类型题都搞定？下面是高中解析几何秒杀公式及解题套路，希望你看完能上岸。 1高考解析几何的统一解题套路以高考解析几何为例1、问题都是以平面上的点、直线、曲线如圆、椭圆、抛物线、双曲线这三大类几何元素为基础构成的图形的问题2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。当然，能用代数规则处理的问题必须是代数形式的，比如，平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理，前提是构成这些图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这幺一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作1、几何问题代数化。2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。至此，我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路步骤1：把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化）步骤 2：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代）说明：这里的“从属关系”指的是什幺？实际上，在解析几何中，“点”是比直线、曲线更基础的几何元素——任何几何图形，包括直线和曲线，都被视为是由一个个的“点”构成的（用数学语言来表达：任何几何图形，包括直线和曲线，都是由点构成的集合）。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明。我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以，这里的“从属关系”是点与直线、曲线的属于关系问题——如果某个点在某条直线或曲线上，那幺这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。步骤3：图形

解决平面解析几何问题的思维策略研究

解决平面解析几何问题的思维策略研究成都市武侯区四川大学附属中学数学组简洪权摘要本研究把解决平面解析几何问题的思维过程划分为理解问题、转化问题、解答问题、反思问题四个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨了解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略：运用恰当的语句表述问题的条件、运用正确的方法指导解题的思路、运用基本的知识和技能简化运算过程、运用恰当的思维方法提炼解答过程中的一般规律。关键词：问题解决，平面解析几何问题，思维过程，思维策略 1．问题的提出学数学离不开解题。解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出问题的解的活动。小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术应用于实际构建出适当的模型等，都叫做解题。美国数学家保罗哈尔莫斯(Paul Halmos)认为：“数学家存在的主要理由就是解问题”，“数学的真正的组成部分是问题和解” [1]。数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题则是一个再创造或再发现的过程。美籍匈牙利数学教育家乔治波利亚(George Polya) 在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就是意味着善于解题” [1]。他认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。在数学教学中，“解题”是一种最基本的活动形式，无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法与技能的获得，还是学生能力的发展与提高，都要通过解题活动来完成。同时，“解题”也是评价学生认知水平的重要手段。为此，研究者把解决平面解析几何问题的思维过程划分为几个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略，旨在用以指导具体解题的方法。 2．解决平面解析几何问题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，乔治波利亚提出了四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾[2]。平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。坐标法是平面解析几何最基本的方法，它是利用“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个重要概念，借助于平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，用坐标表

(完整版)解析几何大题的解题技巧

目录解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (1) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (2) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在抛物线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1

解析几何公式大全

平行线间距离：若l i : Ax By C i 0, 12 : Ax By C20 则：d C i C2I J A2B2 注意点：x, y对应项系数应相等。点到直线的距离：P(x , y ),I:Ax By C 0 则P到1的距离为: |Ax d By C 解析几何中的基本公式 .A2B2 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：y kx b F(x,y) 0 2 消y：ax bx c 0，务必注意0. 若I与曲线交于A(x1, y1), B(x2, y2) 则：AB v'(1 k2)(X2 X i)2 若A(x i, y i), B(X2, y2)，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为 i y i y2 i ，特别地: x =1时，P为AB中点且 y x-i x2 2 y i y2 2 变形后：—i或」 X2 x y2 y 若直线l i的斜率为k i，直线|2的斜率为k2,则l i到|2的角为，（0, ）适用范围：k i，k2都存在且k i k2 —i , tan k2 k i i k i k2

I i 到I 2的夹角：指 11、 12相交所成的锐角或直角。 (2) l 1 I 2时，夹角、到角=—。 2 (3) 当11与I 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。直线的倾斜角与斜率k 的关系每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。若直线存在斜率k ,而倾斜角为，则k=tan 。直线I 1与直线I 2的的平行与垂直 (1)若I 1， I 2均存在斜率且不重合：①I 1//I 2 k 1=k 2 ② I 1 I 2 k 1k 2=— 1 (2)若 I 1 : A 1x B 1 y C 1 0, I 2 : A 2X B 2y C 2 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 I 1//I 2 △邑 C !； A 2 B 2 C 2 若i i 与12的夹角为，则tan 注意：(1 ) I i 到12的角，指从 k i k 2 1 kk 11按逆时针方向旋转到 I 2所成的角, (0,) (1) 倾斜角， (0,)； (2) a, b 夹角, [0, ］； (3) 直线I 与平面的夹角 ,[0，,] (4) I 1与I 2的夹角为［0,—］，其中 2 (5) 二面角， (0,]； (6) I 1到I 2的角, (0, ) I 1//I 2时夹角 =0； I 1 I 2 A 1A 2+B 1B 2=0；

《对高中解析几何的教学感悟》

对高中解析几何的教学感悟内容提要：从历史角度看，解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。在现代数学教学中，解析几何是学习高等数学的基础，另一部分则是数学基础课的内容。高中数学中，解析几何巧妙地把代数与几何结合起来，数学成为双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何目的可通过代数运算来达到。另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。也就是说，解析几何是用数形结合的思想将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。本人当中，我根据6年来的高中数学教学经验结合实际问题谈谈我对解析几何的教学的一点感悟。关键词：代数几何数形结合思想感悟一、重视“数形结合”的思想数形结合的思想是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即将代数问题几何化，运用图形的几何性质来解决；或将几何问题代数化，运用代数特征进行运算解决，其方法是以形助数，以数助形，数形渗透，相互作用.其目的是将复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，以便迅速、简捷、合理地解决问题. 例1如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的最小路程是 A ． B ．6 C ． D ． [解析]设点P 关于直线AB 的对称点为)2,4(D ，关于y 轴的对称、)0,2(-C ，则光线所经过的路程PMN 的长 =≥++=++=CD NC MN DM NP MN PM 【归纳小结】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。关键点1：怎样将几何问题转化为代数问题？在教学中尽量让学生了解几何对象的本质特征，能够用代数形式将几何问题准确表示出来。有意识的对常见几何对象根据几何特征进行代数化训练。关键点2:提高“代数结论”向“几何结论”转化的意识和能力。这样也就是通过代数问题的解决使几何题目得以解决。在平时的教学中将前两个关键点融会贯通，才能使学生理解解析几何的思维方法。二、用数学思想方法指导平时的教学在平时教学中指导学生在解决问题时运用数学思维方法，努力提高他们运用数学思维方法的意识。解题时注意分析题目，在分析时注意数学思维方法的运用。解题过程中要注意提炼数学思维方法解决问题的思维过程。解题思想的探求即是运用数学思维方法解决问题的过程。例2抛物线D 以双曲线188:22=-x y C 的焦点)0(),,0(>c c F 为焦点．

解析几何种技巧(终审稿)

解析几何种技巧文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。陕西胡波从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简. 2.活用平几峰回路转解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准

确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果. 【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标?水到渠成【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路 … 更多有关解析几何的解题技巧详见《试题调研》第2辑—三角函数、平面向量、解析几何。本辑定会让你识得了三角、解得了几何、破得了向量，真正做到好题先体验，笑在百花前！

高中数学解析几何解题方法~

高考专题：解析几何常规题型及方法高考核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 212 2 1-=，x y 2 222 2 1- =。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 1212121212 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212 x y y y x x - --=· 。又k y y x x y x = --= --1212 12 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

高中数学解析几何解题方法总结

高中数学解析几何解题方法总结老师在讲题的时候，经常如未卜先知一般，就知道已知条件里经常存在着一个自己完全不知道的信息；或者分析着分析着，就突然来句：“这道题可以用反证法/数学归纳法……”解法是很精妙，但换你来做，你就是没有意识到要采用这样的方法。我也曾经问过老师，为什么你们当时会想到用这种方法？得到的也往往是“不知道”、“题目做多了就明白了”。高中数学解析几何解题方法我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势： (1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，占总分值的20%左右。 (2)整体平衡，重点突出：其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既留意全面，更留意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ① 求曲线方程(类型确定、类型未定); ②直线与圆锥曲线的交点题目(含切线题目);

③与曲线有关的最(极)值题目; ④与曲线有关的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数目特征; 高中数学解析几何解题方法： (3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但假如借助于数形结合的思想，就能快速正确的得到答案。 (4)题型新奇，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分： (1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类： ①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、间隔、平行与垂直、线性规划等)有关的题目; ②对痴光目(包括关于点对称，关于直线对称)要熟记解法; ③与圆的位置有关的题目，其常规方法是研究圆心到直线的间隔. 以及其他“标准件”类型的基础题。 (2)以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。

高考解析几何中的基本公式

解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若 A(x 「yj, B (X 2 $2)，贝V AB = J (X 2 —xj 2+(y 2 — yj 2 特别地：AB //x 轴，贝U AB = _________________ 。 AB 〃y 轴，贝U AB = _________________ 。 2、平行线间距离：若 h : Ax By C^ 0, l 2 : Ax By C 2 = 0 注意点：x , y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：P(x ,y ), l: Ax By 0 则P 到1的距离为： d 」 AX ￥C I A 2 +B 2 消y ： ax 2 bx 0，务必注意厶? 0. 若I 与曲线交于A (% , yj, B(x 2, y 2) 则：AB =<(1 +k 2)(X 2 —刘)2 5、若人(兀，％)月&2』2), P (x , y )o P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为变形后：，= x x 1 或，= y y 1 X 2 _X y 2_y 6、若直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2,则l 1到l 2的角为〉，二三(0，二) 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式: y = kx 十 b :F(x,y) = O ，特别地: ■ =1时，P 为AB 中点且 x-i x 2 适用范围：k 1, k 2都存在且k 1 k 2T ^ — 1 , k 2 -k 1 1 k 1k 2 则: 则

2 7、（ 1）倾斜角〉，：乂三（0,二）；（2） a,b 夹角二-[0,二]；（3）直线I 与平面：?的夹角1 1"[0,—]； 2 （4） 11与12的夹角为 6 — [0, —],其中I 1//I 2时夹角二=0；（5）二面角 -三（0, ■:]; （6） 11 到 12 的角二丁（0,二） k _ k -TT 若11与12的夹角为日，则怡心亡H W （°,2] 注意：（1） 11到12的角，指从丨1按逆时针方向旋转到12所成的角，范围（0,二） 11到12的夹角：指 1l 、12相交所成的锐角或直角。 TT （2） 11 _12时，夹角、到角二一。 — 2 （3）当11与12 中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹

高考专题：解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分” 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。三、高考核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

高中最全数学解题的思维策略资料全

一、《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分
钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填
空题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道

高考数学压轴题解题技巧和方法之欧阳语创编

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于 A 、 B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。（2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线 l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 02 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过 A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问

题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设 P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-， F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

高三数学解析几何解题技巧

高三数学解析几何解题技巧解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。常见翻译方法：距离问题：距离公式212212)()(||y y x x AB -+-= 几个特殊转换技巧： ①若一条直线上有若干点，如D C B A ,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BC CD AB =?则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2C B D C B A x x x x x x -=-?-当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。 ②利用向量求距离。 ③角度问题：若条件表述为所目标角A 是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即AC AB ?的值分别是小于零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即：| |||cos b a ?= θ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB ?中（O 是原点） )2 ())()((21sin 21c b a p c p b p a p p ah C ab S O ++=---=== ||2 1A B B A y x y x -== ⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆12 2=+b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 过左焦点直线交椭圆于),,(11y x A ),,(22y x B 则|||)||(|||2 121212121212y y c y y F F S S S F BF F AF ABF -=+=+=??? ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。【例题训练】 1．（本小题满分14分）

高中解析几何知识点

解析几何知识点一、基本内容（一）直线的方程 1、直线的方程确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围． 2、两条直线的位置关系两条直线的夹角，当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠ 外注意到角公式与夹角公式的区别． (2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断． 3、在学习中注意应用数形结合的数学思想，即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义．（二）圆的方程 (1)圆的方程 1、掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若

已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化． 2、圆的标准方程为(x －a )2+(y －b )2＝r 2；一般方程x 2+y 2+Dx+Ey +F =0,圆心坐标 (,)22D E -- 3、在圆(x －a )2+(y －b )2＝r 2，若满足a 2+b 2 = r 2条件时，能使圆过原点；满足a=0，r ＞0条件时，能使圆心在y 轴上；满足b r =时，能使圆与x 轴相切；r =条件时，能使圆与x －y ＝0相切；满足|a |=|b |=r 条件时，圆与两坐标轴相切． 4、若圆以A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)为直径，则利用圆周上任一点P (x ，y )， 1PA PB k k =-求出圆方程(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)＝0 (2) 直线与圆的位置关系 ①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d ＜r ，d=r ，d ＞r ，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式 ③已知⊙O 1：x 2+y 2 = r 2，⊙O 2：(x -a )2+(y -b )2＝r 2；⊙O 3：x 2+y 2+Dx+Ey +F =0则以M (x 0，y 0)为切点的⊙O 1切线方程为xx 0+yy 0＝r 2；⊙O 2切线方程条切线，切线弦方程：xx 0+yy 0=r 2． (三)曲线与方程 (1)在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对x 、y 表示，这就是动点的坐标(x ，y )．当点按某种规律运动而形成曲线时，动点坐标(x ，y )中的变量x ，y 存在着某种制约关系．这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x ，y 方程F (x ，y )＝0．曲线C 和方程F (x ，y )＝0的这种对应关系，还必须满足两个条件： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，这时，我们才能把这个方程叫做曲线的方程，

高中数学解题思维策略一数学思维的变通性

高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。例如，求和) 1(1431321211+++?+?+?n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显

的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组? ??-==+32xy y x . 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根，所以???=-=31y x 或???-==1 3y x .可见，联想可使问题变得简单。（3）善于将问题进行转化数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知c b a c b a ++=++1111,)0,0(≠++≠c b a abc , 求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：0))()((=+++a c c b b a 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问