正弦定理第一课时(教学设计)
《正弦定理》
§2.1《正弦定理》——第一课时(教学设计)
一、教学目标
1、知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探究,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想;通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、情感、态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点和难点
重点:正弦定理的探究和证明及其基本应用
难点:正弦定理的实际应用
三、教学方法:问题牵引、启发引导、合作探究
四、教学手段:多媒体辅助教学
五、教学过程
本节的教学过程由以下几个环节构成:
六、教学设计
1.正弦定理的建构
(1)创设情境—感知定理
①视频情境
播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害,让学生再一次感受大自然力量的强大,引
导学生如何利用科学知识预防自然灾难,引出本节课的内容——正弦定理。
设计意图: 由实际生活入手,让学生感受数学来源于生活,同时又服务于生活。
(2)观察证明—形成定理
① 通过特殊三角形的研究,观察它的角和边之间的关系,猜想它们之间的联系。
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有
sin a
A c
=,sin b
B c
=,又=sin 1C , A
则
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c 从而在直角三角形ABC 中,
sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
(图1.1)
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)
方法一、利用三角形的高证明正弦定理
Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据锐角三角函数的定义,有
=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此,得 sin sin a b A B =,同理可得 sin sin c b
C B =,
故有 sin sin a b A B =sin c
C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高,交AB 的延长线于点
D ,根据锐角三角函数
的定义,有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。由此,得 =
∠sin sin a b
A ABC ,
同理可得 =
∠sin sin c
b
C
ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
由Ⅰ、Ⅱ可知,在?ABC 中,
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到:在任意三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
设计意图:从具体到抽象,引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。 ② 思考:
问题:您能用其他方法证明这一关系吗?
方法二、向量法证明正弦定理
如图,以A 为原点,以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系,C 点在y 轴上的射影为c '。
A
B C D
b
a a
b D
A B C
因为向量AC 与BC 在y 轴上的射影均为OC ',即
()0cos 90sin ,OC AC A b A '=-= s i n s i n ,O C B C B
a B
'==
所以 sin sin ,a B b A =
即 .sin sin a b
A B =
同理, .sin sin a c
A C =
所以 .sin sin sin a b c
A B C
==
方法三、利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC,设BC =a, CA =b,AB =c,作AD ⊥BC,垂足为
则Rt △ADB 中,AB AD
B =
sin ∴ ∴S △ABC =B ac AD a sin 2
1
21=?
同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21
sin 21=
∴ S △ABC =B
ac A bc C ab sin 2
1
sin 21sin 21==
∴
在等式两端同除以ABC,可得
b
B
a A c C sin sin sin ==即
C
c
B b A a sin sin sin =
=. 方法四、外接圆证明正弦定理
在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90,∠C =∠B′,∴sin C =sin B′=R
c B C 2sin sin =
'=
∴
R C c
2sin = 同理,可得
R B b R A a 2sin ,2sin ==∴R C
c
B b A a 2sin sin sin ===
这就是说,对于任意的三角形,此等式均成立。
设计意图:引导学生用特殊到一般的思维来处理问题,通过观察思考,实现一问多解,充分发挥学生的主观能动性,同时提高学生运用数形结合和等价转化的思想解决问题。 (3)形式变形—深化定理
辨析1:你能用文字语言叙述这个关系吗?
三角形各边与其所对角的正弦值的比值相等。 设计意图:通过问题辨析,加深公式的理解。 辨析2:小组讨论,完成下列问题
公式的变形:
C C
b
D
C
B
A a
1a sin =____, bsinC=__sinB, asinC=csinA.B b 、 2::=___________.a b c 、 a ++3=2.sin sin sin __________
b c a b c
R A B C ===、
设计意图:学生小组合作探究,让学生积极参与其中,以便突破重难点。
2.公式在计算上的应用
(1)分析实例—应用公式
例1、在ABC ?中,边=10,=45,30,o
o
c A C =求边a,b 的长。 解:
=,sin sin a c A C
00
00
s i n 10s i n 4==2,180
(4530)105.
s i n s i n 30
o
o
c A a B C ?∴==-+=
,s i n s i n
b c B C
=
000
s i n 10s i n 105
20s i n 752).
s i n s i n 30
c B b C ?∴==== 试一试:变式:根据下列条件,解:ABC ?
()()()0
01b =4,c =8,B
=30,C A a ;2=30
2,=2,;
3=,=,=,B c A C a C a A 已知 求、、已知,求、、已知b 6c 9B 45求
、
、。
解:
(
)00000sin 1sin =1.30<<150, C=90.
=180()60,c B b
C A B C a -+===由正弦定理得 C=
又因为所以所以
(
)00
0000
00
s i n 2
2s i n ==.
2>,0<
<180,
C =45135.
451053+1;=135
==3 1.
c B C
b
c b C C C A a
C A a ===由正弦定理得因为所以或当时,,当时,,
()s i n 2
3s i n 1,.4
c B C
b ==>所以此题无解 设计意图:借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理,让他们学会使用公式来求值。
(2)建立模型—灵活运用
例2、台风中心位于某市正东方向300km 处,正以40/km h 的速度向西北方向移动,距离台风中心250km 范围内将会受其影响。如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1 h)?
解:设台风中心从点B 向西北方向沿射线BD 移动,该市位于点B 正西方向300 km 处的点A.
B
假设经过 t h,台风中心到达C ,则在ABC ?中,AB=300 km ,AC=250 km ,BC=40t km,0
45,B =由正弦定理
,sin sin sin AC AB BC
B C A
== 知
sin sin 0.8485.AB B C AC =
=≈
利用计算器算得角C 有两个解
012121.95,
58.05.C C ≈≈
当0
1121.95C ≈ 时,
000001180()180(45121.95)13.05,A B C =-+≈-+=
所以 11sin 79.83(),sin AC A
BC km B =≈
1
1 2.0()40
BC t h =≈
同理,当 0
258.05C ≈ 时,22344.4,8.6().BC km t h ≈≈
218.6 2.0 6.6().t t h -≈-=
答 约2 h 后将要受台风影响,持续6.6 h.
设计意图:联系生活实际,从客观事实出发,解决实际问题,从直观认识提升到理论的水平。合理建模,
以便突破本节重点。
3.总结反思—提高认识
提出问题:
(1)通过本节课的学习,你学会了什么定理,你能用文字和符号语言描述它吗? (2)学会了运用定理去处理什么类型的问题? (3)你能总结本节课所用的数学思想方法吗?
设计意图:通过小结使本节课的知识系统化,使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用,培养学生认真总结的学习习惯。
4.布置作业—自主探究
一:课本P52页习题2-1:A 组1、2 B 组 2 二:预习下一节《正弦定理的应用》导学提纲。
七、板书设计
在板书中突出本节重点,同时给学生留有作题的地方,整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。
八、教学反思
苏教版高中数学必修五正弦定理教案
第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理;
《正弦定理》教学设计方案
探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法
作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
2016年全国高中数学优质课:1.1正弦定理教学设计(人教A版必修5)
正 弦 定理教 学 设 计
《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用, 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的 基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,形成疑问,激发学生探究欲望,提出斜三角形的边 角关系的猜想;第二,带着疑问,对猜想进行验证,首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证,其次是严密的数学推导证明;第三,得到正弦定理,解决引例,首尾呼 应,并学以致用,简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化,从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次,探索——发现——证明,从实际中来,到实际中去。通过课堂,体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发,通过观察、实验、猜想、验证、证明,从特殊到一般得到 正弦定理,掌握正弦定理,了解正弦定理的一些推导方法,并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题; 2、通过对实际问题的探索,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养学生的缜密思维;
正弦定理教案
课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c