《正弦定理》教学设计
《正弦定理》教学设计
一、教材分析
正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上,通过对三角形边角关系的研究,发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景,从而引导学生产生探索愿望,激发学生学习的兴趣,并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中,要引导学生自主探究三角形的边角关系,先由特殊情况发现结论,再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题:
(1)已知两角和一边,解三角形;
(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形。
二、学情分析
本节授课对象是高一学生,是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上,由实际问题出发探索研究三角形边角关系,得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣,由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣,使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标:
1.知识与技能:通过创设问题情境,引导学生发现正弦定理,并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
2.过程与方法:引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角正弦的比值之间的关系,培养学生通过观察,猜想,由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之
间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,激发学生学习的兴趣。
四、教学重点与难点:
重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:
①正弦定理的证明;
②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时,解的情况不唯一。
五、学法与教法
学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:
sin sin sin a
b
c
A B C
=
=
,
接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖,培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教法:运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式 (1)新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
(2)掌握正弦定理的推导证明——分类讨论,数形结合,动脑思考,由特殊到一般,组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。
(3)例题处理——始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识。 (4)巩固练习——深化对正弦定理的理解。 六、教学过程
创设问题情境:如图,设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测出两点间A 、C 的距离55m ,∠ACB=600,∠BAC=450求A 、B 两点间的距离。
引导学生理清题意,研究设计方案,并画出图形,探索解决问题的方法. 启发学生发现问题实质是:已知△ABC 中∠A 、∠C 和AC 长度,求AB 距离.即:已知三角形中两角及其夹边,求其它边.
B
C A
新知探究
1.提出问题:我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢?
2.解决问题:
回忆直角三角形中的边角关系: 根据正弦函数的定义有:
sin ,sin a b
A B c c
==,sinC=1。
经过学生思考、交流、讨论得出:
sin sin sin a b c A B C
==
, 问题1:这个结论在任意三角形中还成立吗?
(引导学生首先分为两种情况,锐角三角形和钝角三角形,然后按照化未知为已知的思路,构造直角三角形完成证明。)
①当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据锐角三角函数的定义,有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此,得 sin sin a
b
A
B =
,
同理可得 sin sin c
b
C B =
, 故有
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
从而这个结论在锐角三角形中成立.
②当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高,交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义,有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。
由此,得 =
∠sin sin a
b
A
ABC ,
同理可得 =
∠sin sin c
b
C ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
C
B
A
c
b
a
a
b D
A
B C
A
B C
D
b
a
由①②可知,在?ABC 中,
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
这就是我们今天要研究的—— 正弦定理
思考:你还有其它方法证明正弦定理吗?(由学生讨论、分析)
证明一:(等积法)在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1
==
两边同除以abc 21即得:A a sin =B b sin =C
c sin
证明二:(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D ∴R CD D
a A
a 2sin sin ===
同理
B b sin =2R ,C
c
sin =2R 证明三:(向量法)
过A 作单位向量j 垂直于AC 由 AC +CB =AB
两边同乘以单位向量j 得 j ?(AC +CB )=j ?AB 则j ?AC +j ?CB =j ?AB
∴|j ||AC |cos90?+|j ||CB |cos(90?-C)=|j ||AB |cos(90?-A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理,若过C 作j 垂直于CB 得: C c sin =B
b
sin ∴
A a sin =
B b sin =C
c
sin 。 正弦定理:
A a sin =
B b sin =C
c
sin =2R (R 是ABC ?外接圆的半径)
a b
c
O
B C
A
D
变形:::sin :sin :sin a b c A B C =。
接着给出解三角形的概念:一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.
问题2:你能否从方程的角度分析一下,解三角形需要已知三角形中的几个元素?
问题 3:我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢? (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角。
(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角。
3. 应用定理:
例1. 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题. 题目见创设问题情境, 引导学生给出解决方法
例2.(1)在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===?.
(2) 在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===?.
解:(1)∵
21
3
60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b , C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角, 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a
(0030150C C ∴==或,而00210180C B +=>)
(2)2
3245sin 6sin sin ,sin sin 0
=?==∴=a A c C C c A a
0012060,sin 或=∴< 1360sin 75sin 6sin sin ,756000 +=====∴C B c b B C 时,当, 1360 sin 15sin 6sin sin ,151200 00 0-=====∴C B c b B C 时,当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 变式训练: 根据已知条件,求解三角形 七、课堂小结:(学生发言,互相补充,老师评价.) 1.用三种方法证明了正弦定理: (1)转化为直角三角形中的边角关系; (2)利用向量的数量积. (3)外接圆法 2.理论上正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. 八、布置作业: 1.思考:已知两边和其中一边的对角,解三角形时,解的情况可能有几种?试从理论上说明. 2.P 10.习题1.1.A 组:1,2. 九、教学反思: 本设计通过解斜三角形的一个实际问题引导学生发现三角形的边角关系,将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理,思路自然,学生乐于接受。通过引导学生发现直角三角形中的正弦定理,进而探究在任意三角形中是否还成立?将学生带入探索新知的氛围,学生从已有的知识经验出发,探索得出新结论,体验了成功的乐趣,对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试,在课堂小结教学中,给学生一个畅所欲言的机会,互相评价,最终得到完善的答案.这样做,可以锻炼学生的语言表达能力,这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程,对于培养意志品质起到了重要作用. 本节课采用探究式课堂教学模式,即在教师的启发引导下,以问题为导向设 计教学情境,以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容,为学生提供表达、质疑、探究问题的机会,让学生在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。 一点感悟:新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台! 第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项 湘文艺2011课标版四年级上册第十一课《如果幸福你就拍拍手》南漳县肖堰镇高峰完全小学 1教学目标 1、通过歌曲《如果幸福你就拍拍手》的演唱,感受歌曲的舞蹈性,能带着快乐的情绪,借助肢体、表情来参与活动。 2、能通过练唱,感受和掌握附点八分音符的节奏。 3、在唱演过程中培养集体合作创编歌词和舞蹈动作的能力。 2学情分析) 四年级学生学习态度积极,学生思维敏捷,接受能力较强,对于新事物有很强的兴趣,在音乐的歌曲演唱教学中能够积极主动地运用音乐歌唱方式来演唱,做到声情并茂,但对于音乐的信息量还不够,再分析歌曲与歌曲的表现设计的能力还略显不足. 3重点难点 掌握附点八分音符的节奏;创编歌词,激发学生学习音乐的兴趣,增进同学之间的友爱、团结,互相合作,互相帮助,并养成创造的好品质。 4教学过程 4.1第一学时 4.1.1教学活动 活动1【导入】导入新课 师:同学们,在上课之前,老师有一个问题想问大家“你们觉得幸福是什么?” 师:很多同学都说了自己的幸福,有的人觉得幸福是吃上一口棒棒糖,幸福的味道是甜的;有的人觉得幸福是跟爸爸妈妈在一起;有的人觉得幸福就是获奖时的兴奋与激动;有的人觉得幸福就是在学校里跟小伙伴一起快乐的玩耍;有的人觉得幸福就是助人为乐等等。 活动2【讲授】学习歌曲 师:老师听说世界上有一个幸福王国,到那里的人们都会觉得每天都是幸福的,你们想不想去看看? 师:可是想打开幸福王国的大门可没那么容易,需要经过重重考验。大家有没有信心? 1、认识八分附点音符 2、念念拍拍“芝麻开门芝麻快快开开门” 3、试听歌曲 4、教师范唱一遍歌曲,请同学们配合老师在相应节奏处拍手。 5、跟教师朗读歌曲歌词。(教师利用肢体动作帮助学生记忆) 探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法 作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一 (2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用. 第一课上学歌(歌曲) 教学内容: 1、歌曲“上学歌”学唱; 2、综合训练 教学目标: 1、熟悉学生情况,建立课堂常规。 2、通过学唱《上学歌》,培养学生听音乐与唱歌的良好习惯,激发学生学习的兴趣。 3、指导学生听着音乐做简单的律动。并能自编简单的动作,表现《上学歌》活泼愉快的情绪。 教学重点: 学唱歌曲,并感受到歌曲愉快的情绪,能通过演唱表现出歌曲的情绪。 教学难点: 感受乐曲情绪,能自编动作表现出音乐的情绪。 教学手段: 录音机、磁带 教学过程: 一、常规培训 1、老师先讲今后上音乐课的要求。手平放在腿上,两脚平放在地上,不要乱动,背要挺直,有利于正确的发声。书放在乐椅的扶手上,今后带一只笔一块橡皮,不要在带其他东西。要爱护音乐书这个朋友。再请学生自己说一说今后应怎样表现。 2、发声动作应怎样做才是正确的。 全体起立,跟教师练唱小乐段,感受正确发声方法的运用。 3、进教室的要求:听音乐并根据音乐节奏自编动作边做边走到自己的位置。 听音乐练习 将学生带到教室外练习,看谁做的好。 二、新授 1、导入: “同学们,今天大家都是第一次上学,高兴吗?那谁能说一说你的这一天是怎样过的,你都经历了那些事。” “好,接着,我们来听一首“快乐的一天”,看是不是你做的事情。” 2、听音乐的第一段“早早起” 看图,这一段表现了小朋友早晨起来的情景,请生根据音乐表现的内容,边听边用动作表现。 “早晨起床后应该做什么?”“上学去”“这时你的心情怎样?路上看到什么景色?” 3、直接听第二段,请生边听边做动作表现。 “那么在上学途中,有一个小朋友遇到了这样的事情。” 4、学唱《上学歌》 ①教师范唱歌曲,请学生跟琴用“Lu”模唱歌曲。 ②读歌词,注意咬字要清楚。 ③跟琴唱歌词,注意情绪,要活泼欢快。 ④歌曲处理: “太阳天空照,花儿对我笑,” 连贯舒展 “小鸟说:早早早” 轻松、亲切、富有弹性 “我去上学校……爱劳动” 情绪饱满、富有激情、节奏明快。 “长大要为人民立功劳” 坚实有力,表现出决心 ⑤请同学根据歌词给歌曲编舞蹈, 5、分别听“来学习”、“做游戏”、“放学了”、“静静睡”, 并请生边听边根据乐曲情绪、表现的内容做相应的动作。 6、完整复听乐曲,并做动作。演奏到“上学歌”处齐唱,做动作。 课堂小结: 布置作业: 板书设计: 第一课上学歌 情绪欢快、富有朝气 中速演唱 教学反馈: 第二课找朋友(音乐游戏) 游戏目的: 正弦定理应用教案 【篇一:正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题. 【基础梳理】 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的 角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)). (2)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如b点 的方 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 3、解三角形应用题的一般步骤: (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量 与量 之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等. 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐 步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 【例题分析】 一、基础理解 a..3 m c. m 2 解:如图.答案 b 例4.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船 a.5海里 b.3海里 c.10海里 d.海里 5里),于是这艘船的速度是=10(海里/时).答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示,为了测量河对岸a,b两点间的距离,在这岸 [分析] 在△bcd中,求出bc,在△abc中,求出ab. 例2、如图,a,b,c,d 都在同一个与水平面垂直的平面内, b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等,然后求b, d的距离. 故cb是△cad底边ad的中垂线,所以bd=ba. 2+同理,bd(km).故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db,延长ba交ce于点e,在△aec中 解得x=10(33) m.故山高cd为10(33 ) m. 总结:(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理., cd cdx ab解:在△abc中,ab=5,ac=9,∠bca=sin∠acb 9同理,在△abd中,ab=5,sin∠bad 10 abbd∠adb=, sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结:要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理. 点,ad=10,ac=14,dc=6,求ab的长. 解:在△adc中,ad=10,ac = 14,dc=6, 【篇二:《正弦定理》教学设计】 课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c苏教版高中数学必修五正弦定理教案
音乐课教学设计
《正弦定理》教学设计方案
音乐课教案
正弦定理应用教案
正弦定理教案