南通中学届高二年级期中考试数学试题

End

（第9题）

江苏省南通中学2008-2009学年度第一学期期中考试

高二数学试卷

一、填空题（每小题5分，共70分） 1．命题：“若12

-x ”的逆否命题是 ．

若11-≤≥x x ，或，则12

≥x

2．已知命题tan 1p x R x ?∈=：，使，命题2320q x x -+<：

的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧?”是假命题；

③命题“p q ?∨”是真命题； ④命题“p q ?∨?”是假命题 其中正确的是 ①②③④ .

4．用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人， 剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为 ． 5．已知命题

p ：1sin ,≤∈?x R x ， 1sin ,:>∈??x R x p

6．椭圆2

2

1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则

m 的值

为

1

4

。 围是

7．命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范▲ ．

(－∞，0)∪[3，＋∞）

8．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于6

5

的概率是_________

25

72

_____ 9．右边程序执行后输出的结果是 0

10．“12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 条件.

(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)必要不充分 11． 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图： 甲 乙

5

6

9 6 7 0 9

9 8 1 8 3 6 8 5 4 1 9 3 8 8 9 9 10 3 9 9 11

甲、乙同学中 数学成绩发挥比较稳定.

12．若存在实数

[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，则实数x 的取值范围为

13x x <->或 。

13．用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率为 ▲ ．

14．定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值

为 ▲ .

二、解答题（第15、16题14分，第17、 18题15分，第19、20题16分）

15．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

（Ⅰ）填充频率分布表的空格

(将答案直接填在

表格内)； （Ⅱ）补全频数条形图； （Ⅲ）若成绩

在?分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为

多少人？ 解：(1) ---------------------4

分

(2) --------------------------------8分

(3) 成绩在?分的学生占?分的学生的

510

，因为成绩在?分的学生频率为 ，所以成绩在?分的学生频率为 ，---------10分

成绩在?分的学生占?分的学生的

10

5

，因为成绩在?分的学生频率为 ，所以成绩在?分的学生频率为 -------------12分

所以成绩在?分的学生频率为， 由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以该校获得二等奖的学生约为?900=234（人） ------------------14分

分组 频数 频率 ? 4

?

? 10

? 16

? 合计

50 分组 频数 频率 ? 4 ? 8 ? 10 ? 16 ? 12 合计

50

结束

输出m

否

是

开始 第10题图

1

m m ←+1

i i ←+输入N

1

i ←0

m ←i N

≤(1,1)(1,1)

A CONRND

B CONRND ←-←-22

1

A B +>是

否

16. 已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,).x y

（I ）求当,x y ∈R 时，点P 满足()2

22(2)4x y -+-≤的概率；

（II ）求当,x y ∈Z 时，点P 满足()222(2)4x y -+-≤的概率。

解：（1）如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），满足()2

22(2)4x y -+-≤ 的点

的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）．

∴所求的概率211

24.4416

P ππ?=

=? ……………7分 （2）满足,x y ∈Z ，且||2,||2x y ≤≤的点有25个，

满足,x y ∈Z ，且()2

2

2(2)4x y -+-≤的点有6个，

∴所求的概率26

.25

P =

……………15（分） 17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y (吨标准煤)

(1) (2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程??y bx

a =+； (3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性

同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×+4×3+5×4+6×=。参考公式：用最小二乘法求线性同归方程系数公式

1

2

2

1

???, n

i i

i n

i

i x y nx y

b

a

y bx x

nx ==-==--∑∑) 15.解：（1）图略

（2）经计算 4

4

21

1

4.5, 3.5,

86,66.5i

i i i i x y x

x y ======∑∑

（3）当100x =时，?70.35y

=，降低了标准煤9070.35

-18．已知命题p ：“方程22112

y x a +

=是焦点在y 轴上的椭圆”,命题q ：

“关于x 的方程ax 2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根”. 若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数a 的取值范围. 命题p 为真命题?12

a >. …………………3分

关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根?关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0有两个负实根或一

正一负两根或只有一根且为负数. …………………5分

①方程有两个负实根0,

440,20,10a a a a

≠???=-≥??

??-?? ?01a <≤； …………………7分

②方程有一正一负两根?0a <； …………………9分 ③方程只有一个根且为正数?0a =. …………………10分 故命题q 为真命题?1a ≤. …………………11分

因为“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，

所以命题p 与q 恰有一个为真命题. …………………12分 若p 真q 假，则1a >；若p 假q 真，则12

a ≤. …………………13分

故实数a 的取值范围是(

1,(1,)2?-∞+∞??

U . …………………14分 19. 已知圆A ：2

2

(1)4x y -+=与x 轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与y 轴正半轴交于D 点，且2BD=DE ，曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆。（1）求椭圆的方程；（2）点P 在椭圆C 上运动，点Q 在圆A 上运动，求PQ+PD 的最大值。

(1)(

)1,0, D ,B ?

- ??

椭圆方程为22

3314

x y += 7分

（2）(2)()2PQ PD PA PD PA PD +≤++=++

33

PA PD PB PD DB +=

-+≤+＝

所以P 在DB 延长线与椭圆交点处，Q 在PA 延长线与圆的交点处，

得到最大值为2+。 15

分

20. 以下给出的是用条件语句编写的程序，根据该程序回答 READ x

IF x

y x ax b =-++ ELSE END IF

PRINT y END

(Ⅰ) 求证：输入x 的值互为相反数则输出的y 值也互为相反数的充要条件是02

2=+b a ；

)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=-Θ，对一切x ∈R 恒成立， )(x f ∴是奇函数

必要性：若)(x f 是奇函数，则对一切x ∈R ，)()(x f x f -=-恒成立，即 令.0,,0=-==b b b x 所以得

再令.0,0,0||2,2

2

=+=∴==b a a a a a x 即得