编号61 山西大学附中高三年级平面向量的数量积

山西大学附中高中数学（高三）导学设计编号61

平面向量的数量积

【学习目标】复习回顾平面向量数量积的定义、几何意义、性质、运算律及坐标运算

【学习重难点】平面向量数量积的定义及几何意义的使用；平面向量数量积的运算

【学习过程】

（一）基础梳理

1．向量的夹角定义及夹角范围 .

2．两个向量的数量积的定义：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则=?b a ；a ?0＝ .

3．向量数量积的几何意义： . 4．向量数量积的性质：设,a b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．

则 (1)=?=?e a a e ； (2)a b ⊥? ；

(3)当a 与b 同向时， =?b a ；当a 与b 反向时， ==?b a ，特别的，2

=a a a 或者=a a a ；

(4)cos =θ ； (5)||||||≤?.

5．向量数量积的运算律

(1)=a b b a ??； (2)=()=()a b a b a b λλλ???； (3)(+)=+a b c a c b c ???.

6．平面向量数量积的坐标运算：设向量11=(x ,y )a ，22=(x ,y )b ，则：

(1) =?＝； (2)=a ； (3)cos ,=a b ； (4) a b ⊥? .

7．若11A(x ,y )，22B(x ,y )，AB a =，则=a .

（二）巩固提高： 1.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为?60，那么|3|a b + = （）.

A 7

B ．10

C 13．4 2.已知向量a 、b 的夹角为?120133=+=b a a b 等于（）.

A.5

B.4

C.3

D.1

3．已知向量=(1,2)a ，向量()2,-=x ，且(-)a a b ⊥，则实数x 等于( )．

A ．9

B ．4

C ．0

D ．－4 4.已知ABC ?为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足AB AP λ=，AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若23-=?，则λ=（）.

A.2

1 B.221± C.2101± D.2223±-

5.若c b a ,,均为单位向量,且0=?b a ,()(),0≤-?-c b c a ,则c b a -+的最大值为( ). A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2

6.已知==2a b ，()

+2(-)=-2a b a b ?，则a 与b 的夹角为________．

7.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，2AP PM =，则()PA PB PC ?+=_____. 8.如图，在矩形ABCD 中，

2,2==BC AB 点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=?AF AB ，则BF AE ?的值是．

9.若平面向量,a b 满足：23a b -≤，则b a ?的最小值是_____.

10.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，DC DE ?的最大值为______.

11.如图，P 为△AOB 所在平面内一点，向量b OB a OA ==,且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量c OP =.若,3=a ,2=b ，则()b a c -?的值为 .

12.在平行四边形ABCD 中，3π

=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、

N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足

||||CD BC =，则AN AM ?的取值范

围是 . 13．如图，在△ABC 中，AD AB ⊥，BD BC 3=，1||=AD ，则

=?AD AC .

14．已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x x x a b ==-,且]2

,0[π∈x ,求:(1);b a b a +?及 (2)若()b a b a x f +-?=λ2的最小值是23-

,求λ的值.

15．已知向量m =(1,1)，向量n 与向量m 夹角为

3π，且1-=?n m (1)求向量n ； (2)若向量n 与向量=(1,0)q 的夹角为

π，向量2=(cosA,2cos )2C p ，其中,A C 为ABC ?的内角，且,,A B C 依次成等差数列，试求+n p 的取值范围.

编号4 山西大学附中高三年级简易逻辑

山西大学附中高中数学(高三)导学设计编号4 简易逻辑【学习目标】 1.明确特称命题和全称命题的概念,并会判断命题真假性 2.会写特称命题和全称命题的否定【学习重点】判断命题真假性【学习难点】判断命题真假性【学习过程】（一）.基础梳理： 1.命题的真假判断： 2.全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“?”表示；特称量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题；即“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”；可用符号简记为：,()x M p x ?∈；读作：“对任意x 属于M ，有()p x 成立”. （3）含有存在量词的命题，叫做特称命题；即“存在M 中的元素0x ，使0()p x 成立”；可用符号简记为： 00,()x M p x ?∈；读作：“存在M 中的元素0x ，使0()p x 成立”. 1．“220a b +≠”的含义为 A ．,a b 不全为0 B ． ,a b 全不为0 C ．,a b 至少有一个为0 D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0 2．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么 A ．命题p 与命题q 的真值相同 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 不一定是真命题 D ．命题p 不一定是真命题 3.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是 A ．简单命题 B ．非p 形式的命题 C ．p 或q 形式的命题 D ．p 且q 的命题 5.已知命题p :02≥a ()R a ∈ ,命题q :函数x x x f -=2 )(在区间[),0∞+上单调递增，则下列是真命题的是 A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．p q ?∧? D ．p q ?∨

平面向量的数量积与应用举例专题训练

平面向量的数量积与应用举例专题训练 A组基础题组 1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( ) A.- B.- C. D. 2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( ) A. B.- C.1 D.-1 3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记 I1=·,I2=·,I3=·,则( ) A.I1

10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. B组提升题组 1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( ) A.[3,] B.[3,5] C.[3,4] D.[,5] 2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组 y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ = . 3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.

第26讲平面向量的数量积及应用

第26讲平面向量的数量积及应用高三新数学第一轮复习教案〔讲座26〕一平面向量的数量积及应用一?课标要求： 1?平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例，明白得平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ③把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面向量的垂直关系。 2.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何咨询题、力学咨询题与其他一些实际咨询题的过程，体会向量是一种处理几何咨询题、物理咨询题等的工具，进展运算能力和解决实际咨询题的能力。二.命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的差不多概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。平面向量的综合咨询题是”新热点〃题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等咨询题，以解答题为主。推测07年高考：〔1〕一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度咨询题；属于中档题目。〔2〕一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三?要点精讲 1 .向量的数量积〔1〕两个非零向量的夹角非零向量a与a，作OA = a , OB = b，那么/ A O A= B〔0 we

2 〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范畴

编号81山西大学附中高三年级直线的方程

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计编号81 直线的方程【学习目标】 1.知道描述直线倾斜程度的两个数学量：倾斜角与斜率 2.能写出直线方程的五种形式【学习重点】倾斜角与斜率的关系【学习难点】在不同的情境中选择合适的直线方程去解题【学习过程】（一）知识梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取作为基准，与所成的角α叫做直线l 的倾斜角；当直线l 与x 轴平行或重合时， . 直线的倾斜角α的取值范围是 . （2）一条直线的倾斜角)90( ≠αα的叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示. 斜率k 的取值范围是 . 2.直线方程（1）点斜式方程（2）斜截式方程（3）两点式方程（4）截距式方程（5）一般式方程（二）巩固练习 1.下列命题中正确的个数为 ①若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan ； ②若直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角越大其斜率就越大； ④直线的斜率越大其倾斜角就越大； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，则l 的斜率为 A.1 B.3 3 C.3 D ．不存在 3.已知三点()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 共线，则k 的取值是 A.6- B.7- C.8- D ．9- 4.如右图，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 A.123k k k << B.312k k k << C.321k k k << D.132k k k << 5. 设直线0543=-+y x 的倾斜角为θ,则它关于直线3=x A. θ B.θπ-2 C.θπ +2 D ．θπ- 6．若直线3-=kx y l ：与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是

2020-2021山西大学附属中学(初中部)高中必修二数学下期末一模试题(及答案)

2020-2021山西大学附属中学（初中部）高中必修二数学下期末一模试题(及答案) 一、选择题 1．已知向量()cos ,sin a θθ=v ，(b =v ，若a v 与b v 的夹角为6 π ，则a b +=v v （） A ．2 B C D ．1 2．已知向量a v ，b v 满足4a =v ，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最小值为（） A ． B ．10 C D ．8 3．已知不等式()19a x y x y ?? ++ ??? ≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1 7 是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ． 53 B ． 10 3 C ． 56 D ． 116 5．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（） A ．50,2 ?????? B ．[] 1,4- C ．1,22?? - ???? D ．[] 5,5- 6．已知不等式220ax bx ++>的解集为{} 12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（） A ．112x x ??-<< ???? B ．112x x x ??<-> ???? 或 C ．{} 21x x -<< D ．{} 21x x x <->或 7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为

平面向量数量积运算专题附答案

. 平面向量数量积运算平面向量数量积的基本运算题型一DCBCEFABCDBAD，，＝120°，点的边长为2，∠1 例(1)(2014·天津)已知菱形分别在边→→AFDFAEBCBEDC________. .若λ·上，的值为＝3＝，1＝λ，则→→PBPAPAOPBAB) · (2)已知圆为切点，的半径为1，，那么为该圆的两条切线，的最小值为，( 2 －43＋2 ＋B.A.－2 3＋2C.－4＋D.22 －→→→→→OBOAOAABOA________. ·＝|＝1 变式训练(2015·湖北)已知向量3⊥，则，| 利用平面向量数量积求两向量夹角题型二 22babaababab与＋(|，且2－(1)(2015·重庆例2 )若非零向量，则，)⊥(3满足||)＝|3的夹角为( ) ππ3πA. B. C. D.π424πabababab的夹角2－＋与＝|2，|，则|＝32(2)若平面向量与平面向量，的夹角等于|3的余弦值等于( ) 1111A. B.－ C. D.－262612121→→→→ABCOAOABACAB与)＝(＋，则上的三点，若2 变式训练(2014·课标全国Ⅰ)已知，，为圆2→AC的夹角为________. 教育资料． . 利用数量积求向量的模题型三 baababab等于＋的夹角为|120°，则|＝2，且例3 (1)已知平面向量|2和与，|||＝1，) ( B.4 A.2 D.6 5 C.2ABCDADBCADCADBCPDC上的动点，则是腰＝，∠1＝90°，，＝(2)已知直角梯形2中，，∥→→PAPB|的最小值为________. ＋3|1eeeebbe·.是平面单位向量，且若平面向量·满足变式训练3 (2015·浙江)已知，＝beb|＝，则＝|·________. 112212 ＝12

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2．平面向量的数量积；3．平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算 1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C.32 D.52 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且 BE ＝23 BC ， DF ＝16 DC ，则 AE · AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得 3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝????－12，1，所以a ·b ＝－1×????－12＋2×1＝52. (2)取 BA ， BC 为一组基底，则 AE ＝ BE － BA ＝23 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BA ＋ BC ＋512 BA ＝－712 BA ＋ BC ，∴ AE · AF ＝????23 BC － BA ·????－712 BA ＋ BC ＝712| BA |2－2518 BA · BC ＋23| BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足 AB ＝2a ， AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥ BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 [解析] (1)在△ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又 AB ＝2a 且| AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )· BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥ BC ， D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－6)． ∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0.∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C [易错提醒] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是

山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块文科数学答案

山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块诊断数学(文)试题评分细则一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20 分） 13．20.5 14. > 15. ① ②③ 三．解答题 17．（满分12分）解：（1）可得：cos sin sin )cos 0B C B C --=………1分即：sin cos 0A C =．………2分由正弦定理可知： sin sin a c A C =，∴sin 3cos 0a C C c -=，………4分 sin cos 0a C C ∴=，1c =，可得tan C =，………5分 C 是三角形内角，3 C π ∴= ．………6分（2）3 C π = ，3a b =，∴由正弦定理可得 32sin sin sin() 3 b a b B A B π== -，………7分可得2sin( )3sin 3 B B π -=1sin 3sin 2B B B +=，可得tan B ，………8分 222222 111cos2114 cos B sin B tan B B cos B sin B tan B --∴===++，2222sin cos 2tan sin 21B B B B sin B cos B tan B ==++，………10分 11113 cos(2)cos(2)cos2cos sin 2 sin 33321414 B C B B B πππ∴-=-=+=?= ．………12分 18．（满分12分）解：（1）因为100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占 2 5 ，所以50岁以下的确诊人数为4，50岁及以上的确诊人数为6．因为50岁及以上的共有40人，即50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率为640 ；列联表补充如下，

编号37山西大学附中高三年级三角函数的图象与性质(二)

山西大学附中高中数学（高三）导学设计编号37 三角函数的图象和性质（二）【学习目标】记忆sin()y A x ω?=+的图像与性质【学习重点】记忆sin()y A x ω?=+的图像与性质【学习难点】会用sin()y A x ω?=+的图像与性质【学习过程】（一）基础梳理： 1．理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ω?=+的性质； 2．在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．（二）巩固练习： 1．函数sin(2)(0)y x ??π=+≤≤是R 上的偶函数，则?的值是（） A ．0 B ．4π C ．2 π D ．π 2．方程2 sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是（） A ．[3,1]- B ．(,1]-∞ C ．[1,)+∞ D ．以上都不对 3．函数x x y 2cos 32sin -= )6 6(π π≤≤-x 的值域为（）A ．[]2,2- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．]0,3[-4．已知函数sin 3 y x π ＝在区间[0,]t 上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 5．已知在函数()x f x R π=图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 222x y R +=上，则()f x 的最小正周期为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．定义在R 上的函数|2|2)(,]3,1[),2()()(--=∈+=x x f x x f x f x f 时当满足，则 A ．)6(cos )6(sin π πf f < B ．)1(cos )1(sin f f > C ．)3 2(sin )32(cos π πf f < D ．)2(sin )2(cos f f > （） 7．已知不等式()2 cos 044 4x x x f x m =≤对于任意的566 x ππ- ≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）.

山西省山西大学附中2019_2020学年高一英语上学期10月模块诊断试题

月模块诊102019-2020学年高一英语上学期山西省山西大学附中断试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。考试结束后，请将答题卡交回。卷第I ) , 满分30分共第一节 (15小题; 每小题2分并在答题选出最佳选项, D)中, 从每题所给的四个选项, (A、B、C和阅读下面短文卡上将该项涂黑。 A Hawaii, 2nd Edition Original price: $ 22.95 Sale price: $ 20.95 Summary: Hawaii is one of the world's premier vacation destinations, and this practical and fact-packed book shows why. Like other Traveler guides, it's a treasure of special features — walking and driving tours, in-depth Hawaiian history, a sample of the best of each island's activities, plus a selection of hotels and restaurants in every price range. Be the Pack Leader Original price: $ 25.95 Sale price: $ 18.95 Summary: Bestselling author Cesar Millan takes principles of dog psychology a step further, showing you how to develop the calm energy of a successful leader and use it to improve your dog's life and your own life. With practical tips and techniques, Cesar helps you understand and read your dog's energy as well as your own energy so that you can take your connection with your dog to the next level. Celebrate Hanukkah Original price: $ 15.85 Sale price: $ 7.85 Summary: The US astronaut Jeffrey Hoffman brought a menorah (烛台) and a dreidel (陀螺) on his Space Shuttle mission in 1993. Hoffman observed the traditional spinning of the dreidel, but wisely left the menorah unlit in several thousand liters of rocket fuel. Also included is the author's sure-to-please potato pancakes' recipe. A New Perspective of Earth Original price: $26.85 1 Sale price: $ 20.85 of collection a unique author Benjamin Grant describes Summary: The satellite images of the earth that offer an unexpected look at humanity. More than 200 images of industry, agriculture, architecture and nature highlight

向量数量积专题(总)

平面向量的数量积【知识点精讲】一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量a r 和b r ，记为OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ，并规定[],0,a b π<>∈r r 。如果a 与b 的夹角是2 π，就称a r 与b r 垂直，记为.a b ⊥r r （2）cos ,a b a b <>r r r r 叫做向量a r 与b r 的数量积（或内积），记作a b ?r r ，即b a ? cos ,a b a b <>r r r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是0.a b ?=r r 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是.a b a b ?=±r r r r 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ?r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r 方向上的投影cos b θr 的乘积，即cos a b a b θ ?=r r r r （b r 在a r 方向上的投影为cos a b b a θ?=r r r r ）；a r 在b r 方向上的投影为 cos .a b a b θ?=r r r r 三、平面向量数量积的重要性质性质1 cos .e a a e a θ?=?=r r r r r 性质2 0.a b a b ⊥??=r r r r 性质3 当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或 a =r 性质4 cos (00)a b a b a b θ?=≠≠r r r r r r r r 且性质5 a b a b ?≤r r r r 注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。四、平面向量数量积满足的运算律（1）a b b a ?=?r r r r （交换律）；

编号77山西大学附中高三年级空间向量及其运算

山西大学附中高中数学(高三)导学设计编号77 空间向量及其运算【学习目标】复习空间向量的概念，熟练空间向量的坐标运算，会用空间向量解决立体几何问题. 【学习重点】空间向量的坐标运算及其应用. 【学习难点】向量法的应用. 【学习过程】（一）基础梳理 1．空间直角坐标系及有关概念 2、空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循_________________法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算__________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。 3、空间向量的有关定理（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b _______，a ∥b 的充要条件是_________________________ （2）共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是_______________________________________________________ 注：若a 与b 确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内。（3）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c _________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得_______________。其中， _____________叫做空间的一个基底。 4．空间向量的坐标表示 (1)空间向量运算的坐标表示设a ＝321,,(a a a )，b ＝),,(321b b b ，则a ＋b ＝_______________， a －b ＝____________________， λa ＝_________________， a ?b ＝______________________. (2)重要结论 a ∥ b ?___________?_________________________________；

2019-2020学年山西大学附中高一上学期期中考试语文

山大附中2019～2020学年第一学期期中考试高一年级语文试题考试时间：120分钟考查内容：综合题一、文学类文本阅读(15分) 阅读下面的散文，完成1～3题。秋风桐槐说项羽梁衡 ①这里属于江苏省宿迁市。我原以为故里者只是一座古朴的草房，或农家小院，不想这项羽故里竟是一座新修的旅游城，而城中真正与项羽有关的旧物也只有两棵树：一棵青桐，一棵古槐。斯人远去，就只有来凭吊这两棵树了。 ②那棵青桐，树上专门挂了牌，名“项里桐”。据说，项羽出生后，家人将他的胞衣(胎盘)埋于此树下，这桐树就特别茂盛，青枝绿叶，直冲云天。在中国神话中梧桐是凤凰的栖身之地，有桐有凤的人家贵不可言，项羽在此树下出生盖有天意。梧桐之东不远处，有一棵巨大的中国槐，说是项羽手植。两千年的风雨，手植槐修成了黄河槐；黄河槐又炼成了雷公槐。这摄取了天地之精、大河之灵的古槐，日修月炼，水淹不没，沙淤不死，雷劈不倒，壮哉项羽！ ③项羽的家乡在苏北平原，两千年来战火无数，文物留存极少，而其故里一直未被忘记，直到现在这个旅游城。城内遍置各种与项羽有关的游乐设施，其中有一种可在架子上翻转的木牌，正面是项羽、虞姬等各种画像，翻过来就是一条条因项羽而生的成语。如：破釜沉舟、取而代之、一决雌雄、所向披靡、拔山扛鼎、分我杯羹……现在我们常用到的成语总共也就一千多条，项羽一人就占百条。要知道他才活了三十一岁，政治、军事生涯也只有五年。后人多欣赏他的武功，倒忽略了他的文化贡献。 ④项羽是个失败的英雄，失败缘于他人性的弱点。刚烈坚强又优柔寡断，欲雄霸天下又留恋家乡；他少不读书，临终之时却作“力拔山兮气盖世”，感天动地、流传千古；他杀人如麻，却爱得缠绵，在身陷重围、生死存亡之际还与虞姬弹剑而歌。他身上有巨大的悲剧之美，因此他是艺术境界中的人物，是艺术创作的好原型。 ⑤项羽是民间筛选出来的体现了平民价值观和生活旨趣的人物，人们喜欢他的勇敢刚烈、纯朴真实，就如喜欢关羽的忠义一样。历史上的“两羽”一勇一忠，成了中国人的偶像，是与岳飞的精忠报国、文天祥的青史丹心并存的两个价值体系。一是做人，一是爱国。他是一面历史的多棱镜，能折射不同的光谱，满足人们多方位的思考。后人常以对他的褒贬，来抒发自己的感慨。杜牧抱怨他脸皮太薄：“胜败兵家事不期，包羞忍耻是男儿。”李清照却推崇他的刚烈：“生当作人杰，死亦为鬼雄。”毛泽东则借他来诠释政治：“宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王。”而就在这个园子里，在秋风梧桐与黄河古槐的树荫下，我看见几个姑娘对着虞姬的塑像正若有所思…… ⑥这个旅游城的设计是以游乐为主，所以强调互动，游人可上去乘车骑马，可与雕像拥抱照相，可出入项羽的卧房、大帐。但有两个地方不能去，那就是青桐树下和古槐树旁……秋风乍起，红色的方舟上托着两棵苍翠的古树。 ⑦站在项羽故里，我们先要感谢司马迁，还要感谢这两棵青桐和古槐。幸亏有这青桐、古槐为这故里存了一脉魂，为我们存了一条汉文化的根。我以为要记录历史：一是文字，如《史记》；二是文物，如长城、金字塔；三是古树。因为时间比人的寿命更长，又与人类长相厮守的活着的生命就只有树木了。 ⑧秋风梧桐，黄河古槐，塑造了一个触手可摸的项羽。

专题二培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．答案 5－213 解析以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0

山西大学附中2019届高三下学期3月模块诊断英语试卷(附答案)

山西大学附中2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断英语试题第I卷（选择题,共100分）第一部分：阅读理解（共两节，满分60分）第一节：（共15小题：每小题3分，满分45分）阅读下列短文,从每题所给的A、B、C、D四个选项中,选出最佳选项,并在答题卡上将该项涂黑。 A Amsterdam’s Best Flea Markets Ijhallen Flea Market First or second weekend of every month Perhaps the most impressive of them all is Ijhallen, located in the north of Amsterdam. With more than 1,500 stands and 3,000 free parking spaces, the monthly market attracts visitors from not only the Netherlands, but Europe-wide. There is a five euro admission fee, but you can be pretty sure that you can browse second-hand treasures for most of the day. Anything and everything can be found here; old guitars and antique chairs, art prints and military gear. Noordermarkt Flea Market Saturday, 9am-4pm Monday, 9am-2pm In the centre of the Jordaan, the Noordermarkt Flea Market on Saturdays includes vintage(老式的) goods and organic food produce from local farmers. On Mondays, the market transforms into an antique-hunter’s goldmine. There are piles of vintage clothes, antique books, coins and furniture. Waterloopein Market Monday-Saturday, 9am-6pm The most centrally located of all flea markets in Amsterdam, Waterlooplein Market offers visitors a range of snacks, second-hand clothes and vintage treasures. There’s a maze of second-hand goods, from old globes and hanging lamps, to African drums, antique rugs and used bikes. Spui Book Market Friday 10am-6pm Ideally situated among bookstores, you’ll find a collection of tents sheltering second-hand and antique books at the book market on Spui. You can find a variety of literature from biographies and poetry to fantasy-fiction, history, psychology and geography. While most books are from the Netherlands, some English and international titles are for sale. As well as antique maps, prints and record.

编号17 山西大学附中高二年级排序不等式

山西大学附中高二年级（下）数学导学设计编号17 排序不等式【学习目标】了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 【学习重点】排序不等式的应用【学习难点】排序不等式的证明【学习过程】一、导学： 1. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 变式10. 设,0(1,2, ,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i n i i i b a b a 212 )( . 当且仅当时, 等号成立. 变式20 . 设0(1,2, ,),i i a b i n ?>= 则：∑∑∑≥=i i i n i i i b a a b a 2 1 )(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 2. 探究如图，设AOB α∠=，自点O 沿OA 边依次取n 个点 12,,,n A A A ，OB 边依次取取n 个点12,,,n B B B ，在OA 边取某个点i A 与OB 边某个点j B 连接，得到i j AOB ?，这样一一搭配，一共可得到n 个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的i j AOB ?不同，问：OA 边上的点与OB 边上的点如何搭配，才能使n 个三角形的面积和最大（或最小）？？？设,(,1,2,,)i i j j OA a OB b i j n ===，由已知条件，得 123123,n n a a a a b b b b <<<<<<<< 因为i j AOB ?的面积是，而是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题：1212,, ,,,,,n n c c c b b b 设是数组的任何一个排列则1122n n S a c a c a c =+++何时取最大（或最小）值？我们把1122n n S a c a c a c =+++叫做数组12(,,,)n a a a 与12(,,,)n b b b 的乱序和. 其中, 1121321n n n n S a b a b a b a b --=++++称为序和. 2112233n n S a b a b a b a b =+++ +称为序和. 这样的三个和大小关系如何? ◆探究新知 1.检验操作: 填表: 2.一般性证明:

编号6 山西大学附中高三年级函数及其表示

山西大学附中高中数学(高三)导学设计编号6 函数及其表示【学习目标】 1.会函数的表示；2、熟练求解函数的定义域【学习重点】求解函数的定义域【学习难点】求解函数的定义域【学习过程】（一）.基础梳理 1.映射的概念：设A B 、是两个的集合，如果按照某种对应关系f ，使得对于集合A 中的元素x ，在集合B 中都有____________的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个映射． 2.函数的概念：设A B 、是两个非空的______，如果按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的______一个数x ，在集合B 中都有_______的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈．注1：函数的定义域、值域：在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做________，x 的取值范围A 叫做函数的________；与x 的值对应的y 的值叫做________，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的_____．注2：函数的三要素：_______、_______和_______．注3：相等函数：若两个函数的_______和_______完全一致，则称这两个函数________．注4：函数的表示法：_________、_________和_________．注5: 分段函数:若函数在其定义域的不同子集上，因________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的____，其值域等于各段函数的值域____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．（二）.巩固练习一.选择题 1.下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A.255x y x y = =与 B.x x e y e y ln ln ==与 C.31)3)(1(+=-+-=x y x x x y 与 D.001x y x y ==与 2.设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，那么下面的4个图形中，能表示集合M ( A ．○ 1○2○ 3○4 B ．○1○2○3 C ．○2○3 D ．○2 3.若) 12(log 1)(2 1+=x x f ，则)(x f 的定义域为( )