第1讲-圆的有关性质

第1讲-圆的有关性质

1

（1）在同圆或等圆中，“同弧或等弧上”

的圆周角＝

1

2；

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角或

圆周角所对的

和相等；反之亦然；

（3）直径所对的圆周角是，反

之，90°的圆周角所对的弦是

．

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，

OB，∠OBA＝40°，则∠C的度数为（）．

A．30°

B．40°

C．50°

D．80°

2

2．垂径定理：如图1，若AB是⊙O的直

径，弦CD⊥AB于E，则

，

，

．

2．（14常德）如图1所示，AB为⊙O的直径，

CD⊥AB，若AB＝10，CD＝8，则圆心O

到弦CD的距离为．

图1

3．（14凉山）如图，已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，

且AB＝8cm，求AC的长．

C

N

C

M

A

B

O

．

4．已知⊙O 的半径是10，点C 是弦AB 的中点，弦MN 过C 点，且AB 为12，MN 为16，求NC 的值．

5．已知，在⊙O 中，弦AB 与直径MN 成45°角，且把MN 分成1和9长的两段，求AB 的长．

6．⊙O 的半径为5，弦AB ，MN 互相垂直于E ，且AE 为1，BE 为7，求ME ，NE 的长度．

O

B

A M

N

E O

B

A M

N

C

B

A

O

第9题

第11题

图15

7．（14山西）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为（ ）． A ．30° B ．40° C ．50° D ．80°

8．（14毕节）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是

（ ）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 9．（14临沂）如图，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO ＝25°，则∠BOC 的度数为（ ）．

A ．25°

B ．50°

C ．60°

D ．80°

10．（14潍坊）如图，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径

BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是（ ）． A ．44° B ．54° C ．72° D ．53° 11．（14内江）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为（ ）．

A ．

B ．3

C ．

D ．4

323第7题

第8题

O

A

B

第10题

A

B

D

E

O

·

C

12．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ，BE 是弦，且DF BE =．求证：D B ∠=∠．

13．如图，AB ，CD 是⊙O 中互相垂直的直径，点E 是

的中点，连EO 并延长交⊙O 于

F ，连EA ，ED ．

求证：FE 平分∠AED ．

14．点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，OC ⊥AB ，∠ADC ＝30°． （1）求∠BOC 的度数；（2）求证：四边形AOBC 是菱形．

15．如图，M在x轴上，⊙M交x轴于A，B，交y轴于D，F，D为的中点，AC交OD 于E，交BD于N．

（1）求证：AE＝DE；

（2）若AC＝4，求点D的坐标；

（3）探究：EM与BN之间的数量关系和位置关系．

16．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：EB＝EC；

（2）分别求式子AB AC

BF

+

，

AB AC

AF

-

的值；

（3）若EF＝AC＝3，AB＝5，求△AEF的面积．

第15题图

17．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，，M是AB上一动点，

CM＋DM

的最小值是

．

18．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则P A＋PC的最小值为．

19．如图，BC为⊙O的直径，BC＝42，，P为BC上一动点，M为AB的中点，设△P AM的周长为m，则m的取值范围是．

20．如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．

21．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，．

（1）求证：AF＝CF；

（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长．

第17题第19题

第18题

22．（13资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数．

图1

图2

第一讲-参考答案

1．C 2．3

3．OM ＝3，AC ＝4 5

4．连接OC ，则OC ⊥AB ，在Rt △ACO 中，OC ＝8，

过O 点作OD ⊥MN ，垂足为D ，则在Rt △OND 中OD ＝6，

Rt △OCD 中，CD 22

OC OD -27CN ＝278．

5．记AB 与MN 交点为C ，作OH ⊥AB 于H ，连结OB ，依题意得：MC ＝1，CN ＝9， ∴OB ＝5，OC ＝4，∵∠OCH ＝45°，∴OH ＝22，HB 258-＝17，AB ＝217． 6．ME ＝7，NE ＝1 7．B

8．B

9．B

10．B

11．C

12．证明：连接AE ，CF ，

∵DF ＝BE ，∴∠DCF ＝∠BAE ，∵∠CFD ＝∠AEB ＝90°，∴∠D ＝∠B ．

13．证明：∵点E 是弧BC 的中点，∴弧CE ＝弧BE ，∴∠A ＝∠D ，

∵OA ＝OE ，OE ＝OD ，∴∠AEF ＝∠A ，∠DEF ＝∠D ， ∴∠AEF ＝∠DEF ，∴FE 平分∠AED ．

14．（1）解：∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝60°

又∵OC ⊥AB ，∴弧AC ＝弧BC ， ∴∠BOC ＝∠AOC ＝60°．

（2）证明：∵∠BOC ＝∠AOC ＝60°，

又∵OA ＝OB ＝OC ，∴△AOC 和△BOC 是全等的等边三角形， ∴OA ＝OB ＝BC ＝AC ，∴四边形AOBC 是菱形．

15．（1）证明：连结AD ，如图，

∵M 在x 轴上，⊙M 交x 轴于A ，B ，∴AM 为⊙M 的半径， ∵AB ⊥DF ，∴，

∵D 为的中点，∴

，

∴

，∴∠DAC ＝∠ADF ，

∴AE ＝DE ；

（2）解：连结DM 交AC 于H ，如图，

∵D 为

的中点，

∴DM ⊥AC ，AH ＝CH ，∴∠AHM ＝90°，AH ＝

2

1

AC ＝2， ∵∠ODM ＋∠DMO ＝90°，∠MAH ＋∠AMH ＝90°，∴∠ODM ＝∠HAM ，

在△ODM 和△HAM 中，DOM AHM ODM HAM MD MA

∠=∠∠=∠=???

????，

∴△ODM ≌△HAM （AAS ），∴OD ＝HA ＝2， ∴D 点坐标为（0，2）；

（3）解：EM ∥BN 且EM ＝

2

1

BN ．理由如下： ∵△ODM ≌△HAM ，∴MO ＝MH ，

在Rt △MHE 和Rt △MOE 中，MH MO

ME ME

==?????，

∴Rt △MHE ≌Rt △MOE （HL ），∴∠1＝∠2，

∵∠AMD ＝∠MDB ＋∠B ，即∠1＋∠2＝∠MDB ＋∠B ，而∠MDB ＝∠B ， ∴∠1＝∠B ，∴ME ∥BN ，

∵M 为AB 的中点，∴ME 为△ABN 的中位线，∴ME ＝

2

1

BN ． 16．（1）证明：∵∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，∴∠1＝∠2，

∵∠1＝∠EBC ，∠2＝∠3，∴∠EBC ＝∠3， ∴EB ＝EC ；

（2）解：在BA 上截取BD ＝CA ，连接DE ，如图，

在△BED 和△CEA 中，45BE CE BD CA

=∠=∠=???

????，

∴△BED ≌△CEA （SAS ）， ∴ED ＝EA ， ∵EF ⊥AD ， ∴DF ＝AF ，

∴AB ＋AC ＝BD ＋DF ＋F A ＋BD ＝BF ＋DF ＋BD ＝2BF ， AB －AC ＝BD ＋DF ＋AF －BD ＝2AF ， ∴

AB AC BF

+＝

2BF BF

＝2，

AB AC AF

-＝

2AF AF

＝2；

（3）解：由（2）得BD ＝AC ＝3，

∵AB ＝BD ＋DF ＋AF ＝AC ＋2AF ， ∴3＋2AF ＝5，∴AF ＝1， ∵EF ＝3，

∴△AEF 的面积＝12×3×1＝3

2

．

17．8 18．7 2 19．2＋25≤m ≤6＋25

20．解：连接OD ，

∵AB ⊥CD ，CF ⊥AD ，∴∠AFO ＝∠CEO ＝90°，

∵在△AOF 和△COE 中，∠AOF ＝∠COE ，∴∠A ＝∠C ， ∵∠A ＝∠ODA ，∠C ＝∠ODC ，∴∠A ＝∠ODA ＝∠ODC ， ∵∠A ＋∠ODA ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODC ＝30°， ∴OD ＝1，DE ＝

32

，CD ＝3．

21．（1）证明：如图，连接BC ，AC ，

∵弧AC ＝弧CE ，∴∠B ＝∠CAE ， ∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB ＝90°，即∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠B ＝∠ACD ，∴∠CAE ＝∠ACD ， ∴AF ＝CF ；

（2）解：连接AC ，OE ，OC ，BC ，设CO 与AE 交点为G ，则OC ⊥AE ，

EG ＝AG ＝1

2

AE ＝4．

∵弧AC ＝弧CE ，∴∠COE ＝∠COA ，即∠GOE ＝∠DOC ， 又∵∠OGE ＝∠ODC ＝90°，OE ＝OC ，∴△EGO ≌△CDO （AAS ）， ∴OG ＝OD ．

在△OEG 中，∵∠OGE ＝90°，OE ＝5，EG ＝4， ∴OG ＝3，∴OD ＝OG ＝3，CG ＝AD ＝2． 设GF ＝x ，则CF ＝AF ＝4－x ， 在△CGF 中，∵∠CGF ＝90°，

∴CF 2＝CG 2＋GF 2，即(4－x )2＝22＋x 2，解得x ＝1.5， ∴EF ＝EG ＋GF ＝4＋1.5＝5.5．

22．解：（1）如图1，过点O 作OE ⊥AC 于E ，

则AE ＝12AC ＝1

2×2＝1，

∵翻折后点D 与圆心O 重合， ∴OE ＝1

2

r ，

在Rt △AOE 中，AO 2＝AE 2＋OE 2，即r 2＝12＋(1

2r )2，解得r ＝233

；

（2）如图2，连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，

∵∠BAC ＝25°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝90°－25°＝65°， 根据翻折的性质，

所对的圆周角等于

所对的圆周角，

∴∠DCA ＝∠B －∠A ＝65°－25°＝40°．