《概率论》第二章习题
第二章 事件与概率
1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？
解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则
42)(,52)(121==
A A P A P ，2
1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。
利用乘法公式，所求的概率为
()()()()
12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30
1
121314252=????=
2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。
解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P （B|A ），则
()7
6
8/78/6)()(===
A P A
B P A B P .
3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。
3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废
品}，显然B A ?，则 ()
1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 2
2/)(M
m C C B P =， 题中欲求的概率为
)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1
21
/)(/2
2112
2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ?，则
()
,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2
11/)(M m M m C C C B P -=.
题中欲求的概率为
)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1
2/)(/2
1122
11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M
m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=(
)
)
1()
12(/2
2
11---=
+-M M m M m C C C C M m m M m .
4、袋中有a 只黑球，b 只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。
解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 )
()(b a a
A P +=
甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
b
a b
b a b b a a b a b b a b +=-+?++-+-?+=
111 甲，乙 取球的情况共有四种，由全概率公式得
)|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=
21
)1)((22)1)(()1(-+-?
-+++-+-?-++-=
b a b b a b a ab b a b b a b a b b 2
)1)(()1(21)1)((-+?-++-+-+-?-+++
b a b
b a b a a a b a b b a b a ab
b
a b
b a b a b a b a b a b +=
-+-++-+-+=
)2)(1)(()2)(1(. 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 解：设B={两数之和大于10}，A i ={第一个数取到i}，9,,1,0 =i 。则10
1)(=
i A P ， 5,3,2,9/)1()|(,0)|()|(10 =-===i i A B P A B P A B P i ;,9/)2()|(-=j A B P j
9,8,7,6=j 。由全概率公式得欲求的概率为
∑===
=9
356.045
16
)|()()(i i i A B P A P B P . 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α只白球，β只黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，
然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？
解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得
)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=
221122221
222222222
a a a
b b a
a b a b a b C C c C C c C c c C C C C ααβαβαβ+++++++++++=++. 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从
第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1 =。则
)
()(,)(11b a b
A P b a a A P +=
+=
. 一般设)()(b a a A P k +=
，则)
()(b a b
A P k +=，得
)
()()|()()|()(111b a a
A P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=
+=+++.
由数学归纳法得 )
()(b a a
A P N +=
8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分被
击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为0.1，0.2，0.7，若已击中两弹，求击落飞机的概率。
解：设A 1={飞机第一部分中两弹}，A 2={飞机第二部分中两弹}，A 3={飞机第一部分仅中一弹}，A 4={其它情况}，则
.),(4321Ω=+++≠=A A A A j i A A j i φ
.04.02.02.0)(,01.01.01.0)(21=?==?=A P A P
A 3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，
18.01.07.01.02.07.01.02.01.0)(3=?+?+?+?=A P ， .77.0)]()()([1)(3214=++-=A P A P A P A P
设B={飞机被击落}，则 .0)|(),
3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i
由全概率公式得∑==4
1
)()|()(i i
i
A P A
B P B P .23.018.004.001.0=++=
错误算法：
3()0.10.20.10.70.09P A =?+?=，
设B={飞机被击落}，则 .0)|(),
3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i
由全概率公式得∑==
4
1
)()|()(i i
i
A P A
B P B P 0.010.040.090.14.=++=
原因是忽略了飞机中弹的次序。
9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n
回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。
解：设A i ={第i 回出正面}，记)(i i A P p =，则由题意利用全概率公式得
)()|()()|()(111i i i i i i i A P A A P A P A A P A P ++++=
(1)(1)(21)(1i i i p p p p p p p =+--=-+
-。
已知c p i =，依次令1,,2,1 --=n n i 可得递推关系式
),1()12(1p p p P n n -+-=- ,),1()12(21 p p p P n n -+-=-- ).1()12()1()12(12p c p p p p P -+-=-+-=
解得
,)12(])12()12()12(1)[1(122---+-++-+-+-=n n n p c p p p p P
当1≠p 时利用等比数列求和公式得
11
)12()
12(1)12(1)1(---+-----=n n n p c p p p p .)12()12(212111---+--=n n p c p （*）
（1）若1=p ，则C p C p n n n =≡∞
→lim ,；
（2）若0=p ，则当12-=k n 时，c p n =；当k n 2=时，c p n -=1。
若21=
c ，则21
lim ,21=≡∞→n n n p p 若12
1
≠
c ，则n n p c c ∞→-≠lim ,1不存在。
（3）若10<
.2
1
)12()12(2121lim lim 11=??????-+--=--∞→∞→n n n n n p c p p 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。
以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。
解：令i i i C B A ,,分别表示第i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得
)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C A P C P B A P B P A A P A P A P p +++++++==
n n n n q r q p 4
1
0410=?++
?=， )|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C B P C P B B P B P A B P A P B P q +++++++==
,2
1
1211n n n n n n r q p r q p ++=?++
?=， )|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C C P C P B C P B P A C P A P C P r +++++++==
n n n n q r q p 4
1
0410=?++?=.
这里有11++=n n r p ，又1111=+++++n n n r q p ，所以1121++-=n n p q ，同理有n n p q 21-=，再由
n n q p 411=
+得)21(4
1
1n n p p -=+。所以可得递推关系式为 ?????
-=-==++++1
11121)
21(4
1n n n n n p q p p r ， 初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即1,0000===q r p ，由递推关系式得
n n n n p p p r 2141)21(4111-=-=
=++ =+-=--=--114
1
8141)2141(2141n n p p ??
?
??--???
?
??????
?
??--=-+-++-=+++++211211412)1(2)1(21211
1
12232n n n n n p
2
1
12131)1(6
121)1(161+++??? ????-+=???????
???? ???--=n n
n n ，
1
11
12131)1(3221++++??
?
????-+=-=n n n n p q .
.3
2lim ,61lim lim ==
=∞→∞
→∞
→n n n n n n q r p 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为
???
??=--≥=,0,11,
1,n p
ap n ap p n n
这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
解：设A n ={家庭中有n 个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k 个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布)2
1(=
p 得 .212121)|(n
k n k
n k k n
n C C A B P ??
? ??=?
?
?
????? ??=-
由全概率公式得
∑∑∞
=∞=??? ??==k
n n
k
n
n k n n n C ap A B P A P B P 21)|()()(02k i
i k i i p a C +∞
+=??
= ?
??∑（其中k n i -=）
22k
i i k i
i p p a C
∞
+=????= ? ???
??∑.)
2(22121`
1+---=??
? ??
-??
? ??=k k
k k
p ap p p a
12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；
（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。
解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。B AB B A =?,，由1)
2(0<-<
p p
得
1
122(2)(),2(1)2(2)(1)(2)
(2)
k
k k p
ap a ap p P A p p p p p p ∞
+=-==?=------∑
2
2
21
2222(2)()2(1)2(2)
(2)(1)
(2)
k
k k p ap a ap p P B p p p p p p ∞
+=-==?=
------∑, p
p
A P
B P A P AB P A B P -===
2)()()()()|(.
（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n 个小孩且都是男孩，n 是任意正整数}，则
11()112n
n n ap P C ap p ∞=??
=-+ ?-??
∑
)2)(1(322112
12112p p p ap p p ap p ap p ap
p ap --+--=
-+--=-
+--= A 1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则
ap ap A P 2
1
21)(1=?
=，且C A ?1， 所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为
)()()()()|(111C P A P C P C A P C A P ==
)
32(2)
2)(1()
2)(1(32212
2p ap p p p ap p p p ap p ap +----=--+--=.
13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为
0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。
解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知98.0)|(=A B P ，
96.0)(05.0)|(==A P A B P ，，求)|(B A P 。由贝叶斯公式得
)
|()()|()()
|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P +==
9979.09428
.09408
.005.004.098.096.098.096.0==?+??=
14、炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在各该处射击时
命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由250米处射击的概率。
解：设321,,A A A 分别为自250米，200米，150米处射击的事件，B 为“命中目标”事件，则
1.0)|(,05.0)|(,
2.0)(7.0)(,1.0)(21321=====A B P A B P A P ，A P A P ，
2.0)|(3=A B P ，求)|(1B A P 。i A 间互不相容，B 能且只能与i A 中之一同时发生，由贝叶斯公式得
)
()|()()|()()|()
()|()|(332211111A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P B A P ++=
0435.023
1
2.02.07.01.01.005.01.005.0==?+?+??=
.
15、在通讯渠道中，可传送字符AAAA ，BBBB ，CCCC 三者之一，假定传送这三者的概率分别为0.3，
0.4，0.3，由于通道噪音的干扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接受到其它字母的概率为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，若接受到的是ABCA ，问被传送是AAAA 的概率。 解：记事件“发AAAA ”为A 4，事件“发BBBB ”为B 4，事件“发CCCC ”为C 4，事件“收ABCA ”为D ，则,3.0)(,4.0)(,3.0)(444===C P B P A P 为求4(|)P A D ，考虑到发AAAA ，而收到ABCD ，有两个字母被准确收到，另两个字母被误收，故0144.02.06.0)|(224=?=A D P 。同理可求得
3442.06.0)|()|(?==A D P B D P
0048.0=，欲求的概率是)|(4D A P ，而事件444,,C B A 间两两互不相容，又D 能且只能与4
44,,C B A 之一同时发生，由贝叶斯公式得欲求的概率为
)
|()()|()()|()()
|()()|(4
44444444
C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++= 5625.016
9
0048.03.00048.04.00144.03.00144.03.0==?+?+??=
16、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,, 皆与C 独立。 证：（1）)())((BC AC P C B A P =)()()(ABC P BC P AC P -+=
)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+= )()()]()()()[(B A P C P AB P B P A P C P =-+=，
∴B A 与C 独立。
（2）)()()()()()(C P AB P C P B P A P ABC P == ∴AB 与C 独立。
（3）))(()())((B AC P C B A P C B A P -Ω==-)()(ABC P AC P -= )()()()()(C P B P A P C P A P -=
)()()]()()[(B A P C P AB P A P C P -=-=，
∴B A -与C 独立。
17、若A ，B ，C 相互独立，则C B A ,,亦相互独立。
证：)(1)()(B A P B A P B A P -==)])()([1PAB B P A P -+-=
))(1))(
(1()()()()(1B P A P B P A P B P A P --=+--= )()(B P A P =，
同理可证 )()()(C P A P C A P =,
)()()(C P B P C B P =.
又有
)(1)()(C B A P C B A P C B A P -==
[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-=
++++---=)()()()()()()()()(1C P B P C P A P B P A P C P B P A P
)()()(C P B P A P -
))(1))((1))((1(C P B P A P ---=)()()(C P B P A P =，
所以C B A ,,相互独立。
18、证明：事件12,,,n A A A 相互独立的充要条件是下列2n 个等式成立：
)?()?()?()???(2121n
n A P A P A P A A A P =， 其中i
A ?取i A 或i A 。 证：必要性。事件n A A A ,,,21 相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m 个集i A ?取i A 的形式。当1=m 时，
)()()()(11221n n n n A A P A A P A A P A A A P --=
)()()()(12n n A p A P A P A P -=)()()(21n A P A P A P =。
设当k m =时有
)()()()(1111n k k n k k A A P A P A P A A A A P ++=,
则当1+=k m 时
)()()(1121211n k k n k k n k k A A A A P A A A A P A A A A P ++++-=
)()()()()()()()(1121n k k n k k A P A P A P A P A P A P A P A P ++-= )()())(1)(()(211n k k k A P A P A P A P A P ++-= )()()()()(211n k k k A P A P A P A P A P ++=
从而有下列2n 式成立：
)?()?()?()???(2121n
n A P A P A P A A A P =,
其中i
A ?取i A 或i A 。 充分性。设题中条件成立，则
)()()(11n n A P A P A A P =, (1)
)()()()(1111n n n n A P A P A P A A A P --= . (2)
∵ φ=--n n n n A A A A A A 1111 ,
∴ )()(111111n n n n n A A A A A A P A A P ---= .
(1)+(2)得 )()()(1111--=n n A P A P A A P 。 (3)
同理有
)()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----= ,
)()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----=
两式相加得
)()()()(121121----=n n n n A P A P A P A A A P . （4）
(3)+(4)得
)()()()(22121--=n n A P A P A P A A P 。
同类似方法可证得独立性定义中12+-n n
个式子，
∴ n A A ,,1 相互独立。
19、若A 与B 独立，证明},,,{ΩA A φ中任何一个事件与},,,{ΩB B φ中任何一个事件是相互独立的。 证：),()(00)()(φφφφφP P P P =?==
),()(1)(),()(0)(ΩΩ==ΩΩΩ==ΩP P P P P P φφ ),()()()(B P P B P B P Ω==Ω ),()()()(A P P A P A P Ω==Ω
)()()(B P A P B A P =（见本章第17题），
)()()()()()()(B P A P A P AB P A P AB A P B A P -=-=-= )()())(1)((B P A P B P A P =-=， 同理可得 )()()(B P A P B A P =。证毕。
20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）
在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。 解：P{三次射击恰击中目标一次}=
7.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0--+--+--= 36.0=
P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}
91.0)7.01)(5.01)(4.01(1=----=
21、设n A A A ,,,21 相互独立，而k k p A P =)(，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件
中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。 解：（1）P{所有的事件全不发生}}{1n A A P = ∏=-==n
k k
n p
A P A P 1
1)1()()( 。
（2）P{至少发生其一})(1n A A P =
∏=--
=-=n
k n
n n p
A A P A A P 1
11)1(1)(1)( 。
（3）P{恰好发生其一}+---+--=)1()1()1()1()1(32121n n p p p p p p p n n p p p )1()1(11---++ ∑∑
∏=≥>≥=--++-=
n
i i j n n
i i n j i i
p n p p p
1
1
1
1
)
1(2
。
22、当元件k 或元件1k 或2k 都发生故障时电路断开，元件k 发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2
发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。
解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记0A ={元件k 发生故障}，1A ={元件1k 发生故障}，
2A ={元件2k 发生故障}。则
P{电路断开})()()()(210210210A A A P A A P A P A A A P -+== 328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=。 23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。
解：以k A 表事件“A 于第k 次试验中出现”，ε=)(k A P ，由试验的独立性得，前n 次试验中A 都不出现的概率为
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =n )1(ε-=。
于是前n 次试验中，A 至少发生一次的概率为
)(1)1(1)(121∞→→--=-n A A A P n n ε 。
这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A 至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而
可看成是必然要发生的。
24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，
第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。 解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得
2509.07.08.0}{23=?=所有零件均为一级品P 。
25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了2n 个细菌，求（1）
至少有一个甲类细菌的概率；（2）甲，乙两类细菌各占其半的概率。 解：利用的二项分布可得
}2{1}{个全是乙类细菌至少有一个甲类细菌n P P -=
n n
C 2200202121211--=?
?
? ????? ??-=。
n
n n n
n
n n
C C ，P 222212121}{??
? ??=??? ????? ??=乙两类细菌各占一半甲。 26、掷硬币出现正面的概率为p ，掷了n 次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两
次正面。 解：利用二项分布得
n p n P P )1(1}{1}{--=-=次全部出现反面至少出现一次正面。
11)1()1(1}{-----=n n n p p C p P 至少出现两次正面1)1()1(1-----=n n p np p 。
27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优
胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？ 解：（1）设A ，B ，C 分别表示每局比赛中甲，乙、丙获胜的事件，故3
1
)()()(=
==C P B P A P 的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为
30020
3!1113!11113!0!0!3332!1!0!3333p ??????????????=+ ? ? ? ? ???
?????????????
??
。 28、甲，乙均有n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。 解：利用两个的二项分布，得欲求的概率为
∑==n
i i ，i P p 0
}{次正面乙掷出次正面甲掷出
1
1
21212121--=??
? ???
?
? ?????
? ???
??
??=∑n i
i n
n i
n
i i n
C C ∑=???
??=??
? ??=n
i n
n n
i n
n C C 0
222
221)(21。 29、在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，求在n 次独立试验中事件A 出现奇数次的概率。 解：事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则
++=-2
2200n n n n q p C q p C a ， ++=--33311n n n n q p C q p C b 。
利用n n p q b a q p b a )(,1)(-=-=+=+，可解得事件A 出现奇数次的概率为
[]
n n p q p b )21(2
1
21)(121--=--=
。 顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2
1
21-+=
。 30、在贝努里试验中，若A 出现的概率为p ，求在出现m 次A 之前出现k 次A 的概率。
解：事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”，相当于事件“在前1-+m k 次试验中出现k 次A ，1-m 次A ，而第k m +次出现A ”，故所求的概率为
m k k m k m k k m k q p C q q p C 111-+--+=?
注：对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”，若允许在出现m 次A 之前也可以出现1+k 次A ，
2+k 次A 等，这就说不通。所以，事件“在出现m 次A 之前出现k 次A ”的等价事件，是“在出现m 次A 之前恰出现k 次A ”。而对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A 之前”（记为B ）就不一样，即使在出现m 次A 之前出现了1+k 次A ，2+k 次A 等，也可以说事件B 发生，所以事件B 是如下诸事件的并事件：“在出现m 次A 之前恰出现i 次A ”， ,1,+=k k i 。
31、甲袋中有1-N 只白球和一只黑球，乙袋中有N 只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并
交换放入另一袋中去，这样经过了n 次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论∞→n 时的情况。
解：设=n A {经n 次试验后，黑球出现在甲袋中}，=n A {经n 次试验后，黑球出现在乙袋中}，=n C {第n 次从黑球所在的袋中取出一个白球}。记),(n n A P p = ,2,1,0,1)(=-==n p A P c n n n 。当1
≥n
时，由全概率公式可得递推关系式：
)()|(_)()|(1111----=n n n n n n n A P A A P A P A A P p )()|()()|(1111----+=n n n n n n A P A C P A P A C P
N
q N N p n n 1
111?+-?
=--)1(1
111---+-=
n n p N
p N N , 即 )1(1
21≥+-=
-n N
p N N p n n 。
初始条件10=p ，由递推关系式并利用等比级数求和公式得
n
n n N N N N N N N N N p ??
?
??-+?
??
??-++-?+=-2212111
n
n N N N N N N N
?
??
??-+??? ?
?--????
???
????
??--=221211n
N N ???
??-+=22121。 若1=N ，则12+=k n 时0=p ，当k n 2=时1=n p 。 若2=N ，则对任何n 有2
1
=
n p 。 若2>N ，则2
1
lim =
∞
→n n p （N 越大，收敛速度越慢）。 32、一个工厂出产的产品中废品率为.005，任意取来1000件，试计算下面概率：（1）其中至少有两件
废品；（2）其中不超过5件废品；（3）能以90%的概率希望废品件数不超过多少？ 解：利用普阿松逼近定理，5005.01000=?=λ，查表计算得
∑=-=1000
2110001000)995.0()005.0(}{i i i
C P 至少有两件废品9596.05155=--≈--e e ，
∑=-=5
2
1
10001000
)
995.0()005.0(}5{i i i
C
P 件废品不超过6160.0!
55
5
0=≈-=∑e i i i 。 设以90%的概率希望废品件数不超过k ，则
∑=-k
i i i C
2
1
10001000
)
995.0()005.0(90.0!
55
0=≈-=∑e i k
i i ， 解得8=k 。
33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多
个终端同时操作的概率。
解：P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}
∑=-==10
020209829.0)7.0()3.0(j j j j
C 。 34、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。 解：利用普阿松逼近定理计算5001.05000=?=λ，则打中两弹或两终以上的概率为
001.0)999.0(5000)999.0(149995000?--=p 9596.05155=--≈--e e
35、某个厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的百分比为.6，现为某事可行与否而个别征求顾
问意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。
解：设A 表事件“某事实际上是可行的”，A 表事件“某事实际上是不可行的”，B 表“多数人说可行”，
B 表“多数人说不可行“，利用二项分布得
∑=-===7
4777102.0)4.0()6.0()|()|(i i i i
C A B P A B P
所以作出正确决策的概率为
)|()()|()(A B P A P A B P A P p +=
(|)[()()](|)0.7102P B A P A P A P B A =+==。
36、实验室器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生k 个细菌的概率为
,2,1,0,!
==
-k e k p k
k λλ。试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产
生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。
解：（1）由题意得，产生了k 个细菌，且这k 个细菌全部是甲类细菌的概率为k
k
e k ??
?
??-21!λλ，所以产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为
???
? ??-=??? ??=-∞
=-∑121!21λλλ
λe e e k p k k
k
。 （2）产生乙类细菌而无甲类细菌的概率与（1）中概率相同，所以欲求的条件概率为
P{有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类}???????
????? ??-??
? ??=--121!2121
2
2λλλλe e e ????
??-=181212λλe 。 37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两个以上的人生于
元旦的概率是多少？
解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用365
1
-p 的二项分布得欲求的概率为
1
502
50
3651136511-??
? ??-?
?
?
??-=∑i
i C p
00037.0365
364)492536450364(150
482=?+?+-=。 38、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少
有三个错字的概率。
解：每个错字出现在每页上的概率为500
1
=
p ，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼近定理计算，1500
1
500=?
=λ，得 P{某页上至少有三个错字}=-11-P{某页上至多有两个错字}
∑=-??
? ??-??? ??-=2
1
5001500
5001150011i i
C
0803.0)2
1
(1111=++-≈---e e e .
39、某商店中出售某种商品，据历史纪录分析，每月销售量服从普阿松分布，参数为7，问在月初进
货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要。 解：设月初库存k 件，则应有
∑∑=∞
+=--≤=≥k
i k i i i e i p e i 017
7001.0!7,999.0!7即. 当171=+k 时，000958.0=p ；161=+k 时，002407.0=p 。所以在月初进货时要库存16=k 件才行。
40、螺丝钉生产中废品率为0.015，问一盒应装多少只，才能保证每盒中有100只以上的好螺丝钉的
概率不小于80%（提示：用普阿松逼近，设应装100+k 只）。
解：设每盒装100+k 只，为使每盒有100只以上的好钉，每盒次品数应当1-≤k ，则应有
80.0)985.0()015
.0(1001
0100≥=-+-=+∑i k i k i i
k C p . 由于k 值不大，有
5.1015.0100015.0)100(=?≈+k
利用普阿松逼近定理计算，5.1=λ，上式可以写成
∑-=-≥=1
5
.180.0!)5.1(k i i e i p .
查表得当21=-k 时，808847.0=p ；当11=-k 时，557825.0=p 。取3,21==-k k ，。所以一盒应装103只，才能保证每盒中有100只以上好钉的概率小于80%。
41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管
中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。
解：每一毫升平均含一个细菌，每2毫升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从2=λ的普阿松分
布。由此可得
P{5个试管中都有细菌}4833.0)1(52=-=-e ； P{至少有三个试管中有细菌}∑=---=-=
5
2
52215
9800.0)()1(i i i
e e
C .
计算时利用了21--=e p 的二项分布。
42、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有
多于一车的概率。
解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从λ的普阿松分布，则
P{1分钟内无车}20201
.ln ,.e
i -===-λλ611.=
由此得，2分钟内通过的汽车数服从2232.i =?=λλ的普阿松分布，从而2分钟内多于一车的概率为
83102231223223.e .e p ..=?--=--.
43、若每蚕产n 个卵的概率服从普阿松分布，参数为λ，而每个卵变为成虫的概率为p ，且各卵是否
变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k 只小蚕的概率。
解：若蚕产i 个卵，则这i 个卵变为成虫数服从概率为i n ,p =的二项分布，所以
P{蚕养出n 只小蚕}k k k i
k i i
p p C
e i --
∞
=-=
∑1)1(!λλ)k i m -=（令
λλ
λλ-∞=+-∑
=
-=
e p k p m k e p k M m m
k k )(!
1
)1(!
!
44、若已知0=t 时，某分子与另一分子碰撞，又知对任何0≥t 和0>?t ，若不管该分子在时刻以前
是否遭受碰撞，在),(t t t ?+中遭到碰撞的概率等于)(t o t ?+?λ，试求该分子在时刻τ还没有再受到碰撞的概率。
解：设s={该分子在时刻s 还没有再受到碰撞}，则
)()()(1ττλτ?+?=?-o P ，
))(1)(()()()(ττλτττττ?-?-=?=?+o P P P P ， τ
τττλττττ??--=?-?+)
()()()()(o P p P P ，
令0→?τ得
λτττλττ-=-=)
()
('),()
(P P P d dP ， 积分得 λττ-=ce P )(. 当0→τ时，1)(→τP ，所以1=c ，从而 λττ-=e P )(.
45、利用概率论的想法证明下面恒等式：
∑==???
? ??+M
k N k k k N 0221。 证：可利用巴纳赫氏问题证明。某数学家带着两盒火柴，每次用时他在两盒中任意抓一盒，从中取出一根，因此连续地抽取构成了一串2
1
=
p 的贝努里试验。假定最初每盒火柴恰巧包含N 根，我们考虑：数学家第一次发现空盒子地时刻。在这一时刻，另一盒火柴可能还有r 为0，1，…，N 根火柴。设从第一盒中选取为“成功”。“当发现第一盒火柴空时，第二盒中尚有r 根火柴“这一事件，等价于”恰有r N -次失败发生在第N+1次成功之前“，这个事件的概率为)2
1
,1;12(++-N r N f （见巴斯卡分布）。考虑到两盒火柴所处的地位相同，可得事件”发现一盒空，另一盒中尚有r 根火柴“（记为r A ）的概率为
r N r N N r N N r N N r N f +--+-???
? ??-=???? ??-=??? ??
++-2122222221,1;122. r 取0到N 的诸事件r A 之和显然是必然事件，由此可得
∑=+-=???
? ??-N
r r
N N r N 02122， 两边同乘以N
2并利用组合性质变形得
∑=--=???
? ??--N
r N r N r N r N 0)(222， 令k r N =-，并注意到对应r 从0变到N ，而k 是从N 变到0，即得要证的等式
∑=-=???
? ??+N
r N
k k k N 022.
46、通过构造适当的概率模型证明：从正整数中随机地选取两数，此两数互素的概率等于
2
6π。 证：任何一个非1的自然数，皆可唯一地（不计次序时）分解为素数的乘积，要证两数互素，只需验证这两数没有公共素因子就行了。为此，把素数排列为 <<21p p ，对任何N t ,（自然数）定义事件
N A t N ,,2,1{, 在=中独立地取两整数ηξ,，ξ与η不含公因子},,,21t p p p 。把所要求的“事件”的概率定义为
()
)(lim lim ,t N N t A P l ∞
→∞→。
为计算)(,t n A P ，定义
{1P m k i i = 自1,2,…,N 中独立地取两整数ηξ,，它们有公因子},,,21k i i i p p p 。
则由事件容许的和的概率公式得
∑∑≥>≥=-+-+
-=1211
,)1(1)(i j t t t ij
t
i i t N m m
m A P （1）
显然有2
1
11???? ??????????=k k i i i i p p N N m ，2
2
111111???
? ??≤≤???? ??-k k k i i i i i i p p m N p p ， 因而
∑
∑∑
≤<<≤≤<<≤≤<<≤≤≤-t i i i i t i i i i t
i i k t i i k k
k k k k p p m N C p p 1111111111
21 （2） （2）式左端的N
C k
t 2的来由是，
N p p p p N p p N p p k k k k i i i i i i i i 21211112222222
1111
-≥?-≥???? ??- ， 而和式中一共有k t C 项。由（1），（2）得
∑∑∑=≥>≥=--+-t
i i j t t k k t j
i i C N p p p 1112222111
)(,t N A P ≤∑∑∑=≥>≥=+-+-≤t
i i j t t k k
t j
i i C N p p p 1112222111 （3）
在（3）中令∞→N 得
∏∑
∑==≥>≥∞
→???? ?
?-=--+-=t i i t t
i t
i j t t
j i i t N N p p p p p p A P 122211
1222,111)1(111)(lim ， 再令∞→t ，并利用黎曼函数2
6
)2(πξ=（参看华罗庚著“数论导引”P236，225）得，欲求的概率
为
[]
∏∞
=∞→∞→==???? ?
?-=122,6
)2(11)(lim lim i i t N N t p A P πξ
47、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，
发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？
解：假设产品合格率99.0≥p ，不妨设99.0=p 。现从10000件中抽100件，可视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为
2642.0199.001.0100)99.0(11199100=--≈??--=--e e p
此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定，该车间没有谎报合格率。）
信息论与编码习题与答案第二章
第一章 信息、消息、信号的定义？三者的关系？ 通信系统的模型？各个主要功能模块及作用？ 第二章 信源的分类？ 自信息量、条件自信息量、平均自信息量、信源熵、不确定度、条件熵、疑义度、噪声熵、联合熵、互信息量、条件互信息量、平均互信息量以及相对熵的概念？计算方法? 冗余度? 具有概率为)(x i p 的符号x i 自信息量：)(log )(x x i i p I -= 条件自信息量：)(log )( y x y x i i i i p I -= 平均自信息量、平均不确定度、信源熵：∑-=i i i x x p p X H )(log )()( 条件熵：)(log ),()(),()(y x y x y x y x j i j ij i j i j ij i p p I p Y X H ∑∑-== 联合熵：),(log ),(),(),()(y x y x y x y x j i j ij i j i j ij i p p I p Y X H ∑∑-== 互信息：) ()(log )()() ()(log ),();(y x y x y x y x y y x j i j i j ij i j i j j ij i p p p p p p p Y X I ∑∑= = 熵的基本性质：非负性、对称性、确定性 2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解：(1) bit x p x I x p i i i 170.418 1 log )(log )(18 1 61616161)(=-=-== ?+?= (2) bit x p x I x p i i i 170.536 1 log )(log )(361 6161)(=-=-== ?=
概率论与数理统计第四版第二章习题答案
概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ??
第二讲 非参数统计检验
第二讲 非参数检验 1. 实验目的 1.了解非参数假设检验基本思想； 2.会用SAS 软件中的proc npar1way 过程进行非参数假设检验和proc freq 过程进行列联表的独立性检验。 2. 实验要求 1.会用SAS 软件建立数据集，并进行统计分析； 2.掌握proc npar1way 过程进行非参数假设检验的基本步骤； 3.掌握proc freq 过程进行列联表的独立性检验的基本步骤。 3. 实验基本原理 3.1 符号检验 0:H 两种方法的处理效果无显著性差异 令10 i i I i ?=? ?第个个体中新方法优于对照方法第个个体中新方法劣于对照方法 1,2,,i N = 统计量1 N N i i S I ==∑ N S 表示新方法的处理效果优于对照方法的配对组总数。若新方法的处理效果显著的优于对 照方法，则N S 的值应明显偏大。因此，若对给定的置信水平α，有 {}N P S c α≥<， 则拒绝0H 。 0H 为真时，（1）N S 服从二项分布1(,)2 b N (),()24 N N N N E S Var S = =。拒绝域为： {}N N S S c > （2） 由中心极限定理可知，当 2 , N N S N - →∞的零分布趋于标准正态分布。
拒绝域为 ：N S u α?? ????>???????? 3.2 Wilcoxon 秩和检验 （1）单边假设检验 0:H 两种方法的处理效果无显著性差异 as 1:H ：新方法优于对照方法。 用于检验0H 的统计量为：1n s i i W I ==∑ 若对给定的置信水平α，有 {}s P W c α≥<，则拒绝0H 。且s W 的分布列为： 0#{;,}{}H s w n m P W w N n == ?? ??? 根据观测结果计算s W 的观测值0s W ，计算检验的p 值： 00 {}{} s H s s H s k w p P W w P W k ≥=≥= =∑ 然后将p 值与显著水平α作比较，若p α<，则拒绝0H ，否则接受0H 。 （2）双边假设检验 给定的显著水平21,c c 和α应该满足： ε=≥+≤}{}{2100c W P c W P A H A H 仅由上式还不能唯一确定21c c 和，当我们对两种方法谁优谁劣不得而知时，通常取 2 }{}{2100α = ≥=≤c W P c W P A H A H 若利用p 值进行检验，设A A W ω的观测值为 ,计算概率值 }{}{00A A H A A H W P W P ωω≤≥或 由对称性可知，检验的p 值为上述两概率中小于1/2的那一个的2倍。例如
第二章_概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤
求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为
非参数统计题目及答案
1．人们在研究肺病患者的生理性质时发现，患者的肺活量与他早在儿童时期是否接受过某种治疗有关，观察3组病人，第一组早在儿童时期接受过肺部辐射，第二组接受过胸外科手术，第三组没有治疗过，现观察到其肺活量占其正常值的百分比如下： 这一经验是否可靠。 解： H 0：θ2≤θ1≤θ 3 H 1 :至少有一个不等式成立 可得到 N=15 由统计量H= ) 112 +N N （∑=K i i N R 1i 2 -3(N+1)=）（1151512+(32×6.4+29×5.8+59×11.8)-3×(15+1)=5.46 查表（5,5,5）在P(H ≥4.56)=0.100 P(H ≥5.66)=0.0509 即P （H ≥5.46）﹥0.05 故取α=0.05， P ﹥α ，故接受零假设即这一检验可靠。
2.关于生产计算机公司在一年中的生产力的改进（度量为从0到100）与它们在过去三年中在智力投资（度量为：低，中等，高）之间的关系的研究结果列在下表中： 值等等及你的结果。（利用Jonkheere-Terpstra 检验） 解： H 0：M 低=M 中=M 高 H 1：M 低﹤M 中﹤M 高 U 12=0+9+2+8+10+9+10+2+10+10+8+0.5+3=82.5 U 13=10×8=80 U 23=12+9+12+12+12+11+12+11=89 J= ∑≤j ij U i =82.5+80+89=251.5 大样本近似 Z= []72 )32()324 1 2 1i 22 2∑ ∑==+-+--k i i i k i n n N N n N J （）（～N （0,1） 求得 Z=3.956 Ф(3.956)=0.9451 取α=0.05 ， P >α， 故接受原假设，认为智力投资对改进生产力有帮助。
《非参数统计》与MATLAB编程 第二章 描述性统计
第二章描述性统计 2．1 表格法和图形法 表2.1 灯丝寿命数据 107 73 68 97 76 79 94 59 98 57 73 81 54 65 71 80 84 88 62 61 79 98 63 65 66 62 79 86 68 74 61 82 65 98 63 71 62 116 65 88 64 79 78 79 77 86 89 76 74 85 73 80 68 78 89 72 58 69 82 72 92 78 88 77 103 88 63 68 88 81 64 73 75 90 62 89 71 71 74 70 74 70 85 61 65 81 75 62 94 71 85 84 83 63 92 68 81 62 79 83 93 61 65 62 92 65 64 66 83 70 70 81 77 72 84 67 59 58 73 83 78 66 66 94 77 63 66 75 68 76 73 76 90 78 71 101 78 43 59 67 61 71 77 91 96 75 64 76 72 77 74 65 82 86 79 74 66 86 96 89 81 71 85 99 59 92 94 62 68 72 77 60 87 84 75 77 51 45 63 102 85 67 87 80 84 93 69 76 89 75 59 77 83 68 72 67 92 89 82 96 a = Columns 1 through 17 107 73 68 97 76 79 94 59 98 57 73 81 54 65 71 80 84 79 98 63 65 66 62 79 86 68 74 61 82 65 98 63 71 62 64 79 78 79 77 86 89 76 74 85 73 80 68 78 89 72 58 92 78 88 77 103 88 63 68 88 81 64 73 75 90 62 89 71 74 70 85 61 65 81 75 62 94 71 85 84 83 63 92 68 81 93 61 65 62 92 65 64 66 83 70 70 81 77 72 84 67 59 78 66 66 94 77 63 66 75 68 76 73 76 90 78 71 101 78
信息论习题解答
第二章 信息量与熵 2、2 八元编码系统,码长为3,第一个符号用于同步,每秒1000个码字,求它的信息速率。 解:同步信息均相同,不含信息,因此 每个码字的信息量为 2?8log =2?3=6 bit 因此,信息速率为 6?1000=6000 bit/s 2、3 掷一对无偏骰子,告诉您得到的总的点数为:(a) 7; (b) 12。问各得到多少信息量。 解:(1) 可能的组合为 {1,6},{2,5},{3,4},{4,3},{5,2},{6,1} )(a p =366=6 1 得到的信息量 =)(1log a p =6log =2、585 bit (2) 可能的唯一,为 {6,6} )(b p =36 1 得到的信息量=)(1log b p =36log =5、17 bit 2、4 经过充分洗牌后的一副扑克(52张),问: (a) 任何一种特定的排列所给出的信息量就是多少？ (b) 若从中抽取13张牌,所给出的点数都不相同时得到多少信息量？ 解:(a) )(a p =! 521 信息量=) (1log a p =!52log =225、58 bit (b) ???????花色任选 种点数任意排列 13413!13 )(b p =1352 134!13A ?=135213 4C 信息量=1313524log log -C =13、208 bit 2、9 随机掷3颗骰子,X 表示第一颗骰子的结果,Y 表示第一与第二颗骰子的点数之与,Z 表 示3颗骰子的点数之与,试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。 解:令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ,1x ,2x ,3x 相互独立,则 1x X =,21x x Y +=,321x x x Z ++= )|(Y Z H =)(3x H =log 6=2、585 bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H =2?(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+36 6log 6 =3、2744 bit )|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ] 而)|(X Y H =)(X H ,所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H =1、8955 bit 或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H 而)|(X Y H =)(X H ,所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H =1、8955 bit ),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H =2、585 bit )|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =1、8955+2、585=4、4805 bit
概率论第二章习题解答
概率论第二章习题 1 考虑为期一年的一保险单，若投保人在投保一年意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大为4，则为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为
S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为 112 3213321312 C C P=???
信息论与编码习题参考答案(全)
信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源 同时掷一对均匀的子，试求： (1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵； (5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。 解： bit P a I N n P bit P a I N n P c c N 17.536log log )(361 )2(17.418log log )(362)1(36 662221111 616==-=∴====-=∴== =?==样本空间： (3)信源空间：
bit x H 32.436log 36 16236log 36215)(=??+?? =∴ (4)信源空间： bit x H 71.3636 log 366536log 3610 436log 368336log 366236log 36436log 362)(=??+?+?+??= ∴＋＋ (5) bit P a I N n P 17.111 36 log log )(3611333==-=∴== 如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa ，Ya ）, （Xb ，Yb ）,但A ，B 不能同时落入同一方格内。 （1） 若仅有质点A ，求A 落入任一方格的平均信息量； （2） 若已知A 已落入，求B 落入的平均信息量； （3） 若A ，B 是可辨认的，求A ，B 落入的平均信息量。 解： bit a P a P a a P a I a P A i 58.548log )(log )()(H 48log )(log )(481 )(:)1(48 1 i i i i i ==-=∴=-=∴= ∑=落入任一格的概率Θ bit b P b P b b P b I b P A i 55.547log )(log )()(H 47 log )(log )(47 1 )(:B ,)2(48 1i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率是落入任一格的情况下在已知Θ
非参数统计部分课后习题参考答案
课后习题参考答案 第一章p23-25 2、（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为x 1：100，99，99，100，99，100，99，99；第二组三名学生的成绩分别为x 2：75,87,60。我们对这两组数据作同样水平a=0.05的ｔ检验（假设总体均值为u ）：H 0：u=100 H 1：u<100。第一组数据的检验结果为：df=7，t 值为3.4157，单边p 值为0.0056，结论为“拒绝H 0：u=100。”（注意：该组均值为99.3750）；第二组数据的检验结果为：df=2，t 值为3.3290，单边ｐ值为0.0398;结论为“接受H 0：u=100。”（注意：该组均值为74.000）。你认为该问题的结论合理吗？说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。 答：这个结论不合理（6分）。因为，第一组数据的结论是由于ｐ－值太小拒绝零假设，这时可能犯第一类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平ａ时，接受零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低，换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假设本身就是对的。本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。（4分） 第三章p68-71 3、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升幂排列）： 4632，4728，5052，5064，5484，6972，7596，9480，14760，15012，18720，21240，22836，52788，67200。已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。 （1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化？能否用单边检验来回答这个问题？（4分） （2）利用符号检验来回答（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。（10分） （3）找出基于符号检验的95％的中位数的置信区间。（8分） 解：（1）1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数5064元是有变化，但这只是从中位数的点估计值看。如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。（4分） （2）符号检验（5分） 设假设组：H ０：M ＝M ０＝5064 H １：M ≠M ０＝5064 符号检验：因为n +=11，n-=3，所以k=min(n+,n-)=3 精确检验：二项分布b(14,0.5)， ∑=-=3 0287 .0)2/1,14(n b ，双边ｐ－值为0.0576,大于ａ＝0.05， 所以在ａ水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若ａ＝0.1，则样本数据可拒绝零假设。查二项分布表得ａ＝0.05的临界值为（3，11），同样不足以拒绝零假设。 正态近似：（5分） np=14/2=7,npq=14/4=3.5 z=(3+0.5-7)/5.3≈-1.87>Z a/2=-1.96 仍是在ａ＝0.05的水平上无法拒绝零假设。说明两年的中位数变化不大。 （3）中位数95％的置信区间：（5064，21240）（8分） 7、一个监听装置收到如下的信号：0，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0。能否说该信号是纯粹随机干扰？（10分）
信息论与编码理论第二章习题答案
I (X ;Y=1)= P(x/Y 1)I(x;Y 1) x P(x/Y 1)log P(x/Y 1) P(x) = P(X 0/Y 1)log P(X 0/Y 1) P(X 0) P(X 1/Y 1)log P(X 1/Y 1) P(X 1) 部分答案，仅供参考。 信息速率是指平均每秒传输的信息量点和划出现的信息量分别为log3Jog3， 2’ 一秒钟点和划出现的次数平均为 1 15 2 1 ~4 0.20.4 - 3 3 一秒钟点和划分别出现的次数平均为巴5 4 4 那么根据两者出现的次数，可以计算一秒钟其信息量平均为10 log 3 5 竺 5 4 2 4 4 2 解： ⑻骰子A和B，掷出7点有以下6种可能： A=1,B=6; A=2,B=5; A=3,B=4; A=4,B=3; A=5,B=2; A=6,B=1 概率为6/36=1/6，所以信息量 -log(1/6)=1+log3 ~ bit (b)骰子A和B,掷出12点只有1种可能： A=6,B=6 概率为1/36，所以信息量 -log(1/36)=2+log9 ~ bit 解： 出现各点数的概率和信息量： 1 点：1/21 , log21 ?bit ; 2 点：2/21 , log21-1 ?bit ; 3 点：1/7 , log7 4 点：4/21 , log21-2 5 点：5/21 , log (21/5 )~; 6 点：2/ 7 , log(7/2)? 平均信息量： (1/21) X +(2/21) X +(1/7) X +(4/21) X +(5/21) X +(2/7) 解： X=1:考生被录取；X=0考生未被录取； Y=1：考生来自本市；Y=0考生来自外地； Z=1:考生学过英语；z=o：考生未学过英语 P(X=1)=1/4, P( X=q=3/4; P( Y=1/ X=1)=1/2 ；P( Y=1/ X=0)=1/10 ；P(Z=1/ Y=1 )=1, P( Z=1/ X=0, Y=0 )=, P( Z=1/ X=1, Y=0 )=, P(Z=1/Y=0)= (a)P(X=0,Y=1)=P(Y=1/X=0)P(X=0)=, P(X=1,Y=1)= P(Y=1/X=1)P(X=1)= P(Y=1)= P(X=0,Y=1)+ P(X=1,Y=1)= P(X=0/Y=1)=P(X=0,Y=1)/P(Y=1)=, P(X=1/Y=1)=P(X=1,Y=1)/P(Y=1)=
概率论第二章练习答案概要
《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0
6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p
信息论习题答案第二章---陈前斌版
第2章习题 2-3 同时掷两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都是l/6，求： (1) “3和5同时出现”事件的自信息量； (2)“两个1同时出现”事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合（无序对）的熵或平均信息量； (4) 两个点数之和(即 2，3，…，12构成的子集）的熵； (5)两个点数中至少有一个是1的自信息。 解：（1）P （3、5或5、3）＝P （3、5）+P （5、3）＝1/18 I ＝log2（18）＝ 。 （2）P （1、1）＝l/36。I ＝log2（36）＝。 （3）相同点出现时（11、22、33、44、55、66）有6种，概率1/36。 不同点出现时有15种，概率1/18。 H （i ，j ）＝6*1/36*log 2（36）+15*1/18*log 2（18）＝事件。 （4） H(i+j)=H(1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36) =事件。 （5）P （1、1or1、j or i 、1）＝1/36+5/36+5/36＝11/36。 I ＝log2（36/11）＝ 2-5 居住某地区的女孩中有25％是大学生，在女大学生中有75％身高为1.6m 以 上，而女孩中身高1.6m 以上的占总数一半。假如得知“身高1.6m 以上的某女孩是大学 生”的消息，问获得多少信息量、 解：P （女大学生）＝1/4；P （身高>1.6m / 女大学生）=3/4；P （身高>1.6m ）＝1/2； P （女大学生 / 身高>1.6m ）＝P （身高>1.6m 、女大学生）/P （身高>1.6m ） ＝3/4*1/4*2＝3/8 I ＝log2（8/3）＝。 2-7两个实验123{,,}X x x x =和123{,,}Y y y y =，联合概率()i j ij p x y p =为 11121321222331 32 337/241/2401/241/41/2401/247/24p p p p p p p p p ???? ????=???????????? （1）如果有人告诉你X 和Y 的实验结果，你得到的平均信息量是多少
概率论第二章习题解答
概率论第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为，因其它原因死亡的概率为，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为；； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为
（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为 112 3213321312 C C P=???
概率论第二章习题参考解答1
概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 ?? ? ??≥<≤<=1 1105 .000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数. 解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3 因此分布律由下表所示 ξ 0 1 P 1/3 2/3 而分布函数为 ?? ? ??>=<≤<=1 1103 /100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ?? ?≥<=a x a x x F 1 0)(, 它的图形为 a x 1 0 F (x ) 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)
P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1 解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为 )3,2,1(27 1)(3=?= =-i i P i ξ 或列表如下: ξ 1 2 3 P 4/7 2/7 1/7 5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律. 解: 基本事件总数为4 20C n =, 有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为i i i C C n -=4155, 则 001 .017 3191 1718192051234)4(031.017195 2121545171819201234)3(2167.017181914 15231212141545171819201234)2(4696.017181913 14151231314155171819201234)1(2817 .0171913 7123412131415171819201234)0(420454 20 1 15354 202 15254 203 1515420415=??=???????====??=??????????====?????=?????????????====????=????????????====??=?????????????===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ ξ 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.001 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有 ),3,2,1(1331310)(1 =? ? ? ???===-i pq i P i i ξ 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已
《概率论》第二章习题
第二章 事件与概率 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 解：这五个字母自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则 42)(,52)(121== A A P A P ，2 1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。 利用乘法公式，所求的概率为 ()()()() 12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30 1 121314252=????= 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，依题意所求概率为P （B|A ），则 ()7 6 8/78/6)()(=== A P A B P A B P . 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废 品}，显然B A ?，则 () 1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 2 2/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 21 /)(/2 2112 2---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ?，则 () ,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 2 11/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为 )(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1 2/)(/2 1122 11-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=( ) ) 1() 12(/2 2 11---= +-M M m M m C C C C M m m M m .