2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析)

第一部分函数图象中点的存在性问题

§1．1因动点产生的相似三角形问题

例1 2014 年衡阳市中考第 28 题

例2 2014 年益阳市中考第 21 题

例3 2015 年湘西州中考第 26 题

例4 2015 年张家界市中考第 25 题

例5 2016 年常德市中考第 26 题

例6 2016 年岳阳市中考第 24 题

例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题

例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题

§1．2因动点产生的等腰三角形问题

例9 2014 年长沙市中考第 26 题

例10 2014 年张家界市第 25 题

例11 2014 年邵阳市中考第 26 题

例12 2014 年娄底市中考第 27 题

例13 2015 年怀化市中考第 22 题

例14 2015 年长沙市中考第 26 题

例15 2016 年娄底市中考第 26 题

例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题

§1．3因动点产生的直角三角形问题

例19 2015 年益阳市中考第 21 题

例20 2015 年湘潭市中考第 26 题

例21 2016 年郴州市中考第 26 题

例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题

例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题

§1．4因动点产生的平行四边形问题

例24 2014 年岳阳市中考第 24 题

例25 2014 年益阳市中考第 20 题

例26 2014 年邵阳市中考第 25 题

例27 2015 年郴州市中考第 25 题

例28 2015 年黄冈市中考第 24 题

例29 2016 年衡阳市中考第 26 题

例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题

§1．5因动点产生的面积问题

例32 2014 年常德市中考第 25 题

例33 2014 年永州市中考第 25 题

例35 2015 年邵阳市中考第 26 题

例36 2015 年株洲市中考第 23 题

例37 2015 年衡阳市中考第 28 题

例38 2016 年益阳市中考第 22 题

例39 2016 年永州市中考第 26 题

例40 2016 年邵阳市中考第 26 题

例41 2016 年陕西省中考第 25 题

§1．6因动点产生的相切问题

例42 2014 年衡阳市中考第 27 题

例43 2014 年株洲市中考第 23 题

例44 2015 年湘潭市中考第 25 题

例45 2015 年湘西州中考第 25 题

例46 2016 年娄底市中考第 25 题

例47 2016 年湘潭市中考第 26 题

例48 2016 年上海市闵行区中考模拟第 24 题

例49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第 25 题

§1．7因动点产生的线段和差问题

例50 2014 年郴州市中考第 26 题

例51 2014 年湘西州中考第 25 题

例53 2015 年济南市中考第 28 题

例54 2015 年沈阳市中考第 25 题

例55 2016 年福州市中考第 26 题

例56 2016 年张家界市中考第 24 题

例57 2016 年益阳市中考第 21 题

第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1由比例线段产生的函数关系问题

例1 2014 年常德市中考第 26 题

例2 2014 年湘潭市中考第 25 题

例3 2014 年郴州市中考第 25 题

例4 2015 年常德市中考第 25 题

例5 2015 年郴州市中考第 26 题

例6 2015 年邵阳市中考第 25 题

例7 2015 年娄底市中考第 26 题

例8 2016 年郴州市中考第 25 题

例9 2016 年湘西州中考第 26 题

例 102016年上海市静安区青浦区中考模拟第25 题例 112016年哈尔滨市中考第 27 题

第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1代数计算及通过代数计算进行说理问题

例1 2014 年长沙市中考第 25 题

例2 2014 年怀化市中考第 23 题

例3 2014 年湘潭市中考第 26 题

例4 2014 年株洲市中考第 24 题

例5 2015 年衡阳市中考第 27 题

例6 2015 年娄底市中考第 25 题

例7 2015 年永州市中考第 26 题

例8 2015 年长沙市中考第 25 题

例9 2015 年株洲市中考第 24 题

例10 2016 年怀化市中考第 22 题

例11 2016 年邵阳市中考第 25 题

例12 2016 年株洲市中考第 26 题

例13 2016 年长沙市中考第 25 题

例14 2016 年长沙市中考第 26 题

§3．2几何证明及通过几何计算进行说理问题

例15 2014 年衡阳市中考第 26 题

例16 2014 年娄底市中考第 26 题

例17 2014 年岳阳市中考第 23 题

例18 2015 年常德市中考第 26 题

例19 2015 年益阳市中考第 20 题

例20 2015 年永州市中考第 27 题

例21 2015 年岳阳市中考第 23 题

例22 2016 年常德市中考第 25 题

例23 2016 年衡阳市中考第 25 题

例24 2016 年永州市中考第 27 题

例25 2016 年岳阳市中考第 23 题

例26 2016 年株洲市中考第 25 题

例27 2016 年湘潭市中考第 25 题

第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1图形的平移

例1 2015 年泰安市中考第 15 题

例2 2015 年咸宁市中考第 14 题

例3 2015 年株洲市中考第 14 题

例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第18 题

§4．2图形的翻折

例 52016年上海市奉贤区中考模拟第18 题

例 62016年上海市静安区青浦区中考模拟第18 题例 72016年上海市闵行区中考模拟第18 题

例 82016年上海市浦东新区中考模拟第18 题

例 8 2016 年上海市普陀区中考模拟第18 题

例10 2016 年常德市中考第 15 题

例11 2016 年张家界市中考第 14 题

例12 2016 年淮安市中考第 18 题

例13 2016 年金华市中考第 15 题

例14 2016 年雅安市中考第 12 题

§4．3图形的旋转

例 152016 年上海昂立教育中学生三模联考第18 题例16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题

例17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题

例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18 题例19 2016 年上海市闸北区中考模拟第 18 题

例20 2016 年邵阳市中考第 13 题

例21 2016 年株洲市中考第 4 题

§4．4三角形

例22 2016 年安徽省中考第 10 题

例23 2016 年武汉市中考第 10 题

例24 2016 年河北省中考第 16 题

例25 2016 年娄底市中考第 10 题

例27 2016 年台州市中考第 10 题例28 2016 年陕西省中考第 14 题例29 2016 年内江市中考第 11 题例30 2016 年上海市中考第 18 题

§4．5四边形

例31 2016 年湘西州中考第 11 题例32 2016 年益阳市中考第 4 题

例33 2016 年益阳市中考第 6 题

例34 2016 年常德市中考第 16 题例35 2016 年成都市中考第 14 题例36 2016 年广州市中考第 13 题例37 2016 年福州市中考第 18 题例38 2016 年无锡市中考第 17 题例39 2016 年台州市中考第 15 题

§4．6圆

例40 2016 年滨州市中考第 16 题例41 2016 年宁波市中考第 17 题例42 2016 年连云港市中考第 16 题例43 2016 年烟台市中考第 17 题

例45 2016 年无锡市中考第 18 题

例46 2016 年武汉市中考第 9 题

例47 2016 年宿迁市中考第 16 题

例48 2016 年衡阳市中考第 17 题

例49 2016 年邵阳市中考第 18 题

例50 2016 年湘西州中考第 18 题

例51 2016 年永州市中考第 20 题

§4．7函数的图象及性质

例52 2015 年荆州市中考第 9 题

例53 2015 年德州市中考第 12 题

例54 2015 年烟台市中考第 12 题

例55 2015 年中山市中考第 10 题

例56 2015 年武威市中考第 10 题

例57 2015 年呼和浩特市中考第 10 题例58 2016 年湘潭市中考第 18 题

例59 2016 年衡阳市中考第 19 题

例60 2016 年岳阳市中考第 15 题

例61 2016 年株洲市中考第 9 题

例63 2016 年岳阳市中考第 8 题

例64 2016 年岳阳市中考第 16 题

例65 2016 年益阳市中考第 14 题

例66 2016 年株洲市中考第 10 题

例67 2016 年株洲市中考第 17 题

例68 2016 年东营市中考第 15 题

例69 2016 年成都市中考第 13 题

例70 2016 年泰州市中考第 16 题

例71 2016 年宿迁市中考第 15 题

例72 2016 年临沂市中考第 14 题

例73 2016 年义乌市绍兴市中考第 9 题例74 2016 年淄博市中考第 12 题

例75 2016 年嘉兴市中考第 16 题

§1． 1 因动点产生的相似三角形问题

课前导学

相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理 2 是最常用的解题依据， 一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，

解方程并检验．

如果已知∠ A ＝∠ D ，探求△ ABC 与△ DEF 相似， 只要把夹∠ A 和∠ D 的两边表示出来， 按照对应边成比例，分

AB DE

和

AB DF

两种情况列方程．

AC DF AC

DE

应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）

．

还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似， 如果一组锐角相等， 其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图 1，如果已知 A 、 B 两点的坐标，怎样求 A 、 B 两点间的距离呢？

我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜

边 AB 的长了．水平距离 BC 的长就是 A 、B 两点间的水平距离， 等于 A 、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A 、 B 两点间的竖直距离，等于 A 、 B 两点的纵坐标相减．

图 1

例 1

2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题

二次函数 y ＝ a x 2＋b x ＋ c （a ≠ 0）的图象与 x 轴交于 A ( － 3, 0) 、 B (1, 0) 两点，与 y 轴

交于点 C (0, － 3m ) （m ＞ 0），顶点为 D ．

（ 1）求该二次函数的解析式（系数用含

m 的代数式表示） ；

（ 2）如图 1，当 m ＝ 2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设△

APC 的面积为

S ，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及

S 的最大值；

（ 3）如图 2，当 m 取何值时，以 A 、 D 、 C 三点为顶点的三角形与△ OBC 相似？

图1

图2

动感体验

请打开几何画板文件名“ 14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 AC 的中点的正下方时，△ APC 的面积最大．拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ ACD 和∠ ADC 都可以成为直角．

思路点拨

1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．

2．连结 OP ，△ APC 可以割补为：△

AOP 与△ COP 的和，再减去△

AOC ．

3．讨论△ ACD 与△ OBC 相似，先确定△ ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否

相似．

4．直角三角形 ACD 存在两种情况．

图文解析

（ 1）因为抛物线与

x 轴交于

( －3, 0) 、 (1, 0) 两点，设 y ＝ ( x ＋ 3)( x －1) ．

A B

a 代入点 (0, －3 )，得－ 3 ＝－3 ．解得 ＝ ．

C m m a a m

2

所以该二次函数的解析式为 y ＝ m ( x ＋ 3)( x － 1) ＝ mx ＋ 2mx － 3m ．

（ 2）如图 3，连结 OP ．

当 m ＝2 时， C (0, － 6) ， y ＝ 2x 2＋ 4x －6，那么 P ( x , 2 x 2＋ 4x － 6) ．

由于△ AOP ＝

1

OA ( y P ) ＝

3 2

＋ 4 －6) ＝－ 3 2 －6 ＋9， S

2 2

(2 xx x x

S △ COP ＝ 1

OC ( x P ) ＝－ 3x ，S △AOC ＝ 9，

2

所以 S ＝S ＝S ＋S －S 2

3 ) 2

27 ＝－ 3x

－ 9x ＝ 3(x

．

△ APC △ AOP △ COP △ AOC

2

4

所以当 x

3

时， S 取得最大值，最大值为 27 ．

2

4

图3

图4 图5

（ 3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为

E ．过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于

F ．

由 y ＝m ( x ＋ 3)( x － 1) ＝ m (x ＋ 1) 2－ 4m ，得 D ( －1, － 4m ) ．

在 Rt △ OBC 中， OB ∶ OC ＝1∶ 3m ．

如果△ ADC 与△ OBC 相似，那么△ ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 1∶3m ． ① 如图 4，当∠ ACD ＝ 90°时，

OA

OC ．所以 3 3m

．解得 m ＝ 1．

EC

ED

m

1

此时

CA

OC 3，

OC

3 ．所以 CA OC

．所以△ CDA ∽△ OBC ． CD

ED OB CD OB

② 如图 5，当∠ ADC ＝ 90°时，

FA

FD ．所以 4m 2

．解得 m

2 ．

ED EC

1 m

2

此时

DA

FD 2 2 2 ，而

OC

3m 3 2 ．因此△ DCA 与△ OBC 不相

似．

DC

EC

m

OB 2

综上所述，当 m ＝ 1 时，△ CDA ∽ △OBC ．

考点伸展

第（ 2）题还可以这样割补：

如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与

AC 交于点 H ．

由直线 AC ： y ＝－ 2x － 6，可得 H ( x , － 2x －6) ． 又因为 P ( x , 2 x 2＋4x － 6) ，所以 HP ＝－ 2x 2－ 6x ．

因为△ PAH 与△ PCH 有公共底边

HP ，高的和为

A 、 C 两

点间的水平距离 3，所以

S ＝ S △APC ＝ S △ APH ＋S △ CPH

＝ 3

( － 2x 2－ 6x ) 2 ＝ 3( x

3 ) 2 27 ． 图 6

2

4

WORD 格式可编辑

例 22014年湖南省益阳市中考第21 题

如图 1，在直角梯形ABCD中， AB// CD， AD⊥ AB，∠ B＝60°，AB＝10，BC＝4，点 P 沿线段AB从点 A 向点 B运动，设 AP＝ x．2·1·c·n·j·y

（1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点

的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出

x的值；若不存在，请说明理由；

（ 3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，

若 S＝ S1＋ S2，求 S 的最小值.

动感体验图 1请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点P 在 AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点 P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．

思路点拨

1．第（ 2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．

2．第（ 3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求 S 的函数关系式．

图文解析

（ 1）如图 2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．

在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝ 4，所以BH＝2，CH＝2 3．所以（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△

形．

①如图 3，当∠CPB＝ 90°时，AP＝ 10－ 2＝ 8．AD＝2 3．

PCB一定是直角三角

所以AP

＝8＝

4

3，而PC＝

3

．此时△与△不相似．AD 2 33PB APD PCB

图2图3图4

②如图 4，当∠BCP＝ 90°时，BP＝ 2BC＝ 8．所以AP＝2．

WORD 格式可编辑

所以AP

＝

2

＝

3

．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．AD 2 33

综上所述，当x＝2时，△ APD∽ △CBP．

（ 3）如图 5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点 G是斜边 DP的中点．

设△ PCB的外接圆的圆心为O，那么点 O在 BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点 E，与 AB交于点 F．

设AP＝2m．作 OM⊥ BP于 M，那么 BM＝ PM＝5－ m．

在 Rt△BEF中，BE＝ 2，∠B＝ 60°，所以BF＝ 4．

在 Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝ 4－(5 －m) ＝m－ 1，∠OFM＝ 30°，

所以＝3

OM( m 1) ．

3

所以2＝2＋2＝

(5m)21

(m2．

OB BM OM31)

222222

在 Rt△ADP中，DP＝AD＋AP＝ 12＋ 4m．所以GP＝3＋m．

1222

于是 S＝S＋ S ＝π( GP＋ OB)

＝3m2(5m)21

(m1)2＝(7m232m 85) ．33

所以当 m 16

时， S 取得最小值，最小值为113 ．

77

图5图6

考点伸展

关于第（ 3）题，我们再讨论个问题．

问题 1，为什么设＝ 2 呢？这是因为线段＝＋＋＝＋2＝ 10．

AP m AB AP PM BM AP BM 这样 BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．

问题 2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？

如图 6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝ BM－ BF＝(5－ m)－4＝1－ m．

此时2＝2＋2＝

(5 m)21

(12．这并不影响S 关于 m的解析式．

OB BM OM3m)

例 32015年湖南省湘西市中考第26 题

如图 1，已知直线y＝－ x＋3与 x 轴、 y 轴分别交于A、B 两点，抛物线y＝－ x2＋bx＋ c 经过 A、 B两点，点 P 在线段 OA上，从点 O出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；

同时，点 Q在线段 AB上，从点 A 出发，向点 B以每秒 2 个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t 秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE// y轴，交AB于点 E，过点Q作QF// y

轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF// PQ时，求点 F 的坐

标；

（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是

否存在 t 的值，使以 B、 Q、 M为顶点的三角形与以 O、 B、

P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存

在，请说明理由．图 1

动感体验

请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在 OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．

思路点拨

1．在△APQ中，∠A＝ 45°，夹∠A的两条边A P、AQ都可以用 t 表示，分两种情况讨论

直角三角形APQ．

2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F 的坐标，根据PE＝ QF列方程就好了．

3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．

图文解析

（ 1）由y＝－x＋ 3，得A(3, 0)，B(0, 3)．

将 (3, 0)、 (0, 3)分别代入

y ＝－

x

2＋

bx

＋，得93b c0, 解得 b2,

A B c c 3.c 3.所以抛物线的解析式为y＝－ x2＋2x＋3．

（ 2）在△APQ中，∠PAQ＝ 45°，AP＝ 3－t，AQ＝2 t．

分两种情况讨论直角三角形APQ：

①当∠ PQA＝90°时，AP＝ 2 AQ．解方程3－ t ＝2t ，得 t ＝1（如图2）．

②当∠ QPA＝90°时，AQ＝ 2 AP．解方程 2 t ＝ 2 (3－ t )，得 t ＝1.5（如图3）．

图2图3

（ 3）如图 4，因为PE// QF，当EF// PQ时，四边形EPQF是平行四边形．

所以 EP＝ FQ．所以 y E－ y P＝ y F－y Q．

22因为 x P＝t ，x Q＝3－ t ，所以 y E＝3－ t ，y Q＝ t ，y F＝－(3－t )＋2(3－t )＋3＝－ t ＋4t ．

因为 y E－y P＝ y F－ y Q，解方程3－ t ＝(－ t 2＋4t )－t，得 t ＝1，或 t ＝3（舍去）．所以点

F 的坐标为(2, 3)．

图 4图 5

22

．

（ 4）由y＝－x＋2x＋ 3＝－ ( x－ 1) ＋ 4，得M(1, 4)

由 A(3, 0)、 B(0,3)，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3 2 ．

由 (0, 3)、 (1,4)，可知、两点间的水平距离、竖直距离相等，＝

2．

B M B M BM 所以∠ MBQ＝∠ BOP＝90°．因此△MBQ与△ BOP相似存在两种可能：

①当BM

OB 时，

32

2

3

．解得 t

9

（如图 5）．BQ OP2t t4

②当BM

OP 时，2

t

．整理，得 t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根．BQ OB322t3

考点伸展

第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由(,0)，(, 3－

t ) ，Q(3－,

t

)，按照→

P t E t t P E 方向，将点 Q向上平移，得 F(3－ t , 3)．再将 F(3－t , 3)代入 y＝－ x2＋2x＋3，得 t ＝1，或 t

＝3．

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§1． 2因动点产生的等腰三角形问题

课前导学

我们先回顾两个画图问题：

1．已知线段AB＝5厘米，以线段 AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2．已知线段AB＝6厘米，以线段 AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．

已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ ABC是等腰三角形，那么存在① AB＝AC，② BA＝BC，③ CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得

解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ ABC的∠ A（的余弦值）是确定的，夹∠ A 的两边 AB和 AC可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图 1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图 2，如果BA＝BC，那么1

AC AB cos A ；2

③如图 3，如果CA＝CB，那么1

AB AC cos A ．2

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

图1图2图3

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例 9

2014

年长沙市中考第 26 题

如图 1，抛物线 y ＝ ax 2＋bx ＋ c （ a 、b 、c 是常数， a ≠ 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)

和 ( a , 1

) 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点

P 为圆心的⊙ P 总经过定点 A (0, 2) ．

16

（ 1）求 a 、 b 、c 的值；

（ 2）求证：在点 P 运动的过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交；

（ 3）设⊙ P 与 x 轴相交于 M ( x 1, 0) 、 N ( x 2, 0) 两点，当△ AMN 为等腰三角形时，求圆心

P 的纵坐标．

图 1

动感体验

请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动， 可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在五种情况．

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙ P 在 x 轴上截得的弦长 MN ＝ 4 是定值．

2．等腰三角形存在五种情况，点

P 的纵坐标有三个值，根据对称性，

＝ 和

AMN

MA MN NA

＝NM 时，点 P 的纵坐标是相等的．

图文解析

（ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0) ，所以 y ＝ax 2．所以 b ＝0， c ＝ 0．

将 ( a ,

1

) 代入 y ＝ax 2

，得

1

a 2

．解得 a

1

（舍去了负值） ．

16

16

4

（ 2）抛物线的解析式为 y

1 x

2 ，设点 P 的坐标为 ( x, 1 x 2 ) ．

4

4

已知 A (0, 2) ，所以 PA

x 2

( 1 x 2

2)

2

1 x 4 4 ＞ 1

x 2 ．

4

16 4

而圆心 P 到 x 轴的距离为

1

x 2 ，所以半径 PA ＞圆心 P 到 x 轴的距离．

4

所以在点 P 运动的过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交．

（ 3）如图 2，设 MN 的中点为 H ，那么 PH 垂直平分

MN ．

在 △ 中， 2 2

1 4 21

2 1 4

MH ＝ ． Rt PMH PM

PA

x 4，PH

( x)

x ，所以 2

4 16

4 16

所以 MH ＝ 2．因此 MN ＝ 4，为定值．

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①如图 3，当＝时，点

P 为原点重合，此时点

P

的纵坐标为 0．

AM AN O

图 2图 3

②如图 4，当MA＝MN时，在 Rt △AOM中，OA＝ 2，AM＝ 4，所

以OM＝2 3 ．

此时 x＝ OH＝2 3 2 ．所以点P的纵坐标为1

x21(2 3 2)2(31)2423．44

如图 5，当＝时，根据对称性，点

P 的纵坐标为也为 4 2 3．

NA NM

图 4图 5

③如图 6，当NA＝NM＝ 4 时，在 Rt△AON中，OA＝ 2，AN＝ 4，所以ON＝23 ．

此时 x＝ OH＝2 3 2．所以点 P 的纵坐标为1

x21(2 3 2)2( 3 1)2 4 23．44

如图 7，当MN＝MA＝ 4 时，根据对称性，点P的纵坐标也为 42 3 ．

图 6图 7

考点伸展

如果点 P 在抛物线y1x2上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1) ，那么在点

4