九年级数学重难点突破专题

15年期中考试重难点突破

15年期中考试与往年相比，具有传承性，亦有突破，会是传统与创新、变革激烈碰撞的一年，要想取得好成绩，必须开阔视野，明确考试命题的方向，熟悉中考考点，章节重难点，易错点，易混淆点，自己问题所在，逐一突破，才能在考试中立于不败之地——稳定可靠，藉此讲义，助你成功。 中考考点：

一、一元二次方程：

三大陷阱：①二次项系数a ≠0;②利用关于x 1，x 2的等式求未知字母系数的值时，验△；③关于方程的类型的分类讨论；

中考考点：①利用方程根的定义求代数式的值；（整体代入法，若结合一元二次方程根与系数的关系，还需要注意降次思想）②解一元二次方程；（配方法，熟练理解记忆公式法，含字母系数的十字相乘因式分解法，二次项系数不为1的因式分解法，可化为一元二次方程的分式方程的解法及步骤，高次方程与整体思想注意验△）③韦达定理及根与系数的关系；（据根的分布，求字母系数的取值或范围时注意字母所在位置或利用配方法判断方程根的分布，会求含x 1，x 2的对称式的值及利用构造法求值（非对称式要结合根的定义），注意含x 1，x 2的绝对值的问题的常用解题策略，⑤一元二次方程的应用；常见题型：面积问题（注意平移，分割拼接转化为特殊图形，立体转化为平面）、经济型问题（归一法），单循环、双循环问题（会以选择题形式出现）。

新变化：一元二次方程解决几何图形中的计算问题；（动点位置或运动时间，线段最值，等腰三角形分类讨论，直线与圆的位置关系） 一、一元二次方程：

1、如图，正方形ABCD 的边长为2，M 为AD 的中点，N 在边CD 上且∠NMB=∠MBC ，MN 的延长线与BC 的延长线交于点G ，则GN 的长是 。

2、如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线c bx x y ++=

221的顶点，则方程12

1

2=++c bx x 的解的个数是（ ） A 、0或2 B 、0或1 C 、1或2 D 、0或1或2

3、二次函数y=ax 2

+bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2

+bm ；④a-b+c ＞0；⑤若ax 12

+bx 1=ax 22

+bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ）

A ．①②③

B ．②④

C ．②⑤

D ．②③⑤

4、已知方程x 2

-2（m 2

-1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ） A ．m=±1 B ．m=-1 C ．m=1 D ．m=0

G N D

C B A

P 1

P

C 1

A 1E

C

B

A 5、定义：如果一元二次方程02

=++c bx ax (a ≠0)满足0=++c b a ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知02

=++c bx ax (a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是

A ．a=c

B ．a=b

C ．b=c

D ．a=b=c 练习：

1、若x 满足方程（x 2-x ）2-（x 2-x ）-6=0,则x 2

-x=________

2、一元二次方程x 2-3x-1=0与一元二次方程x 2

-x+3=0的所有实根的和为______。

3、函数y=(m+1)x 2

+2mx+(m-3)的图象与x 轴有一个公共点，则m=_______.

4、若4x 2

+(2k-1)x+9是一个完全平方式，则k=____________. 5、 已知x ≠y,x 2

+2x=3,y 2

+2y=3,则x+y=____;xy=______

6、解方程：x 2-(23+1)x+3+3=0 ;x 2+2nx+n 2

-4=0

7、如果关于x 的一元二次方程22

(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取

值范围是（ ）

A.k ＞14-

B.k ＞14-且0k ≠

C.k ＜14-

D.1

4k ≥-且0k ≠ 8、已知方程2

0x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A 、ab

B 、

a

b

C 、a b +

D 、a b - 9、设x 1和x 2是关于x 的一元二次方程x 2

+(2m+1)x+m 2

+1=0的两实数根且|x 1|+|x 2|=3，求m

旋转：

1、如图，在⊿ABC 中，∠A ﹤90°，∠C=30°，AB=4,BC=6，E 为AB 的中点，P 为AC

边上一动点，将⊿ABC 绕点B 逆时针旋转α角（?≤

A.

13- B. 1 C. 2

3

D. 2

2、如右图，⊿ACB 和⊿ECD 都是等腰直角三角形，⊿ACB 的 顶点A 在⊿ECD 的斜边DE 上，若

31=AD AE ，则BC

BD

= 。 1、如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，

（1）如图1，连接AG 、CE ，判断AG 和CE 的数量关系和位置关系并证明； （2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG 、CE 相交于点M ，连接MB ，求∠EMB 的度数．

（3）若BE=2,BC=6,连接DG, 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG 长度的取值范围_______ (直接填空，不写过程).

例：已知△ABC ，AB=AC ,∠BAC=2m °，∠ADE=90°，∠DAE=m °G 为BE 中点，H 为BC 中点。 （1）若E 在AC 上，则

___=GH

GD

,_____=∠DGH （2）证明你的结论；

（3）将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定的角度，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，证明你的结论。

二次函数： 例：若1212,()x x x x <是关于x 的方程()()()x a x b a b a b --=-<的两个根，则实数

12,,,x x a b 的大小关系为

A.12x x a b <<<

B. 12x a b x <<<

C. 12a x x b <<<

D. 12

a x

b x <<< 练习：1、抛物线

c ax ax y ++=22

上有两点A （t ，2）、B （-t-2，m ），则m=_____. 2、抛物线2

6y ax ax a =-+的顶点与原点的距离为5，则a ＝__________.

3、已知抛物线22

-+=x x y 与直线m x y -=5没有公共点，则m 的取值范围是（ ） A. 6m C.

6≤m D. 2≥m

4、如图，抛物线c bx ax y ++=2

分别交坐标轴于A(-2，0)、B(6，0)、 C(0，4)，则402

<++≤c bx ax 的解集是 。

A B C D E G

H A B C

D E

G H

_y

_

x C

A

B

O

压轴题：

例：已知直线L ：k kx y 5+= （k ≠0）与x 轴交于A 点，抛物线的解析式为14

12

+=x y 。

（1） 直接写出A 点坐标； （2）直线L 与抛物线14

12

+=

x y 交于B 、C 两点，过B 、C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，求AN AM ?的值；

（3）P 为抛物线上任一点，过P 作PQ ⊥x 轴，Q 为垂足，以P 为圆心，PQ 为半径作圆，圆总会经过y 轴上一定点D ，求D 点到直线L 的距离的最大值。

练习：如图，抛物线322

++-=ax ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D 点，△ABC 的面积为6，已知P （1，t ）（t ＞0）。

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点M ，使得△MBC 的面积为

4

9

，若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)问是否存在实数t ，使得以P 点为圆心的⊙P 恰好在线段AB 和线段BD 上截得的线段长相等，若存在，请求出此时的t 值；若不存在，请说明理由

2、某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图象问题时，发现了三个结论：

①抛物线322

++=x ax y （a ≠0），当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线1λ上,某点Q 除外；

②抛物线32

++=bx x y ，当b 变化时，它的顶点都在某条抛物线1f 上； ③如图1，二次函数a c bx ax y (2

++=＞0）的图象与x 轴的两个交点为

A （1x ，0）、

B （2x ，0），顶点为

C ，若△ABC 为直角三角形，则m ac b =-42

； （1）求直线1λ的解析式及Q 点坐标； （2）求抛物线1f 的解析式及m 的值；

（3）如图2，将直线1λ沿y 轴向下平移k 个单位得直线2λ，将抛物线1f 沿直线1λ平移得抛物线2f ，若直线2λ与抛物线2f 两个交点P 、Q 间的距离不小于25，求k 的取值范围.

3、如图所示，已知直线与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线c bx x y ++-=2

经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当2

1-

=x 时y 取最大值425

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P 是直线AC 上一点，且S △ABP ：S △BPC =1：3，求点P 的坐标； （3）直线a x y +=

2

1

与（1）中所求的抛物线交于点M 、N ，两点，问： ①是否存在a 的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． ②猜想当∠MON ＞90°时，a 的取值范围．（不写过程，直接写结论）

x

x

y

y

O

O

A B

C

P

Q

二、圆：

例：已知：如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是中点，DE ⊥AB 于E ，交AC

于F ，DB 交AC 于G ．

(1)求证：AF =FG ．(2)若AC=8cm ，AB=10cm,求AE 和DG 的长。

练习：1、如图，R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，以CD 为半径作⊙C 与AE 切于E 点，过B 点作BM ∥AE 。

（1） 求证：BM 为⊙C 的切线；

（2） 作DF ⊥BC 于F 点，连接EF 交AC 于G 点，若AB=16，∠DBM=60°，求CG 的长。

2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC 交⊙O 于D 点，交BC 于E 点，CI 平分∠ACB 交AD 于I 点。

(1)求证：DI=DB ；（2）连接OI ，若OI ⊥AD,BC=4，求△ABC 的周长。

3、如图，P 为⊙O 内一定点，A 为⊙O 上一动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点，若⊙O 的半径为3，OP=3，则弦BC 的最大值为__________

三、近期新题型：

⑵动点问题，全等变换：

例：如图，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 上从点A 向点B 运动，连接DP 交AC 于点Q.

（1）若∠APQ=67.5°，求证：CQ=AD ；

（2）如图2，点E 在AB 上，且BE=AP ，求证：C E ⊥BQ ；

（3）若AD=4，当点P 从点A 运动到点B ，再继续在边BC 上运动至点C ，在以上整个的运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰好为等腰三角形，请直接写出点P 的位

置是______________.

A

B

C D A

B

C D P

Q P Q

E

A E D

B M

C G

F

A B C D

E

O

I

⑶一元二次方程与几何问题： 1、如图1，△ABC 、△AED 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠E=90°，AE=a ，AB=b ，且（a

25a ，① 求b a 的值；②若a 、b 是关于x 的方程05

35225122

=+-+-m m mx x 的两根，求m ；

（2）如图2，将△AED 绕点A 逆时针旋转，使BE=100，连接DC ，求五边形ABCDE 的面积。

四、中考新方向： ⑴24题计算探究： 例：把一副三角板如图1放置，其中∠ACB =∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边A B=6cm ，DC=7cm ，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°，得到△D 1CE 1，这时AB 与CD 1相交于点O ， 与D 1E 1相交于点F 。

（1） 求∠OFE 1的度数；（2）求△AD 1F 的面积；（3）若把三角板D 1CE 1绕着点C 顺时针再旋

转30°得到△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？请说明理由。

C E

D C

E A

B A

B D F O

A B C D E A

B C

D 1

E 1

⑵ ⑶

五、预测与分析：

例：如图，AB 为⊙E 的直径，B （2，0），C （0,4）。 （1） 求A 点坐标；

（2） F 为弧BC 的中点，G 为弧CF 的中点，AF 、DG 交于H 点，求AH 长； （3） 已知p 为弧AD 上一动点，P M ⊥AB 于M ，PN ⊥DE 于N 点，求MN 的长。

练习：1、如图1，半径为22的⊙M ，交x 轴于A （1,0），B （-3,0）两点，交y 轴于C 、

G 两点，A D ⊥BC 于H 点，交⊙M 于D 点，交y 轴于E 点。 （1） 求M 点的坐标；

（2）如图2，在x 轴上是否存在点R ，使得ER+MR 的值最小，若有，写出点R 的坐标；若没有，请说明理由；

（3）如图3，点P 为弧ACB 上一动点，过点B 作PB 的垂线，交PA 的延长线于Q 点，直线BQ 交⊙M 于K ，则下列结论：①

BK AQ AP -的值不变；②BK

AQ

AP +的值不变。其中有

且只有一个结论正确，请判断正确结论并求值。